Campos vetoriais

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1. Definição: Um campo vetorial é uma função que associa, a cada ponto do espaço, um vetor. 
 
Representação geométrica de campo vetorial 
 
Uma função vetorial F(x,y) no plano ou F(x,y,z) no espaço tridimensional, pode ser visualizada como 
um campo vetorial. No plano, no ponto (x,y), plotamos o valor de F(x,y) ancorado no ponto (x,y) como nos 
mostra a figura abaixo 
 
 
 
Repetimos este procedimento para todos os pontos (x,y) do plano para visualizar o que chamamos de Campo 
Vetorial, de forma completa. Por exemplo, para o campo vetorial no plano, dado anteriormente: calcula-se 
seus valores em um conjunto de pontos tais como: 
 
 
 
) ( , )
(1,0) ( 1,0) (0,1) (0,1) (1,1) ( 1,1) (1,2) ( 1,2)
a F x y xi yj
F F F F
  
       
 
b) ( , ) ( , )F x y x y c) F(x,y,z) = (x,y,z) 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE MAURICIO DE NASSAU 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIAS: AMBIENTAL, MECÂNICA E QUÍMICA 
CÁLCULO VETORIAL 
Campo vetorial – Gradiente, Divergente, Rotacional e Diferencial 
Profa. MSc. Helena Lima 
 
 
 
2 
 
 
Outros exemplos, considerando as funções vetoriais 
 
 
 
 
 
Campo de Velocidade 
 
Imagine um líquido escoando uniformemente em um cano e seja V(x, y, z) o vetor velocidade em um ponto (x, 
y, z). Observe que V associa um vetor a cada ponto (x, y, z) de um certo domínio E, que representa o interior 
do cano. Dessa forma, V é um campo vetorial em R 3 , chamado campo de velocidade. A figura abaixo ilustra 
um campo de velocidade. A velocidade escalar é indicada pelo comprimento da seta. 
 
 
 
2. Operadores Vetoriais 
 
As operações vetoriais podem ser feitas sobre campos vetoriais e escalares. Um campo vetorial qualquer é uma 
função f (r) que associa um escalar f a cada posição r enquanto que uma função vetorial F(r) associa um vetor 
F a cada ponto r de um campo vetorial. Para realizar as operações diferenciais vetoriais, utiliza-se o operador 
diferencial ∇ ( nabla) que é definido em coordenadas cartesianas como: ( , , ) i j k
x y z x y z
     
    
     
 
que sozinho não tem significado físico ou geométrico , precisando para isso ser aplicado em uma função. 
 
2.1 Gradiente 
 
No calculo vetorial, o gradiente é a alteração no valor de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Como 
exemplo pode-se citar: o campo elétrico, que é o gradiente do potencial elétrico, o gradiente da energia de campo 
é a força de campo, sendo expresso por: ( , , )
f f f f f f
f i j k
x y z x y z
     
    
     
. O gradiente de uma função escalar 
é um vetor cujo modulo, direção e sentido representam a máxima taxa de variação de crescimento desta função. 
 
3 
 
Aponta para o máximo crescimento da função no ponto considerado, sendo ortogonal à superfície em que a 
função escalar é constante nesse ponto. Ex: 
( , ) cos( ), (2,0)
( ) (2,0) 1 0 1
( , , ) (2,0) 2
( ) (2,0) 2 0 2
y
y
y
f x y xe xy P
f f
e ysen xy
f f f f f fx x
f i j k f i j
f f x y z x y z
xe xsen xy
y y
 
  
              
       
            
  
 
 
2.2 – Divergente 
 
Seja ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zF r F x y z i F x y z j F x y z k   uma função vetorial continua com derivadas continuas pelo menos 
até a primeira ordem. O divergente é um escalar calculado pelo produto escalar do operador ∇ e a função vetorial 
considerada: . yx z
FF F
div F F
x y z
 
    
  
