Lista 6 B2023 - Casa - Gabarito

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MAE0116 – Noções de Estatística
Lista de exercícios 6 – Normal – Casa (Gabarito)
Exercício 1 (1,0 ponto)
Considere que o tempo de duração de gravidez possa ser aproximado pela distribuição normal com
média de 268 dias e desvio padrão de 15 dias. Definindo como prematura uma criança que nascer
com menos de 247 dias de gestação, responda:
(a) (0,5) Qual é a porcentagem de crianças nascidas prematuramente?
Resolução.
Seja X o tempo de gestação de um bebê, em dias, em que X ∼ N(268, 152)
Uma criança será considerada prematura se o seu tempo de gestação for inferior a 247 dias,
ou seja, se X < 247. Então, devemos calcular P (X < 247) com as ferramentas de cálculo
disponíveis.
A seguir apresentamos como calcular a probabilidade P (X < 247) de dois modos: (i) por meio
do Rcmdr; (ii) com o aplicativo Probability Distributions.
(i) Utilizando o Rcmdr:
Vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribuição Normal → Proba-
bilidades da Normal.
Antes de preencher os campos com as informações do exercício na janela que abriu, temos
que selecionar entre Cauda inferior e Cauda superior. Neste item é pedido P (X < 247),
que equivale a calcular P (X ≤ 247), uma vez que a distribuição normal é uma distribui-
ção contínua.
Assim, selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com
247; em Média preencha com 268; e informe na caixa Desvio padrão o valor 15.
Aperte em OK. O resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(247), mean=268, sd=15, lower.tail=TRUE)
[1] 0.08075666
Logo, a porcentagem de crianças nascidas prematuramente é de aproximadamente 8,08%.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 268 e σ = 15.
1
Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que no nosso
caso é 247. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é apresentado
a seguir:
Assim, a porcentagem de crianças nascidas prematuramente é de 8,08% .
(b) (0,5) Se desejássemos mudar a definição de uma criança prematura como sendo “aquela
cujo o período de gestação está entre os 4% menores tempos de gestação”, qual seria o
tempo mínimo de gestação para que uma criança não fosse considerada prematura?
Resolução.
Para que uma criança não seja considerada prematura, seu tempo de gestação tem que ser maior
do que um valor, digamos a, sendo que o valor a é aquele que deixa 4% dos tempos de gestação
abaixo dele. Assim, o valor a é tal que P (X < a) = 0, 04. O valor a é o percentil de ordem 4
(ou 4%).
A seguir descrevemos como obter o valor do quantil q pelas três ferramentas.
(i) Utilizando o Rcmdr:
Vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribuição Normal → Quantis
da Normal.
Selecione Cauda inferior; em Probabilidades preencha com 0.04; em Média
preencha com 268; e em Desvio padrão preencha com 15. Aperte em OK. O resultado
é apresentado a seguir.
> qnorm(c(0.04), mean=268, sd=15, lower.tail=TRUE)
2
[1] 241.7397
Desse modo, para que uma criança não seja considerada prematura pelo novo critério, seu
tempo de gestação tem que ser, no mínimo, de 241,74 dias.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), em que µ = 268 e σ = 15. Agora, selecione
P (X < x) e indique que o seu valor é igual a 0.4, deixando o espaço do valor de x em
branco. A saída do aplicativo é apresentada a seguir.
Desse modo, para que uma criança não seja considerada prematura pelo novo critério, seu
tempo de gestação tem que ser, no mínimo, de 241,74 dias.
Exercício 2 (2 pontos)
Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição
da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. Admita que o
tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores siga, aproximadamente, a distribuição
normal, sendo que no tipo A com média 9 meses e desvio padrão 2 meses e, no tipo B, com média 12
meses e desvio padrão 3 meses. Sabe-se ainda que cada televisor de tipo A e B é vendido com lucro
de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00, respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de R$ 3.000,00
e R$ 8.000,00, respectivamente.
(a) (0,8) Calcule as probabilidades de haver restituição do valor pago para televisores do tipo
A e do tipo B.
3
Resolução.
Sejam as variáveis aleatórias:
A: tempo para ocorrência de defeitos nos televisores de tipo → A ∼ N(9; 22).
B: tempo para ocorrência de defeitos nos televisores de tipo → B ∼ N(12; 32).
