01 exercicos matematica

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Matemática Lista de Exercícios Extensivo ENEM e Vestibulares SEMANA 29
Ex.27 Forma Algébrica dos Complexos
Assinale a alternativa que contém a parte imaginária da divisão de z
= 3 – 2i por w = 2 + 5i
Ex.16 Forma Algébrica dos Complexos
(Eear 2016)  Sabe-se que os números complexos 
Z1 = [2m(3 + m)] + (3n + 5)i e Z2 = (2m
2 + 12) + [4(n + 1)]i são iguais.
Então, os valores de m e n são, respectivamente
Ex.2 Forma Algébrica dos Complexos
(Eear 2019)  A parte real das raízes complexas da equação x2 - 4x +
13 = 0 é igual a
Ex.11 Forma Algébrica dos Complexos
(Uece 2017)  Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a
-1, então, o valor de 5 ⋅ i227 + i6 − i13 é igual a
Ex.22 Forma Algébrica dos Complexos
Se z = a + bi, w = 3i + 8 + b e z = w, então z pode ser representado
por:
Ex.21 Forma Algébrica dos Complexos
(Mackenzie 2017 - adaptada)  O resultado da expressão 
3 + 2i
1 − 4i
 na
forma x + yi é
Ex.13 Forma Algébrica dos Complexos
(Upf 2016)  O número complexo z, tal que 5z + z̄ = 12 + 16i, é igual a:
Ex.5 Forma Algébrica dos Complexos
(G1 - ifal 2018)  O quociente entre os números complexos Z1 = 1 +
i e Z2 = 1 - i é
Ex.20 Forma Algébrica dos Complexos
(Ifsul 2015)  Em 1823, Arthur Edwin (1861-1939) adotou o termo
Impedância, bem como utilizou os 9 números complexos para os
elementos dos circuitos elétricos em corrente alternada. Desde
então, os números complexos são fundamentais para a Engenharia
Elétrica, sendo que sem os mesmos todos os parâmetros de circuitos
elétricos teriam que ser calculados através da álgebra e tudo seria
extremamente difícil.
Disponível em: http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?
option=com_content&view=article&id=130%3Aaplicacoesee&catid=38%
Acesso: 10 abr. 2015. (Adaptado)
 
 
Qual é o módulo do número complexo Z =
2i
i26 − i3
?
Ex.25 Forma Algébrica dos Complexos
(Mackenzie 2010)  Se y = 2x, sendo x =
1 + i
1 − i e i = √−1, o valor de (x
+ y)2  é
a) −
13
29
b) −
15
29
c) −
17
29
d) −
19
29
e) −
21
29
a) 3 e 1
b) 2 e 1
c) 2 e -1
d) 3 e -1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
a) i + 1.
b) 4i -1.
c) -6i - 1.
d) -6i.
a) 3 + 11i
b) 5 + 13i
c) 13 + 5i
d) 11 + 3i
a) 
5
17 −
14
17 i
b) −
1
5 +
14
15 i
c) −
5
17 +
14
17 i
d) 
1
5
−
14
15
i
e) 3 −
1
2
i
a) - 2 + 2i
b) 2 - 3i
c) 3 + i
d) 2 + 4i
e) 1 + 2i
a) 1.
b) i.
c) 0.
d) 2.
e) 2i.
a) 2√2
b) √2
c) 2√3
d) √3
a) 9i   
b) – 9 + i  
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Ex.1 Forma Algébrica dos Complexos
(Efomm 2020)  Seja o somatório abaixo, onde i é a unidade
imaginária.
 
S =
2020
∑
j= 0
ij
 
Sobre o valor de S, é correto a�rmar que
Ex.6 Forma Algébrica dos Complexos
(Uefs 2018)  Dado um número complexo z = a + bi, com a e b reais,
de�ne-se a�xo de z como o ponto do plano complexo de
coordenadas (a, b). Sejam A, B e C os a�xos dos números complexos
zA = 14 + 4i, zB = 6 - 2i e zC = 16 - 2i. A área do triângulo de vértices
A, B e C é
Ex.24 Forma Algébrica dos Complexos
(Unicamp 2014)  O módulo do número complexo z = i2014 − i1987 é
igual a  
Ex.29 Forma Algébrica dos Complexos
Se z1 = 1 – 5i, z2 = 6 + 2i, z3 = 2a - 3bi e z1⋅z2 = z3, então
Ex.4 Forma Algébrica dos Complexos
(Uel 2019)  Leia o texto a seguir.
 
