26385_-_01 (1)

Prévia do material em texto

Versão Condensada
ESTATÍSTICA
Estatística descritiva: 
medidas tendência central
   2
A L F A C O N
Sumário
Estatística descritiva: medidas tendência central ������������������������������������������������������� 3
1� Mediana (me) ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
1.1 Mediana para dados brutos: .............................................................................................................................................. 3
1.2 Mediana para dados ponderados: ................................................................................................................................... 4
1.3 Mediana para dados agrupados: .......................................................................................................................................6
2� Moda (mo) ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7
2.1 Moda para dados brutos: ...................................................................................................................................................8
2.2 Moda para dados ponderados: .........................................................................................................................................8
2.3 Moda para dados agrupados: ...........................................................................................................................................8
Estatística descritiva: medidas tendência central  3
A L F A C O N
Estatística descritiva: medidas tendência 
central
1. Mediana (me)
A mediana é uma medida que divide o conjunto de dados em exatamente 50% para cada lado, por isso ela é um valor de 
referência para indicar o dado que está exatamente no centro. É uma medida ideal para ser utilizada quando o objetivo 
for classificar os elementos avaliados e distingui-los quanto ao desempenho na metade.
Para calcular e identificar a mediana, é necessário que o conjunto de dados esteja ordenado de forma crescente, em rol. 
Além disso, se a quantidade de elementos for ímpar, o valor da mediana corresponde ao valor de central do conjunto de 
dados. Todavia, se a quantidade de elementos for par, é preciso obter a média dos valores centrais para obter a mediana.
1.1 Mediana para dados brutos:
Inicialmente, os dados devem ser colocados em ordem crescente, após isso deve ser identificada a posição central. A 
identificação pode ser de forma visual ou calculando a posição do centro.
X = {15, 20, 10, 30, 20, 15, 0, 5, 15} n = 9
Dados em rol crescente:
Mediana, posição central para número ímpar:
Observe que a mediana é o valor 15 que está na quinta posição dos dados de nove elementos ordenados. Quando for 
obter a mediana em um conjunto de dados muito extenso, identificar visualmente o centro pode ser um pouco difícil, 
para isso calcular a posição central pode ser uma alternativa vantajosa.
Estatística descritiva: medidas tendência central  4
A L F A C O N
Assim, a posição central ou a posição da mediana (PMe) é calculada por n+1 divido por dois. O cálculo fornece a posição 
central do conjunto de dados, que nesse caso corresponde a posição 5.
Caso o conjunto de dados tenha número par no total de elementos, o cálculo da mediana fica da seguinte forma, 
considerando outro exemplo hipotético:
X = {0, 10, 15, 15, 20, 20, 25, 30} n = 8
Visualmente, a mediana está localizada:
A posição da mediana está entre a quarta e quinta posição. Nesse caso, deve-se calcular a média entre os termos que 
estão no centro. Assim, a mediana é 17,5. Se fosse calcular a posição central o resultado seria:
O valor 4,5 indica que a mediana está exatamente no centro entre o 4º termo e 5º termo do conjunto de dados em análise.
1.2 Mediana para dados ponderados:
Para obter o valor da mediana em dados ponderados, a melhor informação que indica a posição do conjunto de dados 
está na frequência acumulada. Isso porque essa frequência acumula os valores das observações anteriores e, de certa 
forma, contabiliza o número de elementos e indica sua posição.
Estatística descritiva: medidas tendência central  5
A L F A C O N
Desse modo, basta identificar, na frequência acumulada, onde está a posição central e ver qual observação corresponde 
a essa posição. O valor que divide a distribuição de frequências em dois grupos com mesmo número de elementos 
estará na posição dada por:
Neste caso, basta identificar a observação que tem frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma 
das frequências absolutas (ou metade do número total de observações).