Haverá restituição, de A ou de B, se apresentar defeito antes de 6 meses.
Portanto, temos que calcular P (restituição da TV tipo A) = P (A < 6) e P (restituição da
TV tipo B) = P (B < 6).
A seguir apresentamos como calcular a probabilidade P (A < 6) e P (B < 6) de dois modos:
(i) por meio do Rcmdr; (ii) com o aplicativo Probability Distributions.
(i) Utilizando o Rcmdr:
Primeiramente, para calcular P (A < 6), vá até a aba Distribuições → Distribuições Con-
tínuas → Distribuição Normal → Probabilidades da Normal.
Selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com 6; em
Média preencha com 9; e informe na caixa Desvio padrão o valor 2. Aperte em
OK. O resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(6), mean=9, sd=2, lower.tail=TRUE)
[1] 0.0668072
Agora, para calcular P (B < 6), vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas →
Distribuição Normal → Probabilidades da Normal.
Selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com 6; em
Média preencha com 12; e informe na caixa Desvio padrão o valor 3. Aperte em
OK. O resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(6), mean=12, sd=3, lower.tail=TRUE)
[1] 0.02275013
Logo, as probabilidades de haver restituição do valor pago para televisores do tipo A e do
tipo B são 0,0668 e 0,0228, respectivamente.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
Para P (A < 6), no menu Select a Distribution escolha a distribuição normal.
Insira os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 9
e σ = 2. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 6. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é
apresentado a seguir:
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Para P (B < 6), no menu Select a Distribution escolha a distribuição normal.
Insira os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 12
e σ = 3. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 6. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é
apresentado a seguir:
Logo, as probabilidades de haver restituição do valor pago para televisores do tipo A e do
tipo B são 0,0668 e 0,0228, respectivamente.
(b) (1,0) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.
Resolução.
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Sejam LA o lucro dos televisores do tipo A e LB o lucro dos televisores do tipo B. Então
a distribuição de probabilidades das variáveis aleatórias LA e LB são dadas, respectivamente,
por:
LA P (LA)
-3000 P (A < 6) = 0, 0668
1000 P (A ≥ 6) = 0, 9332
1
LB P (LB)
-8000 P (B < 6) = 0, 0228
2000 P (B ≥ 6) = 0, 9772
1
Portanto, o lucro médio para os televisores do tipo A é dado por:
E(LA) = −3000× 0, 0668 + 1000× 0, 9332 = −200, 40 + 933, 20 = 732, 80 reais.
E o lucro médio para os televisores do tipo B é dado por:
E(LB) = −8000× 0, 0228 + 2000× 0, 9772 = −182, 40 + 1954, 40 = 1772, 00 reais.
(c) (0,2) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos
do tipo A ou do tipo B? Por quê?
Resolução.
Baseando-se nos lucros médios dos 2 tipos de televisores, a empresa deve incentivar as vendas
dos aparelhos de tipo B, pois apresentam um lucro médio maior (R$ 1772,00 contra R$ 732,80
de A).
Exercício 3 (2 pontos)
Suponha que a concentração sérica de tiroxina T4(D) em cães machossadios tenha distribuição Nor-
mal com média 2,04 mcg/100ml e desvio padrão 0,78 mcg/100ml.
(a) (0,6) Determine a probabilidade de um cão macho sadio, aleatoriamente selecionado,
apresentar concentração sérica de tiroxina:
Resolução.
6
Seja X a concentração sérica de tiroxina T4(D) em cães machos sadios. em que
X ∼ N(2, 04; 0, 782).
i. Inferior a 2,81 mcg/100ml.
Neste caso, temos que que calcular P (X < 2, 81). A seguir apresentamos como calcular a
probabilidade P (X < 2, 81) de dois modos: por meio do Rcmdr; com o aplicativo Probability
Distributions.
Utilizando o Rcmdr:
Para calcular P (X < 2, 81), vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas → Distri-
buição Normal → Probabilidades da Normal.
Selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com 2.81; em Média
preencha com 2.04; e informe na caixa Desvio padrão o valor 0.78. Aperte em OK. O
resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(2.81), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=TRUE)
[1] 0.8382227
Logo, P (X < 2, 81) = 0, 8382.
Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
Para P (X < 2, 81), no menu Select a Distribution escolha a distribuição normal.
