MecGeral-3

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MECÂNICA GERAL 
 
Capítulo III 
ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS 
 
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia 
UNIVERSIDADE DO MINHO 
J.C.Pimenta Claro 
e-version: 2007 (r.2/2012) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 1 
3.1 INTRODUÇÃO 
 Duas definições se impõem no início deste capítulo, a saber: 
 MECANISMO - conjunto de elementos que, interactuando, produzem um movimento específico. 
 CINEMÁTICA - estudo do movimento em si, não considerando as forças que o produzem; isto é, o 
estudo da posição, geometria, deslocamento, rotação, velocidade e aceleração num 
mecanismo. 
 
3.2 ALGUNS CONCEITOS DE ANÁLISE VECTORIAL 
3.2.1 Sistemas de Coordenadas 
 Os sistemas usualmente empregues na análise vectorial aplicada ao estudo da cinemática de mecanismos 
articulados são os de coordenadas cartezianas e de coordenadas polares, representados esquemáticamente 
nas Fig.2.1(a) e (b), respectivamente. 
 
 (a) (b) 
Fig.2.1 - Sistemas de coordenadas 
3.2.2 Notação vectorial 
 Usar-se-á, como norma, a seguinte notação: 
 letra maiúscula 
 - vector (magnitude + direcção + sentido) - ex.: R 
 - componente do vector, numa dada direcção - ex.: Rx 
 letra minúscula 
 - magnitude do vector (valor escalar) - r 
 - magnitude do vector, numa da direcção - rx 
 (pode, alternativamente, ser utilizada a forma rx) 
 - versores, nas direcçõs coordenadas - î , j , k 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 2 
 Por sua vez, um vector poderá ser representado e quantificado de diferentes formas. Assim, e para o 
exemplo da Fig.2.2, teremos: 
 R = Rx + Ry (em coordenadas.cartezianas) 
 = r   (em coordenadas polares) 
 r = rx î + ry j (em coordenadas cartezianas) 
 = rx + ry i (em coordenadas cartezianas e notação complexa) 
 = r  ei (em coordenadas polares e notação complexa) 
 
Fig.2.2 - Vector num espaço bidimensional 
 De notar que, geometricamente, 
 rx = r  cos  
 ry = r  sen  
 r = [ (rx)2 + (ry)2 ]½ 
  = arctan (ry/rx) 
 sendo de recordar que, 
 i =  -1 
 e i = cos   i sen  
3.2.3 Operações com Vectores 
3.2.3.1 Adição e subtracção 
 Graficamente, estão representadas na Fig.2.3 as duas operações, 
 
 (a) adição (b) subtracção 
Fig.2.3 - Operações com vectores 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 3 
que, em termos analíticos e coordenadas cartezianas, se traduzem por: 
 A + B = (ax + bx) î + (ay + by) j (2.1) 
 A - B = (ax - bx) î + (ay - by) j (2.2) 
3.2.3.2 Produto vectorial 
 Do mesmo modo, graficamente: 
Fig.2.4 - Produto vectorial 
ou então, em coordenadas cartezianas: 
 A  B = (a  b  sen ) k (2.3) 
 B  A = - (a  b  sen ) k (2.4) 
 
 No caso de um vector no espaço, 
 A  B = (ay  bz - az  by) î + 
 + (az  bx - ax  bz) j + 
 + (ax  by - ay  bx) k + 
 =  î j k  
  ax ay az  
  bx by bz  
 
 De notar ainda que do produto vectorial resulta um novo vector, com uma direcção diferente da dos 
outros dois. Em termos de versores dos eixos cartezianos, os resultados são os seguintes: 
 î  î = j  j = k  k = 0 
 î  j = -j  î = k 
 j  k = -k  j = î 
 k  î = - î  k = j 
A x B 
B 
 
 A k 
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3.2.3.3 Produto escalar 
 A  B = a  b  cos  (2.5) 
 No caso de um vector no espaço, e em coordenadas cartezianas, 
 A  B = (ax  bx) + (ay  by) + (az  bz) 
Nota 1: 
 No caso de, 
 A  B = 0  A = 0 ou B = 0 ou  = 90o 
Nota 2: 
 Do produto escalar dos versores dos eixos cartezianos resulta, 
 î  î = j  j = k  k = 1 
 î  j = j  î = j  k = k  j = î  k = k  î = 0 
Nota 3: 
 Sendo que, 
 R  î = rx R  j = ry R  k = rz 
 para o ponto (P) da Fig.2.5, 
Fig.2.5 - Versor segundo um ponto 
 
 vem que: 
 P px î + py j px py 
 p =  =  =  î +  j (2.6) 
 p [(px)2+(py)2]½ [(px)2+(py)2]½ [(px)2+(py)2]½ 
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Nota 4: 
 No caso do produto: 
 C  (A  B) = cx î + cy j + cz k   î j k  
  ax ay az  
  bx by bz  
 = (cx  ay  bz) - (cx  by  az) + (cy  az  bx) - 
 - (cy  ax  bz) - (cz  by  ax) + (cz  ay  bx) (2.7) 
Nota 5: 
 Duas operações entre vectores são possíveis, utilizando a notação complexa: 
 A x B = (a  eiA) x (b  eiB) 
 = a  b  (cos ( + B) + i sen (A + B) (2.8) 
 A / B = (a  eiA) / (b  eiB) 
 = a / b  (cos (A + B) + i sen (A + B) (2.9) 
 sendo de notar, contudo, que estes resultados não têm qualquer representação vectorial. 
3.2.4 Rotação de Eixos no Plano 
 Por vezes torna-se necessário proceder a uma rotação dos eixos coordenados, criando um novo sistema 
de eixos. 
 A Fig.2.6 ilustra o caso de um vector R, 
Fig.2.6 - Rotação de eixos 
cuja notação em coordenadas polares, relativamente aos eixos originais (x, y) é, 
 R = r   
e que, relativamente aos eixos (x’, y’) rodados de um ângulo () em relação aos primeiros, toma a forma, 
 R = r  ( - ) (2.10) 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 6 
 De notar que esta técnica pode ser particularmente útil no caso de se pretender determinar a magnitude 
dos componentes coordenados de um vector, conhecida a sua direcção, pois desde que se proceda a uma 
rotação de valor () igual a (), então virá, 
 R = r, ou seja rx’ = r e ry’ = 0 
3.2.5 Equações Vectoriais 
 Considerando a seguinte equação vectorial, 
 A + B + C = S 
no espaço, temos então, 
 (ax + bx + cx) î + (ay + by + cy) j + (az + bz + cz) k = sx î + sy j + sz k 
que, por sua vez, dá origem ao sistema de equações: 
  ax + bx + cx = sx 
  ay + by + cy = sy 
  az + bz + cz = sz 
passível de ser resolvido para determinação de até três incógnitas, entre magnitudes e direcções dos vectores 
envolvidos. 
 Como é evidente, para vectores no plano, e apenas duas coordenadas, o problema simplifica-se para, 
 A + B = S 
em que três casos são possíveis: 
 a) magnitudes de A e de B desconhecidas 
 b) magnitude de A e direcção de B desconhecidas 
 c) direcção de A e de B desconhecidas 
qualquer deles facilmente resolúvel graficamente, como se mostra na Fig.2.7. 
 (a) (b) 
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 (c) 
Fig.2.7 - Resolução gráfica 
3.2.6 Solução Analítica de Equações Vectoriais 
 Dos três casos da alínea anterior: 
a) conhecidos (sx), (sy), (A) e (B), 
 pretendendo-se determinar as magnitudes de (A) e de (B), pode construir-se o sistema: 
 ax + bx = -sx 
 ay + by = -sy 
 ay = ax  tan A 
 by = bx  tan B 
donde, por exemplo, 
 sy - sx  tan B 
 ax =  
 tan B - tan A 
e da mesma forma se determinariam as restantes incógnitas (ay), (bx) e (by), vindo finalmente: 
 a = [ (ax)2 + (ay)2 ]½ 
 b = [ (bx)2 + (by)2 ]½ 
 
Nota: caso (A) ou (B) seja igual a 90
o, a equação acima é indeterminada mas, nesse caso, 
ou (ax) ou (bx) tem valor nulo, pelo que a solução se torna trivial. 
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b) conhecidos (sx), (sy), (A) e (b), 
 pretendendo-se determinar a magnitude de (A) e a direcção (B), vem que: 
 ax + bx = -sx 
 ay + by = -sy 
 ay = ax  tan A 
 (by)2 = b - (bx)2 
donde se torna possível a determinação de (ax), (ay), (bx) e (by) e finalmente, a partir destes, os valores de 
(a) e (B). 
c) conhecidos (sx), (sy), (a) e (b) 
pretendendo-se determinar (A) e (B), torna-se útil recorrer a um sistema de eixos auxiliar (x’, y’) em que 
(x’) tenha a direcção de (S), pelo que este vector passará a ter, no novo sistema de eixos, as 
cooredenadas: 
 sx’ = s, sy’ = 0 
o que se consegue colocando o novo sistema de eixos rodado de (S) em relação ao sistema original: 
 
