Considere o operador T : R3 ! R3 dado por T (x; y; z) = (�2x�4y; 2x+4y;�2x�2y+2z). (a) Determine o polinômio característico de T . (b) Quais são ...

(a) Para encontrar o polinômio característico de T, precisamos calcular a matriz associada a T e, em seguida, encontrar seu determinante. A matriz associada a T é: | -2 -4 0 | | 2 4 0 | | -2 -2 2 | O polinômio característico é dado por: det(T - λI) = | -2-λ -4 0 | | 2 4-λ 0 | | -2 -2 2-λ | = (-2-λ) [(4-λ)(2-λ) - 0] - 2 [(-2)(2-λ) - 0] + 0 [2(4-λ) - (-4)(-2)] = -λ^3 + 4λ^2 + 8λ Portanto, o polinômio característico de T é -λ^3 + 4λ^2 + 8λ. (b) Para encontrar os autovalores de T, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico. Temos: -λ^3 + 4λ^2 + 8λ = λ(-λ^2 + 4λ + 8) = λ[(2+√6)(2-√6) - 4] = λ(4-2√6)(4+2√6) Portanto, os autovalores de T são λ1 = 0, λ2 = 4+2√6 e λ3 = 4-2√6. (c) Para verificar se T é inversível, precisamos verificar se todos os autovalores são diferentes de zero. Como λ1 = 0, concluímos que T não é inversível.