MECÂNICA DOS SÓLIDOS- TRABALHO AV1

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RIO DE JANEIRO 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
TRABALHO PARA AV1 
 
 
 
 
 
 
Trabalho acadêmico referente a Avaliação A1 
Curso: Engenharia 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 
Docente: Moacir Porto Ferreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALAN D. DE A. L. MELO - 20191100319 
AMANDA ESPERANÇA PADRENOSSO - 20041302664 
ANA CLARA DE OLIVEIRA - 20171109048 
ANA CLARA LOURENÇO - 20191107781 
ARYANA B. PEREIRA DE JESUS - 20182102974 
BEATRIZ CARDOSO - 20191106362 
BYANCA BRASIL PEREIRA DOS SANTOS – 20191108752 
CAIO ARAUJO DOS SANTOS - 
CORINNE DE CARVALHO – 20182101188 
DANIELLE SOUSA ERMINIO - 20191108910 
DOUGLAS PEREIRA DE CRISTO CHAGAS – 20141103707 
ELTON ROCRIGUES MACHADO - 20141104572 
ESTEFANI O. LINHARES - 20141107591 
FÁBIO LUIZ SILVA RAMALHO - 20191101001 
FELIPE CARDOSO CORRÊA - 20181101750 
FERNANDO FARIA PERES - 20191103402 
GABRIEL LIMA – 20191103902 
GABRIEL RAMOS DA SILVA - 20191104058 
GEISYLANE VITTORIA. S. F ROSENDO – 20191104358 
GERTA PIMENTA – 20181103913 
GILBERTO DE ALMEIDA - 20191108302 
HUGO GOMES RUIZ - 20172100855 
IZABELE DA COSTA RAMALHO 
JOÃO PAULO DA COSTA – 20151102853 
JOÃO PAULO FONSECA DE ARAÚJO - 2018110386 
JOÃO VICTOR GOMES - 2018110784 
JOSÉ HUGO PONTALTI GEBARA - 20101101820 
LEONARDO DE SOUZA JESUINO - 20202101921 
LEONARDO GOMES BATISTA DE OLIVEIRA - 20191103015 
LETÍCIA PEREIRA DA SILVA - 20191107314 
LUAN DOS SANTOS MACIEL - 20181105395 
LUCAS ARCANGELO - 20181105395 
LUCAS GUERSON DO VALLE – 20191104736 
LUIZ FELIPE PIRES RODRIGUES – 20191103781 
LUIZ FERNANDO MELO - 20181100405 
MARCELO DE AZEVEDO - 20181104119 
MARCELO DE SUCKOW - 20172102876 
MARIANI JEREMIAS BASTOS – 20161107249 
MARINA DE JESUS - 20191107854 
MARIZE FERREIRA CAEIRO - 20152101860 
MATHEUS A. LEAL DE A. CARDOSO - 20191109436 
MATHEUS GREGORIO - 20191108368 
MATHEUS MEIRA GERARD - 20191104446 
PATRICIA KAREN LAWRENCE - 20172102715 
PAULO JUNIOR - 20141103782 
PEDRO QUEIROZ – 20161105541 
PHELIPE MARTINS DA CONCEIÇÃO - 20191109437 
RAISA C. DE ALENCAR – 20191108644 
RENATO GARCIA - 20182101810 
ROSILANE CELESTINO - 20121105265 
THAIS DOS SANTOS - 20171109320 
THALES BRAGA – 20181106940 
VICTOR RIBEIRO OWONDO - 20191100845 
WALTER CRISTOVAM - 20191103450 
WELINGTON NEVES HELENO - 20132101977 
WEMERSON MENDONÇA - 20121101371 
WILLIANE GABRIELA MARTINS - 20182102420 
 
 
 