 
A divergência de um campo vetorial F(r) dada por div F(r), revela o fluxo líquido ( saída – entrada) por unidade 
de volume. 
2 2
2
1) ( , ) 3
3 (4,2,2) 3.4 12
( , ) 12 32 20
2 (4,2,2) 32
x x
y y
Ex F x y xy i xy zj
F F
y
x x
divF x y
F F
xyz
y x
 
  
      
    
   
  
 
. 
22) ( , , )
, , 0 (1 x)
yx z
Ex F x y z xz i xyz j y k
FF F
z xz divF z xz z
x y z
  
 
       
  
 
O divergente de um vetor, mede a variação do fluxo desse vetor, podendo ser entendido no contexto da Mecânica 
dos fluidos como: Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido, então, divF representa a taxa líquida de variação, 
com relação ao tempo, da massa de fluido que passa pelo ponto (x, y, z). 
 
2.3 – Rotacional 
 
Seja o campo vetorial: ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )kF x y z P x y z i Q x y z j R x y z   Se P, Q e R admitem 
derivadas parciais, o rotacional de F indicado por rot F é o campo vetorial definido em um espaço dado por: 
 ( , , ) ( , , )rot F x F x P Q R
x y z
  
  
  
 
 
R Q P R Q P
y z x yrot F i j k i j kx z
y z z x x y
P RQ R P Q
    
         
                 
          
 
Exemplos: Calcule o rotacional de: 
2) ( , , )a F x y z xyi yz j xyzk   
0
P
x
y
P
z






 
0
2
Q
x
Q
yz
z






 
R
yz
x
R
xz
y






 
 
) ( , , )b F x y z y i x j z k    
 
 ( 2 ) (0 ) (0 )
 ( 2 )
R Q P R Q P
rot F i j k
y z z x x y
rot F xz yz i yz j x k
rot F xz yz i yz j x k
         
         
         
     
   
 
 
4 
 
1, 0
P P
y z
 
  
  
1, 0
Q Q
x z
 
 
  
0, 0
R R
x y
 
 
  
 
) ( , , )c F x y z x i yj xz k   
2 2) ( , ) ( )d F x y x y i  
2e) ( , )F x y xy i x j  
O vetor rotacional está associado com rotações. Se F representa um campo de velocidades em Mecânica dos 
fluidos, por exemplo, então, partículas próximas de um ponto (x0 , y0 , z0), tendem a rodar em torno do eixo que 
aponta para a direção definida pelo rotF calculado nesse ponto. A magnitude do vetor rotF é uma medida do 
quão rápido as partículas se movem em torno desse eixo. A rotação obedece a regra da mão direita. 
 
Rotacional e divergente são duas operações essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos flu-
idos, eletricidade e magnetismo, entre outras áreas. Em termos gerais, o rotacional e o divergente lembram a 
derivada mas produzem, respectivamente, um campo vetorial e um campo escalar respectivamente. Ambas ope-
rações são descritas em termos do operador diferencial ∇. 
 
3. Operações e operadores de segunda ordem 
 
Com o operador Nabla pode-se determinar o operador Laplaciano dado por : 
22 2
2
2 2 2
( )
yx z
ff f
f r
x y z
 
   
  
 
 
 
 (0 0) (0 0) (1 ( 1))
 2
R Q P R Q P
rot F i j k
y z z x x y
rot F i j k
rot F k
         
         
         
      

 
O laplaciano de um campo escalar é um operador diferencial de segunda ordem que corresponde `a 
divergência do gradiente desse campo. É usado para encontrar contornos de uma imagem. 
 