Fig.2.8 - Sistemasde eixos 
sendo então possível escrever, 
 s + ax’ + bx’ = 0 
 ay’ + by’ = 0 
 (ax’)2 + (ay’)2 = a2 
 (bx’)2 + (by’)2 = b2 
e donde se retiram os valores de (ax’), (ay’), (bx’) e (ay’) e portanto, utilizando uma notação em 
coordenadas polares, 
 A = a  A e B = b  B 
se pode retornar as sistema de eixos original (x, y), calculando: 
 A = a  (A+S) e B = b  (B+S) 
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3.2.7 ‘Solução de Chace’ para Equações Vectoriais 
(não se pretendendo, aqui, explanar quaisquer conceitos ou princípios inerentes à chamada ‘Solução de Chace’, 
listar-se-ão apenas os resultados dela decorrentes que têm directa aplicação ao s ubsequente estudo de mecanismos) 
 Supondo um qualquer mecanismo em que, após o cálculo de todas as soluções triviais, se chega a uma 
realidade traduzida pela seguinte equação vectorial, 
 A + B + S = 0 
em que (S) é um vector do qual se conhece a magnitude (s) e a direcção (s, isto é S), e sendo também 
conhecidas duas características dos vectores (A) e (B) - sejam as magnitudes (a e b), as direcções (a e b, 
isto é A e B) ou uma magnitude e uma direção - a questão reside na determinação das restantes duas 
características destes vectores. 
 Da ‘Solução de Chace’, aplicada a cada um dos casos apresentados nas alíneas anteriores, obtêm-se os 
seguintes resultados, 
a) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos: 
 s  (b  k) 
 A = -  a (2.11) 
 b  (a  k) 
 s  (a  k) 
 B = -  b (2.12) 
 a  (b  k) 
b) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos: 
 A =  - s  a – [ b2 - s  (a  k)2 ]½   a (2.13) 
 b = cos  (a  k) + sen  a (2.14) 
 sendo cos  = b  (a  k) 
c) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos: 
  b2 - a2 + s2 2 b2 - a2 + s2   ½ 
 A =  b2 -   (s  k) +  - s  s  (2.15) 
   2 S   2 S   
  b2 - a2 + s2 2 b2 - a2 + s2   ½ 
 B = +  b2 -   (s  k) +  - s  s  (2.16) 
   2 S   2 S   
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 10 
3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 
3.3.1 Revisão de Conceitos 
POSIÇÃO - definida pelas respectivas coordenadas 
 - exemplo: x, y, z 
DESLOCAMENTO - definido pelas coordenadas, em função do tempo 
 - exemplo: x(t), y (t), z(t) 
TRANSLAÇÃO - quando cada ponto de um corpo rígido tem exactamente o mesmo movimento 
de todos os outros pontos que compõem o dito corpo 
 TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA - quando o movimento é executado segundo uma linha recta 
 - exemplo: Fig.2.9, barra 6 
 TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA - quando o movimento é executado segundo uma linha curva 
 - exemplo: Fig.2.9, barra 3 
ROTAÇÃO - quando existe uma linha recta tal que qualquer ponto de um corpo rígido que seja com ela 
coincidente tem velocidade nula; esta linha designa-se por eixo de rotação 
 - exemplo: Fig.2.9, barras 2 e 4 
MOVIMENTO PLANO - quando a trajectória dos pontos que compõem um corpo rígido descrevem 
trajectórias que se inscrevem num mesmo plano 
 - exemplo: Fig.2.9, barra 5 
GRAUS DE LIBERDADE - quantificação do tipo de movimentos que um corpo ou mecanismo; 
 o número de graus de liberdade de um mecanismo pode, assim, ser definido 
como o número de coordenadas necessárias para especificar completamente 
a posição de todos os seus componentes 
 - exemplo: 
 ponto no espaço  3 coordenadas (translação, segundo x, y e z) 
 " no plano  2 " (translação, segundo x, y) 
 " em rotação  1 " (eixo de rotação) 
 " em translação  1 " (eixo de direcção) 
 corpo no espaço  6 coordenadas (translação e rotação, segundo x, y e z) 
 " no plano  3 " (translação segundo x e y, rotação em z) 
 
 
Fig.2.9 - Tipos de deslocamento, no plano 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 11 
3.3.2 Deslocamento Absoluto 
2.3.2.1 de um ponto 
 Para um ponto (R), o deslocamento pode ser definido pela variação do seu vector-posição de (R1) para 
(R2) - Fig.2.10, 
 
Fig.2.10 - Deslocamento de um ponto, no plano 
 
o que, em notação vectorial, se traduz por: 
 R2 = R1 + R ou seja R = R2 - R1 
3.3.2.2 de um corpo rígido 
 Considerando, como corpo rígido, a recta PQ - Fig.2.11, 
 
Fig.2.11 - Deslocamento de um corpo, no plano 
 
o deslocamento no plano pode ser considerado como de translação de cada um dos pontos (P) e (Q) ou 
como de translação de um dos pontos (P ou Q) e rotação () do conjunto, mas nunca das três 
simultâneamente uma vez que, para um corpo rígido, são variáveis dependentes. 
 Assim, em notação vectorial: 
 Q = Q2 - Q1 (translação) 
 P = P2 - P1 (translação) 
  = 2 - 1 (rotação) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 12 
3.3.3 Posição e Deslocamento Relativos de um Ponto 
3.3.3.1 Posição relativa 
 A posição do ponto (B), relativamente a um outro ponto (A) - Fig.2.12, 
 
Fig.2.12 - Posição relativa 
define-se como: 
 RB = RA + RBA ou seja RBA = RB - RA 
3.3.3.2 Deslocamento relativo de translação 
 Supondo que os pontos (A) e (B), pertencendo a um mesmo corpo rígido, sofrem uma translação de 
(RA) e (RB), respectivamente - Fig.2.13, 
 
Fig.2.13 - Translação relativa 
então, sendo o corpo rígido, por definição: 
 RA = RB e também RB1A = RB2A 
pelo que: 
 RBA = 0 
ou, seja, a variação de posição de (B) relativamente a (A) é nula, o que é de esperar que aconteça se ambos 
pertencerem a um corpo rígido. 
Nota: mesmo assim, a equação, 
 RB = RA + RBA 
 é válida, embora neste caso se simplifique, por anulação do termo (RBA). 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 13 
3.3.3.3 Deslocamento relativo de rotação 
 Partindo dos mesmos pressupostos da alínea anterior, supondo agora uma rotação em torno de (A) - 
Fig.2.14, 
 
Fig.2.14 - Rotação relativa 
para um corpo rígido: 
 rB2A = rB1A 
mas, 
 RB = RB2A - RB1A = RBA 
Nota: também neste caso a equação, 
 RB = RA + RBA 
 é válida, embora seja nulo o termo (RA). 
3.3.3.4 Deslocamento relativo de translação e rotação 
 Supondo uma translação A1A2 e B1B2 seguida de uma rotação B2B3, como ilustrado na 
Fig.2.15, 
Fig.2.15 - Translação e rotação relativa 
então, 
 RB = RA + RBA 
 em que: 
 RA - componente de translação 
 RBA - componente de rotação 
A1 B1 
B2 
B3 
RA 
RB1B2 = RA 
RB2B3 = RBA 
RB 
y 
x 
 
A2 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 14 
3.3.4 Posição e Deslocamento num Mecanismo 
3.3.4.1 Métodos analíticos 
 a) análise geométrica 
Para o sistema biela-manivela da Fig.2.16, supondo: 
 - conhecidos: r1, r2, r3 
 - dado: 2 
 - pretendendo-se: ax, ay, bx 
 
Fig.2.16 - Sistema biela-manivela 
temos que: 
 ax = r2  cos 2 
 ay = r2  sen 2 
ou então, e como a terceira incógnita (bx) é, geometricamente, o máximo valor de intercepção de um 
círculo de raio (r3) e centro (a
x, ay) com o eixo (xx), vem: 
 r2  sen 2 = r3  sen 3 
donde, 
 sen 3 = r2/r3  sen 2 
pelo que: 
 bx = r2  cos 2 - r3  cos 3 
 Uma vez que: 
 cos 3 =  [ 1 - sen
2 3 ]
½ 
 = - (1/r3)  [ r3
2 - r2
2  sen2 2 ]
½ 
vem, finalmente: 
 bx = r2 cos 2 + [ r3
2 - r2
2  sen2 2 ]
½ 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 15 
 b) análise vectorial 
Considerando o mecanismo de quatro barras da Fig.2.17, do tipo manivela-barra oscilante, e supondo: 
 - conhecidos: r1, r2, r3, r4 
 - dado: 2 
 - pretendendo-se: 3, 4 
 
Nota: trata-se de um problema de adição de três vectores, análogo ao exposto na alínea (c) do ponto 
2.2.6, e que pode ser resolvido através da 'Solução de Chace'. 
 
Fig.2.17 - Mecanismo de quatro barras 
 Assim, tomando: 
 R = R1 + R2 
vem que, 
 R + R3 = -R4  R + R3 + R4 = 0 
ou seja, 
 R + r3 r3 + r4 r4 = 0 
 A esteproblema correspondendo a solução: 
   r3
2 - r4
2 + R2 2  r3
2 - r4
2 + R2   ½ 
 r3 = +  r3
2 -   (r  k) -   r  
   2 R   2 R   
 
   r3
2 - r4
2 + R2 2  r3
2 - r4
2 + R2   ½ 
 r4 = –  r3
2 -   (r  k) +   r  
   2 R   2 R   
 
valores a partir dos quais é possível calcular (3) e (4). 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 16 
 c) análise vectorial, utilizando notação complexa 
Tendo o mecanismo de corrediça da Fig.2.18, e supondo: 
 - conhecidos: r1, r2 (e também 1) 
 - dado: 2 
 - pretendendo-se: r4, 4 
 
Fig.2.18 - Mecanismo de corrediça 
virá, em notação vectorial, 
 R1 + R2 = R4  R1 + R2 - R4 = 0 
 Considerando que, 
 R = r  e i 
então: 
 r1  e 
i1 + r2  e 
i2 - r4  e 
i4 = 0 
e ainda, como: 
 r  e i = r  (cos  + i sen ) 
logo: 
 r1  (cos 1 + i sen 1) + r2  (cos 2 + i sen 2) - r4  (cos 4 + i sen 4) = 0 
 Separando as componentes real e imaginária: 
  r1  cos 1 + r2  cos 2 - r4  cos 4 = 0 
  
  r1  sen 1 + r2  sen 2 - r4  sen 4 = 0 
e sendo que, neste caso, 
 1 = 180
o  cos 1 = -1 e sen 1 = 0 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 17 
vem, finalmente: 
 r2  cos 2 - r1 
 r4 =  
  r2  sen 2  
 cos arc tan   
  r2  cos 2 - r1  
 
  r2  sen 2  
 4 = arc tan   
  r2  cos 2 - r1  
 
3.3.4.2 Método gráfico 
 Consiste na representação do mecanismo na posição, ou posições, de maior interesse para a sua análise. 
A sua aplicação prática torna-se mais evidente na determinação (gráfica) de velocidades, pelo que será 
abordada no ponto seguinte. 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 18 
3.4 VELOCIDADE 
3.4.1 Velocidade Linear 
 Na Fig.2.19 podemos observar a trajectória de um ponto. 
 
Figura 2.19 - Trajectória de um ponto 
 Se R1 e R2 forem duas posições do mesmo, o deslocamento entre eles pode ser representado por 
 r = r2 - r1 
em que r1 e r2 são os vectores posição que definem a localização do ponto, no começo e no fim do 
intervalo de tempo considerado. A velocidade média do ponto, durante o intervalo de tempo (t), é (r/t). 
A velocidade instantânea, ou simplesmente a velocidade, é o limite desta razão, ou seja: 
 . 
 v = limt0 (r/t) = (dr/dt) = r 
 A velocidade do ponto, movendo-se ao longo da sua trajectória, pode ser ilustrada de uma outra maneira. 
Na Fig.2.20 o ponto (P) descreve a trajectória [AB]. 
 
Figura 2.20 - Trajectória de um ponto 
 Consideremos um sistema de eixos [, , ] em (P), e tal que  seja tangente à trajectória,  normal a 
esta e  seja dado por: 
  =  x  
 Definindo (s) como o arco (em valor, escalar) desde (P) a (Q) e (r) como a corda correspondente, 
então o limite de (r/s), quando (s) tende para zero, é igual à unidade. Assim, 
 v = lims0 (r/s) = (dr/ds) =  
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 19 
 Como (r) e (s) são funções do tempo, no intervalo (t) entre (P) e (Q) temos que: 
 v = limt0 (r/s)(s/t) = (dr/ds)(ds/dt) 
 Então, a velocidade em relação ao sistema de eixos [, , ], será dada por: 
 . 
 v = ds/dt  = s  
em que (s) é a velocidade de (P) ao longo da trajectória e  é o vector unitário tangente a essa trajectória. 
Resulta daqui que o vector velocidade é sempre tangente à trajectória. Se, 
 r = x i + y j + z k 
então a velocidade, em coordenadas rectangulares será: 
 . . . 
 v = x i + y j + z k 
3.4.2 Velocidade Angular 
 Na Fig.2.21 está representado um corpo rígido, rodando em torno do eixo [OA]. Então, todos os pontos 
do corpo, tal como o ponto (P), movem-se em trajectórias em torno de [OA]. 
 
Figura 2.21 - Velocidade angular 
 A velocidade angular do corpo é dada pelo vector , com a direcção de [OA] e o sentido dado pelas 
usuais regras do 'saca-rolhas' ou da ‘mão direita’. Designando o deslocamento angular de qualquer linha 
normal ao eixo de rotação por ( ) e o intervalo de tempo correspondente por (t), então a grandeza do 
vector velocidade angular será, 
 . 
  = limt0 [()/(t)] = (d)/(dt) =  
 Supondo que o eixo de rotação [OA] é fixo, o vector r define a posição de um ponto (P), fixo ao corpo. 
Considerando o vector resultante do produto  x r, o seu módulo será (rsen  ) em que ( ) é o ângulo 
entre  e r, sendo tangente à trajectória de (P). Então, 
 . 
 r = v =  x r 
ou seja, a velocidade de um ponto, pertencente a um corpo rígido, rodando em torno de um eixo fixo. 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 20 
3.4.3 Velocidade de um Ponto num Sistema Referencial Móvel 
 Ao analisar os movimentos dos vários elementos dos mecaninmos, muitas vezes surge o problema de 
descrever o movimento de um ponto que se move relativamente a um outro sistema móvel. 
 Tomando um sistema de eixos coordenados [Xo, Yo, Zo], com origem no ponto (O), e um outro sistema 
[X, Y, Z], com origem no ponto (Q) e móvel relativamente ao primeiro, considere-se um ponto (P) que segue 
uma dada trajectória fixa no sistema [X, Y, Z] - Fig.2.22. 
 
Figura 2.22 - Referencial móvel 
 Num dado instante, a posição do ponto (P), referida ao sistema fixo [Xo, Yo, Zo], será dada pelo vector 
Do. Este pode decompor-se em: 
 Do = DQ + D 
 Por outro lado, D pode escrever-se na forma: 
 D = x i + y j + z k 
e, como as coordenadas x, y, z do ponto (P) e os versores do sistema de eixos i, j, k são funções do 
tempo - uma vez que mudam de direcção devido ao efeito de rotação do sistema [X, Y, Z] - então a 
derivada da equação em ordem ao tempo vem como: 
 D' = (x i + y j + z k) + (x' i + y' j + z' k) (2.17) 
em que o segundo membro do lado direito da equação representa a velocidade do ponto (P), relativamente 
ao sistema móvel [X, Y, Z] e se designa por velocidade relativa. 
 O primeiro membro do lado direito da equação, que traduz as derivadas dos versores do sistema [X, Y, 
Z], podem ser analisados com mais pormenor. Assim, consideremos um sistema de eixos auxiliar [X', Y', Z'], 
yo 
zo 
x
o 
z’ 
x’ 
y’ 
y dt 
z dt 
x dt 
x 
y 
z 
DO 
DQ 
 
D 
O 
Q 
P  S 
di 
z dt j 
y dt k 
 
i (t=0) 
i+di (t=dt) 
j 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 21 
com origem no ponto (Q), e cujos eixos não sofrem qualquer rotação em relação a [Xo, Yo, Zo] mas apenas 
translação. 
 Admitindo que o sistema [X, Y, Z] está animado de uma velocidade de rotação , podemos observar o 
comportamento do versor i, desde o instante (t=0), em que i coincide com X', até ao instante (t=dt). 
 Então, o versor i, desde (t=0) até ao instante (t=dt), sofre um acréscimo (di) que pode ser expresso 
por: 
 di = z dt j - y dt k 
 Efectivamente, (di) é igual à soma de dois efeitos: 
- (z dt), segundo o eixo dos YY, com sentido positivo, devido à rotação de i em torno do eixo 
dos ZZ; 
- (y dt), segundo o eixo dos ZZ, em sentido negativo, devido à rotação de i em torno do eixo 
dos YY. 
 A rotação em torno do eixo dos XX, ou seja (x dt), não influi em (di) pelo que não foi considerada. 
 Seguindo o mesmo raciocínio, para (dj) e (dk) teremos: 
 dj = x dt k - z dt i 
 dk = y dt i - x dt j 
 Dividindo ambos os membros por (dt), virá: 
 i = z j - y k 
 j = x k - z i 
 k = y i - x j 
 Substituindo estes valores na expressão (2.17) verifica-se que o primeiro membro do lado direito se pode 
traduzir no determinante: 
  i j k  =   D 
  x y z  
  x y z  
que traduz a velocidade absoluta de um ponto (S), momentaneamente coincidente com (P), mas pertencente 
ao sistema móvel [X, Y, Z]. 
 Então, a equação da velocidade do ponto (P) pode, por derivação da equação, 
 Do = DQ + D 
tomara forma: 
 Vo = VQ +   D + V (2.18) 
em que: 
 Vo - velocidade absoluta de P 
 VQ +   D - velocidade de transporte 
 V - velocidade relativa de P, em relação ao sistema móvel (= VP/S) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 22 
 Uma aplicação do exposto pode ser vista, analisando o mecanismo da Fig.2.23. 
 
Figura 2.23 - Exemplo de aplicação 
 Tomando como sistema fixo [x, y] e para sistema móvel [x', y'], com origem em (A), seja (B3) o ponto 
(B) pertencente à ligação 3 e (B4) esse mesmo ponto, quanto pertencente considerado como pertencente à 
ligação 4. Supondo que (2) é conhecido, a questão é determinar (4). Assim, torna-se necessário conhecer 
a velocidade de um ponto pertencente à ligação 4, por exemplo (B4). 
 Numa analogia com o exposto anteriormente, aqui o ponto (A) será equivalente ao ponto (Q), assim como 
(B3) a (S) - solidário com o sistema móvel - e (B4) a (P). 
 Logo, Vo é VB4, VQ é VA e   D é VB3/A - velocidade do ponto (B3) em relação a (A) - pelo 
que a expressão da velocidade de (B4) virá como, 
 VB4 = VA + VB3/A + VB4/B3 
Notas: 
- a forma de determinação destas velocidades será abordado mais adiante; 
- de referir também que, nesta disciplina, serão abordados apenas os casos de mecanismos planares, 
que constituem a maioria das aplicações práticas. 
3.4.4 Velocidade de um Corpo Rígido 
 Considerando um corpo rígido animado de um movimento misto de rotação  e de translação que, para 
o ponto (A), tem o valor (VA) - Fig.2.24, 
 
Figura 2.24 - Corpo animado de movimento misto 
a posição de um outro ponto qualquer (B), pertencente ao corpo, é definida pela equação: 
 rB = rA + rB/A 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 23 
sendo a sua velocidade de 
 VB = VA + VB/A 
 Sendo a velocidade (VA) conhecida, (VB/A) é a velocidade de (B) em relação a (A), isto é, a velocidade 
de (B) num sistema de referência que tenha (A) como origem, ou seja: 
 VB/A =   rB/A 
donde, 
 VB = VA +   rB/A = VA + VB/A (2.19) 
 Comparando esta expressão com (2.18) verifica-se ser a primeira um caso particular da segunda, em que 
o ponto em estudo não tem velocidade relativamente ao sistema móvel, uma vez que pertence ao mesmo 
corpo rígido. 
 Da equação (2.19) também se pode concluir que a velocidade relativa de dois pontos quaisquer de um 
corpo rígido é dada pela diferença entre as velocidades absolutas dos mesmos, ou seja: 
 VB/A = VB - VA 
 Um outro exemplo encontra-se esquematizado na Fig.2.25. 
 Pretendendo conhecer a velocidade do ponto (C), conhecida a velocidade do ponto (B), e uma vez que 
(B) e (C) pertencem ao mesmo corpo rígido, então: 
 VC = VB + VC/B 
e, mais uma vez, não existe o último termo da equação (2.18) dado o ponto (C) ser solidário com o sistema 
móvel [x, y]. 
 
Figura 2.25 - Sistema biela-manivela 
3.4.5 Eixos e Centros Instantâneos de Rotação 
 Quando um corpo roda no espaço, relativamente a outro corpo, pode considerar-se a existência de um 
eixo comum de rotação, cuja posição em relação aos dois pontos pode, ou não, variar a cada instante. 
 Estes eixos designam-se por eixos instantâneos de rotação. Para movimentos no plano, os eixos 
instantâneos são sempre perpendiculares ao plano do movimento e interceptam os corpos em pontos que se 
designam por centros instantâneos de rotação. 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 24 
3.4.5.1 Propriedades 
TEOREMA 
A velocidade de um ponto de um corpo rígido, relativamente a outro ponto do mesmo corpo, 
tem uma direcção prependicular ao segmento de recta que une os dois pontos considerados. 
 
 Para demonstrar este teorema, pode utilizar-se o método da redução ao absurdo, provando que a 
velocidade relativa de dois pontos de um corpo rígido não pode ter componente segundo o segmento que os 
une. 
 Assim, na Fig.2.26.a) representa-se um corpo rígido em que se consideram dois pontos, (A) e (B). 
 
 a) b) c) 
Figura 2.26 - Corpo rígido 
 Supondo que a velocidade de (A) em relação a (B), ou seja (VA/B), é tal como representada na 
Fig.2.26.b), então pode ser feita a sua decomposição em direcções perpendiculares. Tendo um dos 
componentes a direcção AB, isto equivaleria a que os dois pontos se estariam a aproximar (ou afastar) o 
que é contrário à noção de corpo rígido. Assim, a direcção de (VA/B) não pode ter componente segundo 
AB, ou seja, será apenas e só segundo a perpendicular a AB - Fig.2.26c). 
 Considerando agora dois corpos, 1 e 2, sendo o corpo 2 fixo e movendo-se o corpo 1 no plano, 
relativamente ao corpo 2 - Fig.2.27 . 
 
 
 
Figura 2.27 - Corpos com movimento relativo 
 Dois pontos, (A) e (B), pertencentes ao corpo 1 têm velocidades (VA) e (VB), respectivamente. 
Considerando os segmentos [op] e [qr], que passam pela origem dos vectores e são normais às respectivas 
linhas de acção, então todos os pontos de [op] têm velocidades, relativamente a 2, perpendiculares a [op], o 
mesmo acontecendo ao ponto I de intercepção das duas rectas. 
A 
B 
A 
B 
VA/B 
A 
B 
VA/B 
A 
B 
VA 
I 
VB 
o 
p 
q 
r 
2 
1 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 25 
 Do mesmo modo, todos os pontos de [qr] terão velocidades, relativamente a 2, perpendiculares a [qr] e, 
igualmente para o ponto (I). 
 Como (VA) e (VB) são velocidades absolutas, dado que o corpo 2 é fixo, o ponto (I) teria uma velocidade 
absoluta segundo duas direcções diferentes, o que não é possível. 
 Assim, a velocidade do ponto (I) só pode ser nula, ou seja, será o ponto do corpo 2 em torno do qual 
roda o corpo 1 - isto é, por definição, o centro instantâneo de rotação dos dois corpos, sendo válido apenas 
no instante considerado. 
 A análise seria semelhante no caso de nenhum dos corpos ser fixo. Neste caso, no entanto, o centro 
instantâneo não seria fixo no plano mas continuaria a ser o ponto em torno do qual ambos os corpos não 
teriam movimento relativo. 
 Assim, pode concluir-se que: 
- centro instantâneo de rotação é um ponto em torno do qual roda uma ligação; 
- um centro instantâneo de rotação tem a mesma velocidade quer se considere como pertencente a uma 
ou outra ligação; 
- o conhecimento da posição do centro instantâneo de rotação permite o cálculo directo da velocidade 
de qualquer ponto da ligação; 
- inversamente, conhecidas as velocidades de dois pontos quaisquer, (A) e (B), de um corpo, a posição 
do ponto (I) é determinada pela intersepção das normais aos vectores velocidade desses mesmos 
pontos. 
 O número (i) de centros instantâneos de rotação de um mecanismo determina-se combinando as ligações 
do mecanismo, duas a duas. Assim, sendo (n) o número de ligações, vem que: 
 i = n(n-1)/2 
 A determinação da posição dos centros instantâneos de rotação pode ser feita por simples inspecção ou 
utilizando os Teoremas dos Três Centros e da Normal Comum. 
 
 Na Fig.2.28 encontram-se alguns exemplos de determinação por inspecção directa. 
 
Figura 2.28 - Determinação por inspecção directa 
O10 
1 
2 
3 O23 
1 
O10 
1 
O10 
= 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 26 
TEOREMA DOS TRÊS CENTROS 
Quando três ligações têm movimento relativo, existem três centros intantâneos de rotação, 
situados sobre a mesma linha recta. 
 
 Considerando as três ligações representadas na Fig.2.29, 
 
Figura 2.29 - Teorema dos três centros 
a demonstração pode ser feita por redução ao absurdo. 
 Por simples inspecção, podem ser determinados os centros (O10) e (O20), ficando por determinar o centro 
(O12). 
 Supondo que (O12) se situa no ponto (P), então (VP1) e (VP2) serão as velocidades do ponto (P), quando 
considerado como pertencente aos corpos 1 e 2, respectivamente. No entanto, e por definição, estas 
velocidades têm de ser iguais. 
 Assim, o centro (O12) só poderá situar-se na linha [O10O20]. 
 
TEOREMA DA NORMAL COMUM 
O centro instantâneode rotação de duas ligações, em contacto directo segundo um ponto, 
situa-se na normal comum aos dois corpos, no ponto de contacto. 
 
 Com este teorema e com o anterior, torna-se possível localizar o centro instantâneo de rotação (O12), 
como mostra a Fig.2.30. 
 
Figura 2.30 - Determinação do centro (O12) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 27 
3.4.5.2 Exemplos de determinação 
a) No caso do mecanismo de quatro barras da Fig.2.31, 
 
Figura 2.31 - Mecanismo de quatro barras 
 de acordo com a expressão vista atrás, o número de centros instantâneos de rotação será dado por, 
 i = 4 x (4-1)/2 = (4 x 3)/2 = 12/2 = 6 
 Por inspecção directa podem ser determinados os centros (O21), (O23), (O34) e (O41), já assinalados na 
Figura faltando, assim, os centros (O24) e (O31). 
 Recorrendo ao Teorema dos Três Centros, pode concluir-se que (O21), (O32) e (O31) ficarão sobre uma 
mesma linha recta, o mesmo sendo válido para o conjunto (O31), (O34) e (O41). Assim, o centro (O31) será 
determinado pela intersepção das linhas O21O32 e O41O34 e raciocinio análogo permite estabelecer o 
centro (O24) na intersepção de O23O34 com O21O41. 
 
b) Para um sistema came-seguidor, como o representado na Fig.2.32, considerando a existência de três 
ligações (além do fixe 1, teremos a came 2 e o seguidor 3) teremos, 
 i = 3 x (3-1)/2 = (3 x 2)/2 = 6/2 = 3 
 A inspecção directa fornece a localização do centro (O21) de rotação da came. Também se torna evidente 
que, tendo o seguidor 3 um movimento de translação linear, o centro (O31) estará a uma distância infinita, 
segundo a perpendicular à direcção do movimento. 
 
 
Figura 2.32 - Sistema came-seguidor 
 Para a determinação do restante centro (O23), o Teorema dos Três Centros localiza-o na linha O21O31, 
ou seja na horizontal que passa por (O21). Por sua vez, pelo Teorema da Normal Comum, (O23) deverá 
estar localizado na normal ao ponto de contacto, neste caso representado por uma linha vertical. A 
intersepção destas duas linhas determina assim a sua posição. 
O 2
1 O 2
3 
O 31 = 
 
2 
3 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 28 
3.4.6 Métodos Gráficos de Determinação da Velocidade 
 Os métodos gráficos, sendo expeditos e suficientemente rigorosos para a maior parte das aplicações, têm 
o defeito de serem válidos única e exclusivamente para a geometria e posição em que são traçados. 
 A sua utilidade resume-se, assim, ao estudo de casos pontuais, sendo excessivamente trabalhosos na 
análise completa do movimento de mecanismos. 
3.4.6.1 Polígno de velocidades 
 Baseando-se nas Equações do Deslocamento e da Velocidade, já abordadas, e que se podem traduzir 
por: 
 DO = DQ + D 
 VO = VQ +   D + V 
a sua aplicação é aqui ilustrada para um disco circular com rotação concentrica - Fig.2.33.a). 
 
 Supondo conhecida a velocidade do ponto (A), pretende-se determinar a velocidade do ponto (B). 
 A equação de velocidades relativas dá-nos que, 
 VB = VA + VB/A 
dos quais temos todos os dados relativamente a (VA) e sabemos que (VA/B) será perpendicular a AB e que 
(VB) será perpendicular ao segmento OB. 
 Assim, torna-se possível traçar, a uma escala conveniente, o polígno de velocidades. 
 Começando por (VA), assinalam-se as perpendiculares referidas, respeitando na sua colocação 
relativamente a (VA), as regras de adição ou subtração de vectores, e seguindo a equação de velocidades - 
Fig.2.33.b) e c). 
 O resultado final encontra-se na Fig.2.33.d) onde, além da pretendida velocidade (VB), também se obtém 
(VA/B). 
 
Figura 2.33 - Aplicação do polígno de velocidades 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 29 
3.4.6.2 Imagem de velocidades 
 Em mecanismos com elementos de ligação de geometria complicada, em que seja necessário conhecer a 
velocidade em pontos determinados, torna-se útil a obtenção de uma ‘imagem’ da velocidade do próprio 
elemento. 
 
 A título de exemplo, na Fig.2.34.a) encontra-se esquematizado um elemento 2 de forma triangular, 
animado de rotação em torno do ponto (O2), a uma dada velocidade (2). 
Figura 2.34 - Determinação da imagem de velocidades 
 Sendo as dimensões dos lados do triângulo (rA), (rB), e (rB/A), as respectivas velocidades serão: 
 VA = rA 2 
 VB = rB 2 
 VB/A = rB/A 2 
e como as direcções são conhecidas, torna-se possível construir a ‘imagem’ a uma dada escala- Fig.2.34.b) - 
obtendo-se uma réplica exacta do elemento, rodada de 90o, e cujos lados representam a velocidade de cada 
ponto considerado. 
 A partir desta ‘imagem’ é possível determinar a velocidade de qualquer outro ponto pertencente ao 
elemento, desde que conhecida a sua localização geométrica, traçando o respectivo vector com origem em 
Ov e extremo na ‘imagem’ desse mesmo ponto. 
 Para um mecanismo articulado, o método pode ser aplicado sucessivamente aos vários elementos, 
conforme ilustrado na Fig.2.35 para um sistema biela-manivela. 
 
Figura 2.35 - Imagem de velocidades para um sistema biela-manivela 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 30 
3.4.6.3 Centros instantâneos de rotação 
 Utilizando os centros instantâneos de rotação, é possível a análise de velocidades uma vez que, por 
definição, conhecida a velocidade do extremo de uma ligação relativamente ao seu centro instantâneo de 
rotação, então essa velocidade relativa será exactamente a mesma para a extremidade da outra ligação cujo 
centro instantâneo é comum. 
 A Fig.2.36 mostra a aplicação deste princípio a um mecanismo em que a barra 2 é motora, sendo 
obviamente conhecida (2) e as dimensões (r1), (r2), (r3) e (r4) e pretendendo-se determinar a velocidade em 
vários pontos (A, B, C, D e E), quando o sistema se encontra na posição ilustrada. 
 Após determinação de todos os centros instantâneos de velocidade - Fig.2.36.a) - e a partir do 
conhecimento de (2) e de (r2) calcula-se (VA). 
 Conhecida esta, e uma vez que (O24) também pertence à barra 2, rotando (VA) sobre a linha de centros 
O24O12O41 com centro em (O21) para a posição (VA’), por semelhança de triângulos pode calcular-se (V24) 
- Fig.2.36.b). 
 Uma vez que (V24) é não só a velocidade de um ponto na barra 2 mas também na barra 4, pode agora ser 
utilizada para determinar a velocidade de outros pontos nesta barra, como sejam (VB) e (VE). Os triângulos 
semelhantes têm aqui (O41) como vértice comum e os respectivos vectores (VB’) e (VE’) podem depois ser 
rodados, para obtenção de (VB) e (VE) - Fig.2.36.c). 
 Finalmente, para se calcular (VD), uma vez que o ponto (D) pertence à barra 3, que (VA) é conhecida e 
pertence à barra 2 e que a barra 1 é a referência fixa, procede-se à rotação de (VA) sobre a linha de centros 
O12O13O23 com centro em (O13) e determina-se (VD’) que, rodado, dá origem a (VD). Adicionalmente, 
pode reconfirmar-se (VB), já que este ponto pertence simultaneamente às barras 3 e 4 - Fig.2.36.d). 
Figura 2.36 - Determinação de velocidades através dos centros instantâneos de rotação 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 31 
 
 Adicionalmente, pode referir-se uma relação válida para qualquer mecanismo de quatro barras, conhecida 
como Teorema da Razão de Velocidades Angulares , e que postula que, 
 
‘a razão de velocidades angulares entre dois elementos, relativamente a um terceiro, é inversamente 
proporcional ao comprimento dos segmentos formados na linha de centros pela intersepção do 
centro instantâneo comum’ 
 
e que, para o mecanismo da Fig.2.36, se pode traduzir em, 
 4/2 = O12O24/O14O24 
 Pode ainda provar-se que esta razão é positiva quando o centro instantâneo comum se encontra para lá 
dos dois centros fixos - como no exemplo acima - e é negativa quando o centro instantâneo comum se 
encontra entre os dois centros fixos. 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 32 
3.4.7 MétodosAnalíticos de Determinação da Velocidade 
 Quando a análise de um mecanismo não se resume a uma ou algumas (poucas) posições, o recurso a 
métodos analíticos associados ou não ao processamento computacional torna-se imprescindível. 
3.4.7.1 Método algébrico 
 Consiste, essencialmente, na dedução de uma expressão analítica que traduza a velocidade de um 
elemento do mecanismo, em função da velocidade da ligação motora. 
 Normalmente, a forma mais simples de o conseguir é por derivação em ordem ao tempo da expressão de 
posição, ou deslocamento, do elemento em causa. 
 Seguidamente dão-se alguns exemplos de aplicação, na sequência do explanado no ponto 2.3.4.1 
relativamente à determinação analítica de posição e deslocamento. 
 
 
Exemplo a) 
Considerando a equação do deslocamento do pistão 4, em função do ângulo da manivela 2 do sistema da 
Fig.2.37, equação esta já deduzida no ponto acima referido e que pode ser reescrita como: 
 x = r  cos  + l  [ 1 - (r/l  sen )2 ]½ 
Figura 2.37 - Sistema biela-manivela 
a sua derivação, atendendo a que ( = t ), resulta na expressão da variação de (x) em função da 
variação do ângulo () da manivela 2, ou seja, na equação da velocidade do pistão 4, 
 
 .  r  sen 2  
 x = - r    sen  +   
  2l  [ 1 - (r/l  sen )2 ]½  
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 33 
Exemplo b) 
Retomando o exemplo do mecanismo de quatro barras da Fig.2.38 para o qual, 
 r1 + r2 + r3 + r4 = 0 
ou seja, 
 r1  e
i1 + r2  e
i2 + r3  e
i3 + r4  e
i4 = 0 
sendo ainda, 
 R = r1 + r2 ; R + r3 + r4 = 0 
e a partir do que se pode concluir que (1): 
 cos (R - 3) = (r4
2 - R2 - r3
2)/(2Rr3) 
 cos (4 - R) = (r4
2 + R2 + r3
2)/(2Rr4) 
Figura 2.38 - Mecanismo de quatro barras 
da derivação da equação vectorial pode obter-se a solução para as velocidades angulares das barras 3 e 
4, como se segue: 
 
 r2 2 sen (2-4) 
 3 =   
 r3 sen (4-3) 
 r2 2 sen (2-3) 
 4 =   
 r4 sen (4-3) 
 
 
(1) A dedução completa destas equações, e das subsequentes, pode ser encontrada no Anexo a este capítulo 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 34 
Exemplo c) 
Para o mecanismo de corrediça da Fig.2.39, para o qual: 
 r1 + r2 - r4 = 0 
ou seja, 
 r1  e
i1 + r2  e
i2 - r4  e
i4 = 0 
resulta, como já visto, que: 
 r2  cos 2 - r1 
 r4 =  
  r2  sen 2  
 cos arc tan   
  r2  cos 2 - r1  
 
  r2  sen 2  
 4 = arc tan   
  r2  cos 2 - r1  
 
Figura 3.39 - Mecanismo de corrediça 
Por sua vez, retomando a equação vectorial e derivando-a em ordem ao tempo, obtemos a equação das 
velocidades: 
 dr1 d1 dr2 d2 dr4 d4 
  ei1 + r1 i  e
i1 +  ei2 + r2 i  e
i2 -  ei4 - r4 i  e
i4 = 0 
 dt dt dt dt dt dt 
Sendo os valores de r1, r2 e 1 constantes, anulando os três primeiros termos, virá: 
 d2 dr4 d4 
 r2 i  e
i2 -  ei4 - r4 i  e
i4 = 0 
 dt dt dt 
ou, 
 . . . 
 i r2 2 e
i2 - r4 e
i4 - i r4 4 e
i4 = 0 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 35 
em que: 
 . . 
 2  2 e 4  4 
Como: 
 VA2 = A2  2 (velocidade do ponto A, quando pertencente à ligação 2) 
 VA4 = A4  4 (velocidade do ponto A, quando pertencente à ligação 4) 
e, 
 VA2/A4 = dr4/dt 
então, 
 VA2 = VA4 + VA2/A4 
 
Assim, e utilizando a fórmula de Euler a equação pode ser transformada em: 
 . 
 i r22(cos 2 + i sen 2) - r4(cos 4 + i sen 4) - i r44(cos 4 + i sen 4) = 0 
e, separando as componentes real e imaginária, 
 . 
  -r22sen 2 - r4cos 4 + r44sen 4 = 0 
  . 
  r22cos 2 - r4sen 4 - r44cos 4 = 0 
donde, finalmente: 
 . 
 r4 = r2  2  sen (4-2) 
 r2  2 
 4 =   cos (4-2) 
 r4 
3.4.7.2 Diferenciação gráfica 
 Especialmente útil na análise de velocidade e aceleração a partir de registos gráficos de deslocamento, 
obtidos por meios analógicos (registador x-t, osciloscópio ou mesmo imagem), tem como maior limitação o 
facto de apenas ser sensível a mudanças de magnitude da grandeza em estudo, seja de deslocamento linear 
ou angular, seja de velocidade ou aceleração. 
 
