Relatório Análise Cinemática dos mecanismos

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ANÁLISE CINEMÁTICA DOS MECANISMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joao Lucas Santana do Carmo - a42924 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mestrado em Engenharia Industrial 
Setembro 2021 
 
ANÁLISE CINEMÁTICA DOS MECANISMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Orientador: Prof.Dr.Luís Mesquita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mestrado em Engenharia Industrial 
Setembro 2021 
Trabalho apresentado como exigência do curso 
de mestrado em Engenharia Industrial do 
Instituto Politécnico de Bragança como parte 
da nota da cadeira de Projeto Integrado por 
Computador. 
3 
Sumário 
1. Introdução ............................................................................................................. 4 
1.2. Objetivos ............................................................................................................ 4 
2. Fundamentação Teórica ...................................................................................... 5 
2.1. Sistemas Mecânicos (Método Sistemático) ............................................... 5 
2.1.1. Graus de liberdade ...................................................................................... 5 
2.1.2. Posição ......................................................................................................... 5 
2.1.3. Velocidade .................................................................................................... 6 
2.1.4. Aceleração ................................................................................................... 6 
3. Resolução do Problema ....................................................................................... 7 
4. Resultados .......................................................................................................... 12 
4.1. Comparação dos resultados ....................................................................... 12 
5. Referências ......................................................................................................... 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
Softwares de desenho e simulação 3D existem a muito tempo, e a cada dia que 
passa estes ficam cada vez mais reais e desenvolvidos, com melhores ferramentas 
para fazer-se projetos. Várias empresas, vendem seus projetos ainda na fase virtual, 
sem que esse exista em meio físico, além de conseguir ensaios resistência e 
comportamento do material muito precisos o que ajuda a otimizar o projeto. 
Na disciplina de Projeto Integrado por Computador (PIC), foi proposto a realização 
de um projeto que fosse possível analisar cineticamente um mecanismo biela 
manivela, do pistão de um motor. O projeto consiste na modelação 3D dos 
componentes do motor e realizar a análise pelo SolidWorks Motion, mostrando o 
deslocamento velocidade e a aceleração dos pistões do motor, e comparar esses 
dados com os resultados dos testes matemáticos feitos no Matlab. 
1.2 Objetivos 
Para a realização deste trabalho tem os seguintes objetivos: 
 
 Modelação 3D dos vários elementos constituintes do motor de 3 cilindros 
proposto; 
 Análise cinemática do movimento de um mecanismo biela-manivela; 
 Determinar analiticamente as equações do movimento (velocidade, 
deslocamento e aceleração); 
 Cálculo através dos programas do Solidworks e Matlab, velocidade, 
deslocamento e aceleração vertical dos pistões; 
 Verificação do efeito do aumento de +/- 20% no tamanho da biela. 
Portanto, será feita uma comparação dos resultados obtidos pelos dois programas 
mencionados à cima e por fim a comparação dos resultados obtidos para os diferentes 
comprimentos. 
 
 
 
5 
 
2. Fundamentação Teórica 
2.1. Sistemas Mecânicos (Método Sistemático) 
 2.1.1. Graus de liberdade 
Os constrangimentos cinemáticos são compatíveis e independentes, o sistema possui: 
Graus de liberdade = nc (número de coordenadas generalizadas) - nh (número de 
constrangimentos cinemáticos independentes). 
Os Graus de Liberdade são utilizados para determinar quantos motores são necessários 
para que o mecanismo funcione. Assim, nc é igual a três vezes (x, y, φ) o número de corpos 
(nb) do mecanismo: 
𝐷𝑂𝐹 = 3 × (𝑛𝑏) − 𝑛ℎ 
 Para análise de mecanismos é necessário escolher-se um sistema de coordenadas 
generalizadas (q) para cada corpo, de forma a descrever o estado do mecanismo, dando 
informação da localização e orientação de cada corpo ao longo do tempo, podendo assim saber-
se a localização de qualquer ponto do mecanismo ao longo do tempo. 
𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠 q⃗ 𝑖 = [
𝑥
𝑦
𝜙
]
𝑖
 
𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠 q⃗ = [
𝑞1
𝑞2
…
𝑞𝑛𝑐
] ∈ ℝ𝑛𝑐 
2.1.2. Posição 
A matriz de constrangimentos cinemáticos é dada por: 
�⃗⃗⃗� 𝐾(𝑞 ) = [ Φ1
𝐾(𝒒), … ,Φ𝑛ℎ
𝐾 (𝒒)]𝑇 = �⃗⃗� 
 Se o tempo se mostrar explícito, a matriz de constrangimentos cinemáticos é escrita da 
seguinte forma: 
�⃗⃗⃗� 𝑘(𝑞 , 𝑡) = �⃗⃗� 
 Se os graus de liberdade forem independentes dos constrangimentos motores, a análise 
cinemática é dada por: 
�⃗⃗⃗� 𝐷(�⃗⃗� , 𝑡) = �⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� (�⃗⃗� , 𝑡) = [
𝚽𝐾(𝒒)
𝚽𝐷(𝒒, 𝑡)
] = �⃗⃗� 
2.1.3. Velocidade 
 
 Assumindo que a matriz Jacobiana é não singular e que a solução das equações 
cinemáticas para a posição é obtida numericamente. Diferenciando o sistema de equações dos 
constrangimentos em relação ao tempo, obtemos: 
�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇ = −�⃗⃗⃗� 𝒕 = �⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� �⃗� é o Jacobiano do sistema de equações dos constrangimentos dado por: 
∂�⃗⃗⃗� (�⃗⃗� , 𝑡)
∂�⃗⃗� 
= �⃗⃗⃗� �⃗⃗� = [
𝜕�⃗⃗⃗� 𝑖
𝜕�⃗⃗� 
] 
𝑞 ̇ é composto pelas componentes de velocidade das coordenadas gerais: 
𝑞 ̇ = [
�̇�1
�̇�2
…
�̇�𝑛𝑐
] ∈ ℝ𝑛𝑐 
�⃗⃗⃗� 𝒕 Contém as derivadas do sistema de equações dos constrangimentos em ordem ao tempo: 
−�⃗⃗⃗� 𝒕 =
∂2�⃗⃗⃗� (�⃗⃗� , 𝑡)
∂t2
= �⃗⃗� 
 Reordenando as equações da velocidade: 
𝑞 ̇ = �⃗⃗⃗� �⃗� 
−𝟏
(−�⃗⃗⃗� 𝒕) 
2.1.4. Aceleração 
 
 Após a obtenção das equações da velocidade através da diferenciação do sistema de 
equações de constrangimentos, diferenciam-se ambos os lados das equações da velocidade em 
função do tempo: 
�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̈ = −(�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇)�⃗� − 𝟐�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇ − �⃗⃗⃗� 𝒕𝒕 = �⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� �⃗� é o Jacobiano do sistema de equações dos constrangimentos dado por: 
 
7 
 
𝑞 ̈ = [
�̈�1
�̈�2
…
�̈�𝑛𝑐
] ∈ ℝ𝑛𝑐 
𝑞 ̈ é composto pelas componentes da aceleração das coordenadas gerais. 
�⃗⃗⃗� �⃗� 𝒕 contém as derivadas da matriz Jacobiana em ordem ao tempo: 
�⃗⃗⃗� �⃗� 𝒕 = [
∂2𝚽𝒊
∂𝐪𝒋 ∂𝐭
]
𝑛ℎ𝑥𝑛𝑐
= 0 
�⃗⃗⃗� 𝒕𝒕 representa as segundas derivadas do sistema de equações dos constrangimentos em ordem 
ao tempo: 
�⃗⃗⃗� 𝒕𝒕 = [
∂2𝚽𝒊
∂𝐭𝟐
]
𝑛ℎ𝑥1
= 0 
 O termo (�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇)�⃗� é o resultado da diferenciação em cadeia: 
(�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇)�⃗� = [∑
𝜕2Φ𝑖
𝜕𝑞𝑗𝜕𝑞𝑘
�̇�𝑘
𝑛𝑐
𝑘=1
]
𝑛𝑐𝑥𝑛𝑐
 