Ex: Calcule o laplaciano da função f (x,y) = x³y+2xcosy 
 
 4.Matriz Jacobiano 
 
Dada uma função F(x,y) = ( F1,F2,...Fn), a matriz J formada pelas derivadas parciais de primeira ordem 
de cada uma dessas funções, é dada por: 
1 1
( , )
2 2
 
 
F x y
F F
x y
J
F F
x y
  
  
 
  
 
  
 
1 1 1
2 2 2
( , , )
3 3 3
 
 
 
F x y z
F F F
x y z
F F F
J
x y z
F F F
x y z
   
 
   
   
  
   
   
 
   
 
5 
 
 
2
2 21 1
1
2
2 2
2
3 3
3
) ( , ) ( , 2 , )
( , ) 2
2
( , ) 2 2 ( , ) 2 2
1 1
( , ) 1 1
a F x y x y xy x y
F F
F x y x y xy x
x y
xy x
F Fx
F x y y x J x y y x
y x y
F F
F x y x y
x y
 
 
     
    
   
             
       
  
 
 
5. A derivada direcional e o vetor gradiente 
 
Teorema: Seja 
2:f D   uma função diferenciável em (a,b) ∈ D, um conjuntoaberto de 
2
, e 
seja u um vetor unitário. Então 
 
( , ) ( , ).
f
a b f a b u
u

 

 . Sendo u o vetor unitário ou versor do vetor dado 
 
Ou seja, se f for diferenciável, pode-se calcular as derivadas direcionais simplesmente fazendo o produto in-
terno do vetor gradiente pelo vetor unitário que indica a direção indicada. Ex: 
Calcule as derivadas direcionais e o gradiente da função 
2 2( , )f x y x y  nas direções dos vetores 
3 4 2 2
( , ), ( , ), (0, 1)
5 5 2 2
u v w     
( , , ) (2 ,2 ) (1,1) (2,2)
3 4 3 4 6 8 14
) ( , ) (1,1) (1,1). (2,2).( , )
5 5 5 5 5 5 5
2 2 2 2
) ( , ) (1,1) (1,1). (2,2).( , ) 2 2 0
2 2 2 2
) (0, 1) (1,1) (1,1).
f f f f f f
f i j k f x y f
x y z x y z
f
a u f u
u
f
b v f v
v
f
c w f
w
     
        
     

       


          


    

(2,2).(0, 1) 0 2 2w      
 
 
6. O gradiente como o indicador da direção de maior crescimento 
 
Produto interno de dois vetores não-nulos: . . .cosu v u v  , sendo 
00 180  formado pelos vetores u 
e v: 
 
Norma (comprimento) do vetor v: 
2 2
1 1|| u || x y  
Vetor unitário com a mesma direção e sentido que v (VERSOR): 1 1
u 1
û (x , y )
|| u || || u ||
  
Usando o produto interno de dois vetores e o vetor unitário u, se f for uma função diferenciavel em P(a,b) 
6 
 
e ( , ) 0f a b  , temos que: ( , ) ( , ) cos
f
a b f a b
u


 

 , sendo  o ângulo formado entre os vetores ( , )f a b 
e u. Dessa forma é possível interpretar o gradiente como o vetor que aponta na direção de maior crescimento 
da função f, no ponto (a, b). 
 
TEOREMA: Seja 2:f D   uma função diferenciável no ponto ( , )a b D , tal que ( , ) 0f a b  . O valor 
máximo de ( , )
f
a b
u


 ocorre quando 
( , )
ˆ
|| ( , ) ||
f a b
u
f a b



, sendo seu valor máximo dado por ( , )f a b . Em 
outras palavras, a maior taxa de variação da função f, num dado ponto, ocorre na direção indicada por seu 
gradiente nesse ponto, e esse valor máximo é dado pela norma do vetor gradiente. 
 
Ex: Seja 
2 2( , , )f x y z x y z   , considerando o ponto (2,2,1) e o vetor (3, 4,12)u  , determine: 
a) A derivada direcional da função 
2 2 2
(3,4,12) (3,4,12) (3,4,12) 3 4 12
, ,
13 13 13 139 16 1443 4 12
u
û û û û û
u
 
          
    
 
 
`(2,2,1)
`(2,2,1)
( , , ) (2 , 2 ,1) (4, 4,1)
3 4 12 12 16 12 8
( , , ) . (4, 4,1). , ,
13 13 13 13 13 13 13
f a b c x y
f a b c û
    
 
       
 
 
 
b) A direção de maior crescimento de f a partir do ponto (2, 2, 1) é a derivada de f nesta direção. 
A direção de menor crescimento da função é oposta a direção de seu maior crescimento. 
 