 Para uma função do tipo, 
 x = f(t) 
tal como a ilustrada na Fig.2.40.a), e cuja derivada é, por definição: 
 dx/dt = limt0 (x/t) 
é possível afirmar que, para um qualquer ponto (A), 
 . 
 x  CD/BD 
em que BC é a tangente à curva-função no ponto (A). 
 A aproximação será tanto maior quanto menor o intervalo utilizado, ou seja, o intervalo (t). 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 36 
Figura 2.40 - Diferenciação gráfica 
 
 O processo passa pela traçagem de tangentes a vários pontos da curva, construindo triângulos, 
preferencialmente de abcissas BD iguais. Seguidamente torna-se possível construir um diagrama de 
derivadas, utilizando o mesmo eixo das abcissas (t) e, para cada ponto considerado, registando em 
ordenadas a altura CD do respectivo triângulo - Fig.2.40.b). 
 A escala da derivada, no gráfico resultante, é dada por, 
 . 
 x = x/h 
em que (h) é o dobro do intervalo de tempo utilizado e igual a BD. 
3.4.7.3 Diferenciação numérica 
 Para uma função semelhante à referida para a diferenciação gráfica, a sua derivada pode ser escrita como, 
  f(x0+x) - f(x0)  
 f '(x) = limx0    
  x  
pelo que, se (x) for suficientemente pequeno, se pode obter uma boa aproximação para f '(x). 
 Uma vez que (x) pode ser positivo ou negativo, neste último caso teremos, 
 f '(x) = limx0 f(x0-x) - f(x0) / (-x) 
que será uma outra aproximação a f '(x). 
 A situação encontra-se ilustrada na Fig.2.41, em que (L-) e (L+) são as 'cordas' à esquerda e à direita do 
ponto considerado, ou seja, para (-x) e (+x) respectivamente. 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 37 
Figura 2.41 - Diferenciação numérica 
 À medida que os intervalos se reduzam, (L-) e (L+) tenderão a ter inclinações cada vez mais parecidas e, 
no limite, a inclinação da tangente à curva no ponto considerado - por definição, a derivada da função nesse 
ponto. 
 Embora não sendo regra, sobretudo se se tratar da vizinhança de um ponto de inflexão da curva, torna-se 
também evidente que a inclinação da 'corda' PQ é uma melhor aproximação à inclinação da tangente no 
ponto (A) que (L-) ou (L+) tomadas separadamente. Assim, torna-se mais conveniente e rápido o processo 
tomando um intervalo (2x), ou seja, 
 f '(x) = limx0 f(x0+x) - f(x0-x) / (2x) 
 Este método é empregue para funções - por exemplo, de posição ou deslocamento - para as quais não 
seja possível obter uma expressão, ou cuja derivação seja analiticamente impossível. É também o método 
implicitamente utilizado em sistemas informáticos de análise de curvas digitalizadas. 
3.4.7.4 Integração gráfica 
 Método inverso ao de diferenciação gráfica, utilizando os mesmos princípios já enunciados, torna-se 
particularmente útil nos casos em que a resposta em velocidade, aceleração ou choque é acessível e registável 
e pretendendo-se, a partir de uma destas, analisar a causa a montante. Isto é, 
 choque (d3x/dt3) aceleração (d2x/dt2)  velocidade (dx/dt)  deslocamento (x) 
 Na Fig.2.42 mostra-se o procedimento a seguir, para uma função simples de patamares com intervalos de 
tempo iguais. 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 38 
Figura 2.42 - Integração gráfica 
 Escolhendo criteriosamente o valor (h), a escala do gráfico resultante é dada por (x = h  x) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 39 
3.5 ACELERAÇÃO 
3.5.1 Definição 
 A aceleração linear, como taxa de variação da velocidade,pode ser definida analíticamente do seguinte 
modo: 
 v dv . .. 
 a = limt0  =  = v = r 
 t dt 
em que (v) é a variação da velocidade (v), ocorrida no intervalo de tempo (t). 
 Do mesmo modo, a aceleração angular define-se como: 
  d . .. 
  = limt0  =  =  =  
 t dt 
3.5.2 Aceleração de um Ponto num Sistema Referencial Fixo 
 Como já visto atrás, a velocidade de um ponto (P) em movimento numa dada trajectória - Fig.2.43.a) - é 
dada por, 
 . 
 v = s  
em que (s) é a velocidade de (P) ao longo da trajectória. Por seu lado, () e () são, respectivamente, 
tangente e normal à mesma trajectória. 
 
Figura 2.43 - Trajectória de um ponto 
 Da derivação da equação da velocidade, em ordem ao tempo, resulta, 
 .. . 
 a = s  + s  (2.20) 
em que o segundo termo do lado direito da equação merece alguma atenção. 
 Assim, sendo ( ) a inclinação de () e o ponto (C) o centro instantâneo de rotação de (P), à medida que 
a trajectória é descrita () e () vão variando com ( ). 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 40 
 Isso mesmo é representado na Fig.2.43.b), em que () passa a (+) quando ( ) sofre um acréscimo 
( ). Então, 
 d  2sen(/2)  
  = lim0  = lim0  =  (2.21) 
 d   
e como, 
 . . ds d 
 s   =   
 dt dt 
então: 
 . . ds d d ds 
 s   =     (2.22) 
 dt d ds dt 
 Sendo que (d /ds), com direcção tangente à variação da trajectória, representa a variação do ângulo ( ) 
com a distância (s), designa-se por curvatura e é, por definição, o inverso do raio () da trajectória. Assim, 
 1/ = d/ds (2.23) 
pelo que, substituindo (2.21) e (2.23) em (2.22), se obtem, 
 . . . 
 s   = (s2/)   
 Finalmente, substituindo este resultado na equação (2.20) virá, 
 .. . 
 a = s   + s2/   
pelo que se constata ter o vector aceleração duas componentes perpendiculares entre si, uma de direcção 
tangencial ao deslocamento e (s) de intensidade, outra normal e dirigida para o centro de curvatura (C), com 
um valor de (s2/). 
 Assim, podemos escrever que, 
 a = at + an 
Figura 2.44 - Componentes da aceleração 
e, a partir da disposição ilustrada na Fig.2.44, afirmar que a componente tangencial será responsável pela 
variação (instantânea) de velocidade e a componente normal responsável pela manutenção da trajectória. 
P 
C 
a
t
 
a
n
 
a 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 41 
3.5.3 Aceleração de um Ponto num Sistema Referencial Móvel 
 Reportando ao ponto 2.4.3 - e respectiva Fig.2.22 - relativo à velocidade de um ponto num referencial 
móvel, aí definida como, 
 VO = VQ +   D + V 
da sua derivação em ordem ao tempo vem, 
 V’O = V’Q + ‘ D +   D’ + V’ (2.24) 
em que: 
 V’0 = a0 - aceleração de (P) em relação a x0, y0, z0, ou absoluta 
 V’Q = aQ - aceleração de (Q) em relação a x0, y0, z0, ou absoluta 
  ‘ =  - aceleração angular do sistema móvel x, y, z em relação a x0, y0, z0 
  ‘ D - variação de ( ), em módulo e direcção 
 V’ - aceleração de (P) relativamente ao sistema móvel x, y, z 
 
 
 Uma vez que, 
   D’ =   (  D + V) 
 =   (  D) +   V (2.25) 
e que, 
 V’ = D” = (x i” + y j” + z k”) + (x” i + y” j + z” k) 
da mesma forma que para a velocidade, temos agora para a aceleração: 
 V’ =   V + a (2.26) 
em que (V) e (a) são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do ponto (P) em relação ao sistema 
móvel x, y, z. 
 
 
 Substituindo as equações (2.25) e (2.26) em (2.24) obtemos a forma mais geral da aceleração, 
 a0 = aQ +   D +   (  D) + 2  V + a (2.27) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 42 
em que: 
a0 aceleração absoluta de (P) 
 
aQ 
  (  D) 
 
  D 
aceleração absoluta de (Q) 
efeito da aceleração angular devida à rotação do 
sistema móvel 
efeito da velocidade angular devida à rotação do 
sistema móvel 
 
ACELERAÇÃO 
DE 
TRANSPORTE 
 
2  V efeito combinado do movimento de (P) em relação 
ao sistema móvel e da rotação deste mesmo sistema 
 ACELERAÇÃO 
DE CORIOLIS 
 
a aceleração de (P) relativamente a (Q), 
estando este fixo ao sistema móvel 
 ACELERAÇÃO 
NO SISTEMA MÓVEL 
 
 
 No caso mais particular do movimento plano, ( =  k) pelo que, 
   (  D) = (D) - ()D = -2 D 
e a equação (2.27) simplifica-se para, 
 a0 = aQ + ‘ D - 
2 D + 2  V + a (2.28) 
3.5.4 Aceleração de um Corpo Rígido 
 Retomando a equação (2.28), se a velocidade relativa for nula - isto é, se (P) estiver fixo em x, y, z - 
então os dois últimos termos da equação são nulos e então: 
 a0 = aQ + ‘ D - 
2 D 
sendo: 
  ‘ D - aceleração tangencial de (P) relativamente a (Q) 
 2 D - aceleração normal de (P) relativamente a (Q) 
 Nota: com sentido negativo, ou seja, de (P) para (Q) 
pelo que a aceleração absoluta do ponto (P) se resume à soma da aceleração absoluta do referencial móvel, 
representada por (aQ), com a aceleração relativa (aP/Q) - representada aqui pelas suas componentes 
tangencial e normal, de forma análoga ao já visto para o caso de um referencial fixo. 
 Assim, podemos afirmar que, num corpo rígido em que um ponto (Q) esteja animado de velocidade e 
aceleração ( ‘ e ) relativamente a um sistema fixo, a aceleração absoluta de um ponto (P) também 
pertencente a esse corpo será dada por: 
 aP = aQ + aP/Q 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 43 
3.5.5 Centros Instantâneos de Aceleração 
 Da mesma forma que, num mecanismo, se podem localizar centros instantâneos de rotação - ou seja, 
pontos para os quais a velocidade linear de determinada ligação é nula - é também possível definir centros 
instantâneos de aceleração como sendo pontos em relação aos quais determinada ligação não tem 
aceleração, em dado momento. 
 Muito embora a sua localização possa ser consideravelmente trabalhosa, especialmente em mecanismos 
complexos, apresenta-se aqui o denominado Método dos Quatro Círculos, que o permite fazer de uma 
forma razoavelmente expedita. 
 Na Fig.2.45 apresenta-se a ligação AB de um qualquer mecanismo e as respectivas acelerações (aA) e 
(aB). O procedimento, igualmente ilustrado, é o seguinte: 
- prolongar (aA) e (aB) até à sua intercepção no ponto (K); 
- traçar um círculo, passando pelos pontos (A), (B) e (K); 
- traçar um círculo, passando pelos extremos dos vectores (aA) e (aB) e por (K); 
- localizar a intercepção dos dois círculos, ponto (J), e centro instantâneo de aceleração. 
 
Figura 2.45 - Centro instantâneo de aceleração 
 
3.5.6 Métodos Gráficos de Determinação de Aceleração 
3.5.6.1 Polígno de acelerações 
 Baseia-se na solução gráfica das equações vectoriais de aceleração relativa, entre dois pontos (A e B) de 
um mesmo corpo rígido, ou seja: 
 aB = aA + aB/A 
e na decomposição da aceleração nas suas direcções tangencial (at) e normal (an). 
 Na Fig.2.46.a) mostra-se a ligação 2 de um mecanismo, dotada de velocidade e aceleração angulares, 
respectivamente () e ( ), tal como indicadas. 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 44 
 a) b) 
Figura 2.46 - Aplicação do polígno de acelerações 
 Neste caso, as componentes da aceleração do ponto (B) serão: 
 aB
t = R   com a direcção de () 
 aB
n = R  2 com a direcção BA 
sendo de notar que, neste exemplo, aA=0, pelo que aB/A=aB/A
n+aB/A
t. 
 No caso mais genérico em que o ponto (A) também tem uma dada aceleração - tal como ilustrado na 
Fig.2.46.b) - e sendo (A) o centro da curvatura do movimento de (B), então, 
 aB = aA + aB/A 
 = aA + aB/A
n + aB/A
t 
continua a verificar-se. 
 Todavia, dois importantes conceitos devem estar sempre presentes: 
1. a componente normal da aceleração de um ponto, relativamente a outro pertencente ao mesmo corpo 
rígido, é função da velocidade angular daligação e da distância entre os dois pontos, tendo a direcção 
da linha de união dos dois pontos e o sentido do ponto de referência; 
2. a componente tangencial da aceleração de um ponto, relativamente a outro pertencente ao mesmo 
corpo rígido, é função da aceleração angular da ligação e da distância entre os dois pontos, tendo a 
direcção perpendicular à linha de união dos dois pontos e o mesmo sentido da aceleração angular. 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 45 
3.5.6.2 Imagem de acelerações 
 A imagem de acelerações obtem-se seguindo os mesmos princípios já enunciados para a imagem de 
velocidades. 
 Tendo em consideração que, em termos de adição dos módulos dos respectivos vectores, 
 aB/A = aB/A
n + aB/A
t 
 = [( aB/A
n)2 + (aB/A
t)2 ]½ 
e como, 
 aB/A
n = 2  BA 
 aB/A
t =   BA 
então: 
 aB/A = BA  [
4 + 2 ] ½ (2.29) 
 Da equação (2.29) pode concluir-se que, como () e ( ) são constantes para cada uma das ligações, 
então a aceleração de cada ponto relativamente a outro, numa mesma ligação, é proporcional à distância 
entre eles. 
 É também possível provar que a orientação da imagem de acelerações, de cada ligação, depende da 
aceleração angular dessa mesma ligação. 
 Assim: 
- se a aceleração angular for nula, a imagem de velocidades encontrar-se-á rodada de 180o em relação à 
posição da respectiva barra, no sentido da velocidade de rotação; 
- existindo uma componente de aceleração angular, a imagem encontrar-se-á rodada de um valor de 180o 
- tan-1(/2) em relação à posição dessa barra, no sentido da aceleração angular. 
 
 Para o mecanismo da Fig.2.47 teremos assim, 
 
Figura 2.47 - Mecanismo de biela-manivela 
e considerando a inexistência de aceleração angular da ligação 2 ( 2=0), as imagens de velocidades e de 
acelerações encontram-se nas Fig.2.48.a) e b), respectivamente. 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 46 
 a) b) 
Figura 2.48 - Imagens de velocidades e de acelerações 
 É de notar que a imagem de acelerações da ligação 2, que não tem aceleração angular, apresenta uma 
rotação de 180o. Por seu turno para a ligação 3, animada de uma aceleração angular no sentido directo, a sua 
imagem aparece com uma rotação menor que 180o. 
3.5.6.3 Centros Instantâneos de Aceleração 
 Para o caso genérico da Fig.2.49.a), supondo o ponto (J) como centro instantâneo de aceleração e 
conhecidas a aceleração (aA) do ponto (A) e a velocidade () e aceleração ( ) da ligação em causa, a 
equação vectorial da aceleração de (J) será, 
 aJ = aA +   r +   (  r) = 0 
 Uma vez que se trata de movimento plano, então (  k), pelo que: 
 aA + r  (k  r) - r 
2 r = 0 
donde: 
 aA = r 
2 r - r  (k  r) 
mas, uma vez que (r) e (k  r) são vectores perpendiculares, então os dois termos do lado direito da 
equação acima representam uma soma vectorial cujo resultado é (aA), tal como ilustrado na Fig.2.49.b). 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 47 
 a) b) 
Figura 2.49 - Determinação de acelerações através de centros instantâneos de aceleração 
 
tornando-se, assim, possível calcular a magnitude e a direcção do vector (r), 
 aA 
 r =  
 [4 + 2 ]½ 
  = tan-1 (/2) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 48 
3.5.7 Métodos Analíticos de Determinação de Aceleração 
3.5.7.1 Método algébrico 
 A partir da expressão da velocidade, e por derivação em ordem ao tempo, ou a partir da expressão do 
deslocamento, derivando duas vezes, obtém-se a correspondente equação da aceleração. 
 Seguem-se exemplos de determinação, para os mecanismos já estudados em termos de análise de 
deslocamento, ponto 2.3.4.1, e análise de velocidades, ponto 2.4.7.1. 
 
Exemplo a) 
 Para o mecanismo de biela-manivela da Fig.2.50, em que a expressão da velocidade é, 
 .  r  sen 2  
 x = - r   sen  +   
  2l [1 - (r/l  sen )2]½  
 
Figura 2.50 - Sistema biela-manivela 
a equação da aceleração resultante vem como, 
 ..  r  sen 2   r  cos 2 r3  sen2 2  
 x = - r   sen  +   - r 2  cos  +  +   
  2l  cos    l  sen  4l3  cos3   
 em que, 
 cos  = [1 - (r/l  sen )2]½ 
 
 Dada a complexidade da expressão, e uma vez que os mecanismos usuais apresentam uma razão (l/r) 
elevada, é comum desprezar o último termo à direita, assim como tomar (cos   1), simplificando-se a 
equação para: 
 ..  r   r  
 x = - r   sen  +  sen 2  - r 2  cos  +  cos 2  
  2l   l  
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 49 
 
Exemplo b) 
 Quanto ao mecanismo de quatro barras da Fig.2.51, considerando que, 
 r1 + r2 + r3 + r4 = 0 (2.30) 
 