Insira os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 2.04
e σ = 0.78. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 2.81. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é
apresentado a seguir:
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Logo, P (X < 2, 81) = 0, 8382.
ii. Superior a 1,8 mcg/100ml.
Aqui, queremos calcular P (X > 1, 8). A seguir apresentamos como calcular a probabilidade
P (X > 1, 8) de dois modos: por meio do Rcmdr; com o aplicativo Probability Distributions.
Utilizando o Rcmdr:
Para calcular P (X > 1, 8), vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribui-
ção Normal → Probabilidades da Normal.
Selecione Cauda Superior; em Valores da variável preencha com 1.8; em Média
preencha com 2.04; e informe na caixa Desvio padrão o valor 0.78. Aperte em OK. O
resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(1.8), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=FALSE)
[1] 0.6208418
Logo, P (X > 1, 8) = 0, 621.
Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
Para P (X > 1, 8), no menu Select a Distribution escolha a distribuição normal.
Insira os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 2.04
e σ = 0.78. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 1.8. Por fim, indique que desejamos calcular P (X > x). O resultado é
apresentado a seguir:
8
Logo, P (X > 1, 8) = 0,621.
iii. Entre 1,01 e 2,50 mcg/100ml.
Neste último caso, queremos calcular P (1, 01 ≤ X ≤ 2, 50). Como, neste caso, P (1, 01 ≤
X ≤ 2, 50) = P (X ≤ 2, 50) − P (X ≤ 1, 01), precisamos calcular P (X ≤ 2, 50) e P (X ≤
1, 01). A seguir apresentamos como calcular a probabilidade P (X ≤ 2, 50) e P (X ≤ 1, 01) de
dois modos: por meio do Rcmdr; com o aplicativo Probability Distributions.
Utilizando o Rcmdr:
Para calcular P (X ≤ 2, 50), vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas → Distri-
buição Normal → Probabilidades da Normal.
Selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com 2.50; em Média
preencha com 2.04; e informe na caixa Desvio padrão o valor 0.78. Aperte em OK. O
resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(2.50), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=TRUE)
[1] 0.7223187
Para calcular P (X ≤ 1, 01), procedemos de forma análoga, colocando agora em Valores
da variável o valor 1.01. O resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(1.01), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=TRUE)
[1] 0.09333193
Logo, P (1, 01 ≤ X ≤ 2, 50) = 0, 7223187− 0, 09333193 ≈ 0, 629.
Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
Para P (X ≤ 2, 50), no menu Select a Distribution escolha a distribuição normal.
Insira os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 2.04
e σ = 0.78. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 1.8. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é
apresentado a seguir:
9
Analogamente, para P (X ≤ 1, 01), agora usando como valor x, 1.8. O resultado é apresen-
tado a seguir:
Logo, P (1, 01 ≤ X ≤ 2, 50) = 0, 72232− 0, 09333 ≈ 0, 629.
(b) (0,4) Se considerarmos selecionar aleatoriamente 200 cães machos, quantos se poderia
esperar que tivessem uma concentração sérica entre 2,20 e 3,80 mcg/100ml?
Resolução.
Neste caso, primeiramente, devemos calcular P (2, 20 ≤ X ≤ 3, 80). Como, neste caso,
P (2, 20 ≤ X ≤ 3, 80) = P (X ≤ 3, 80)− P (X ≤ 2, 20), precisamos calcular P (X ≤ 3, 80) e
P (X ≤ 2, 20).
10
Essas duas probabilidades podem ser calculadas de forma análoga ao item (a.iii), tanto pelo
Rcmdr quanto no aplicativo, agora nos pontos 3.8 e 2.2. Os resultados são apresentados a
seguir.
> pnorm(c(3.80), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=TRUE)
[1] 0.9879775
> pnorm(c(2.20), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=TRUE)
[1] 0.581264
Logo, P (2, 20 ≤ X ≤ 3, 80) = 0, 9879775− 0, 581264 ≈ 0, 4067.
Pelo aplicativo Probability Distributions, temos:
Assim, em 200 cães machos sadios, esperamos 200 × 0, 4067 ≈ 81 (= E(X), sendo X ∼
b(200; 0, 4067)) cães com concentração sérica entre 2,20 e 3,80 mcg/100ml.
(c) (1,0) Qual é o intervalo de concentração sérica de tiroxina T4(D), simétrico em torno da
média, que abranja 98% dos cães machos sadios?
Resolução.
Estamos procurando pelo valor a tal que o intervalo (2, 04 − a, 2, 04 + a) conterá 98% dos
valores centrais das alturas dos alunos. Em termos da variável aleatória X , podemos escrever:
11
P (2, 04− a < X < 2, 04 + a) = 0, 98.
A figura abaixo apresenta uma ilustração desta probabilidade. Temos que a área destacada em
vermelho é igual a 0,98, que representa P (2, 04− a < X < 2, 04 + a).
Como a área abaixo da função densidade de X é igual a 1, então a área não destacada no gráfico
é igual a 0,02. Assim, pela simetria da curva normal, cada uma das áreas em branco vale 0,01
(= 0, 02/2).
Logo,
P (X ≤ 2, 04 + a) = 0, 98 + 0, 01 = 0, 99.
Chamando de q = 2, 04 + a, então desejamos encontrar o valor do quantil q tal que:
P (X ≤ q) = 0, 99.
A seguir descrevemos como obter o valor do quantil q por duas ferramentas.
(i) Utilizando o Rcmdr:
Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribuição Normal → Quantis da Normal.
Selecione Cauda inferior; em Probabilidades preencha com 0.99; em Média
preencha com 2.04; e em Desvio padrão preencha com 0.78. Aperte em OK. O
resultado é apresentado a seguir.
> qnorm(c(0.99), mean=2.04, sd=0.78, lower.tail=TRUE)
[1] 3.854551
Logo, q = 2, 04 + a = 3, 854551, que implica:
a = 3, 854551− 2, 04 ≈ 1, 8146.
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Portanto, o intervalo simétrico em torno da média 2,04 que abrange 98% das concen-
trações séricas de tiroxina T4(D) em cães machos sadios é (2, 04 − a; 2, 04 + a) =
(0, 2254; 3, 8546)mcg/100ml.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), em que µ = 2.04 e σ = 0.78. Agora, selecione
P (X < x) e indique que o seu valor é igual a 0.99, deixando o espaço do valor de x em
branco. A saída do aplicativo é apresentada a seguir.
Logo, q = 2, 04 + a = 3, 85455, que implica:
a = 3, 85455− 2, 04 = 1, 8146.
Portanto, o intervalo simétrico em torno da média 2,04 que abrange 98% das concen-
trações séricas de tiroxina T4(D) em cães machos sadios é (2, 04 − a; 2, 04 + a) =
(0, 2254; 3, 8546)mcg/100ml.
Exercício 4 (2 pontos)
A proporção de minério no solo de uma região do país pode ser aproximada pela distribuição normal
com média 0,50 e desvio padrão 0,10. Uma mineradora prospecta 10 microrregiões daquela região,
ao acaso, e considera uma microrregião viável se ela apresentar ao menos 60% de minério em seu
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solo, e premium se ela contiver ao menos 70% de minério em seu solo. (Utilize 4 casas decimais nas
respostas). (Utilize 4 casas decimais nas respostas).
(a) (1,0) Supondo que a proporção de minério no solo de cada uma das 10 regiõesseja in-
dependente das demais, qual é a probabilidade de a mineradora encontrar ao menos 4
microrregiões viáveis em sua prospeção?
Resolução.
Seja X a variável aleatória, que representa a proporção de minério no solo de uma região, então
X ∼ N(0, 5; 0, 12). Seja A o evento que representa a microrregião, selecionada ao acaso, é
viável. Então, devemos calcular, primeiramente, P (A) = P (X ≥ 0, 6).
(i) Utilizando o Rcmdr:
Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribuição Normal → Probabilidades da
Normal.
Selecione Cauda superior; em Valores da variável preencha com 0.6; em
Média preencha com 0.5; e informe na caixa Desvio padrão o valor 0.1. Aperte
em OK. O resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(0.6), mean=0.5, sd=0.1, lower.tail=FALSE)
[1] 0.1586553
Logo, P (A) = P (X ≥ 0, 6) ≈ 0, 1587.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), em que µ = 0.5 e σ = 0.1. Coloque como valor
de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que no nosso caso é 0.6. Por fim,
indique que desejamos calcular P (X > x). O resultado é apresentado a seguir.
14
Logo, P (A) = P (X ≥ 0, 6) ≈ 0, 1587.
Portanto, a probabilidade de que uma microrregião, selecionada ao acaso, seja viável é P (A) =
0, 1587.
Seja Y a variável aleatória que representa o número de microrregiões viáveis, dentre as 10
prospectadas pela mineradora, então Y ∼ b(10, p). Assim, devemos encontrar P (Y ≥ 4),
sendo Y ∼ b(10; 0, 1587).
A probabilidade de a mineradora encontrar ao menos 4 microrregiões viáveis em sua prospeção
pode ser calculada usando as seguintes ferramentas:
(i) Utilizando o Rcmdr:
Distribuições → Distribuições Discretas → Distribuição Binomial → Probabilidades da
Binomial, e escrever 10 em Experimentos da binomial e 0.1587 em probabilidade de
sucesso. A saída do programa é mostrada a seguir.
Probability
0 0.17762696246711
1 0.33506952268550
2 0.28442874078908
3 0.14307648056809
4 0.04723156491831
5 0.01069152409728
6 0.00168067759642
7 0.00018116420815
8 0.00001281532740
9 0.00000053720894
10 0.00000001013373
P (Y ≥ 4) = P (Y = 4) + P (Y = 5) + ...+ P (Y = 10)
= 0, 04723156491831 + 0, 01069152409728 + ...+ 0, 00000001013373
≈ 0, 0598.
Assim, a probabilidade da mineradora encontrar ao menos 4 microrregiões viáveis em sua
prospecção é de aproximadamente 0,0598.
Também podemos obter diretamente P (Y ≥ 4) usando probabilidades de caudas por meio
do Rcmdr:
15
Distribuições → Distribuições Discretas → Distribuição Binomial → Probabilidades das
caudas da distribuição binomial, e preencher 3, em Valores da Variável, 10 em
Experimentos da binomial, 0.1587 em Probabilidade de sucesso e
marcar a opção Cauda superior (assim estaremos calculando P (X > 3) que é equi-
valente a P (X ≥ 4)). A seguir a saída do programa:
> pbinom(c(3), size=10, prob=0.1587, lower.tail=FALSE)
[1] 0.05979829
Assim, a probabilidade da mineradora encontrar ao menos 4 microrregiões viáveis em sua
prospecção é de aproximadamente 0,0598.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição binomial. Insira os valo-
res de n e p, neste caso n = 10 e p = 0.1587. Coloque como valor de x o valor 4. Por
fim, selecione P (X ≥ x). O resultado é apresentado a seguir:
Logo, a probabilidade da mineradora encontrar ao menos 4 microrregiões viáveis em sua
prospecção é de 0,0598.
(b) (1,0) Supondo que dada microrregião prospectada seja viável, qual é a probabilidade de
ela ser premium?
Resolução.
Seja B o evento de que a microrregião selecionada é premium. Temos que calcular a P (B|A),
assim vamos precisar calcular A∩B, que são as microrregiões viáveis e premium, então, temos
que:
A ∩B = {X ≥ 0, 6} ∩ {X ≥ 0, 7} = {X ≥ 0, 7} = B
A probabilidade da região ser premium é dada por P (B) = P (X ≥ 0, 7).
16
(i) Utilizando o Rcmdr:
Para calcular P (X ≥ 0, 7), vá até a aba Distribuições → Distribuições Contínuas →
Distribuição Normal → Probabilidades da Normal.
Selecione Cauda superior; em Valores da variável preencha com 0.7; em
Média preencha com 0.5; e informe na caixa Desvio padrão o valor 0.1. Aperte
em OK. O resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(0.7), mean=0.5, sd=0.1, lower.tail=FALSE)
[1] 0.02275013
Logo, P (B) = P (X ≥ 0, 7) ≈ 0, 0228.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 0.5 e σ = 0.1. Co-
loque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que no nosso caso
é 0.7. Por fim, indique que desejamos calcular P (X > x). O resultado é apresentado a
seguir:
Logo, P (B) = P (X ≥ 0, 7) ≈ 0, 0228.
Agora, podemos calcular P (B|A):
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
P (B)
P (A)
=
0, 0228
0, 1587
= 0, 1437
Logo, a probabilidade de que a microrregião prospectada seja premium dado que seja viável é
0,1437.
17
Exercício 5 (3 pontos)
Um grande banco seleciona, através de seu departamento de seleção de pessoal, os funcionários para
trabalhar na empresa, utilizando a pontuação obtida em um único exame de admissão aplicado a
todos os candidatos que se inscrevem. A experiência mostra que a distribuição das pontuações nesse
exame pode ser aproximada por uma distribuição normal, com média 90 e desvio padrão 8. Sabe-se,
também, que 15% dos candidatos com as melhores pontuações são aprovados para trabalhar no setor
Administrativo (gerência e direção), os 35% seguintes são destinados ao setor Operacional (caixas e
escriturários), os 30% seguintes alocados no Setor de Apoio (contínuos e vigilantes) e os restantes
são dispensados. Responda, justificando (utilize 3 casas decimais):
(a) (0,6) Se um candidato que se submeteu a esse exame é aleatoriamente selecionado, qual é
a probabilidade de ele ter alcançado pontuação entre 78 e 102?
Resolução.
Seja X a pontuação de um candidato nesse exame. Temos que X ∼ N(90; 82). Assim, que-
remos calcular P (78 ≤ X ≤ 102). Vimos em aula que que P (78 ≤ X ≤ 102) = P (X ≤
102)− P (X < 78).
Calculando P (X ≤ 102):
(i) Utilizando o Rcmdr:
Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribuição Normal → Probabilidades da
Normal.
Selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com 102; em
Média preencha com 90; e em Desvio padrão preencha o valor 8. Aperte em OK. O
resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(102), mean=90, sd=8, lower.tail=TRUE)
[1] 0.9331928
Logo, P (X ≤ 102) ≈ 0, 933.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira
os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 90 e
σ = 8. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 102. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é
apresentado a seguir:
18
Logo, P (X ≤ 102) ≈ 0, 933.
Calculando P (X < 78):
(i) Utilizando o Rcmdr:
Distribuições → Distribuições Contínuas → Distribuição Normal → Probabilidades da
Normal.
Selecione Cauda inferior; em Valores da variável preencha com 78; em
Média preencha com 90; e em Desvio padrão preencha o valor 8. Aperte em OK. O
resultado é apresentado a seguir.
> pnorm(c(78), mean=90, sd=8, lower.tail=TRUE)
[1] 0.0668072
Logo, P (X ≤ 102) ≈ 0, 067.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira
os valores da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 90 e
σ = 8. Coloque como valor de x o valor que desejamos calcular a probabilidade, que
no nosso caso é 78. Por fim, indique que desejamos calcular P (X < x). O resultado é
apresentado a seguir:
19
Logo, P (X ≤ 102) ≈ 0, 067.
Assim, temos que:
P (78 ≤ X ≤ 102) = P (X ≤ 102)− P (X < 78) = 0, 933− 0, 067 = 0, 866
Portanto, a probabilidade de um candidato, aleatoriamente selecionado, obter uma pontuaçãoentre 78 e 102 é de aproximadamente 0,866.
(b) (0,6) Para um candidato selecionado ao acaso dessa população, qual é a pontuação mínima
alcançada no exame para que não fosse dispensado?
Resolução.
Para que um candidato não seja dispensado, sua pontuação tem que ser maior do que um valor,
digamos x, sendo o valor x aquele que deixa 20% das pontuações abaixo dele, ou seja, o valor
x é tal que P (X < x) = 0, 2. O valor x é o percentil de ordem 20 (ou 20%). Então, para
encontrar o valor de x:
(i) Utilizando Rcmdr para obter x:
No menu principal, siga o caminho: Distribuições → Distribuições Contínuas → Distri-
buição Normal → Quantis da Normal.
Selecione Cauda inferior para informar ao Rcmdr que desejamos obter o quantil x
de tal forma que P (X < x) = p, para uma probabilidade p fixada. Em Probabilidades
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preencha com 0.2; em Média preencha com 90; e informe na caixa Desvio padrão
o valor 8. Aperte em OK. A seguir apresentamos a saída:
> qnorm(c(0.2), mean=90, sd=8, lower.tail=TRUE)
[1] 83.26703
Desse modo, a pontução mínima para um candidato não ser dispensado é de aproximada-
mente 83,267.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição normal. Insira os valores
da média (µ) e do desvio padrão (σ), que para este exercício são µ = 90 e σ = 8. Agora,
selecione P (X < x) e indique o valor da probabilidade igual a 0.2, deixando o espaço
do valor de x em branco. O resultado agora informa x ao invés da probabilidade. A seguir
apresentamos a saída:
Desse modo, a pontução mínima para um candidato não ser dispensado é de aproximada-
mente 83,267.
(c) (0,6) Para um candidato aleatoriamente selecionado dessa população, qual intervalo sua
pontuação no exame deva estar, para que fosse admitido para o Setor Operacional?
Resolução.
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Queremos encontrar o intervalo de pontuações no qual um candidato, aleatoriamente seleci-
onado, é admitido no Setor Operacional. Esquematicamente, das informações do enunciado,
temos:
Assim, devemos encontrar os quantis x1 e x2, tais que P (X ≤ x1) = 0, 85 e P (X ≤ x2) =
0, 50, respectivamente.
Utilizando o Rcmdr ou o Aplicativo, já mostrados exaustivamente nos exercícios anteriores em
situações similares, obtemos: x1 = 98, 291 e x2 = 90.
Logo, a pontuação deve estar no intervalo (90; 98, 291) para que um candidato seja admitido
para trabalhar no setor operacional.
Observação: Equivalentemente, poderíamos obter x1 e x2, tais que P (X ≥ x1) = 0, 15 e
P (X ≥ x2) = 0, 50, obtendo os mesmos resultados.
(d) (0,6) Se 25 candidatos são aleatoriamente selecionados dessa população, e supondo que o
desempenho de cada candidato só dependa de si, qual é a probabilidade de que no máximo
5 sejam admitidos para trabalhar no setor Administrativo?
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Resolução.
Seja Y a variável aleatória que representa o número de candidatos admitidos para trabalhar no
setor Administrativo, dentre os 25 selecionados desta população. Então, Y ∼ b(25, p), sendo
p = P (ser admitido no setor Admin.) = 0, 15.
Assim, devemos obter P (Y ≤ 5), sendo Y ∼ b(25; 0, 15).
(i) Utilizando o Rcmdr:
Podemos obter diretamente P (Y ≤ 5) usando probabilidades de caudas por meio do
Rcmdr:
Distribuições → Distribuições Discretas → Distribuição Binomial → Probabilidades das
caudas da distribuição binomial, e preenchendo com 5 em Valores da Variável,
25 em Experimentos da binomial, 0.15 em Probabilidade de sucesso
e marcar a opção Cauda inferior. A seguir a saída do programa:
> pbinom(c(5), size=25, prob=0.15, lower.tail=TRUE)
[1] 0.8384846
Portanto, a probabilidade de que no máximo 5 candidatos sejam admitidos para trabalhar
no setor Administrativo é aproximadamente 0,838.
(ii) Utilizando o aplicativo Probability Distributions:
No menu Select a Distribution escolha a distribuição binomial. Insira os valo-
res de n e p, neste caso n = 25 e p = 0.15. Coloque como valor de x o valor 5. Por fim,
selecione P (X ≤ x). O resultado é apresentado a seguir:
Portanto, a probabilidade de que no máximo 5 candidatos sejam admitidos para trabalhar
no setor Administrativo é aproximadamente 0,838.
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(e) (0,6) Suponha que, nesse banco, o funcionário no setor Administrativo receba 10 salários
mínimos (s.m.) por mês, no setor Operacional o salário seja 7 s.m./mês, e no setor de
Apoio 3 s.m./mês. Sorteando-se, ao acaso, um candidato dessa população, qual é o seu
salário mensal esperado?
Resolução.
Para calcular o salário mensal esperado do candidato, podemos obter a distribuição de pro-
babilidade do salário S de 1 funcionário que trabalha nesse banco. Assim, a distribuição de
probabilidade de S é dada por:
s 0 3 7 10
P (S = s) 0,20 0,30 0,35 0,15
Então,
E(S) = 0× 0, 2 + 3× 0, 30 + 7× 0, 35 + 10× 0, 15 = 4, 85.
Portanto, o salário mensal esperado do candidato selecionado ao acaso é 4,85 s.m./mês.
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