02 exercicio matematica

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Matemática Lista de Exercícios Extensivo ENEM e Vestibulares SEMANA 29
Ex.16 Forma Trigonométrica dos Complexos
(G1 - ifal 2016)  O número complexo Z = 1 + i representado na
forma trigonométrica é
Ex.17 Forma Trigonométrica dos Complexos
Representando o número complexo z = 6 na forma polar obtemos
como argumento o ângulo de:
Ex.18 Forma Trigonométrica dos Complexos
Dado z = 2 cos30 ∘ + i ⋅ sen 30 ∘ e w = 3 cos60 ∘ + i ⋅ sen 60 ∘ ,
determine o produto entre z e w e assinale a alternativa que
represente o resultado correto.
Ex.19 Forma Trigonométrica dos Complexos
Se z = cos
π
2 + i ⋅ sen
 π 
2 e w = 4 ⋅ (cos
π
6 + i ⋅ sen
π
6 ) assinale a
alternativa que representa 
z
w
:
Ex.4 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Upf 2018)  Na �gura abaixo, está representado, no plano complexo,
um hexágono regular cujos vértices são imagens geométricas das n
raízes de índice n de um número complexo z.
 
O vértice A tem coordenadas (-1, 1). Qual dos seguintes números
complexos tem por imagem geométrica o vértice D?
 
Ex.21 Forma Trigonométrica dos Complexos
Considerando z = 2 cos
π
2
+ i ⋅ sen
π
2
, calcule o número complexo z7
e assinale a alternativa que o represente:
Ex.13 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ufsm 2011)  Na iluminação da praça, três novas luminárias são
instaladas do seguinte modo: uma dessas luminárias é instalada na
bissetriz do primeiro quadrante; a distância de cada uma delas ao
ponto de encontro das linhas centrais dos dois passeios é 20 metros;
a distância entre cada par dessas luminárias é a mesma. Quais
números complexos a seguir representam os pontos onde foram
instaladas as três luminárias?
a) 21 / 2 (cos 45 ∘ + i sen 45 ∘ ).
b) 2 (cos 90 ∘ + i sen 90 ∘ )
c) 4 (cos 60 ∘ + i sen 60 ∘ )
d) 4 (cos 60 ∘ − i sen 60 ∘ ).
e) 2 (cos 90 ∘ − i sen 90 ∘ ).
a) 0º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 180º
( ) ( )
a) 6
b) 3
c) 3i
d) 6i
e) 3 - 6i
a) 
1
4 ⋅ cos
π
6 + i ⋅ sen 
π
6[ ( ) ( )]
b) 
1
2 ⋅ cos
π
3 + i ⋅ sen 
π
3[ ( ) ( )]
c) 
1
4 ⋅ cos
π
3 + i ⋅ sen 
π
3[ ( ) ( ) ]
d) 
1
2 ⋅ cos
π
6 + i ⋅ sen 
π
6[ ( ) ( )]
e) 
1
4 ⋅ cos
π
4 + i ⋅ sen 
π
4[ ( ) ( )]
a) √2 cos
3
4
π + i sen
3
4
π[ ( ) ( ) ]
b) √2 cos
17
12
π + i sen
17
12
π[ ( ) ( )]
c) 2√2 cos
17
12
π + i sen
17
12
π[ ( ) ( )]
d) √2 cos
7
4
π + i sen
7
4
π[ ( ) ( )]
e) 2 cos
13
12
π + i sen
13
12
π[ ( ) ( ) ]
( )
a) 256 cos
π
2
+ i ⋅ sen 
 π 
2( )
b) 128 cos
3π
2
+ i ⋅ sen 
3 π 
2( )
c) 64 cos
3π
2
+ i ⋅ sen 
3 π 
2( )
d) 64 cos
π
2
+ i ⋅ sen 
 π 
2( )
e) 128 cos
π
2
+ i ⋅ sen 
 π 
2( )
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Ex.8 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Uece 2017)  Para cada j = 1, 3, 5, 7, considere o número complexo 
zj = cos
π ⋅ j
4
+ isen
π ⋅ j
4
, onde i é o número completo tal que i2 = − 1.
Em relação aos números p = z1 + z3 + z5 + z7 e q = z1 ⋅ z3 ⋅ z5 ⋅ z7, é
correto a�rmar que: 
Ex.12 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ufsm 2012)  Observe a vista aérea do planetário e a representação,
no plano Argand-Gauss, dos números complexos z1, z2, ..., z12,
obtida pela divisão do círculo de raio 14 em 12 partes iguais.
 
