Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Um Guia de Resolução e Estudo de Equações Diferenciais
PEDRO HENRIQUE MAGALHÃES BOTELHO
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO - QUARTO
SEMESTRE
QUIXADÁ - CE
2021
Conteúdo
1 Introdução 2
1.1 Formas das Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Funções Explícitas e Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Variáveis dependentes e independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Grau de uma Equação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Equações Diferenciais e suas Soluções 3
2.1 Soluções de uma Equação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Formalizando Intervalos e Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Verificando Soluções 4
4 Problema de Valor-Inicial 5
5 Variáveis Separáveis 5
6 Teorema de Existência e Unicidade 6
7 Equações Exatas 6
7.1 Método de Solução de Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Fator Integrante 7
8.1 Encontrando o Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 Equações Lineares de Primeira Ordem 8
1
1 Introdução
Podemos definir uma equação diferencial como uma equação que contém as derivadas de uma
ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. Vamos
entender brevemente a magia dessas equações diferenciais.
Primeiramente, vamos revisar alguns conceitos básicos:
1.1 Formas das Equações Diferenciais
Uma equação está em sua forma normal quando a derivada de grau mais alto da função está
isolada, na forma dy
dx
= F (x, y), d
2y
dx2
= F (x, y, y′) e por aí vai, sendo F uma função em termos
de x, y e suas derivadas. Podemos escreve-la em sua forma diferencial colocando a derivada
junto a equação como um todo, na forma F (x, y, y′) = 0, F (x, y, y′, y′′) = 0, e por aí em
diante. É bom lembrar que podemos escrever a equação diferencial tanto como dy
dx
= F (x, y)
como dy = F (x, y)dx. Isso pode ajudar dependendo da forma como se irá resolver a equação.
1.2 Funções Explícitas e Implícitas
Função Explícita: Define y explicitamente como uma função de x. Exemplo: f(x) = x−1
x+1
Função Implícita: Define uma função F (x, y), onde y está implicitamente definida, mesmo
em função de x. Exemplo: ln |y(x)|+ ln |x− 1| = x
1.3 Variáveis dependentes e independentes
Uma variável dependente precisa de uma variável independente para obter seu valor
final. Por exemplo: y = f(x), onde y depende de x, mas x não é em função de nenhuma
outra variável, pelo contrário, impõe um valor a y. Logo, x é independente e y é dependente.
Com isso em mente percebemos que teremos uma derivada de uma variável dependente, ou
seja, uma função como y = f(x), em relação a uma variável independente, como um x.
1.4 Grau de uma Equação Diferencial
Agora à um conceito novo: "Como definir o grau de uma equação diferencial?". O maior
grau, ou ordem, da equação diferencial como um todo é o seu grau por definição. Logo
dy
dx
= F (x, y) é uma equação diferencial de primeiro grau, e d
2y
dx2
= F (x, y, y′) de segunda
ordem, por exemplo.
2
2 Equações Diferenciais e suas Soluções
O grande objetivo de estudar equações diferenciais é encontrar uma variável dependente
y = f(x) que seja solução de uma equação envolvendo derivadas de funções, onde f(x) é uma
função explícita em função da variável independente x. Logo, será muito comum se ver algo
como "dado uma equação dy
dx
= 2xy encontre um y = f(x) que satisfaça a equação.".
Caso a equação diferencial contenha derivadas ordinárias, isso é, derivadas de uma ou mais
variáveis dependentes em relação apenas uma variável independente ela é denominada Equa-
ção Diferencial Ordinária. Caso ela contenha derivadas parciais, ou seja, derivadas de
uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes, então é
chamada de Equação Diferencial Parcial. Iremos estudar equações diferenciais ordinárias
nesse livro.
2.1 Soluções de uma Equação Diferencial
Uma solução de uma equação diferencial é dita explícita se ela esta apenas em função da
variável independente. Dessa forma, é possível substituir a solução y = f(x) na equação
diferencial.
Inversamente, uma solução de uma equação diferencial é dita implícita se ela não pode ser
escrita na forma y = f(x), e sim, como G(x, f(x)) = 0, definida em uma intervalo I.
