Considere a aplicação T : M2(R)! R dada por T � " a11 a12 a21 a22 # � = a11 + a22. (a) Mostre que T é transformação linear. (b) A matriz "2 1 ...

(a) Para mostrar que T é uma transformação linear, precisamos verificar se ela satisfaz as duas propriedades da definição de transformação linear: 1. T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v em M2(R). 2. T(ku) = kT(u) para qualquer escalar k e qualquer vetor u em M2(R). Sejam u = [a11 a12; a21 a22] e v = [b11 b12; b21 b22] dois vetores em M2(R) e k um escalar qualquer. Então: T(u + v) = T([a11 + b11 a12 + b12; a21 + b21 a22 + b22]) = (a11 + b11) + (a22 + b22) = (a11 + a22) + (b11 + b22) = T([a11 a12; a21 a22]) + T([b11 b12; b21 b22]) = T(u) + T(v) e T(ku) = T([ka11 ka12; ka21 ka22]) = ka11 + ka22 = k(a11 + a22) = kT([a11 a12; a21 a22]) = kT(u) Portanto, T é uma transformação linear. (b) Para verificar se a matriz "2 1; 2 -2" pertence ao núcleo de T, precisamos verificar se T("2 1; 2 -2") = 0. Temos: T("2 1; 2 -2") = 2 + (-2) = 0 Portanto, a matriz "2 1; 2 -2" pertence ao núcleo de T. (c) Para encontrar uma base do núcleo de T, precisamos encontrar todas as matrizes em M2(R) que são mapeadas para o vetor nulo por T. Ou seja, precisamos encontrar todas as matrizes [a11 a12; a21 a22] em M2(R) tais que a11 + a22 = 0. Isso implica que a11 = -a22. Podemos escolher a12 e a21 como quiser, então podemos escrever uma matriz genérica no núcleo de T como: [a11 a12; -a11 a22] = [a11 0; 0 -a11] + [0 a12; -a21 0] = a11[I2] + [0 a12; -a21 0] onde I2 é a matriz identidade 2x2. Portanto, uma base do núcleo de T é dada pelas matrizes [1 0; 0 -1] e [0 1; -1 0]. (d) Para encontrar uma base da imagem de T, precisamos encontrar todos os valores possíveis de T([a11 a12; a21 a22]) para todas as matrizes [a11 a12; a21 a22] em M2(R). Como T([a11 a12; a21 a22]) = a11 + a22, a imagem de T é o conjunto de todos os números reais. Portanto, uma base da imagem de T é o conjunto {1}.