 
Considere as seguintes informações:
 
I. z2 = 7√3 + 14i.
II. z11 = z̄3.
III. z5 = z4 ⋅ z̄11.
 
Está(ão) correta(s)
Ex.15 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Espcex (Aman) 2019)  No plano complexo, temos uma
circunferência λ de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD um
quadrado inscrito à λ , de acordo com a �gura abaixo, podemos
a�rmar que o número complexo que representa o vértice B é:
 
 
 
Ex.10 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ufpe 2012)  Analise as a�rmações seguintes sobre o número
complexo z =
1 + i
√2
  em verdadeiro ou falso e marque a alternativa
correta.
(         )  z é uma das raízes quadradas do complexo i.  
(         )  z4 = 1.  
(         )  A forma trigonométrica de z é cos
π
4 + i sen
π
4 .  
(         )  z2012 = 1.
(         )  z, z3, z5 e z7 são as raízes complexas da equação x4 + 1 = 0.  
Ex.3 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Espcex (Aman) 2018)  Na �gura abaixo, está representado o plano
de Argand-Gauss com os a�xos de 12 números complexos,
identi�cados de A a L. Sabe-se que esses a�xos dividem a
circunferência em 12 partes iguais e que A=(1, 0).
 
a) 
z1 = 20 cos
π
4
+ i sen
π
4
; z2 = 20 cos
11π
12
+ i sen
11π
12
; z3 = 20 cos
19π
12
+ i sen
19π
12( ) ( ) ( )
b) 
z1 = 20 cos
π
4
+ i sen
π
4
; z2 = 20 cos
π
6
+ i sen
π
6
; z3 = 20 cos
2π
3
+ i sen
2π
3
  
( ) ( ) ( )
c) z1 = cos
π
4 + i sen
π
4 ; z2 = cos
11π
12 + i sen
11π
12 ; z3 = cos
19π
12 + i sen
19π
12
d) z1 = cos
π
3 + i sen
π
3 ; z2 = cos
π
12 + i sen
π
12 ; z3 = cos
2π
3 + i sen
2π
3
 
e) 
z1 = 20 cos
π
3
+ i sen
π
3
; z2 = 20(cosπ + i senπ); z3 = 20 cos
5π
6
+ i sen
5π
6( ) ( )
a) p = 0 e q = i.
b) p = 1 e q = i.
c) p = 0 e q = 1.
d) p = 1 e q = 1.
a) apenas I.
b) apenas II.   
c) apenas III.   
d) apenas I e II.   
 
e) apenas II e III.   
a) −
1
2 +
√3
2 i.
b) −√3 − i.
c) −1 + √3 i.
d) −
1
2 −
√3
2 i.
e) −
√3
2
+
1
2
i.
( ) ( )
a) V – V – V – F – F
b) F – V – F – V – F
c) V – F – F – F – F
d) V – F – V – F – V
e) V – F – F – V – V
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O polígono regular cujos vértices são os a�xos de 
4
√E é:
 
Ex.20 Forma Trigonométrica dos Complexos
Sendo z1 = 3 + 4i e z2 = 2 − 9i, a forma trigonométrica de z1 + z2 é:
Ex.5 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Espcex (Aman) 2017)  Sejam z e v números complexos onde 
| z | = 1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss 
√2
2 , 
√2
2 .
Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos
complexos z e v), podemos a�rmar que: 
Ex.7 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Unioeste 2017)  Considere θ um número real qualquer. Sobre os
números complexos z = cos(2θ) + isen(θ) e w = cos(θ) + isen(2θ),
pode-se a�rmar que:
Ex.6 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Epcar (Afa) 2017)  Resolva a equação z3 − 1 = 0 no conjunto dos
números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as
proposições abaixo e classi�que-as em V (VERDADEIRA) ou F
(FALSA).
 
(     ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1.
(     ) Os a�xos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é
3√3
2 unidades de área.
(     ) Duas das raízes são conjugadas.
(     ) Todas as raízes têm o mesmo módulo.
 
A sequência correta é:
Ex.9 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Efomm 2016)  Seja o número complexo z = − 1 − √3i,  onde i é a
unidade imaginária. O valor de z8 é:
Ex.14 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ufrgs 2010)  O menor número inteiro positivo n para o qual a parte
imaginária do número complexo cos
π
8
+ i ⋅ sen
π
8
n
 é negativa é: 
Ex.22 Forma Trigonométrica dos Complexos
Dado z = 27, assinale a alternativa que contém a soma da parte real
das raízes de 
3
√z:
a) BEHK
b) CFIL
c) ADGJ
d) BDHJ
e) CEIK
a) 5√2 cos
7π
4 + i ⋅ sen
7π
4( )
b) 5 cos
5π
4 + i ⋅ sen
5π
4( )
c) 2√5 cos
3π
4 + i ⋅ sen
3π
4( )
d) 5√2 cos
3π
4 + i ⋅ sen
3π
4( )
e) 2√5 cos
5π
4 + i ⋅ sen
5π
4( )
( )
a) sempre é um número real.
b) sempre tem módulo igual a 2.
c) sempre é um número imaginário puro.   
d) pertence à circunferência x2 + y2 = 1.
 
e) sempre tem argumento igual a 
π
4
.   
a)  | z | + |w | = 1.
b) z2 − w2 = 0.
c) z =
¯
w .
d) z − iw = 0.
e)  | z | 2 + |w | 2 = 2.
a) V – F – V – V 
b) V – V – F – V
c) F – F – V – F
d) V – F – V – F   
a) z = 256 cos
4π
3
+ isen
4π
3( )
b) z = 256 cos
π
3
+ isen
π
3( )
c) z = 256 cos
5π
3
+ isen
5π
3( )
d) z = 256 cos
2π
3
+ isen
2π
3( )
e) z = 256(cos2π + isen 2π)
( )
a) 3.
b) 4.
c) 6. 
d) 8.
e) 9.   
a) 0
b) 1
c) 3
d) 3 + 2√3
e) 3 − 2√3
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GABARITO
Ex.11 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ime 2012)  As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números
complexos, são representadas por 1, w e w2, onde w é umnúmero
complexo. O intervalo que contém o valor de (1−w)6 é:
Ex.2 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ime 2019)  Seja z um número complexo tal que z12 ∈ R, Re(z) = 1 e
A soma dos inversos dos possíveis valores de z está no intervalo:
Ex.1 Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ita 2019)  Sabe-se que é uma das raízes quartas de um número
complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo,
cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a: 
Ex.3 Discursivos: Forma Trigonométrica dos Complexos
(Ufpr 2019)  Considere o número complexo
 
a) Calcule o módulo de 𝑧 e escreva a forma polar de z.
 
b) Calcule o valor da expressão 
(Sugestão: use a fórmula de De Moivre)
Ex.4 Discursivos: Forma Trigonométrica dos Complexos
(Fuvest 2015)  Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule e 
 
b) Dado o número complexo encontre o menor inteiro para o qual
seja real.
 
c) Encontre um polinômio de coe�cientes inteiros que possua z como
raiz e que não possua raiz real.
Ex.16 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.17 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.18 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.19 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.4 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.21 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.13 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.8 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.12 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.15 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.10 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.3 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.20 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.5 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.7 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.6 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.9 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.14 Forma Trigonométrica dos Complexos
a) ( − ∞, − 30]
b) (−30, − 10]
c) (−10, 10]
d) (10, 30]
e) (30, + ∞)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)  
c) 
d)
 
e)
a) .
a) 0º
d) 6i
c)
d) 
b)
a) 
c)
b) apenas II.   
c) 
d) V – F – V – F – V
a) BEHK
a)
d) pertence à circunferência 
 
e) 
a) V – F – V – V 
d)
e) 9.   
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Ex.22 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.11 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.2 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.1 Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.3 Discursivos: Forma Trigonométrica dos Complexos
Ex.4 Discursivos: Forma Trigonométrica dos Complexos
a) 0
b)
c)
e)
a) Tem-se que 
 
Ademais, se é o argumento principal de z, então
 
A forma polar de z é 
 
b) Pela fórmula de De Moivre, tem-se que
a)
 
Calculando agora o valor do 
 
 
b) Teremos:
 
 
 
 
Do item [A], temos: 
 
Assim, na forma trigonométrica, temos:
 
Se zn é real:
 
 
 
c) Do item [B], concluímos que zn é real para n = 8 ou n = 16,
ou n = 24, etc. 
Supondo n = 8, temos:
 
Logo, o polinômio procurado é: