CAP2Alga20_21

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Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica - Agrup. III
Caṕıtulo 2
Determinantes
Determinante - definição
Existe uma função det que a cada matriz quadrada A = [C1| · · · |Cn] de
colunas C1, . . . , Cn faz corresponder um escalar real det(A) que satisfaz:
1. det(In) = 1;
2. det[· · · |Ci| · · · |Cj| · · · ] = 0 se Ci = Cj ;
3. Para α ∈ R e para cada i ∈ {1, . . . , n},
det[C1| · · · |αCi| · · · |Cn] = αdet[C1| · · · |Ci| · · · |Cn];
4. Para cada i ∈ {1, . . . , n},
det[C1|· · ·|Ci + C′i|· · ·|Cn] = det[C1|· · ·|Ci|· · ·|Cn] + det [C1|· · ·|C
′
i|· · ·|Cn].
Esta função é única e det(A) diz-se o determinante de A.
Notação: det(A) ou |A|.
Determinantes de matrizes 2× 2
u =
 a11
a21
 v =
 a12
a22
 A = [u | v ] =
 a11 a12
a21 a22

A igualdade seguinte
det(A) = a11a22 − a12a21
segue das propriedades 1-4 da definição.
Regra:
det(A) =
∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣∣ = a11a22− a12a21
Exerćıcio: Calcule os seguintes determinantes:
1.
∣∣∣∣∣∣ 3 45 7
∣∣∣∣∣∣ = 3× 7− 5× 4.
2.
∣∣∣∣∣∣ 0 31 2
∣∣∣∣∣∣ = 0× 2− 3× 1.
3.
∣∣∣∣∣∣ sinα −cosαcosα sinα
∣∣∣∣∣∣ = sin2α+ cos2α = 1.
Aplicações dos determinantes
Área de um paralelogramo
 
u 
v
Area(u, v) = | det(A)| para A = [u | v ] matriz 2× 2
Volume de um paraleleṕıpedo
 
w 
v 
u 
V olume(u, v, w) = | det(A)| para A = [u | v | w ] matriz 3× 3
Menor e cofator
Seja A = [aij] n× n.
Denota-se por Mij a matriz (n− 1)× (n− 1) que se obtém de A por
eliminação da sua linha i e coluna j. Chama-se menor de aij a
det(Mij).
O cofator (ou complemento algébrico) de aij é
Aij = (−1)i+j det(Mij).
Exemplo 1
A =

1 2 3
7 0 8
−1 0 −1
 M23 =
 1 2
−1 0

O menor do elemento a23 é det(M23) = 2.
O complemento algébrico de a23 é:
A23 = (−1)2+3det(M23) = −2.
Exemplo 2
A =

1 2 0 1
3 5 2 2
0 1 0 1
−1 2 1 1
 M21 =

2 0 1
1 0 1
2 1 1

Menor do elemento (2, 1) :
det(M21) = +2× 0× 1 + 0× 1× 2 + 1× 1× 1
− 1× 0× 2− 2× 1× 1− 0× 1× 1 = −1
Cofator do elemento (2, 1) :
A21 = (−1)2+1 det(M21)
= (−1)× (−1) = 1
Teorema de Laplace
Seja A = [aij] n× n. Então
det(A) = ai1Ai1 + · · ·+ ainAin
(desenvolvimento de Laplace do det(A) a partir da linha i)
para cada i = 1, . . . , n, e
det(A) = a1jA1j + · · ·+ anjAnj
(desenvolvimento de Laplace do det(A) a partir da coluna j)
para cada j = 1, . . . , n.
Exemplo
Cálculo do determinante de uma matriz 3× 3
A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ,
pelo Teorema de Laplace por expansão a partir da primeira linha:
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 =
a11(−1)1+1
∣∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣∣+a12(−1)1+2
∣∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣∣+a13(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣∣
= a11a22a33− a11a23a32− a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32− a13a22a31
Exemplo
A =

