Números Complexos na Matemática

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Em matemática, um número complexo é um elemento de um sistema numérico que
contém os números reais e um elemento específico denotado i, chamado de unidade
imaginária, e que satisfaz a equação i2 = −1.
O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido claro para os
matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos
números complexos.[1][2] Um número complexo é um número
𝑧
que pode ser escrito na forma
𝑧=𝑥+𝑦𝑖
, sendo
𝑥
e
𝑦
números reais e
𝑖
denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade
𝑖2=−1,
sendo que
𝑥
e
𝑦
são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de
𝑧
.[3][4]
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_num%C3%A9rico
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-PRINC-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-INTRO-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_imagin%C3%A1ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-GIEZZI-4
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Illustration_of_a_complex_number.svg
O conjunto dos números complexos, denotado por
𝐶
, contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e
multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação nos números
reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo algebricamente fechado, sendo
que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as
soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no
caso, o conjunto dos complexos). O conjunto dos números complexos também pode ser
entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre
𝑅
, o conjunto dos reais.[5]
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado
módulo, dado por:
|𝑧|=𝑥2+𝑦2.
O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado
topologicamente completo.[carece de fontes]
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele,
representa-se a parte real,
𝑥,
no eixo horizontal e a parte imaginária,
𝑦,
no eixo vertical.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como
engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, processamento de sinais,
teoria de controle, dinâmica de fluidos, cartografia, análise de vibração, além da própria
matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de
Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações
diferenciais.[6]
Em algumas situações, é comum a troca da letra
𝑖
pela letra
𝑗,
devido ao frequente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
História
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_algebricamente_fechado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-5
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Norma_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_normado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_completo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletromagnetismo
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_qu%C3%A2ntica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_caos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Processamento_de_sinal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cartografia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_alg%C3%A9brica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-6
https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica
O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser
utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e
quarto graus.[7]
Os primeiros que conseguiram dar soluções a equações cúbicas foram Scipione del Ferro
e Tartaglia. Este último, depois de ter sido alvo de muita insistência, passou os resultados
que tinha obtido a Girolamo Cardano, que prometeu não divulgá-los. Cardano, depois de
conferir a exatidão das resoluções de Tartaglia, não honrou sua promessa e publicou os
resultados, mencionando o autor, em sua obra Ars Magna de 1545, iniciando uma enorme
inimizade.
A fórmula deduzida por Tartaglia afirmava que a solução da equação
𝑥3+𝑝𝑥+𝑞=0
era dada por
𝑥=−𝑞2+(𝑞2)2+(𝑝3)33+−𝑞2−(𝑞2)2+(𝑝3)33.
Um problema inquietante percebido na época foi que algumas equações (as equações
que têm três raízes reais, chamadas de casus irreducibilis) levavam a raízes quadradas de
números negativos.
Por exemplo, a equação:
𝑥3−15𝑥−4=0
tem três raízes reais, como se pode observar facilmente ou pelo gráfico da função:
𝑓(𝑥)=𝑥3−15𝑥−4
ou por fatoração:
𝑥3−15𝑥−4=(𝑥−4)(𝑥2+4𝑥+1)=0
se e somente se:
𝑥=4;
𝑥=−2−3;
ou:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_terceiro_grau
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo#cite_note-USP-7
https://pt.wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ars_Magna
https://pt.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
𝑥=−2+3.
Entretanto, usando-se a fórmula de Tartaglia, chega-se a:
𝑥=2+−1213+2−−1213
Essa questão evidenciou o fato de que havia mais a se investigar e a se aprender sobre
os números.
Rafael Bombelli experimentou escrever as expressões:
2+−1213
e
2−−1213
na forma:
𝑎+−𝑏
e
𝑎−−𝑏
respectivamente. Admitindo válidas as propriedades usuais das operações tais como
comutativa, distributiva etc., usou-as nas expressões obtidas, obtendo
𝑎=2
e
𝑏=1.
Com isso, chegou a:
𝑥=2+−1213+2−−1213=(2+−1)+(2−−1)=4
No início, os números complexos não eram vistos como números, mas sim como um
artifício algébrico útil para se resolver equações. Descartes, no século XVII, os chamou de
números imaginários.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
Abraham de Moivre e Euler, no século XVIII começaram a estabelecer uma estrutura
algébrica para os números complexos. Em particular, Euler denotou a raiz quadrada de -1
por
𝑖.
Ainda no século XVIII os números complexos passaram a ser interpretados como
pontos do plano (plano de Argand-Gauss), o que permitiu a escrita de um número
complexo na forma polar. Com isso, conseguiu-se calcular potências e raízes de modo
eficiente e claro. Ainda no século XVIII, Gauss demonstrou o Teorema Fundamental da
Álgebra.
Definições
Plano complexo
No plano de Argand-Gauss, parte real é
representada pela reta das abscissas (x, horizontal) e a parte imaginária pela reta das
ordenadas (y, vertical).
Ver artigo principal: plano complexo
O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss, é uma representação
geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma, como cada ponto da
reta está associado a um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto
( x , y ) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a pelo menos duas
formas de representar um número complexo:
● Forma retangular ou cartesiana:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XVIII
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_de_Argand-Gausshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_da_%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_da_%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_bijetora
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)