 Rearranjando as equações da aceleração obtém-se: 
𝑞 ̈ = �⃗⃗⃗� �⃗� 
−𝟏
[−(�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇)�⃗� 𝑞 ̇] 
 
3. Resolução do Problema 
O problema proposto considera um mecanismo a velocidade angular constate no eixo 
virabrequim. O sistema é composto por biela, pistão, virabrequim e bloco, onde se analisará o 
deslocamento, a velocidade e a aceleração do pistão durante um intervalo de tempo. Como pode 
ser observado na figura 1. 
 
Figura 1 Representação esquemática do modelo proposto 
 
Para assegurar a ligação entre os elementos, e o correto funcionamento do mecanismo é 
necessário utilizar três constrangimentos geométricos, sendo eles: 
 O ponto O1 do corpo 1 deve coincidir com a origem O, sendo então x1=y1=0; 
 O ponto O2 do corpo 2 desloca-se unicamente segundo o eixo de y, logo x2=0; 
 Os pontos P1 e P2 devem coincidir, igualando-se as equações de cada ponto em relação 
a cada corpo; 
𝑟𝑃1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [
𝑥1
𝑦1
] + [
𝑐𝑜𝑠𝜙1
𝑠𝑖𝑛𝜙1
 −𝑠𝑖𝑛𝜙1
 𝑐𝑜𝑠𝜙1
] [
𝐿1
0
] 
𝑟𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [
𝑥2
𝑦2
] + [
𝑐𝑜𝑠𝜙1
𝑠𝑖𝑛𝜙1−𝑠𝑖𝑛𝜙1
 𝑐𝑜𝑠𝜙1
] [
0
−𝐿2
] 
 𝑟𝑃1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [
𝑥1 + 𝐿1 × 𝑐𝑜𝑠𝜙1
𝑦1 + 𝐿1 × 𝑠𝑖𝑛𝜙1
] = [
𝑥2 + 𝐿2 × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝑦2 − 𝐿2 × 𝑐𝑜𝑠𝜙2
] = 𝑟𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 O valor de L1 e L2 são constantes ao longo do problema, sendo L1=34 [mm] e L2 =116 
(comprimento da biela) +37 (distância do ponto de ligação a te a face do pistão) [mm]. 
 Através da imposição destes constrangimentos, obtém-se um esquema do 
funcionamento de um pistão (Figura 2) 
 
9 
 
 
 
 
Uma vez realizada a imposição dos constrangimentos, será necessário efetuar o cálculo 
dos graus de liberdade: 
DOF=nc-nh=6-5=1 
 Para a resolução do sistema de equações é necessário impor uma condição de 
movimento. 
𝑞 1 = [
𝑥1
𝑦1
𝜙1
] 𝑞 2 = [
𝑥2
𝑦2
𝜙2
] 𝑞 =
[
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑦1
𝜙1
𝑥2
𝑦2
𝜙2]
 
 
 
 
 
