UNIDADE 2 - Equações diferenciais de primeira ordem.

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UNIDADE 2-Equações diferenciais de primeira ordem.
OBJETIVOS DA UNIDADE
· Apresentar os conceitos básicos de equações diferenciais;
· Enunciar os principais tipos de equações diferenciais de primeira ordem;
· Demonstrar formas de resolução das equações diferenciais de primeira ordem.
TÓPICOS DE ESTUDO
Concepção e classificação das equações diferenciais
// Classificação pelo tipo
// Classificação pela ordem 
// Classificação pela linearidade
// Soluções de equações diferenciais
Equações diferenciais de primeira ordem
// Equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau 
// Variáveis separáveis
// Equações homogêneas
// Equações exatas
// Equações lineares
Concepção e classificação das equações diferenciais
Geralmente, em problemas de cálculo anteriormente vistos, aprendemos que dada uma função f(x), temos a derivada da função:
Tal derivada é calculada por regras e fórmulas já conhecidas, como por exemplo: se y = f(x) = ex², sua derivada corresponde a f’(x) + 2xex2 ou f’(x) = 2xy.
No entanto, o tipo de problema que abordaremos nesta unidade não é encontrar derivadas de funções conhecidas, mas sim dada uma equação, como:
Deve-se encontrar, de alguma forma, uma função f(x) que satisfaça a equação acima, ou seja, nessa unidade aprenderemos a resolver equações diferenciais.
Dentro de uma função, há uma relação entre as variáveis com n constantes arbitrárias, denominada primitiva, por exemplo: y = x2 + Ax.
As constantes n, acima representada pela letra A, nos casos em que não se pode reduzir por uma constante de menor valor, são chamadas de essenciais. De maneira geral, uma primitiva com n constantes procederá uma equação diferencial de ordem n e livre de constantes arbitrárias.
// Exemplo 1
 condição para a criação de uma determinada curva está definida na condição de que todos os pontos (x, y) da curva tenham a inclinação do ponto, ou seja, a derivada (dx/dy), igual ao dobro da soma das coordenadas. Observando a Figura 1, podemos ver a demonstração da condição de criação por meio das equações diferenciais.
A equação corresponde a:
Figura 1. Representação da curva da equação.
// Exemplo 2
Dada uma curva construída a partir da condição de que a soma dos segmentos determinados sobre os eixos x e y, pela tangente à curva, constante e igual a 2 em qualquer ponto.
Vejamos, então, como equacionar a condição da curva utilizando uma equação diferencial:
A tangente da curva no eixo cartesiano é:
Os segmentos determinados são:
Portanto, a equação diferencial considerada é igual a:
Multiplicando tudo por (dy/dx) e por -1:
// Exemplo 3
Uma indústria que produz açúcar está testando seu produto e chega à conclusão de que 100 gramas de açúcar é transformado em dextrose em uma taxa diretamente proporcional à quantidade que não foi transformada.
Vejamos como especificar a fórmula (equação diferencial) que entrega como resultado a razão de transformação após t minutos:
Considerando que G é a quantidade de gramas de açúcar convertido em dextrose, logo (100 – G) corresponde à quantidade não transformada. Considerando ainda uma constante de proporcionalidade k, temos:
// Exemplo 4
Considerando o movimento de uma partícula de massa m que se movimenta ao longo de uma reta (eixo x) sob a ação de duas forças. 
A primeira resistente à velocidade empregada e a segunda proporcional ao deslocamento a partir de um ponto fixo que chamaremos de origem e direcionada ao mesmo ponto de partida, ou seja, uma força contrária ao deslocamento. Vejamos como transcrever o fenômeno físico em uma equação diferencial:
A primeira força pode ser expressa como uma força contrária ao deslocamento e proporcional à distância percorrida, como por exemplo, o que ocorre quando um corpo é ligado a uma mola de constante k e essa mola é alongada uma certa distância x:
Força f1 = -k1.x
A segunda força pode ser entendida como uma força contrária à velocidade, como por exemplo, o que ocorre com um amortecedor, ou seja:
Figura 2. Representação das forças envolvidas no movimento do corpo.