 
Sumário 
1. CONCEITO DO MOMENTO DE INÉRCIA, COM APLICAÇÕES. EXEMPLOS GRÁFICOS E CÁLCULOS 
DE MOMENTO DE INERCIA. .................................................................................................................... 4 
1.1. APLICAÇÕES ............................................................................................................................ 4 
1.1.1. EXEMPLOS GRÁFICOS: .................................................................................................... 9 
1.2. CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA ................................................................................... 10 
1.2.1. EXERCÍCIO DE EXEMPLO: .............................................................................................. 12 
2. MOMENTO DE INÉRCIA EM FIGURAS PLANAS ............................................................................ 13 
3. MOMENTO POLAR DE INERCIA .................................................................................................... 26 
3.1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 26 
3.2. DEFINIÇÃO ............................................................................................................................ 26 
3.3. COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UM CILINDRO ................. 28 
3.4. DIFERENÇA ENTRE O MOMENTO DE INÉRCIA E O MOMENTO POLAR DE INÉRCIA ........... 29 
3.4.1. APLICAÇÃO .................................................................................................................... 30 
3.5. MOMENTO POLAR DE INÉRCIA (Jp) ..................................................................................... 30 
3.5.1. CÁLCULOS ...................................................................................................................... 32 
4. MOMENTO DE GIRAÇÃO .............................................................................................................. 35 
4.1. CONCEITO.............................................................................................................................. 35 
4.2. GRÁFICOS ILUSTRATIVOS E CÁLCULOS DE OBTENÇÃO. ...................................................... 35 
4.3. APLICAÇÕES REAIS .................................................................................................................... 37 
5. MOMENTO DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES COMPOSTAS ............................................................... 42 
5.1. CONCEITO.............................................................................................................................. 42 
6. PRODUTO DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA ..................................................................................... 48 
6.1. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS ........................................................................................... 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo 1: Aryana Pereira, Beatriz Cardoso, Douglas Chagas, Lucas do Valle, Marina Rosário, Marize 
Coeiro, Patrícia Lawrence, Paulo Junior e Victor Ribeiro. 
1. CONCEITO DO MOMENTO DE INÉRCIA, COM APLICAÇÕES. EXEMPLOS GRÁFICOS E 
CÁLCULOS DE MOMENTO DE INERCIA. 
 
Inércia é a propriedade de um corpo continuar em determinado estado de repouso ou de 
movimento até ser modificado por uma força. 
Já o momento de inércia é a grandeza física que avalia a resistência a mudança no 
movimento rotacional. Essa resistência a mudança em sua velocidade angular é definida pelo 
produto da área pelo quadrado da distância até o referencial. Essa resistência a mudança em 
sua velocidade angular que simbolizaremos por I, pode ser expressa por: 
 
I = m. R² 
 
 
Para um corpo de massa m, cujo centro de massa está posicionado a uma distância fixa 
R de um ponto fixo em torno do qual este objeto pode executar um movimento circular mas 
para objeto como uma barra, ou um disco, ou uma esfera, qual seria a expressão para o cálculo 
do momento de inércia. Para estes casos, aplica – se o cálculo da integral utilizando a 
distribuição contínua de massa, cujo elemento de massa é dm ao longo do corpo com 
comprimento x, como segue abaixo. 
 
 
 
1.1. APLICAÇÕES 
 
O momento de inércia é utilizado no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos, 
também é utilizado no estudo das tensões que ocorrem nas flexões e torções. 
Além disso, pode ser utilizado na avaliação de forças resultantes de pressões sobre 
superfícies. Dentre as aplicações do Momento de Inércia, podem ser destacadas: 
• Cálculo da energia cinética de rotação de um corpo rígido: Onde, há um corpo rígido 
de massa M girando em torno de um ponto com uma velocidade angular w como 
mostra a figura. 
 
