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Disciplina – Função de uma Variável Complexa I 
Professora: Ivana Barreto Matos 
 
1ª lista de exercícios – (Números Complexos) 
 
1) Reduza à forma a bi+ cada uma das expressões: 
 a) ( ) ( )3 2 2 3 4i i i⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ b) 2 111 2 3 7i i i+ + + 
 c) 
1
3
i
i
+
− d) 
12 8 52 13
2 3 13
i i
i i
+ ++− 
2) Mostre que: 
 a) ( )2 2 2 2x i y x y i xy+ = − + b) ( )2 2 2 2x i y x y i xy− = − − . 
 
3) Verifique as relações: 
a) 2Re (2 3 ) 12i i⎡ ⎤− − =−⎣ ⎦ b) ( )
2
1 3 2 4 3Im
2 5
i
i
⎡ ⎤− +⎢ ⎥ =⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
4) Mostre que ( )( )
2
34 2
1 4 5 3
i
i i
⎡ ⎤ =⎢ ⎥− +⎣ ⎦
 . 
 
5) Representem, no plano complexo, os números: 
a) 1 b) 1 i+ c) 5i d) 1 3
2 2
i+ e) cos 4 4i sen
π π+ 
 
6) Escreva na forma polar: 
 a) 2 3 2 i+ b) 3 3 3i− c) 8 8 3 i+ d) ( )( )2 3 2 3 3 3i i+ − e) 8 8 3
2 3 2
i
i
+
+ 
7) Usando a Fórmula de Moivre, calcule: 
 a) ( )54 4 3i+ b) ( )62 3 2 i+ c) ( )41 i+ 
8) Calcule: 
 a) 4− b) 3 i c) 6 1 d) 3 1− e) 4 1 3i− + 
 
9) Calcule as raízes dos números complexos abaixo, usando o método prático da raiz quadrada. 
 
 a) 3 4 i+ b) 5 12 i− − c) 1 2 6i+ 
 
10) Reduza à forma ir e θ cada um dos números complexos abaixo: 
 a) 1 i+ b) 2(1 )i− − c) 1
3
i− + f) 3− 
 
11) Verifique as seguintes relações: 
a) ( ) 3exp 3 7 i eπ+ =− b) ( )1 33 2exp
6 2
e iiπ −− = 
12) Represente graficamente os seguintes conjuntos: 
 
 a) Re 3z < − b) Im 1z ≥ c) | 2 | 2z i− > d) |3 2 | 5z i− ≤ 
 
13) Mostre que cada conjunto abaixo é uma reta. 
 a) | 2| | 3 |z z i− = − b) | 1 | |1 3 |z i i z− + = − + 
 
14) Identifique os conjuntos: 
 a) | 2 | 2 | 2 |z z i− = + b) ( )Re 1 | |z z− = 
 
 
15) Determine as partes reais e imaginárias de cada uma das seguintes funções: 
 a) 2 5 3w z z= − + b) 2
2
zw
z
+= − c) ( )
zw e z i= − 
 
16) Determine o domínio máximo das seguintes funções: 
 a) 
2
2 3( )
2 3
zf z
z z
−= + + b) ( )
z yf z
x z
= − c) ( )
( )
zf z
z i seny
= − 
 
17) Calcule os seguintes limites, usando fatoração quando possível: 
 a) ( )4 2
2
lim 3 10
z i
iz z i
→
+ − b) 
2
21
1lim
2 2z i
z i
z z→ +
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
 