Aplicando a somatória de forças chegamos a:
Dado os conceitos iniciais e alguns exemplos de modelamento e concepção das mesmas, podemos observar que há inúmeras formas de concepção e, portanto, tais equações devem ser classificadas, seguindo os parâmetros, de acordo com: tipo, ordem e linearidade.
EXPLICANDO
Equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma ou várias derivadas de uma só variável independente, por exemplo, seja y uma função de x então, uma EDO é uma equação que envolve:
// Exemplo 5
Equações que contêm derivadas de uma só variável independente são denominadas equações diferenciais ordinárias, como visto abaixo:
// Exemplo 6
Equações que contém derivadas de duas ou mais variáveis independentes são denominadas equações diferenciais parciais (EDP), como visto abaixo:
CLASSIFICAÇÃO PELA ORDEM
A ordem de uma equação diferencial é igual a ordem da derivada de maior ordem na equação, como por exemplo:
Tal equação corresponde a uma equação diferencial de segunda ordem.
Dada as EDOs abaixo, vamos classifica-las acordo com sua ordem:
Equação diferencial ordinária de 1ª ordem:
Equação diferencial ordinária de 2ª ordem:
Como as equações diferenciais parciais demandam um conhecimento aprofundado sobre as equações diferencias ordinárias, as mesmas serão apresentadas primeiramente a fim de gerar um conhecimento prévio e uma boa base teórica.
Uma equação diferencial pode ser apresentada da seguinte forma:
Tomando tal representação como exemplo, veremos outro tipo de classificação das equações diferenciais.
CLASSIFICAÇÃO PELA LINEARIDADE
Uma equação diferencial é classificada como linear quando se pode escrevê-la tal como:
Pode-se observar que as equações lineares têm algumas características marcantes, que são:
· A variável dependente y e suas respectivas derivadas correspondem a termos do primeiro grau, ou seja, os termos envolvendo y são iguais a 1;
· Todo coeficiente depende exclusivamente de x (variável independente).
Obviamente, quando a equação diferencial não atende tais condições, a mesma é denominada como equação não linear.
Agora veremos a classificação de algumas equações de acordo com seu tipo, ordem e linearidade:
a) Equação diferencial ordinária, linear de primeira ordem:
xdy + ydx = 0
b) Equação diferencial ordinária, linear de segunda ordem:
y" - 2y' + y = 0
c) Equação diferencial ordinária, linear de terceira ordem:
d) Equação diferencial ordinária, não linear de segunda ordem:
e) Equação diferencial ordinária, não linear de terceira ordem:
SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
O principal objetivo de tal conteúdo é elucidar ou encontrar formas de se resolver equações diferenciais. Logo, dada uma função f definida em um intervalo x, tal que, quando inserida na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, definida como solução para a equação no intervalo correspondente.
EXPLICANDO
Tal termo quer dizer que quando a função f é substituída na equação diferencial temos uma satisfação da equação com a inserção da função, como, por exemplo, dada uma equação diferencial ordinária F(x, y, y’, ..., yn) = 0, se f for uma solução para a equação diferencial, então f irá satisfazer: F(x, f(x), f’(x), ..., fn(x)).
Dada a equação não linear abaixo, podemos verificar se y = x4/16 é uma solução para a equação diferencial:
No intervalo (-∞, +∞) 
Uma forma de se verificar se a função é uma solução é escrever a equação diferencial na seguinte forma:
E em seguida verificar se a função, após ser inserida na equação acima, tem a subtração zero para todo x especificado no intervalo, assim, se y = x4/16, temos:
Logo percebemos que o resultado é zero para qualquer x no intervalo (-∞, +∞).
Vejamos mais um exemplo:
Dada a equação linear abaixo, vamos verificar se y =xex é uma solução para a equação diferencial, no intervalo (-∞, +∞):
Assim, notamos que a equação é igual a zero para qualquer valor de x no intervalo (-∞, +∞).
DICA
Notamos que no exemplo acima a função y = 0 também corresponde a uma solução para aequação diferencial. Uma solução identicamente nula para uma equação diferencial em um determinado intervalo é denominada solução trivial.
As soluções de equações diferenciais podem ser divididas em soluções implícitas ou explícitas, dessa forma, uma solução para uma equação diferencial pode ser escrita na forma y = f(x), chamada de explícita, e podemos chamar G(x, y) de solução implícita de uma equação diferencial ordinária, em determinado intervalo, se a função determina uma ou mais soluções explícitas dentro do intervalo em questão.