 
 
• Cálculo da energia cinética de um corpo num movimento genérico: Um movimento 
genérico de um corpo que passa da posição 1 para a posição 3 pode ser sempre 
considerado como a superposição de dois movimentos básicos, um de translação 
(deslocamento da posição 1 para 2) e um outro de rotação em torno do centro de 
massa (deslocamento da posição 2 para 3) 
Consequentemente a energia cinética de um corpo em movimento genérico pode ser 
calculada como sendo a soma da energia cinética no movimento de translação com a energia 
cinética no movimento de rotação. 
 
 
• Cálculo do momento cinético de um corpo num movimento de rotação em torno de 
um eixo que passa pelo centro de massa: Denominado como o momento cinético J ao 
momento da quantidade de movimento. O momento cinético J é uma grandeza 
vetorial que seráanalisada escalarmente, uma vez que só sejam considerados os 
movimentos situados em um mesmo plano. 
O tratamento escalar será estendido à todas as grandezas envolvidas. Considerando uma 
partícula de massa m girando com uma velocidade linear v e angular w em torno de um ponto 
distante r. 
 
O momento cinético J da partícula será: J = r.mv >>> J = r.m.ωr >>> J = r2m.ω >>> J = I.ω 
 
Onde I é o momento de inércia da partícula em relação ao ponto centro de rotação. 
Levando em consideração, um corpo de massa M girando com uma velocidade angular w em 
torno de um eixo perpendicular ao plano da figura. 
 
 
 
 
• Teorema do momento cinético: Quando há uma partícula de massa m girando com 
uma velocidade linear v e angular w em torno de um ponto distante r da partícula, 
cujo momento cinético é J. Seja F uma força atuante sobre a partícula, cujo momento 
em relação ao centro de rotação é MF. Vale lembra, que o tratamento escalar está 
sendo dado à todas as grandezas envolvidas no estudo, uma vez que é admitido um 
movimento em um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
• Cálculo da força que um líquido em equilíbrio exerce sobre uma superfície plana 
vertical imersa: Este ocorre quando, uma superfície plana, vertical, de área S, imersa 
num líquido de massa específica m num local onde a aceleração da gravidade seja g. 
Levando em consideração, uma faixa horizontal de área elementar dS. 
 
Seja F a força exercida pelo líquido sobre a superfície. 
Sabemos que a pressão p exercida pelo líquido na profundidade y é >>> p = ymg 
 
 
 
• Cálculo da posição do centro de empuxo: Ocorre quando, uma superfície plana, 
vertical, de área S, imersa num líquido de massa específica m num local onde a 
aceleração da gravidade seja g. 
Consideremos ainda uma faixa horizontal de área elementar dS. 
Seja HCM a profundidade do centro de massa. 
 
Denomina-se de centro de empuxo ao ponto de aplicação da força 
resultante F exercida pelo líquido sobre a superfície. Seja HE a sua profundidade. 
 
Sabemos que a pressão p exercida pelo líquido na profundidade y é: 
 
𝑃 = 𝑦 × 𝑚 × 𝑔 
 
1.1.1. EXEMPLOS GRÁFICOS: 
 
 
 
1.2. CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA 
 
Separamos os seguintes exemplos que mostram como calcular o momento de inércia de 
algumas figuras geométricas: 
 
I. Retângulo 
 
 
II. Triângulo 
 
 
 
III. Círculo 
 
 
 
IV. Semicírculo 
 
 
V. Quadrante 
 
 
 
 
1.2.1. EXERCÍCIO DE EXEMPLO: 
 
Retirado do site: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=171040109 
e reformulada com base no trabalho 
- Em situações corriqueiras, uma placa plana pode ser dividida em figuras simples, como 
mostrada na explicação acima. Pode-se calcular a abscissa x do seu centro de gravidade G a 
partir das abscissas x1, x2, …, xn dos centros de gravidades de diversas partes representando 
que o momento do peso de toda placa em relação ao eixo, conforme afigura abaixo. Sua 
ordenada y do centro de gravidade da placa é calculada de forma similar, igualando-se o 
momento em relação ao eixo x. Equacionando temos: 
 
 
 
 
 