Foi ali no meio da praça. [...] Zuzé Paraza, pintor reformado, tossiu
sacudindo a magreza do seu todo corpo. Então, assim contam os que
viram, ele vomitou um corvo vivo. O pássaro saiu inteiro das
entranhas dele. [...] Estivera tanto tempo lá dentro que já sabia falar.
COUTO, Mia. O último aviso do corvo falador. In: Vozes anoitecidas.
São Paulo: Companhia das Letras, 2015. p. 29.
 
 
Zuzé desa�ou o corvo falador. De dentro de seu gabinete, Zuzé
mostrou ao corvo a seguinte tabela.
 
A B C
7 9 0
20 5 1
24 6 2
2 13 3
 
Zuzé solicita ao corvo que pense em uma equação matemática que
relacione, linha a linha, os números das colunas A, B e C da tabela.
Prontamente o corvo falante responde: iA+B = iC, onde i é a unidade
imaginária.
Com base na equação dita pelo corvo e sabendo que A, B e C são
números naturais, considere as a�rmativas a seguir.
 
I. Se A + B é múltiplo de 4 e C = 4, então A, B e C satisfazem a
equação.
II. Se A = 26, B = 44 e C = 30, então A, B e C satisfazem a equação.
III. Se A = B = 1, então a única possibilidade para que A, B e
C satisfaçam a equação é C = 6.
IV. Se A e B são números ímpares e C = 1 então A, B e C satisfazem
a equação.
 
Assinale a alternativa correta.
Ex.10 Forma Algébrica dos Complexos
(Mackenzie 2017)  Se 
2 + i
β+ 2 i  tem parte imaginária igual a zero, então
o número real β é igual a
Ex.30 Forma Algébrica dos Complexos
Sabendo que z = 4 + 6i e w = - 3 + 4i. A soma da parte real com a
parte imaginária de z − w̄ é:
Ex.18 Forma Algébrica dos Complexos
(Uem 2016)  Considere os números complexos z1 = 1 + 5i e 
z2 = 3 + 4i.
 
Assinale o que for correto.
c) –9   
d) 9   
e) 9 – i  
a) S = 1 - i
b) S = 1 + i
c) S = 1
d) S = i
e) S = i3
a) 18.
b) 24.
c) 30.
d) 36.
e) 40.
a) √2.
b) 0.
c) √3.
d) 1.
a) a é um número primo e b é um número irracional
b) a é um múltiplo de 3 e b é um número não inteiro
c) a é um número inteiro e b é um número inteiro
d) a é um múltiplo de 2 e b é um número irracional
e) a é um múltiplo de 2 e b é um número não inteiro
a) Somente as a�rmativas I e II são corretas.
b) Somente as a�rmativas I e IV são corretas.
c) Somente as a�rmativas III e IV são corretas.  
d) Somente as a�rmativas I, II e III são corretas.
e) Somente as a�rmativas II, III e IV são corretas.
a) 4
b) 2
c) 1
d) -2
e) -4
a) 9
b) 3
c) -3
d) 17
e) 19
01) z1 ⋅
¯
z1 = 26.
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Ex.3 Forma Algébrica dos Complexos
(Ufrgs 2019)  Dados os números complexos z1 = (2, -1) e z2 = (3, x),
sabe-se que z1 ⋅ z2 ∈ R. Então x é igual a
Ex.8 Forma Algébrica dos Complexos
(Efomm 2018)  Resolvendo o sistema
| z − 2 | = | z + 4 |
| z − 3 | + | z + 3 | = 10 , para z complexo, encontramos como
solução
Ex.7 Forma Algébrica dos Complexos
(Ufrgs 2018)  Considere as seguintes a�rmações sobre números
complexos.
 
I. (2 + i)(2 − i)(1 + i)(1 − i) = 10.
II. 
7
2
+
1
3
i +
3
2
+
2
3
i =
5
2
+
1
2
i.
III. Se o módulo do número complexo z é 5, então o módulo de 2z é
10.
 