Observe que até o valor de 15 kg/semana há 4 observações acumuladas, o valor de 20 kg/semana acumula 7 observações 
que inclui a posição 5ª que é imediatamente superior a 4,5. Desse modo, a observação 15 kg/semana é a mediana. O 
aluno não deve confundir a informação da posição dos dados na frequência com o valor correspondente ao fenômeno 
estudado. A mediana sempre será um valor referente ao fenômeno estudado e terá a mesma unidade de medida que 
o mesmo. A posição dos dados ordenados observada na frequência acumulada é apenas um indicativo para localizar 
a mediana.
Se na questão forem fornecidos os dados da frequência acumulada relativa (Fri), é necessário identificar a posição que 
acumula 50% dos dados. Com isso, basta localizar a observação que acumula imediatamente superior a 50% de dados.
Estatística descritiva: medidas tendência central  6
A L F A C O N
1.3 Mediana para dados agrupados:
Para calcular a mediana em conjunto de dados agrupados, é preciso inicialmente identificar a classe mediana, ou seja, 
a classe com o intervalo de valores que engloba a mediana.
A identificação da classe mediana funciona da mesma forma que a identificação da mediana nos dados ponderados. 
Como os dados são agrupados não é possível identificar o valor exato da mediana, e sim a classe em que ela se encontra. 
Para isso, basta localizar a classe imediatamente superior que acumula metade do total dos elementos () na frequência 
acumulada, ou então, que acumula um pouco mais de 50% na frequência acumulada relativa.
Com isso, é possível inferir que a mediana está localizada entre o valor 10 kg/semana até 20 kg/semana. Para calcular 
o valor exato da mediana, é necessário utilizar o cálculo da interpolação linear. Quando se trabalha com dados agru-
pados, utiliza-se esse método de cálculo para estimar o valor dentro do intervalo que corresponde proporcionalmente 
a posição que acumula um pouco mais da metade dos dados.
O cálculo da interpolação linear trabalha com a ideia de que existe uma proporção entre a diferença dos valores obser-
vados com a diferença de sua respectiva frequência acumulada (ou acumulada relativa)� Veja a relação matemática:
Valor Observado (Xi) Quantidade acumulada (Fi)
10 2
Me 4,5
20 6
Estatística descritiva: medidas tendência central  7
A L F A C O N
Essa relação de proporção é a interpolação linear. É possível associar que até o valor de 20 kg/semana acumula-se 6 
observações, assim como, para 20 kg/semana acumula-se 4 observações. Logo, a divisão dessas diferenças estabelece 
uma relação de proporção com qualquer outra relação nesse conjunto de dados. Assim, é possível igualar com a divisão 
de diferenças que tenha a mediana como incógnita, sabendo que a mediana corresponde à frequência acumulada da 
metade dos dados, isto é, posição 4,5. Resolvendo a conta matemática, tem-se:
Observe que o intervalo que vai de 0 até 10 kg/semana acumula até 2 observações, quase a metade da posição da 
mediana (que é 4,5). Desse modo, sabe-se que a mediana estará perto do meio do intervalo da classe mediana (10 até 
20 kg/semana). Enquanto esse cálculo é efetuado, o aluno deve entender que nunca obterá um valor que extrapole 
o limite da classe mediana, assim se porventura ocorrer algum erro no cálculo quepasse desse valor, é interessante 
revisar os cálculos, pois certamente houve algum erro.
A mediana, ao contrário da média, não depende de todos os valores observados; além disso, sofre baixa influência de 
valores extremos. Em adição, não podem ser aplicadas as variáveis qualitativas nominais, uma vez que não é possível 
ordenar os dados. A mediana é adequada quando os dados apresentam grande variabilidade ou distribuição assimétrica, 
além de valores extremos indefinidos.
2. Moda (mo)
A moda é o valor observado que mais se repete no conjunto de dados. Em outras palavras, é o valor com maior fre-
quência, ou então, valor com maior probabilidade de ocorrer. É também a medida descritiva que pode ser facilmente 
identificada em um gráfico de frequência absoluta (em qualquer tipo de representação gráfica), pois será sempre o 
pico (ponto mais alto) do gráfico. Ao contrário da Média e da Mediana, a Moda tem de ser obrigatoriamente um valor 
existente no conjunto de dados.