 c) ( )( )
( )2
2 3 4 1
lim
1z i
z z
iz→−
− +
+
 d) 
/ 4
2
4lim 1iz e
z
z zπ→ + + 
 
18) Seja 
2 4 2( ) 2
3 4 2
z se z if z z i
i se z i
⎧ + ≠⎪= −⎨⎪ + =⎩
 
 
19) Calcule as seguintes derivadas: 
 a) 2( ) (1 4 ) 3 2f z i z z= + − − b) ( ) (2 3 )( )f z z i z i= + − c) 2( )
2
z if z
z i
−= + 
 d) 2( ) (2 1)f z iz= + e) 2( ) 3
2
zf z sen ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 f) ( )3 2 3 4tg z z i− + g) ( ) ln(sec )f z z tgz= + 
20) Resolva os limites usando a regra de L’Hospital sempre que possível: 
 a) 
3 27lim
3z i
z
z→
−
−
 b) 
3
2
8lim
2z i
z i
z i→−
−
+
 c) 
0
1 1lim
h
h
h→
+ − d) ( ) ( )
1 1
3 3
0
1 1
lim
z
z z
z→
+ − − e) 2
4 2
2 1lim
2 1z i
z iz
z z→
− −
+ + 
21) Se 1( )
1
zw f z
z
+= = − , determine: a) 
dw
dz
 b) Onde ( )f z não é analítica ? 
 
a) Verifique se f é contínua em 0 2z i= . 
b) f é contínua em 0z i= ? Justifique. 
Respostas 
 
1) a) 4 4i− − b) 2 5i− − c) 1 2
5
i+
 d) 1 
6) a) 4 cos
6 6
i senπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ b) 
5 56 cos
3 3
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠i sen
π π
 c) 16 cos
3 3
senπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
 d) 11 1124 cos
6 6
i senπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
 e) 4 cos
6 6
i senπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
 
7) a) 16384 16384 3 i− b) 4096− c) –4 
8) a) 2 i± b) ( ) ( )3 3, ,
2 2
i i
i
⎧ ⎫+ − +⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
 c) 
1 3 1 31; ;
2 2 2 2
i i
⎧ ⎫⎪ ⎪± ± − ±⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
 d) 
1 3 ; 1
2 2
i
⎧ ⎫⎪ ⎪± −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
 
 e) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 42 2 2 23 ; 3 ; 1 3 ; 1 32 2 2 2i i i i⎧ ⎫⎪ ⎪+ − − − + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 
9) { }2 ; 2i i+ − − b) { }2 3 ; 2 3i i− − + c) { }3 2 ; 3 2i i+ − − 
10) a) 42
i
e
π
 b) 
3
42 2
i
e
π
 c) 
5
62 3
3
e
π
 d) 3 ie π+ 
13) a) 
2 5
3 6
= +y x b) 2 1
1 3
+
−
x
 
14) a) Círculo de raio 
32
3
 e centro 
( )2 8
3
i− +
 e equação 2 23 3 4 16 12 0x y x y+ + + + = . 
 b) Uma parábola de equação 2 2 1 0y x+ − = . 
 
15) a) ( ) 2 2( , ) Re 5 3 ( , ) Im ( ) 2 5= = − − + = = −u x y f z x y x v x y f z xy y 
 b) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 22 2
4 4( , ) Re ( , ) Im
2 2
+ − −= = = =− + − +
x y yu x y f z v x y f z
x y x y
 
16) a) ( ) { }1 2= − − ±^D f i b) ( ) { }0D f = −^ c) ( ) { }; , 0, 1, 2,...D f z z i e z k i kπ= ∀ ∈ ≠ ≠ = ± ±^ 
17) a) 6 12i − b) 1
4
− c) 
11 10
4
i− + d) ( )2 1
2
+ i 18) a) f não é contínua em 0 2z i= . b) f é contínua em 0z i= . 
19) a) ( )2 8 3+ −i z b) 4z i+ c) ( )2
5
2
i
z i+
 d) 4 8i z− e) ( ) ( )3 / 2 cos / 2sen z z 
 f) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 2 3 3 4 sec 3 4z tg z z i z z i− − + − + g) sec z 
20) a) 8 3i− − b) 12− c) 1
2
 d) 2
3
 e) 1
4
− 
21) a) 
( )2
2
1 z−
 b) f(z) não é derivável em z = 1, logo neste ponto ela não é analítica. O ponto z=1 é uma singularidade 
de f(z). 
c) ( ) ( )
( ) ( )
, cos 1
, 1 cos
x
x
u x y e x y y seny
v x y e y y x seny
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