Figura 2.51 - Mecanismo de quatro barras 
e sendo as expressões da velocidade, como já visto, 
 r2 2 sen (2-4) 
 3 =   
 r3 sen (4-3) 
 r2 2 sen (2-3) 
 4 =   
 r4 sen (4-3) 
da dupla derivação da equação vectorial (2.30), utilizando o mesmo procedimento de separação de raizes 
reais e imaginárias, resulta: 
 . r2 2
2  cos (2-4) + r3 3
2  cos (3-4) + r4 4
2 
 3  3 =  
 r3  sen (4-3) 
 . r2 2
2  cos (2-3) + r4 4
2  cos (3-4) + r3 3
2 
 4  4 =  
 r4  sen (4-3) 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 50 
Exemplo c) 
 Para o mecanismo de corrediça da Fig.2.52, considerando, 
 r1 + r2 - r4 = 0 
ou seja, 
 r1  e
i1 + r2  e
i2 - r4  e
i4 = 0 
a dupla derivação em ordem ao tempo: 
 d2 2 d
2 r4 d
2 4 
 r2 i  e
i2 -  ei4 - r4 i  e
i4 = 0 
 d t2 d t2 d t2 
atendendo a que (r1), (r2) e (2) são constantes, leva a: 
 .. . . 
 r2 i (2 e
i2 + i 2
2 ei2) - r4 e
i4 - r4 i 4 e
i4 - r4 i (4 e
i4 + i 4
2 ei4) - r4 i 4 e
i4 = 0 
donde, aplicando a fórmula de Euler e a separação de raizes reais e imaginérias, se torna possível deduzir as 
equações de aceleração linear da ligação 3-4 e de aceleração angular da ligação 4, conforme explanado no 
Anexo I, 
 .. .. 
 r4  r3 = r4  4
2 - r2  2
2  cos (2-4) 
 . 
 r2  2
2  sen (4-2) - 2 r4  4 
 4 =  
 r4 
 
Figura 2.52 - Mecanismo de corrediça 
3.5.7.2 Diferenciação gráfica e numérica. Integração gráfica 
 Tudo o que, foi apresentado nos pontos 2.4.7.2, 3 e 4 em termos de determinação de velocidades, se 
aplica à determinação de acelerações, desde que a função ou respectiva curva de variação da velocidade seja 
conhecida. 
 
-----oOo-----
MECÂNICA GERAL 
 
Anexo 
ao 
Capítulo III 
ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS 
 
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia 
UNIVERSIDADE DO MINHO 
 J.C.Pimenta Claro 
[e-version: 2007 r.0] 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-1 
 
 Para o mecanismo de quatro barras da Figura, 
 
 
temos que: 
 r1 + r2 + r3 + r4 = 0 
ou seja, 
 r1  e
i1 + r2  e
i2 + r3  e
i3 + r4  e
i4 = 0 (2A.1) 
 Considerando, por uma questão de simplificação, a existência de um vector auxiliar (R) tal que, 
 R = r1 + r2 
ou seja, 
 R  e
iR = r1  e
i1 + r2  e
i2 
então: 
 Rcos R = r1cos 1 + r2cos 2 
  
 Rsen R = r1sen 1 + r2sen 2 
ou, uma vez que (1=180
o), 
 Rcos R = - r1 + r2cos 2 
  
 Rsen R = r2sen 2 
 Elevando ao quadrado e somando membro a membro, vem: 
 R2 = r1
2 + r2
2 - 2 r2 r2cos 2 
  
 R = arc sen (r2/Rsen 2) 
e, como também, 
 R + r3 + r4 = 0  r4 = R + r3 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-2 
então, 
 r4cos 4 = Rcos R + r3cos 3 
  (2A.2) 
 r4sen 4 = Rsen R + r3sen 3 
 Elevando novamente ao quadrado e somando membroa membro, teremos, 
 r4
2 = R2 + r3
2 + 2Rr3cos (R-3) 
pelo que: 
 r4
2 - R2 - r3
2 
 cos (R-3) =  
 2Rr3 
 Retomando o sistema de equações (2A.2) e reescrevendo-o na forma: 
 r4cos 4 = r3cos 3 + Rcos R 
  
 r4sen 4 = r3sen 3 + Rsen R 
e procedendo como anteriormente, virá: 
 r4
2 + R2 + r3
2 
 cos (4-R) =  
 2Rr4 
 
 Retomando a equação (2A.1), derivando-a, e tendo em atenção que (1, r1, r2, r3 e r4) são constantes, 
 . . . 
 r2 i 2 e
i2 + r3 i 3 e
i3 + r4 i 4 e
i4 = 0 
 Assim vem, 
 r2 i 2(cos 2 + i sen 2) + r3 3(cos 3 + i sen 3) + r4 i 4(cos 4 + i sen 4) = 0 
ou seja, 
 r22sen 2 - r33sen 3 - r44cos 4 = 0 
  
 r22cos 4 + r33cos 3 + r44cos 4 = 0 
donde: 
 r22 sen (2-4) 
 3 =    
 r3 sen (4-3) 
 r22 sen (2-3) 
 4 =    
 r4 sen (4-3) 
 Raciocinio similar permitiria chegar a equações para a aceleração, tais como: 
 r2 2
2  cos (2-4) + r3 3
2  cos (3-4) + r4 4
2 
 3 =  
 r3  sen (4-3) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-3 
 r2 2
2  cos (2-3) + r4 4
2  cos (3-4) + r3 3
2 
 4 =  
 r4  sen (4-3) 
 Nota: . .. . 
  =   =  =  
 
 
 
 Para o mecanismo de corrediça da Figura, 
 
 
sendo a ligação 2 motora, rodando com uma velocidade 2, numa posição definida pelo ângulo 2, é também 
representado o sistema equivalente (b) em que cada ligação foi substituída pelo respectivo vector de posição. 
 
 Assim, temos que, em notação vectorial, 
    
 r1 + r2 = r4 
ou seja, 
    
 r1 + r2 - r4 = 0 
  
ou ainda, e porque r = r1  ej, em notação complexa vem: 
 r1  e
i1 + r2  e
i2 - r4  e
i4 = 0 (2A.3) 
em que, recorde-se, é suposto serem conhecidos r1, r2, 1 e 2. 
 
 Como, pela fórmula de Euler, 
 r  ej = r(cos  + jsen ) 
então: 
 r1(cos 1 + i sen 1) + r2(cos 2 + i sen 2) - r4(cos 4 + i sen 4) = 0 (2A.4) 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-4 
donde, separando raizes reais e imaginárias, 
  r1  cos 1 + r2  cos 2 - r4  cos 4 = 0 
  
  r1  sen 1 + r2  sen 2 - r4  sen 4 = 0 
 
sendo que, neste caso, 
 1 = 180o  cos 1 = -1 e sen 1 = 0 
 Assim, obtem para a posição: 
 r2  cos 2 - r1 
 r4 =  
  r2  sen 2  
 cos arc tan   
  r2  cos 2 - r1  
  r2  sen 2  
 4 = arc tan   
  r2  cos 2 - r1  
 Retomando a equação (2A.3) e derivando-a em ordem ao tempo 
 dr1 d1 dr2 d2 dr4 d4 
  e j 1 + r1 j  e
 j 1 +  e j 2 + r2 j  e
 j 2 -  e j 4 – r4 j  e
 j 4 = 0 
 dt dt dt dt dt dt 
e, atendendo a que (r1), (r2) e (1) são constantes e que, portanto, a sua derivada se anula, vem: 
 d2 dr4 d4 
 r2 i  e
i2 -  ei4 - r4 i  e
i4 = 0 
 dt dt dt 
ou seja, 
 . 
 r2 i 2 e
i2 - r4 e
i4 - r4 i 4 e
i4 = 0 (2A.5) 
em que: . . 
 2  2 e 4  4 
 
 
 Como: 
 VA2 = A2  2 
 VA4 = A4  4 
 VA2/A4 = dr4/dt 
 
 
a equação [2A.5] equivale a: 
 
 VA2 = VA4 + VA2/A4 
 
MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados Anexo-5 
 Aplicando a fórmula de Euler à equação [2A.5], virá: 
 r2 i 2(cos 2 + i sen 2) - r4(cos 4 + i sen 4) - r4 i 4(cos 4 + i sen 4) = 0 
e, separando as componentes real e imaginária, 
 . 
  -r22sen 2 - r4cos 4 + r44sen 4 = 0 
  . 
  r22cos 2 - r4sen 4 - r44cos 4 = 0 
obtem-se, para a velocidade: 
 . 
 r4 = r2  2  sen (4-2) 
 r2  2 
 4 =   cos (4-2) 
 r4 
 Por sua vez, a derivação da equação da velocidade (2A.5), leva a: 
 .. . . 
 r2 i (2 e
i 2 + i 2
2 ei 2) - r4 e
i 4 - r4 i 4 e
i 4 - r4 i (4 e
i 4 + i 4
2 ei 4) - r4 i 4 e
i 4 = 0 
a partir da qual, admitindo que (2) é constante e que, portanto ( 2=0) e separando as componentes real e 
imaginária, 
 .. . 
 -r22
2cos 2 - r4cos 4 + 2 r44sen 4 + r44sen 4 + r44
2cos 4 = 0 
  .. . 
 -r22
2sen 2 - r4sen 4 - 2 r44cos 4 - r44cos 4 + r44
2sen 4 = 0 
se torna possível escrever as equações das acelerações linear e angular: 
 .. 
 r4 = r4  4
2 - r2  2
2  cos (2-4) 
 . 
 r2  2
2  sen (4-2) - 2 r4  4 
 4 =  
 r4 
 
 Nota: . .. . . .. . 
  =   =  =  r = v r = v = a 
 
 
 
-----oOo----- 
 
 
 
Obs.: agradece-se a atenção e colaboração de todos quantos têm vindo, ao longo do tempo, a permitir expurgar este texto 
das inevitáveis, inoportunas e indesejáveis ‘gralhas’… 
P.Claro/2012