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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II Lista 3 - Planos tangentes, pontos cŕıticos, multiplicadores de Lagrange Planos tangentes e aproximação linear 1. Encontre a equação do plano tangente à superf́ıcie z2 = 3x2 + y3 no ponto P = (1, 1, 2). 2. Considere a superf́ıcie 2x2 + y2 + z2 = 9. Encontre uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto P = (2,−1, 0). 3. Apresente uma equação do plano tangente à superf́ıcie de ńıvel da função f(x, y, z) = ln(y2 e xz) pelo ponto P = (0, 1, 1). 4. Considere a função f(x, y) = x2y − ln(5x− 3y) e o ponto P = ( 2, 3 ) . (a) Determine a equação do plano tangente à superf́ıcie z = f(x, y) no ponto P . (b) Utilizando a aproximação linear local de f em P , determine o valor aproximado de f ( 1,98; 3,01 ) . 5. Considere a função F (x, y, z) = zexy + x2 e o ponto Q = (−1, 0, 2). Obtenha um valor aproxi- mado para F (−1,05; 0,02; 2,01) utilizando a aproximação linear local de F em Q. Máximos e mı́nimos de funções de várias variáveis 6. Encontre e classifique todos os pontos cŕıticos da função f(x, y) = xy − 13x 3 − 12y 2 + 3. 7. Encontre e classifique o(s) ponto(s) cŕıtico(s) da função f(x, y) = x2 + xy − 2x− 2y + 1. 8. Se uma função cont́ınua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exerćıcio mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis. (a) Mostre que f(x, y) = 3xey − x3 − e3y tem apenas um único ponto cŕıtico e que nele ocorre um máximo relativo. (b) Mostre que f não tem máximo absoluto. (c) Use um recurso computacional para esboçar o gráfico z = f(x, y). 9. Considere a função f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy no quadrado unitário 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. (a) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f em cada aresta do quadrado (b) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f no quadrado inteiro Multiplicadores de Lagrange 10. Encontre o ponto do plano x+ 2y + z = 1 que está mais próximo da origem. 11. Qual é o maior valor posśıvel para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação (x− 2)2 + 2(y − 1)2 + (z − 2)2 = 40. 12. Encontre as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito na elipse x 2 a2 + y2 b2 = 1. 1 Figura 1: Essa figura é relativa ao Exerćıcio 12. Retângulo inscrito em elipse. Clique aqui para ver uma figura dinâmica. 13. Encontre o ponto da esfera (x−2)2 +(y−2)2 +(z−2)2 = 27 que está mais afastado da origem (0, 0, 0). 14. Encontre o maior valor posśıvel para a função f(x, y) = 4x3 + y2, quando restrita aos pontos (x, y) que satisfazem 2x2 + y2 = 1. 15. Um granjeiro resolve construir num terreno plano uma gaiola em forma de caixa retangular, em que as paredes laterais e o teto serão de tela de arame. Usando multiplicador de Lagrange, determine as dimensões da gaiola de maior volume que poderá ser constrúıda com 48 m2 de tela. Determine, também, o volume dessa gaiola. 16. Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12m2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa utilizando multiplicador de Lagrange. 17. Devemos construir um tanque de fundo e paredes retangulares, aberto no topo. O custo da construção do metro quadrado de fundo é de 5$ e o do metro quadrado das laterais é de 20$. Usando multiplicador de Lagrange, calcule as dimensões de um tanque desses de volume máximo que conseguimos construir dispondo de 960$ para cobrir o custo da construção do fundo e dos lados. Qual é esse volume máximo? 2 https://www.geogebra.org/m/qarshsdv Soluções 1. Seja f(x, y, z) = 3x2 + y3 − z2. Então ∇f(x, y, z) = 〈6x, 3y2,−2z〉. O vetor ∇f(1, 1, 2) = 〈6, 3,−4〉 é ortogonal à superf́ıcie de ńıvel de f que passa pelo ponto (1, 1, 2). Portanto, uma equação para o plano tangente é 6(x− 1) + 3(y − 1)− 4(z − 2) = 0. 2. 8(x− 2)− 2(y + 1) = 0 3. x+ 2y − 2 = 0 4. (a) 7x+ 7y − z − 23 = 0 (b) 11,93 5. L(x, y, z) = 3− 2(x+ 1)− 2y+ (z− 2), logo F (−1,05; 0,02; 2,01) ≈ L(−1,05; 0,02; 2,01) = 3, 07 6. Localização dos pontos cŕıticos: Temos que fx(x, y) = y− x2 e fy(x, y) = x− y. Portanto, os pontos cŕıticos (x, y) são as soluções do sistema{ y − x2 = 0 x− y = 0 . As soluções desse sistema são os pares (0, 0) e (1, 1). Classificação dos pontos cŕıticos: Para classificar esses pontos cŕıticos usaremos o teste da 2ª derivada, que leva em conta a função D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y). Note que fxx(x, y) = −2x, fxy(x, y) = 1 e fyy(x, y) = −1. Portanto D(x, y) = 2x− 1. O teste da 2ª derivada justifica as seguintes conclusões: D(0, 0) = −1 < 0, portanto (0, 0) é um ponto de sela. D(1, 1) = 1 > 0 e fxx(1, 1) = −2 < 0, portanto (1, 1) é um ponto de máximo local. Figura 2: Gráfico da função f(x, y) = xy − 13x 3 − 12y 2 + 3, produzido no GeoGebra 3D 7. O único ponto cŕıtico é o ponto (2,−2) que é sela. 3 https://www.geogebra.org/3d/cnbpxqnp 8. (a) f(x, y) = 3xey − x3 − e3y. Então fx = 3ey − 3x2 e fy = 3xey − 3e3y. Os pontos cŕıticos são soluções do sistema { 3ey − 3x2 = 0 3xey − 3e3y = 0 ⇐⇒ { ey − x2 = 0 x− e2y = 0 A última equação diz que x = e2y. Substituindo x por e2y na equação ey − x2 = 0 obtemos ey − e4y = 0⇒ ey = e4y. Como a função exponencial é injetiva, obtemos y = 4y, donde segue que y = 0, e consequentemente x = 1. Portanto, o único ponto cŕıtico é o ponto (1, 0). Para classificar esse ponto podemos usar o teste da segunda derivada, que leva em conta a função D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y). Note que fxx = −6x, fyy = 3xey − 9e3y e fxy = 3ey. Portanto, D(1, 0) = 27 > 0. Como fxx(1, 0) = −6 < 0, o teste da segunda derivada conclui que (1, 0) é um ponto de máximo local. (b) Para ver que f não tem máximo absoluto observe, por exemplo, que limx→−∞ f(x, 0) = limx→−∞(3x − x3 − 1) = +∞. Isso significa que f(x, y) toma valores arbitrariamente grandes e, portanto, a função não possui um máximo absoluto. (c) Figura 3: Gráfico da função f(x, y) = 3xey − x3 − e3y, produzido no GeoGebra 3D. Clique aqui para visualizar o gráfico no seu navegador. 9. . (a) f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy � No lado `1: 0 ≤ x ≤ 1, y = 0. f(x, 0) = 4x2 tem valor máximo quando x = 1 e valor mı́nimo quando x = 0. Temos que f(1, 0) = 4 e f(0, 0) = 0. � No lado `2: x = 1, 0 ≤ y ≤ 1. f(1, y) = 4−3y2+2y tem valor máximo quando y = 13 e valor mı́nimo quando y = 1. Temos que f(1, 13 ) = 13 3 e f(1, 1) = 3. � No lado `3: 0 ≤ x ≤ 1, y = 1. f(x, 1) = 4x2−3+2x tem valor máximo quando x = 1 e valor mı́nimo quando x = 0. Temos que f(1, 1) = 3 e f(0, 1) = −3. � No lado `4: x = 0, 0 ≤ y ≤ 1. f(0, y) = −3y2 tem valor máximo quando y = 0 e valor mı́nimo quando y = 1. (b) f não possui pontos cŕıticos no interior do quadrado. O único ponto cŕıtico de f é o ponto 4 https://www.geogebra.org/m/mfnrwtnc (0, 0), que é um ponto de sela que está no bordo do quadrado. Portanto, no quadrado inteiro o valor máximo é f(1, 13 ) = 13 3 ≈ 4, 333 e o valor mı́nimo é f(0, 1) = −3. 10. Vamos minimizar a função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 com a restrição de que g(x, y, z) = x+2y+z = 1. O método dos multiplicadores da Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema 2x = λ 2y = 2λ 2z = λ x+ 2y + z = 1 Das três primeiras equações conclúımos que y = 2x e z = x. Substituindo isso na última equação obtemos x = 16 . Assim, o ponto procurado é o ponto ( 1 6 , 2 6 , 1 6 ). Outra maneira de resolver o problema é considerar a reta ` que passa pela origem e é ortogonal ao plano. Como n = 〈1, 2, 1〉 é vetor ortogonal ao plano, temos que a reta ` pode ser expressa parametricamente por ` : x = t y = 2t z = t ; t ∈ R. A interseção dessa reta com o plano ocorre no ponto correspondente ao valor de t para o qual t + 2(2t) + t = 1, donde obtemos t = 16 . Assim, de uma maneira alternativa, obtemos novamente o ponto ( 16 , 2 6 , 1 6 ). 11. A maiorsoma posśıvel é 15, a qual ocorre no ponto (6, 3, 6). 12. É posśıvel mostrar que os posśıveis retângulos inscritos na elipse devem ter os lados para- lelos aos eixos. Vamos assumir isso sem demonstrar rigorosamente. Vamos expressar a área do retângulo em termos das coordenadas do vértice (x, y) que está no primeiro quadrante. Nesse caso os comprimentos dos lados são 2x e 2y e portanto a área é A(x, y) = 4xy. Queremos maximizar a função A(x, y) = 4xy sob a restrição g(x, y) = x 2 a2 + y2 b2 = 1. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇A(x, y) = λ∇g(x, y) para algum λ. Obtemos assim, o sistema 4y = 2xa2 λ 4x = 2yb2 λ x2 a2 + y2 b2 = 1 Isolando λ nas duas primeiras equações obtemos 4a 2y 2x = 4b2x 2y ⇔ a 2y2 = b2x2. Disso segue que x2 = a 2 b2 y 2. Substituindo isso na equação da elipse obtemos y 2 b2 + y2 b2 = 1. Donde segue que y2 = b2/2, e então x2 = a2/2. Portanto, o vértice no primeiro quadrante que gera o retângulo de maior área é o ponto ( a√ 2 , b√ 2 ) . Logo as dimensões do retângulo de maior área são a √ 2 e b √ 2 e a área máxima é 2ab. 13. Vamos maximizar a função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 com a restrição de que g(x, y, z) = (x− 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema 2x = λ2(x− 2) 2y = λ2(y − 2) 2z = λ2(z − 2) (x− 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27 5 Note que x 6= 2, pois x = 2 iria contradizer a primeira equação. Analogamente, y 6= 2 e z 6= 2. Portanto, isolando λ nas três primeiras equações obtemos λ = x x− 2 = y y − 2 = z z − 2 Dessas igualdades segue que x = y = z. Da última equação segue então que 3(x− 2)2 = 27. Logo (x − 2) = ±3 e portanto x = 5 ou x = −1. Obtemos assim os pontos (−1,−1,−1) e (5, 5, 5). O ponto (−1,−1,−1) é o ponto da esfera que está mais próximo da origem. O ponto (5, 5, 5) é o ponto da esfera que está mais distante da origem. Outra maneira de resolver o problema, sem usar cálculo, seria observar que os pontos mais próximos e mais distantes da origem se encontram na interseção entre a esfera e a reta que liga a origem ao centro da esfera. Figura 4: Visualização da esfera de equação (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27 sendo perfurada pela reta que passa pela origem e pelo centro da esfera 14. O valor máximo é √ 2, e esse valor ocorre no ponto (1/ √ 2, 0). 15. Sejam x, y, z as medidas do comprimento, largura e altura da gaiola. A função que queremos maximizar é V (x, y, z) = xyz, a função de restrição é a função superf́ıcie da gaiola S(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz = 48. Usando multiplicadores de Lagrange queremos encontrar os extremos que ocorrem nos pontos que satisfazem ∇V (x, y, z) = λ∇S(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema yz = λ(y + 2z) xz = λ(x+ 2z) xy = λ(2x+ 2y) xy + 2xz + 2yz = 48 Temos que x, y, z ≥ 0 pois são medidas, mas se algum destes valores for zero teremos que a gaiola terá volume zero, portanto podemos supor que x, y, z > 0, e também os números y+ 2z > 0, x+ 2z > 0 e 2x+ 2y > 0, e desta forma teremos que λ = yz y + 2z = xz x+ 2z = xy 2x+ 2y , analisando estas igualdades obtemos que x = y = 2z, substituindo na equação de restrição obtemos que z = 2 portanto x = y = 4, logo (4, 4, 2) é o único ponto cŕıtico de V sujeito à restrição S = 48. O volume da gaiola neste ponto é V (4, 4, 2) = 32m3, portanto este é um valor de máximo dado que V (0, 0, 0) = 0m3. 16. O volume máximo é 4m3. Ocorre com uma caixa sem tampa com 2m de comprimento, 2m de largura e 1m de altura. 17. Comprimento: 8m, largura: 8m e altura: 1m. Volume máximo: 64m3. 6 Figura 5: Construção da gaiola 7
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