É interessante termos sempre que possível uma solução explícita. Ao colocar a equação na
forma y = f(x) é possível substituir na equação diferencial e conseguir uma solução geral
ou uma solução individual. Falaremos disso mais adiante.
2.2 Formalizando Intervalos e Soluções
Uma função y = f(x), definida em um intervalo I, é a solução de uma ED(equação diferen-
cial) se quando substituída na equação reduzi-la a uma identidade. Genericamente, a solução
de F (x, y, y′, ..., y(n)) = 0 é uma F (x, f(x), f ′(x), ..., f (n)(x)) = 0 que satisfaz a equação, para
todo x em um intervalo I. Ou seja, em um intervalo I definido em x−1 ≤ x ≤ x+2 a solução
deve ser contínua. I pode ser um intervalo aberto (a, b), intervalo fechado [a, b], intervalo
infinito (0,∞) e por aí vai. Chamamos isso de intervalo de existência ou de domínio da
solução.
Ao utilizarmos funções como f, F, G, e etc, estamos organizando o nosso espaço de estudo
das equações diferenciais. Por exemplo, y = f(x), ou y(x), quando y é representado por
uma função f que está apenas em função de x, ou F (x, y) = 0, quando uma função F está
em função de x e de y, assim como uma solução implícita F (x, f(x)) = 0, e por aí vai. Um
caso específico: F (x, y, c) = 0, em que c é uma constante. Mesmo que seja uma constante, é
escrito dessa forma pra mostrar que há uma curva de solução. Veremos mais disso adiante.
3
3 Verificando Soluções
Vamos nos aprofundar um pouco mais no estudo de equações diferenciais. Uma função
y = f(x), definida em um intervalo I aberto, ou seja, (−∞,∞), é solução de uma equação
diferencial dy
dx
= F (x, y, y′, ..., y(n)) se ∀x em I ocorrer dy
dx
= F (x, f(x), f ′(x), ..., f (n)(x)).
Isso quer dizer que em um intervalo aberto, y = f(x) deve se mostrar suficiente em dy
dx
=
F (x, y, y′, ..., y(n)) para todos os valores de x nesse intervalo. Podemos resolver os lados
esquerdos e direitos da igualdade para provar isso.
Questão Modelo: Verifique se y = f(x) é solução de dy
dx
= F (x, y, y′, ..., y(n)).
1. Lado esquerdo: Derive y = f(x) → dy
dx
= f ′(x)
2. Lado direito: Substitua y = f(x) em dy
dx
= F (x, y) → dy
dx
= F (x, f(x))
Se os dois lados forem iguais, y = f(x) é solução de dy
dx
= F (x, y, y′, ..., y(n)), logo, dy
dx
=
F (x, f(x), f ′(x), ..., f (n)(x)).
Adicionalmente, podemos encontrar uma solução constante para a EDO (equação diferencial
ordinária) em um intervalo I. Se a solução constante for nula em todo um intervalo I a
chamamos de solução trivial. Se a solução é tipicamente y = f(x), a solução constante
é y = 0. Algumas equações diferenciais tem essa solução como válida(caso todos os termos
multipliquem y para que a equação se anule completamente), outras não.
De uma mesma equação diferencial podemos ter diferentes soluções. Além da solução trivial,
podemos ter uma solução geral, ou família de soluções, e uma solução particular por
exemplo.
É interessante pensarmos no gráfico da solução de uma equação diferencial como curvas
de solução. A solução particular nos remete a um valor com apenas uma curva, enquanto
uma solução geral - ou família de soluções tem várias curvas que dependem de uma ou mais
constantes. Tanto é que escrevemos F (x, y, c) quando temos uma constante c que denota
uma curva de solução, justamente para a identificar.
Suponha uma equação diferencial do tipo F (x, y, y′) escrita como y′ + y = 0. Essa mesma
equação tem três soluções:
• Solução Trivial: y(x) = 0, nula em todo instante I.
• Solução Particular: y(x) = e−x, logo, uma solução bastante singular, e em outras
palavras, um gráfico único.
• Solução Geral: y(x) = Ce−x, com C ∈ R, onde uma qualquerconstante C define as
curvas de solução de forma mais geral possível, modelando o gráfico da equação. Para
diferentes valores de C o gráfico da função se comportará de maneira diferente, com
várias curvas de solução.
4
4 Problema de Valor-Inicial
Quando precisamos resolver uma equação diferencial que satisfaça uma condição inicial, temos
um Problemas de valor-inicial. Ou seja, determinar uma solução y = f(x) para a equação
dy
dx
= F (x, y, y′, ..., y(n)) que satisfaça uma certa condição inicial y(x0) = y0.
Questão Modelo: Determine uma solução y = f(x) da equação diferencial dy
dx
= F (x, y)
que satisfaça y(x0) = y0.
1. Integre dy
dx
= F (x, y) para achar y = f(x) →
∫
F (x, y)dx+ C = y(x), C ∈ R.
2. Verifique se y(x0) = y0, onde (x0, y0) são as condições iniciais dadas.
3. Em equações diferenciais as constantes reais fazem toda a diferença, então não as ignore.
Questão Modelo: Dado uma família de soluções y = F (x, c1, ..., cn) de uma equação dife-
rencial dy
dx
= F (x, y), encontre uma solução y = f(x) no ponto y(x0) = y0.
1. Substitua a condição inicial y(x0) = y0 na solução geral y = F (x, c1, ..., cn) e encontre
as constantes c1, ..., cn.
2. Substitua as constantes na família de soluções.
3. Agora você tem uma solução individual para aquele certo ponto, nas curvas definidas
pelas constantes.
5 Variáveis Separáveis
Se pudermos escrever a equação diferencial dy
dx
= F (x, y) de forma que as variáveis x e y
estejam separadas pela igualdade, na forma P (x)dx = Q(y)dy, onde P (x) é uma função
definida em uma intervalo aberto I1 e somente em função da variável independente x, e
Q(y) é uma função definida em uma intervalo aberto I2 e somente em função da variável
dependente y, então temos uma Equação Diferencial de Variáveis Separáveis.
Para resolve-la, devemos achar suas respectivas primitivas, e ao final, encontrar a solução
y = f(x).
Questão Modelo: Resolva dy
dx
= F (x, y), onde F (x, y) = P (x)
Q(y)
.
1. Transcreva da forma normal para a forma diferencial dy
dx
= P (x)
Q(y)
→ P (x)dx = Q(y)dy
2. Encontre as primitivas
∫
P (x)dx =
∫
Q(y)dy + C, C ∈ R.
3. Resolva a equação p(x) = q(y)+C e ache a solução geral y = F (x, c) ou, caso implícita,
F (x, y, c) = 0.
5
6 Teorema de Existência e Unicidade
Vamos agora formalizar um teorema que vimos nas seções passadas introspectivamente.
Formalizando o Teorema de Existência e Unicidade
Se F (x, y) tiver derivadas parciais contínuas, então dy
dx
= F (x, y) tem soluções.
Adicionalmente, dado um (x0, y0) em F (x, y) existe uma única solução y = f(x) de
dy
dx
= F (x, y) que satisfaz y(x0) = y0
Vimos isso algumas vezes nesse livro, mas de maneira muito tímida. Ao falarmos dos Proble-
mas de Valor-inicial vimos que dado uma família de soluções e um ponto, podemos achar uma
solução particular e única. Nem sempre uma equação diferencial terá solução, mas sempre
que tiver uma solução particular ela será única.
7 Equações Exatas
O método de Variáveis Separáveis é muito útil quando se é possível separar as variáveis da
função F em duas funções, onde cada uma depende apenas de uma variável. Retomando
brevemente:
• Temos uma equação diferencial do tipo dy
dx
= F (x, y)
• Ao separar F (x, y) em duas funções P e Q, temos dois resultados possíveis
– Se for possível obter P (x)dx = Q(y)dy −→ Método de Variáveis Separáveis
– Se só for possível obter P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 −→Método de Equações Exatas
Para aplicar o método de resolução de Equações Exatas devemos primeiramente verificar
se ambas P (x, y) e Q(x, y) são exatas. Genericamente, dizemos que a equação P (x, y)dx +
Q(x, y)dy = 0 é exata se existe uma função φ(x, y) que satisfaz ∂φ
∂x
= P (x, y) e ∂φ
∂y
= Q(x, y).
Você pode estar se perguntando "Mas quem é φ?". Caso a equação seja exata, a sua solução
é dada pelas curvas de φ(x, y) = c, onde c ∈ R. Logo, um φ(x, y, c) = 0 caracteriza sua
solução.
Há duas condições para uma equação ser exata:
• As derivadas parciais de Q e P devem ser iguais: ∂Q
∂x
= ∂P
∂y
• P (x, y) e Q(x, y) devem estar definidas em todo o R2 ou em um domínio simplesmente
conexo do plano, ou seja, contínuo e sem buracos.
6
7.1 Método de Solução de Equações Exatas
Se a equação for exata, podemos aplicar o seu método de solução e chegar em uma solução
geral sem muitas dificuldades. Relembrando a condição de existência de φ:
Condição de Existência
Uma equação do tipo P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 é exata se existir uma função φ(x, y)
que satisfaz ∂φ
∂x
= P (x, y) e ∂φ
∂y
= Q(x, y).
Com base nisso, podemos perceber que a partir de φ podemos chegar tanto em P quanto em
Q. O processo contrário é dado pela primitivação. Logo, o que queremos é encontrar φ a
partir de P e Q.
Temos que:
↪→ ∂φ
∂x
= P (x, y)
↪→ ∂φ
∂y
= Q(x, y)
Podemos aplicar a primitivação nas duas equações e encontrar duas funções φ:
↪→ φ(x, y)P =
∫
P (x, y)dx+ h(y)
↪→ φ(x, y)Q =
∫
Q(x, y)dy + g(x)
Sendo φ(x, y)P apenas em relação a x, y é tratado como constante, por isso um h(y) ∈ R
constante. Da mesma forma em φ(x, y)Q, sendo em relação a y, com x e g(x) ∈ R constantes.
Com φ(x, y)P e φ(x, y)Q em mãos, podemos compara-los e obter uma função φ final. Verifique
as diferenças, e acima de tudo, verifique h(y) e g(x). A equação mais completa e de maior
grau é a real φ.
Ao final teremos um φ(x, y) = c, com c ∈ R, que é a solução geral para dy
dx
= F (x, y). Suas
curvas de soluções caractererizam as soluções da equação diferencial.
8 Fator Integrante
Caso a equação diferencial não seja exata, então não podemos aplicar o seu método de solu-
ção, pelo menos não diretamente. Se multiplicarmos a equação inteira por um coeficiente em
específico, ela se tornará exata, e então será possível aplicar o método de solução. Esse coe-
ficiente é chamado de fator integrante, e podemos acha-lo de uma maneira muito simples.
7
8.1 Encontrando o Fator Integrante
Há uma única condição aqui: Se
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
Q(x,y)
só depender de x, ou for constante, então é posível
calcular o fator integrante. Caso contrário, não.
Primeiramente, vamos calcular g(x), que irá nos auxiliar a encontrar o fator integrante µ.
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
Q(x,y)
= g(x)
µ(x) = e
∫
g(x)dx
Devemos, então, multiplicar a equação inteira por esse fator:
(µ(x))P (x, y)dx+ (µ(x))Q(x, y)dy = 0
Agora já é possível aplicar o método de resolução de Equações Exatas.
9 Equações Lineares de Primeira Ordem
Podemos classificar uma equação diferencial por sua linearidade. Uma equação diferencial
linear de primeira ordem tem a seguinte forma:
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
Toda equação linear com esse formato tem um fator integrante µ(x) = e
∫
p(x)dx.
Logo, podemos reescrever a equação como:
e
∫
p(x)dx. dy
dx
+ e
∫
p(x)dx.p(x)y = e
∫
p(x)dx.q(x)
Logo, podemos encontrar y = f(x) da seguinte forma:
y(x) = e−
∫
p(x)dx(
∫
e
∫
p(x)dxq(x)dx+ C), com C ∈ R.
8