Um conjunto de dados pode ser Unimodal, quando somente um valor tem mais frequência, exemplo:
X = {2, 3, 4, 4, 4, 5, 8} Mo = 4
Pode ser Bimodal (ou Trimodal, assim por diante) quando duas observações possuem mais frequência do que as demais 
observações, exemplo:
X = {2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7} Mo = 4 e 7
Estatística descritiva: medidas tendência central  8
A L F A C O N
Quando o conjunto de dados não tem um valor que se repete, não existe moda e classifica-se como Amodal, exemplo:
X = {2, 4, 7, 8, 9, 10 ,15} Mo = Ø
2.1 Moda para dados brutos:
Quando a questão apresentar dados na forma bruta, para obter a moda, basta identificar o valor que mais se repete no 
conjunto de dados. Assim, conforme o exemplo:
X = {0, 5, 10, 15, 15, 15, 20, 20, 30}
Mo = 15 kg/semana
A observação de 15 kg/semana repete-se três vezes e mais nenhuma outra observação tem esse mesmo número de 
observações. Logo, a moda é apenas 15 kg/semana.
2.2 Moda para dados ponderados:
Em situação de dados ponderados, para identificar a observação que corresponde à moda, devem-se utilizar as infor-
mações presente na tabela de frequência absoluta ou relativa. Praticamente, a observação que possuir maior valor de 
frequência absoluta ou relativa será a moda. Como é possível identificar na tabela a seguir:
2.3 Moda para dados agrupados:
Como as observações estão agrupadas em classes, é necessário, primeiramente, identificar a classe que engloba a 
moda, denominada de classe modal. Para isso, basta identificar a classe com maior frequência absoluta ou relativa 
(igualmente como para dados ponderados). Portanto:
Estatística descritiva: medidas tendência central  9
A L F A C O N
Após essa etapa, é preciso calcular o valor pontual da moda, que estará dentro dos limites da classe modal. Para isso, 
existem quatro metodologias matemáticas diferentes que podem ser utilizadas.
• Moda Bruta
• Moda de Pearson
• Moda de Czuber
• Moda de King
 ͫ Moda Bruta:
É o método mais simples; consiste em tomar como Moda o ponto médio da classe modal. Assim:
 ͫ Moda de Pearson:
É calculada por meio da média e da mediana a partir da seguinte expressão:
É a diferença entre três vezes o valor da mediana e duas vezes o valor da média. Logo, consoante aos cálculos da média 
e mediana para dados agrupados (Me = 21; X = 19,44):
 ͫ Moda de Czuber:
Essa metodologia estima a moda baseado nos valores de frequência das classes modal, anterior a modal e posterior a 
modal. O cálculo é feito pela seguinte fórmula:
Estatística descritiva: medidas tendência central  10
A L F A C O N
Li: corresponde ao limite inferior da classe modal; Li = 10
h: corresponde à amplitude da classe modal; h =10
fModal: frequência absoluta da classe modal;
fAnt: frequência anterior à classe modal;
fPost: frequência posterior à classe modal;
Desse modo, os valores correspondentes a cada frequência podem ser encontrados:
Com isso, o cálculo é efetuado da seguinte forma:
 ͫ Moda de King:
Estima a moda baseado nos valores de frequência das classes anterior à modal e posterior à modal. O cálculo é feito 
pela seguinte fórmula:
Estatística descritiva: medidas tendência central  11
A L F A C O N
Assim, o cálculo é procedido da seguinte maneira:
	Estatística descritiva: medidas tendência central
	1. Mediana (me)
	1.1 Mediana para dados brutos:
	1.2 Mediana para dados ponderados:
	1.3 Mediana para dados agrupados:
	2. Moda (mo)
	2.1 Moda para dados brutos:
	2.2 Moda para dados ponderados:
	2.3 Moda para dados agrupados: