Cálculo Integral - Avaliação 04

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Cálculo Integral
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
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Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
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Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
4, 1, 2, 3.
Resposta correta
2. 
3, 4, 2, 1.
3. 
1, 2, 3, 4.
4. 
2, 1, 3, 4.
5. 
1, 2, 4, 3.
2. Pergunta 2
/1
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra técnica de integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas partes para acharmos sua integral indefinida.
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação.
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du.
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação.
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral indefinida de uma função.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e II.
Resposta correta
2. 
II e III.
3. 
I, e IV.
4. 
II e IV.
5. 
I, II e III.
3. Pergunta 3
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A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
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1. 
ambas são axiomas da matemática.
2. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
3. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
4. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
5. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
Resposta correta
4. Pergunta 4
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As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula  representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( )  representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( )  pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
V, V, V, F.
Resposta correta
2. 
V, V, F, V.
3. 
F, F, V, F.
4. 
V, V, F, F
5. 
V, F, V, V.
5. Pergunta 5
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As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e IV.
Resposta correta
2. 
II e III.
3. 
III e IV.
4. 
I e III.
5. 
II e IV.
6. Pergunta 6
/1
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que:
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1. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
2. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
3. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
4. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
Resposta correta
5. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
7. Pergunta 7
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As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
2, 1, 3, 4.
2. 
2, 3, 1, 4.
3. Incorreta: 
1, 4, 3, 2.
4. 
1, 4, 2, 3.
Resposta correta A CORRETA É ESTA.
5. 
1, 3, 2, 4.
8. Pergunta 8
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O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos aregra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
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1. 
As asserções I e II são proposições falsas.
2. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
9. Pergunta 9
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As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
1.png
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, V, F.
2. 
F, V, F, F.
3. 
V, F, F, V.
4. 
F, F, V, V.
5. 
F, V, V, F.
Resposta correta
10. Pergunta 10
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
3, 4, 2, 1, 5
2. 
5, 2, 3, 4, 1.
3. 
2, 1, 3, 4, 5.
4. 
5, 1, 4, 2, 3.
Resposta correta
5. 
2, 4, 1, 5, 3.