2 2 2
( , , ) ( 4,4, 1) ( 4,4, 1) ( 4,4, 1) 1
4 33,4 33, 33
( , , ) 3316 16 1 334 ( 4) 1
f a b c
f a b c
      
      
    
 
A norma de ( , , )f a b c mostra o valor da derivada nesse ponto e nessa direção: ( , , ) 33f a b c    
 
APLICAÇÕES: 
 
1) A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função 
2 2 2( , , ) 28f x y z x y z    . Uma abe-
lhinha encontra-se na posição ( 1,2,1) e deseja resfriar-se o mais rápido possível. Em que direção ela deverá 
voar? 
 (1,2,1)(2 , 2 ,2 ) (2, 4,2)f x y z f      
Ela deverá voar para o vetor oposto ao gradiente nesse ponto que é dado por (1,2,1) ( 2,4, 2)f    
2) A temperatura do ar em cada ponto (x; y; z) de uma sala é dada por 
2 2 2( , , )T x y z x y z   ( 0C/m). Um 
mosquito está no ponto Q = (3; 1; 2). Pede-se: 
(a) Se ele voar na direção do vetor v = (1; 1; 1), ele estará aquecendo ou esfriando? Com qual taxa de variação 
de temperatura? 
(b) Em qual direção e sentido ele deve voar para que a temperatura decresça mais rapidamente? Qual é a taxa 
de variação? 
(c) Se ele deseja voar de modo a se manter na mesma temperatura, que direção ele deve ir inicialmente? 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) A taxa de variação é dada pela derivada direcional da função no ponto considerado. 
 
7 
 2 2 2
2 2 2
0
( ) ( ).
(3,1,2), (1,1,1)
( , , ) ( ) (2 ,2 , 2 ) (3,1,2) (6,2, 4)
(1,1,1) 1
(1,1,1)
31 1 1
1 6 2 4 4 4 3
( ) ( ). ( ) (6,2, 4). (1,1,1) /
33 3 3 3 3
u
u u
D f P f P û
P u
T x y z x y z T P x y z T
u
û û
u
D f P f P û D f P C m
 

        
   
 
         
 
 Estará se aquecendo na razão de 
04 3 /
3
C m 
b) O gradiente aponta a direção e sentido em que a temperatura cresce mais rapidamente, logo, ele deve 
voar no sentido oposto ao do gradiente, isto é, na direção do vetor (-6,-2, 4). Nesta direção e sentido a taxa de 
variação de temperatura é igual a: 
 
2 2 2 0( ) 6 2 ( 4) 56 /T P C m         
c) Ele deve voar inicialmente em uma direção perpendicular ao gradiente, isto é, na direção do vetor 
w = (a; b; c) de tal modo que: ( ). 0 (6,2, 4).( , , ) 0 6 2 4 0.T P w a b c a b c         
ou seja, temos infinitas soluções. ele deve voar, inicialmente, na direção de qualquer reta contida no plano 
tangente à superfície de nível que passa pelo ponto (3, 1, 2). 
 
Ex3) A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy e a sua profundidade em cada 
ponto (x, y) é dada pela função f(x, y) = 300 - 2x2 - 3y2 (m). Um menino está nadando no lago e, num certo 
instante, se encontra no ponto P = (4, 9). 
a) Em que direção e sentido ele deve nadar para ir para a parte mais rasa do lago? 
b) Determine a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor u = (3; 4). 
 
2 2) ( , ) 300 2 3 , (4,9)
( 4 , 6 ) ( ) ( 4.4, 6.9) ( 16, 54) ( ) (16,54)
a F x y x y P
F x y F P F P
  
             
 
 
0
) ( ) ( ).
(3,4) (3,4) 3 4
( ) ( 16, 54).( , ) 53,8 /
5 5 525
u
u
b D F P F P û
û û D F P C m
 
        
 
A temperatura varia a 
053,8 /C m 
 
Ex.5) A temperatura em 0 /C cm sobre uma lâmina metálica é dada por: 2 2
100
( , )
4 4
xy
T x y
x y

 
. Determine 
a direção de crescimento máximo de T a partir do ponto (1, 1) e sua taxa máxima de crescimento nesse ponto. 
 
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
100 ( 4 4) 100( 1 4 4) 700
(1,1) 8,64
81( 4 4) (1 4 4)
100 ( 4 4) 100(1 4 4) 100
(1,1)
81( 4 4) (1 4 4)
700 100 700 100
(1,1) , (1,1)
81 81 81 81
(
T y x y T
x xx y
T x x y T
y yx y
T T
T
       
    
    
     
    
    
     
           
     

2 2
2 2 2 2
0
700 100 1 1
1,1) 490000 10000 500000
81 81 81 81
5 10 10 10 5 10 10 100 50
(1,1) 8,72 /
81 81 81
x x x x x
T C cm
   
       
   
    
 
 
Ex.6)A temperatura do ar em certa altitude é dada por: f(x, y, z) = x y2 z 3 + x 2 y z3 + x 2 y 3. Um avião está 
localizado no ponto (−1, 2, 1). Em que direção deve voar para que o motor resfrie o mais rapidamente possível? 
8 
 
 
2 3 2 3 2 3
2 3 3 3 2 3 3 3
3 2 3 2 2 3 2 3 2 2
2 2 2 2 2
( , , )
2 2 ( 1,2,1) 2 .1 2( 1).2.1 2.( 1).2 .1 4 4 16 16
2 3 ( 1,2,1) 2.( 1).2.1 ( 1) .1 3.( 1) .2 .1 4 1 12 9
3 3
f x y z xy z x yz x y z
f f
y z xyz xy z
x x
f f
xyz x z x y z
y y
f
xy z x yz x
z
  
 
              
 
 
               
 

  

3 2 2 2 2 2 3
 de maior temperatura
2 2 2 0
( 1,2,1) 3.( 1).2 .1 3( 1) .2.1 ( 1) .2 12 6 8 2
( 1,2,1) ( 16,9,2) ( 1,2,1) (16, 9, 2) direção a ser seguida
16 ( 9) ( 2) 341 18,46 /
(16,
direção
f
y
y
f f
f C cm
f
f

            

          
       



09, 2) 1 5(16 9 2) 0,27 / .
18,46 18,46 18,46
C u a
 
    
 
 
EXERCICOS PROPOSTOS 
 
1)(CÁLCULO II: VOLUME I - MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. p.151) A equação 
da superfície de uma montanha é: onde as distâncias são medidas em me-
tros. Suponha que os pontos do eixo positivo dos x estão a leste e os pontos do eixo positivo dos y ao nortee que um alpinista está no ponto (−10, 5, 850). 
(a) Qual a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada? 
 (b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade? 
(c) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade? 
(d) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano? 
 
2)Uma lâmina metálica está situada no plano xy de modo que a temperatura T = T(x, y), em graus Celsius, 
em cada ponto, seja proporcional à distância do ponto à origem. Se a temperatura no ponto (3, 4) é de 
150oC, pede-se: 
a)A taxa de variação de T no ponto (3, 4) na direção (−1, 1). 
(b) Em que direções a taxa de variação é zero? 
 
3) A distribuição da temperatura em uma chapa plana é dada por 
2 2( , ) 3T x y x y  no plano xy, sendo 
T(x,y) a temperatura em 0C no ponto (x,y)com x e y em cm. Qual a taxa de variação de sua temperatura? 
4) A função T(x, y) = x 3 − y 2 mede a temperatura no ponto (x, y). Estando-se no ponto (1, 2), qual a 
direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento da temperatura nessa 
direção? 
 
5)Um nave está perto da órbita de um planeta na posição (1, 1, 1). Sabendo que a temperatura da blindagem 
da nave em cada ponto é dada por 
( 3 2 )2 2 2( , , ) x y zT x y z e   , determine a direção que a nave deve tomar para 
perder temperatura o mais rapidamente possível.