 
 Matriz transformação 𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠 𝜙 −𝑠𝑖𝑛 𝜙
𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜙
] 
 Para o ponto 1 
𝑟𝑃1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [
𝑥1
𝑦1
] + [
𝑐𝑜𝑠 𝜙1 −𝑠𝑖𝑛 𝜙1
𝑠𝑖𝑛 𝜙1 𝑐𝑜𝑠 𝜙1
] [
𝐿1
0
] = [
𝑥1 + 𝐿1 × 𝑐𝑜𝑠𝜙1
𝑦1 + 𝐿1 × 𝑠𝑖𝑛𝜙1
] 
 Para o ponto 2 
𝑟𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [
𝑥2
𝑦2
] + [
𝑐𝑜𝑠 𝜙2 −𝑠𝑖𝑛 𝜙2
𝑠𝑖𝑛 𝜙2 𝑐𝑜𝑠 𝜙2
] [
0
−𝐿2
] = [
𝑥2 + 𝐿2 × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝑦2 − 𝐿2 × 𝑐𝑜𝑠𝜙2
] 
𝑟𝑃1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = [
𝑥1 + 𝐿1 × 𝑐𝑜𝑠𝜙1
𝑦1 + 𝐿1 × 𝑠𝑖𝑛𝜙1
] = [
𝑥2 + 𝐿2 × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝑦2 − 𝐿2 × 𝑐𝑜𝑠𝜙2
] = 𝑟𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Figura 2 - Representação esquemática dos componentes que compõem o mecanismo biela-
manivela com imposição dos constrangimentos geométricos necessários para o funcionamento 
do mecanismo. 
 Sendo a matriz dos constrangimentos cinemáticos a seguinte: 
�⃗⃗⃗� 𝑘(𝑞 , 𝑡) = �⃗⃗⃗� 𝑘
[
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑦1
𝜙1
𝑥2
𝑦2
𝜙2]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑥1 + 𝐿1 × 𝑐𝑜𝑠𝜙1 − 𝑥2 − 𝐿2 × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝑦1 + 𝐿1 × 𝑠𝑖𝑛𝜙1−𝑦2 + 𝐿2 × 𝑐𝑜𝑠𝜙2 ]
 
 
 
 
= 0⃗ 
 A matriz do constrangimento do motor em função do tempo é a seguinte: 
�⃗⃗⃗� 𝐷(𝑞 , 𝑡) = �⃗⃗⃗� 𝐷 [
𝑥1
𝑥2
𝜙1
𝑡
] = 𝜙1 − 𝜔𝑡 = 0⃗ 
�⃗⃗⃗� (𝑞 , 𝑡) = �⃗⃗⃗� 
[
 
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑦1
𝜙1
𝑥2
𝑦2
𝜙2
𝒕 ]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑥1 + 𝐿1 × 𝑐𝑜𝑠𝜙1 − 𝑥2 − 𝐿2 × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝑦1 + 𝐿1 × 𝑠𝑖𝑛𝜙1−𝑦2 + 𝐿2 × 𝑐𝑜𝑠𝜙2
𝜙1 − 𝜔𝑡 −
𝜋
2 ]
 
 
 
 
 
 
= 0⃗ 
 
 3.1. Cálculo da Velocidade 
 Derivada do vetor 𝑞 
𝑞 ̇ =
[
 
 
 
 
 
 
𝑥1̇
𝑦1̇
𝜙1̇
𝑥2̇
𝑦2̇
𝜙2̇]
 
 
 
 
 
 
 
 O cálculo da velocidade do ponto O2 é dado pela expressão apresentada: 
𝑞 ̇ = �⃗⃗⃗� 𝒒
−𝟏
(−�⃗⃗⃗� 𝒕) 
𝜈 = −�⃗⃗⃗� 𝒕 =
∂�⃗⃗⃗� (𝑞 , 𝑡)
∂t
=
[
 
 
 
 
 
0
0
0
0
0
𝜔]
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
�⃗⃗⃗� 𝒕 =
[
 
 
 
 
 
0
0
0
0
0
−𝜔]
 
 
 
 
 
 
 Calcula-se o Jacobiano da matriz �⃗⃗⃗� (𝑞 , 𝑡) de forma a determinar a posição O2 ao longo 
do tempo 
[
 
 
 
 
 
1
0
0
1
0
0
 0
 1
 0
 0
 1
 0
 
0
0
0
 −𝐿1 × 𝑠𝑖𝑛𝜙1(𝑡𝑖) 
𝐿1 × 𝑐𝑜𝑠𝜙1(𝑡𝑖)
1
 
0
0
1
 −1
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 −1
 0
0
0
0
 −𝐿2 × 𝑐𝑜𝑠𝜙2(𝑡𝑖)
 −𝐿2 × 𝑠𝑖𝑛𝜙2(𝑡𝑖)
0 ]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
�̇�1(𝑡𝑖)
�̇�1(𝑡𝑖)
�̇�1(𝑡𝑖)
�̇�2(𝑡𝑖)
�̇�2(𝑡𝑖)
�̇�2(𝑡𝑖)]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
0
0
0
0
0
𝜔]
 
 
 
 
 
 
 
 3.2. Cálculo da Aceleração 
 O cálculo da aceleração para o ponto O2 é dado pela seguinte expressão: 
𝑞 ̈ = �⃗⃗⃗� �⃗� 
−𝟏
[−(�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̇)�⃗� 𝑞 ̇] 
𝑞 ̈ =
[
 
 
 
 
 
 
𝑥1̈
𝑦1̈
𝜙1̈
𝑥2̈
𝑦2̈
𝜙2̈]
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗⃗� �⃗� 𝑞 ̈ = 
[
 
 
 
 
 
 
𝑥1̇
𝑦1̇
𝑥2̇
𝑥1̇ + 𝐿1 × 𝜙1̇ × 𝑠𝑖𝑛𝜙1 − 𝑥2̇ + 𝐿2 × 𝜙2̇ × 𝑐𝑜𝑠𝜙2
𝑦1̇ − 𝐿1 × 𝜙1̇ × 𝑐𝑜𝑠𝜙1 − 𝑦2̇ + 𝐿2 × 𝜙2̇ × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝜙1̇ ]
 
 
 
 
 
 
�⃗� 
= 
=
[
 
 
 
 
 0
0
0
0
0
0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 
0
0
0
 𝐿1 × 𝜙1̇ × 𝑐𝑜𝑠𝜙1 
 𝐿1 × 𝜙1̇ × 𝑠𝑖𝑛𝜙1
0
 
0
0
0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 0
0
0
0
 −𝐿2 × 𝜙2̇ × 𝑠𝑖𝑛𝜙2
 𝐿2 × 𝜙2̇ × 𝑐𝑜𝑠𝜙2
0 ]
 
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
 
 
�̇�1(𝑡𝑖)
�̇�1(𝑡𝑖)
�̇�1(𝑡𝑖)
�̇�2(𝑡𝑖)
�̇�2(𝑡𝑖)
�̇�2(𝑡𝑖)]
 
 
 
 
 
 
= 
=
[
 
 
 
 
 
 
0
0
0
𝐿1 × 𝜙1̇
2
× 𝑐𝑜𝑠𝜙1 − 𝐿2 × 𝜙2̇
2
× 𝑠𝑖𝑛𝜙2
𝐿1 × 𝜙1̇
2
× 𝑠𝑖𝑛𝜙1 + 𝐿2 × 𝜙2̇
2
× 𝑐𝑜𝑠𝜙2
0 ]
 
 
 
 
 
 
 
 Desta forma, obtém-se a matriz gama das acelerações. 
 
 
4. Resultados 
A análise cinemática do mecanismo foi feita com o auxílio de dois softwares distintos, o 
SolidWorks que se baseia em computação paramétrica, criando formas tridimensionais a partir 
de operações geométricas elementares. No ambiente do programa, a criação de um sólido ou 
superfície tipicamente começa com a definição de um sketch 2D que depois é transformado 
através de uma operação num modelo tridimensional. 
O MATLAB que é um sistema interativo cujo elemento básico de informação é uma matriz 
que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de muitos problemas 
numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria para escrever um programa 
semelhante em outras linguagens. Além disso, as soluções dos problemas são expressas quase 
exatamente como elas são escritas matematicamente. 
Em ambos os softwares é possível obter os valores de simulação do deslocamento, 
velocidades e acelerações de um ponto de referência. Utilizando como parâmetros a resolução 
de 100 frames por segundo no SolidWorks, uma velocidade de 60 RPM do virabrequim durante 
um período de um segundos em ambos os softwares. 
De acordo com o problema proposto foram realizadas três analises variando o comprimento 
da biela, onde a original apresenta uma distância entre centros de 116mm, e as duas demais 
uma com um acréscimo de +20% no tamanho (139.2mm) e outra com uma diminuição de -20% 
(92.8mm). 
4.1. Comparação dos resultados 
Após a exportação dos dados obtidos tanto do SolidWorks quanto do Matlab, utilizamos 
o software Excel para a geração dos gráficos para a comparação dos valores de deslocamento, 
aceleração e velocidade para cada pistão. Começamos por comparar o deslocamento. 
 