Quais a�rmações estão corretas?
Ex.15 Forma Algébrica dos Complexos
(Ita 2016)  Considere as a�rmações a seguir:
 
I. Se z e w são números complexos tais que z − iw = 1 − 2i e 
w − z = 2 + 3i então z2 + w2 = − 3 + 6i.
II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 
2 | z | 2 + z2 = 4 + 2i é igual a zero.
III. Se z = 1 − i, então z59 = 229( − 1 + i).
 
É (são) verdadeira(s)
Ex.19 Forma Algébrica dos Complexos
(Cefet MG 2015)  Considere as a�rmações sobre as soluções da
equação z2 −
¯
z = 0, com z ∈ C:
 
I. Possui exatamente duas soluções.
II. A soma de todas as soluções é igual a 1.
III. O módulo de todas as soluções é menor ou igual a 1.
 
É(são) verdadeira(s) a(s) a�rmação(ões):
Ex.1 Discursivos: Forma Algébrica dos Complexos
(Fuvest 2020)  Resolva os três itens abaixo:
 
a) Considere o conjunto formado pelos números complexos z que
cumprem a condição Re(z) = Im(z). Cada elemento desse conjunto
será objeto da transformação que leva um número complexo em seu
conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand‐
Gauss) abaixo, o conjunto resultante após essa transformação.
 
 
 
b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo
tais que z ≠ − 1 e para os quais 
z− 1
z+ 1 é um número imaginário puro.
 
c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais
que as representações de z, i  e 1 no plano complexo sejam vértices
de um triângulo equilátero.
 
02) z1 + z2 =
¯
z1 +
¯
z2 .
04) z1 ⋅ z2 = 3 + 20i.
08) 
z1
z2
=
23
25
+
11
25
i.
16) z1 +
¯
z1 = 0.
a) −6.
b) −
3
2
.
c) 0.
d) 
3
2
.
e) 6.
{
a) −1 +
8√6
5 i; − 1 −
8√6
5 i
b) +1 +
8√6
5 i; + 1 −
8√6
5 i
c) −1 +
6√8
5
i; − 1 −
6√8
5
i
d) +1 +
6√8
5
i; + 1 −6√8
5
i
e) +1 −
8√6
5
i; − 1 −
8√6
5
i
( ) ( )
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) I, II e III.
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
a) I.
b) III.
c) I, II.
d) II, III.
e) I, II, III.
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GABARITO
Ex.2 Discursivos: Forma Algébrica dos Complexos
(Ime 2019)  Seja Z um número complexo tal que possui argumento
igual a 
3π
4 ; e log3 (2Z + 2Z̄ + 1) = 2.Determine o número complexo Z.
Ex.5 Discursivos: Forma Algébrica dos Complexos
(Ufpr 2014)  Considere o número complexo
 
z0 = 4i +
13
2 + 3i .
 
a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.
 
b) Determine a e b, de modo que z0. seja solução da equação 
z2 + az + b = 0.
Ex.27 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.16 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.2 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.11 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.22 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.21 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.13 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.5 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.20 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.25 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.1 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.6 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.24 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.29 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.4 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.10 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.30 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.18 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.3 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.8 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.7 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.15 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.19 Forma Algébrica dos Complexos
Ex.1 Discursivos: Forma Algébrica dos Complexos
d) −
19
29
b) 2 e 1
b) 2
c) -6i - 1.
d) 11 + 3i
c) −
5
17
+
14
17
i
d) 2 + 4i
b) i.
b) √2
c) –9   
c) S = 1
c) 30.
a) √2.
e) a é um múltiplo de 2 e b é um número não inteiro
a) Somente as a�rmativas I e II são corretas.
a) 4
d) 17
01) z1 ⋅
¯
z1 = 26.
08) 
z1
z2
=
23
25 +
11
25 i.
d) 
3
2
.
a) −1 +
8√6
5
i; − 1 −
8√6
5
i
d) Apenas I e III.
b) apenas I e II.
b) III.
a) Seja z ∈ {(x, x) | x ∈ R}. Logo, a transformação que leva um
número complexo em seu conjugado é f(z) =
¯
z = (x, − x). A
representação geométrica do conjunto resultante dessa
transformação corresponde à reta y = − x.
 
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Ex.2 Discursivos: Forma Algébrica dos Complexos
Ex.5 Discursivos: Forma Algébrica dos Complexos
 
b) O número complexo w =
z− 1
z+ 1 é imaginário puro se, e
somente se, Re(w) = 0 e w ≠ 0. Em consequência, vem z ≠ 1 e,
como w +
¯
w = 0, temos
z − 1
z + 1 +
¯
z − 1
¯
z + 1
= 0 ⇒ (z − 1)(
¯
z + 1) + (
¯
z − 1)(z + 1) = 0
 ⇒ z ⋅
¯
z = 1
 ⇒ | z | 2 = 1
 ⇒ | z | = 1.
Portanto, o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo
tais que | z | = 1, z ≠ − 1 e z ≠ 1, é a circunferência centrada na
origem e raio igual a 1, excetuados os pontos ( − 1, 0) e (1, 0).
 
 
c) Seja z = (x, y),  com x, y ∈ R.  Queremos determinar 
Re(z) = x.
A medida do lado dos possíveis triângulos equiláteros
corresponde à distância entre as imagens dos complexos 
i = (0, 1) e 1 = (1, 0), isto é, √(1 − 0)2 + (0 − 1)2 = √2.
 
Logo, deve-se ter
√(x − 0)2 + (y − 1)2 = √2
√(x − 1)2 + (y − 0)2 = √2
⟹
x2 + y2 − 2y + 1 = 2
x2 − 2x + 1 + y2 = 2
⟺ x = y
 
Portanto, segue que 
2x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x =
1 +√3
2
 ou x =
1 −√3
2
.
{ {
De log3 2Z + 2
¯
Z + 1 = 2
2Z + 2
¯
Z + 1 = 32
2Z + 2
¯
Z = 8
Z +
¯
Z = 4
 
Sendo Z = x + yi, 
¯
Z = x − yi.
Daí,
x + yi + x − yi = 4
x = 2
 
Note que:
2Z
¯
Z ⋅ i
=
|2| ⋅ |Z|
¯
Z ⋅ |i|
2Z
¯
Z ⋅ i
= 2
Logo,
2Z
¯
Z ⋅ i
= 2 ⋅ cos
3π
4
+ i ⋅ sen
3π
4
2Z
¯
Z ⋅ i
= 2 ⋅
−√2
2 + i ⋅
√2
2
2Z
¯
Z ⋅ i
= − √2 + i ⋅ √2
2Z =
¯
Z ⋅ i ⋅ −√2 + i ⋅ √2
2 ⋅ (2 + yi) = (2 − yi) ⋅ i ⋅ −√2 + i√2
4 + 2yi = (2 − yi) ⋅ −√2 ⋅ i + √2 ⋅ i2
4 + 2yi = (2 − y ⋅ i) ⋅ −√2 ⋅ i − √2
4 + 2yi = − 2√2 ⋅ i − 2√2 + √2y ⋅ i2 + y√2 ⋅ i
4 + 2yi = −√2y − 2√2 + √2y − 2√2 ⋅ i
 
Então,
4 = − √2y − 2√2 (i)
2y = y√2 − 2√2 (ii)
 
Das equações (i) e  (ii),
y = − 2 − 2√2
y = − 2 ⋅ 1 + √2
 
Portanto, Z = 2 − 2 ⋅ 1 + √2 i
 
Resposta: Z = 2 − 2 ⋅ 1 + √2 i( )
| | | |
| |
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
{
( )
( )
( )
a) Tem-se que
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z0 = 4i +
13
2 + 3i
=
1 + 8i
2 + 3i
=
1 + 8i
2 + 3i ⋅
2 − 3i
2 − 3i
=
26
13 +
13
13 i
= 2 + i.
 
Portanto, Re(z0) = 2 e Im(z0) = 1.
 
b) Para que z = 1 − i seja solução da equação z2 + az + b = 0,
deve-se ter
 
(1 − i)2 + a(1 − i) + b = 0 ⇔ − 2i + a − ai + b = 0
⇔ (a + b) + ( − 2 − a)i = 0
⇔ a = − 2 e b = 2.