2 0 1
1 0 1
2 1 1

Vamos calcular |A|.
|A| = 1(−1)3+2
∣∣∣∣∣∣ 2 11 1
∣∣∣∣∣∣ = −1.
Podemos também usar, por exemplo a primeira linha:
|A| = 2(−1)1+1
∣∣∣∣∣∣ 0 11 1
∣∣∣∣∣∣+ 0(−1)1+2
∣∣∣∣∣∣ 1 12 1
∣∣∣∣∣∣+ 1(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣ 1 02 1
∣∣∣∣∣∣
Propriedades dos determinantes
1. det(A) = det(AT ).
Exemplo
∣∣∣∣∣∣ 3 45 7
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ 3 54 7
∣∣∣∣∣∣
2. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0.
Exemplo
∣∣∣∣∣∣ 3 43 4
∣∣∣∣∣∣ = 0
3. Se B resulta de A por uma troca de duas linhas, Li ↔ Lj , (ou duas
colunas), então det(B) = −det(A).
Exemplo ∣∣∣∣∣∣ 2 −13 2
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣ 3 22 −1
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ 2 3−1 2
∣∣∣∣∣∣
4. Se B resulta de A por multiplicação de uma linha (ou coluna) de A
por um escalar α, Li ← αLi, então det(B) = α det(A).
Exemplo ∣∣∣∣∣∣ 2 61 12
∣∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣∣∣ 1 31 12
∣∣∣∣∣∣ = 2× 3
∣∣∣∣∣∣ 1 11 4
∣∣∣∣∣∣ = 18.
5. Se B resulta de A substituindo a linha i pela sua soma com um
múltiplo da linha j, Li ← Li + αLj , então det(B) = det(A).
Exemplo ∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
3 6 5
2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
0 0 −4
0 −3 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
(Fizemos L2 ← L2 − 3L1 e L3 ← L3 − 2L1.)
Propriedades dos determinantes
6. Se A tem uma linha (ou coluna) nula, então det(A) = 0.
Exemplo∣∣∣∣∣∣ 1 30 0
∣∣∣∣∣∣ = 0.
7. Se A = [aij] é triangular, então det(A) = a11a22 · · · ann.
8. det(AB) = det(A) det(B).
9. Se A é invert́ıvel, então det(A) 6= 0 e
det(A−1) =
1
det(A)
.
Nota: Em geral, det(A+B) 6= det(A) + det(B).
Considere as matrizes
A =
 1 0
0 2
 , B =
 2 0
0 1
 .
Tem-se det(A) = det(B) = 2, mas
A+B =
 3 0
0 3
 .
Assim, det(A + B) = 9 6= det(A) + det(B).
Exerćıcio Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 tais que
det(A) = −2 e det(B) = 1
4
. Calcule:
1. det(3A).
det(3A) = 33det(A) = 27× (−2) = −54.
2. det(AB−1AT).
det(AB−1AT) = det(A)det(B−1)det(AT) =
det(A) 1
det(B)
det(A) = 16.
3. det(−B). det(−B) = det((−1)B) = (−1)3det(B) = −1
4
.
4. det(B−1A4B). det(B−1A4B) = det(B−1)det(A4)det(B) =
1
det(B)
(det(A))4det(B) = (−2)4.
5. det(−1
2
(BT)−1).
det(−1
2
(BT)−1) = (−1
2
)3det((BT)−1) = −1
8
1
det(BT)
=
(−1
8
) 1
det(B)
= −1
2
.
Exerćıcios livres
Sabendo que ∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 7,
Calcule, justificando, os seguintes determinantes:∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
4c1 4c2 4c3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4× 7 = 28.∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a3 a2
b1 b3 b2
c1 c3 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −7. Repare-se que se trocaram as
colunas 2 e 3.
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 − 5c1 a2 − 5c2 a3 − 5c3
10b1 10b2 10b3
−4c1 −4c2 −4c3
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 10× (−4)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 − 5c1 a2 − 5c2 a3 − 5c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣ Mas,
7 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣ =L1←L1−5L3
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 − 5c1 a2 − 5c2 a3 − 5c3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣
Logo, o resultado final é −280.
Exerćıcios livres Calcule o determinante da matriz A, onde
A =

a 0 0 0 b
b a 0 0 0
0 b a 0 0
0 0 b a 0
0 0 0 b a

|A| = a(−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a 0 0 0
b a 0 0
0 b a 0
0 0 b a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ b(−1)1+5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b a 0 0
0 b a 0
0 0 b a
0 0 0 b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
aa4 + bb4 = a5 + b5.
Adjunta de uma matriz
Dada A = [aij] n× n, a adjunta de A é a matriz n× n dada por
adjA =

A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
...
...
...
An1 An2 · · · Ann

T
Exemplo Determinar a adjunta de
A =

1 0 2
3 1 −1
0 1 0
 .
adj(A) =
(−1)1+1det
 1 −1
1 0
 (−1)1+2det
 3 −1
0 0
 (−1)1+3det
 3 1
0 1

(−1)2+1det
 0 2
1 0
 (−1)2+2det
 1 2
0 0
 (−1)2+3det
 1 0
0 1

(−1)3+1det
 0 2
1 −1
 (−1)3+2det
 1 2
3 −1
 (−1)3+3det
 1 0
3 1


T
agora termine...
Relação entre adjunta e inversa de uma matriz
Teorema 1
Seja A n× n tal que det(A) 6= 0. Então
A−1 =
1
det(A)
adjA.
Teorema 2
A é invert́ıvel ⇔ det(A) 6= 0.
Corolário
Seja A n× n. O sistema homógeneo AX = 0 tem uma solução não
trivial (X 6= O) se e só se det(A) = 0.
Exerćıcio Seja
A =

β 6 1
0 β − 1 1
0 1 β + 5
 .
Determine todos os valores de β para os quais o sistema homogéneo
AX = O admite apenas a solução trivial.
Resolução.
O sistema AX = O admite apenas a solução trivial se e só se A é
invert́ıvel se e só se det(A) 6= 0. Calcule-se det(A).
det(A) = β(−1)1+1det
 β − 1 1
1 β + 5
 = β((β − 1)(β + 5)− 1) =
β(β2 + 4β − 6). Assim,
det(A) 6= 0⇔ β 6= 0 ∧ β 6= 2 +
√
10 ∧ β 6= 2−
√
10.
Exerćıcios livres Seja
A =

1 0 1 0
0 1 2 1
2 −1 0 1
−1 1 0 1
 .
Calcule o elemento (4, 1) da inversa de A, A−1, sem determinar A−1.
Sabemos que
A−1 =
1
det(A)
adj(A) =
1
det(A)

A11 A12 A13 A14
A21 A22 A23 A24
A31 A32 A33 A34
A41 A42 A43 A44

T
.
Logo
A−1 =
1
det(A)
adj(A) =
1
det(A)

A11 A21 A31 A41
A12 A22 A32 A42
A13 A23 A33 A43
A14 A24 A34 A44
 .
Pretende-se assim calcular 1
det(A)
A14. Mas A14 é o complemento
algébrico do elemento a14 = 0, ou seja
A14 = (−1)1+4det

0 1 2
2 −1 0
−1 1 0
 = (−1)(−1)1+3 × 2(2− 1).
Calcule det(A) para terminar o exerćıcio.
Tarefa 1:
Mostre que,para todos x1, x2, y1, y2 se tem:∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 x2
1 y1 x2
1 y1 y2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (y1 − x1)(y2 − x2).
Tarefa 2: Seja
A =

1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 a 1
1 b 1 1
 ,
onde a e b são parâmetros reais.
1. Utilizando apenas propriedades dos determinantes obtenha uma
matriz triangular cujo determinante seja igual a det(A).
2. Indique os valores de a e b para os quais A é invert́ıvel.
3. Faça a = 3 e b = 2. Sendo B,C matrizes 4× 4 invert́ıveis e sabendo
que
(AT )−1 = C−1BC,
calcule det(B). Caso não tenha resolvido a aĺınea anterior calcule
det(B) em função de det(A).
Regra de Cramer
Seja A n× n tal que det(A) 6= 0.
Então o sistema AX = B é posśıvel e determinado e a sua única solução
X =

x1
...
xn

é dada por
xj =
det(Aj)
det(A)
, j = 1, . . . , n,
onde Aj se obtém de A por substituição da sua coluna j pela coluna B.
Exemplo

x1 + x2 + x3 = 1
2x1 − x2 + x3 = 1
x1 + 2x3 = 0
A =

1 1 1
2 −1 1
1 0 2
 B =

1
1
0
 X =

x1
x2
x3

det(A) = −4 6= 0
Podemos resolver o sistema pela Regra de Cramer.
x1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 −1 1
0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A)
=
−4
−4
= 1
x2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
2 1 1
1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A)
=
−2
−4
=
1
2
x3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
2 −1 1
1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A)
=
2
−4
= −
1
2
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