Agora, considerando o intervalo (-2 < x < 2), vejamos como podemos verificar se x2 + y2 – 4 = 0 constitui uma solução implícita para a seguinte equação diferencial:
Há também as particularidades no número de possíveis soluções de uma equação diferencial já que esta pode possuir um número infinito de soluções.
Podemos verificar tal fato analisando, por exemplo, a função y = cex2. Em que c é uma incógnita arbitrária que satisfaz a equação diferencial e c = 0 corresponde à solução trivial da equação (ver Figura 3).
Figura 3. Inúmeras soluções de acordo com o parâmetro C.
Para seguirmos com nossos estudos, vamos verificar se a função y = c/x + 1 é solução para a equação diferencial abaixo no intervalo (0, ∞):
Observa-se que variando o parâmetro c chegamos a inúmeras soluções e, em particular, fazendo c = 0 chegamos à solução constante y = 1 (veja a Figura 4).
Há casos em que se somando soluções podemos chegar a outras soluções para a mesma equação diferencial.
Figura 4. Inúmeras soluções de acordo com o parâmetro C.
Partindo para outro exemplo, dada a equação diferencial xy’ – 4y = 0, vejamos como verificar se = c/x + 1 é solução para a equação diferencial abaixo no intervalo (0, ∞):
Devemos calcular, então:
Logo, constituindo uma solução no intervalo (-∞, +∞) (ver Figura 5).
A função definida por partes também é uma solução, variando conforme os parâmetros c e x (ver Figura 6):
Figura 5. Soluções de acordo com o parâmetro C.
Figura 6. Solução função definida por partes.
Equações diferenciais de primeira ordem
Supondo que há a necessidade de se resolver a equação diferencial de primeira ordem y' = f(x,y). Sujeita à condição y(x0) = y0, em que x0 é um número dentro do intervalo considerado, e a variável y0 é um número arbitrário. Logo:
Sujeito a: y(x0) = y0. 
Tal problemática é denominada problema de valor inicial em que estamos procurando uma solução em um determinado intervalo L (ver Figura 7), tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo).
Figura 7. Problema do valor inicial.
Agora, partiremos para outro exemplo:
Dado que y = cex constitui uma família de soluções para y’ = y no intervalo (-∞, +∞), se por exemplo, escolhermos um ponto tal como y(0) = 3, fazendo x = 0 e y = 3, chegamos em: 3 = ce0 = c. Portanto, a função é determinada como: y = 3ex.
Figura 8. Gráfico da solução y = cex. Fonte: ZILL; CULLEN, 2001.
Neste caso, buscamos uma solução que passasse pelo ponto (0, 3), mas também   poderíamos escolher o ponto (1, 3), por exemplo, ficando: c = 3e-1. Logo, a função fica definida como: y = 3ex-1 também indicado no gráfico da Figura 8.
No entanto, primeiramente deseja-se saber se existe uma solução para um dado problema, e se caso existir, se esta solução é única. O teorema de Picard (ver Figura 9) resulta na condição de existência de soluções e unicidade das mesmas:
Figura 9. Ilustração do teorema de Picard.
EXPLICANDO
O teorema de Picard diz que:
Se uma região R, retangular no plano cartesiano, definida em (a ≤ x ≤ b) e (c ≤ y ≤ d), contendo o ponto (X0, Y0) em seu interior, se a função f(x, y) e ∂f/∂y são continuas em R, logo existe um intervalo L, centrado em X0, e uma única função y(x) definida no intervalo que satisfaz o problema de valor inicial.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
Uma equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau pode ser escrita da seguinte forma:
Vejamos, então, como reescrever as equações diferenciais abaixo no formato M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0:
O modo correto de reescrever essa equação é: (y + x) dx + (y - x) dy = 0.
O modo correto de reescrever essa equação é: (1 + x2y)dx – dy = 0.
Se a soma de M(x, y) com N(x, y) for igual a diferencial total de uma equação t(x, y), logo tal equação é denomina equação diferencial exata e t(x, y) = C, que é igual a sua solução geral.
Agora, vamos verificar se M(x, y) + N(x, y) = t(x, y) para a seguinte equação:
Integrando M em relação a x, temos:
Integrando N em relação a y, temos:
Portanto, (x3y2) corresponde à solução geral.
VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
As variáveis separáveis estão entre as equações diferenciais mais simples de serem resolvidas, dado uma função g(x), tal que:
A equação pode ser simplesmente resolvida por integração, assim:
Para as equações diferenciais abaixo, aplicaremos o método de solução das variáveis separáveis.
1. Utilizando o método das variáveis separáveis, temos a aplicação da integral:
2. Seguindo o mesmo raciocínio, temos:
Para a equação diferencial abaixo, aplica-se o método de solução das variáveis separáveis e resolver o problema de valor inicial y(4) = -3.
Modificando a equação, chegamos em:
Assim, temos que chegar a:
Que resulta em:
Reescrevendo a solução, chegamos em x² + y² = c². Tal equação representa um gráfico de círculos concêntricos (ver Figura 10), assim, substituindo os valores, temos x = 4 e y = -3, assim o problema determina que 4² + 3² = c² = c = 5. Ou seja, um círculo de raio igual a 5.
Figura 10. Gráfico do resultado – círculos concêntricos. Fonte: JÚNIOR, 1959.
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
A função homogênea é definida como: f(tx, ty) = tnf(x, y). Portanto, definimos tal função como homogênea de grau n, seja n um número real. Para a resolução de tal equação, consideramos M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, aplicando uma substituição algébrica y = ux ou x = vy. Levando em consideração que u e v são novas variáveis independentes, tal substituição resultará em uma equação de primeira ordem separável, como por exemplo, fazendo y = ux, logo sua diferencial é dy = udv + xdu, então: M (x, ux) + N(x, ux) [udx + xdu] + 0.
Tomando como partida a propriedade de homogeneidade, temos: f(tx, ty) = tn f(x, y). Temos que considerar: xnM (1, u) dx + xnN (1, u) [udx + udx] = 0. Rearranjando, chegamos em: [M(1, u) + uN(1, u]dx + xN(1, u)du = 0. Por fim:
Agora, vejamos como classificar as equações abaixo de acordo com a condição de homogeneidade e quanto ao grau de cada uma.
1. Fazendo f(tx, ty), temos:
Logo, a função é homogênea de grau 2.
2. Aplicando f(tx, ty), chegamos em:
A função é homogênea de grau 2/3.
3. Utilizando o mesmo raciocínio, temos:
Portanto, como podemos notar, a função não é homogênea, já que: 
Agora, vamos calcular a equação diferencial homogênea utilizando o método de resolução de equações homogêneas, considerando a seguinte equação: (x² + y²) dx + (x² - xy)dy = 0. 
Já que M(x, y) e N(x . y) são homogêneas de grau dois, temos que considerar Y = ux, e logo teremos: (x² + u²x² )dx + (x² - ux²)[udx + xdu] = 0. Reagrupando a equação ficamos com: x² (1 + u)dx + x³ (1 - u)du = 0.
Então:
Após a integração, temos que:
Podemos reescrever a equação usando as propriedades logarítmicas:
Chegando ao resultado final, que é:
Agora, iremos resolver a equação abaixo utilizando o método de resolução de equações homogêneas:
Os coeficientes M e N são homogêneos de grau um, logo y = ux, e a equação então se torna igual a:
DICA
A integral do primeiro termo pode ser calculada mais facilmente, fazendo t = u½.
Realizando a substituição, temos:
Finalmente integramos e chegamos em:
Lembrando que t = u½  e u = y/x, então temos:
Chegamos no seguinte resultado:
Uma das dúvidas que pode surgir nesse momento é o questionamento de quando se deve substituir x = vy. Embora tal substituição possa ser feita em qualquer equação diferencial homogênea, na prática nós a utilizamos sempre que a função M(x, y) é mais simples que N(x, y).
EQUAÇÕES EXATAS
Uma equação diferencial é dita exata quando podeser escrita na forma:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e também na condição:
Deve ser verdadeira, ou seja, é separável e homogênea, por exemplo: a equação Ydx + xdy = 0 é separável e homogênea, mas também podemos perceber que ela é igual ao diferencial do produto xy, ou seja, d(xy) = ydx + xdy. Dada uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então sua diferencial total é igual a:
Supondo que f(x, y) = c, logo sua diferencial total é igual a zero, ou seja:
Logo, dada uma família de curvas f(x, y) = c é possível gerar uma equação diferencial de primeira ordem apenas calculando sua diferencial total. Para se resolver as equações exatas, deve-se seguir alguns passos lógicos, que veremos logo abaixo.
Dada uma certa equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. 
Deve-se primeiro provar primeiro que:
Depois faça que:
Após isso, é possível encontrar a função f, integrando M(x, y) em relação a x, considerando o y como constante, logo:
em que g(y) é uma constante de integração. A partir daí, deriva-se a integral em relação a y e se considera que:
Logo:
E, na sequência:
Por fim, integrando a equação acima em relação a y, e substituindo na penúltima equação demonstrada, chegamos ao resultado: F(x, y) = c.
Agora, veremos como calcular determinada equação utilizando o método de resolução de equações diferenciais exatas.
A equação usada como exemplo será: 2xy dx + (x² - 1)dy = 0.
Primeiramente nomeamos os termos M e N:
M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x2 – 1.
Em seguida, verificamos as condições de derivadas parciais de M e N:
Portanto, f(x, y) é exata e existe uma função f(x, y) tal que:
Integrando a primeira equação acima, chegamos em f(x, y) = x²y + g(y).
Derivando tal expressão e igualando a mesma ao valor de N(x, y) chegamos em:
Logo, chegamos a: g’(x) = -1 e g(x) = -y
A solução geral encontrada, portanto, é x²y – y = c. Observe a Figura 11.
Figura 11. Gráfico da equação diferencial exata. Fonte: ZILL, 2001.
EQUAÇÕES LINEARES
Uma equação é denominada linear quando:
Porém, sua forma mais usual é obtida quando se divide todos termos por a1.              Então, considerando:
Podemos reescrever tal expressão tal como: dy + [P(x)y – f(x)]dx = 0. Tais equações têm como característica a possibilidade de encontrar uma função µ(x), tal que:
Logo, a equação acima é exata se: 
Logo, constituindo uma equação separável em que podemos determinar o termo µ(x):
Ou seja:
O termo µ(x) é denominado fator de integração. Utilizando o método de resolução de equações lineares, vejamos como resolver a seguinte equação:
Primeiramente deixamos a equação na forma convencional, isolando o dy/dx:
Nesse passo, devemos calcular o fator de integração, levando em consideração que P(x) = -4/x:
Agora multiplicando por:
chegamos a:
Resultando em:
Resolvendo por integração por partes, chegamos no resultado y = x5ex – x4ex + cx4. Por fim, veremos como resolver a equação dy/dx -3y = 0, utilizando a forma convencional de resolução de equações diferenciais lineares.
Como a equação já está reduzida, podemos calcular o fator de integração:
Dessa forma, temos que calcular:
Portanto, chegamos no resultado final:
SINTETIZANDO
Nesta unidade, procuramos apresentar os conceitos fundamentais das equações diferenciais, enunciar as formas de classificações, bem como apresentar algumas equações importantes que estão presentes na modelagem dos mais diversos fenômenos. Dentre as inúmeras aplicações, podemos destacar o cálculo de fenômenos físicos das mais variados da natureza, como o movimento de uma massa associada a uma mola e amortecedor.
Os objetivos pré-estabelecidos foram cumpridos, já que logo inicialmente foi possível apresentar os conceitos básicos de equações diferenciais, bem como identificar e classificar tal tipo de equação. Ao longo do conteúdo, podemos ter o conhecimento acerca dos principais tipos de equações diferenciais de primeira ordem e demonstrar formas de resolução das equações diferenciais de primeira ordem. Os conceitos abordados nesse conteúdo permitem o cálculo de equações diferenciais exatas, homogêneas, separáveis, lineares, etc.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson, 2012.
GOLDSTEIN, L. J. Calculus and its applications. 13. ed. Boston: Pearson, 2014.
JÚNIOR, F. A. Equações diferenciais. Nova York: McGraw-Hill, 1959.
STEWART, J. Calculus early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson, 2009.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson, 2001.