13 
 
 
Figura 3: Valores comparados dos deslocamentos obtidos, através do Solidworks e Matlab. 
 
 
 
 
Figura 4 - Valores comparados de velocidade obtidos, através do Solidworks e Matlab. 
0
50
100
150
200
250
0
0
,0
6
0
,1
2
0
,1
8
0
,2
4
0
,3
0
,3
6
0
,4
2
0
,4
8
0
,5
4
0
,6
0
,6
6
0
,7
2
0
,7
8
0
,8
4
0
,9
0
,9
6
1
,0
2
1
,0
8
1
,1
4
1
,2
1
,2
6
1
,3
2
1
,3
8
1
,4
4
1
,5
1
,5
6
1
,6
2
1
,6
8
1
,7
4
1
,8
1
,8
6
1
,9
2
1
,9
8
Delocamento
Matlab (166 mm) Matlab (116 mm + 20%) Matlab (116 mm - 20%) SolidWorks (116 mm)
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
0
0
,0
6
0
,1
2
0
,1
8
0
,2
4
0
,3
0
,3
6
0
,4
2
0
,4
8
0
,5
4
0
,6
0
,6
6
0
,7
2
0
,7
8
0
,8
4
0
,9
0
,9
6
1
,0
2
1
,0
8
1
,1
4
1
,2
1
,2
6
1
,3
2
1
,3
8
1
,4
4
1
,5
1
,5
6
1
,6
2
1
,6
8
1
,7
4
1
,8
1
,8
6
1
,9
2
1
,9
8
Velocidade
Matlab (116 mm) Matlab (116 mm+20%) Matlab (116 mm -20%) SolidWorks (116 mm)
 
Figura 5: Valores comparados de aceleração obtidos, através do Matlab e Solidworks. 
 
 
 
De acordo com os gráficos apresentados, pode-se observar que os valores obtidos os 
dados do solidworks e Matlab, ficaram muito próximos, mostrando assim que as análises 
realizadas nos dois softwares estão corretas. 
5. Referências 
[1] Mesquita, L. M., 2016. Projecto Integrado por Computador. Instituto Politécnico de 
Bragança. 
 
 
[2] https://www.converter-unidades.info/conversor-de-unidades.php?tipo=velocidade-
angula 
 
 
 
 
 
 
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0
0
,0
6
0
,1
2
0
,1
8
0
,2
4
0
,3
0
,3
6
0
,4
2
0
,4
8
0
,5
4
0
,6
0
,6
6
0
,7
2
0
,7
8
0
,8
4
0
,9
0
,9
6
1
,0
2
1
,0
8
1
,1
4
1
,2
1
,2
6
1
,3
2
1
,3
8
1
,4
4
1
,5
1
,5
6
1
,6
2
1
,6
8
1
,7
4
1
,8
1
,8
6
1
,9
2
1
,9
8
Aceleração 
Matlab (116 mm) Matlab (116 mm + 20%) Matlab (116 mm - 20%) SolidWorks (116 mm)
https://www.converter-unidades.info/conversor-de-unidades.php?tipo=velocidade-angula
https://www.converter-unidades.info/conversor-de-unidades.php?tipo=velocidade-angula