 
De forma resumida, obtemos: 
 
 
https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=171040109
 
 
As equações podem ser resolvidas para as coordenadas x e y do centro de 
gravidade da placa, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
Grupo 2: Ana Clara Lourenço, Byanca Brasil, Fernando Faria, Gabriel Lima, João Paulo da costa, Letícia 
Pereira, Matheus Amorelly, Raisa Alencar e Rosilane Celestino. 
2. MOMENTO DE INÉRCIA EM FIGURAS PLANAS 
 
Saber efetuar o cálculo do momento de inércia é algo que foi compreendido quando 
explicado o seu conceito. Ademais, foi obtida a seguinte fórmula: 
𝐼 = ∫ 𝑟2 𝑑𝑚 
Onde: r representa a distância perpendicular do elemento de massa dm ao eixo de rotação 
De fato, a fórmula para calcular o momento de inércia de figuras planas como o 
retângulo, triângulo, círculo e elipse é algo já estipulado em tabela. Entretanto, o objetivo 
principal a ser alcançado é além de mostrá-las, esclarecer como se chegaram as fórmulas 
atuais. 
Por mais que seja usado um par de eixos de referência (X e Y), deve-se calcular o 
momento de inércia em relação a cada um deles de forma separada. Sendo assim, por 
definição, os momentos de inércia do elemento diferencial dA em torno dos eixos são: 
 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2𝑑𝐴 e 𝑑𝐼𝑦 = 𝑥
2𝑑𝐴 
 Para a área inteira, o momento de inércia é determinado por integração, isto é: 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 𝑑𝐴
 
(𝐴)
 e 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 𝑑𝐴
 
(𝐴)
 
 
 Agora, já que se sabe a fórmula necessária para a descoberta do momento de inércia, 
elas irão ser aplicadas nas figuras: retângulo, triângulo, círculo e elipse, respectivamente: 
• Retângulo: 
 
O momento de inércia em relação a x: 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2 𝑑𝐴 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2 𝑏𝑑𝑦 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑑𝐼𝑥
 
𝐴
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 𝑏𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝐼𝑥 = (𝑏.
𝑦3
3
) |0
ℎ 
𝐼𝑥 = [((𝑏.
ℎ3
3
) − (
𝑏. 0
3
)] 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
3
 
Em relação ao eixo central x’: 
Como 𝐼𝑥 já foi calculado e se sabe que 𝑑𝑦 =
ℎ
2
, eles podem ser aplicados na seguinte 
relação: 
𝐼𝑥 = 𝐼′𝑥′ + 𝑑𝑦
2𝐴 
Sendo assim: 
𝐼′𝑥′ = 𝐼𝑥 − 𝑑𝑦
2𝐴 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
3
− (
ℎ
2
)
2
. 𝑏ℎ 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
3
−
𝑏ℎ3
4
 
𝐼′𝑥′ = (𝑏ℎ
3) (
1
3
−
1
4
) 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
12
 
Em relação a y: 
 
 
 
y
y’ 
^ 
^ 
^ 
h 
x’ ^ 
dA = h dx 
 
 
O momento de inércia em relação a y: 
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥
2 𝑑𝐴 
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥
2 𝑏𝑑𝑥 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑑𝐼𝑦
 
𝐴
 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 ℎ𝑑𝑥
𝑏
0
 
𝐼𝑦 = (
ℎ𝑥3
3
) |0
𝑏 
𝐼𝑦 = [(
ℎ𝑏3
3
) − (
ℎ. 0
3
)] 
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏3
3
 
Em relação ao eixo central y’: 
Como 𝐼𝑦 já foi calculado e se sabe que 𝑑𝑥 =
𝑏
2
, eles podem ser aplicados na seguinte 
relação: 
𝐼𝑦 = 𝐼′𝑦′ + 𝑑𝑥
2𝐴 
Sendo assim: 
𝐼′𝑦′ = 𝐼𝑦 − 𝑑𝑥
2𝐴 
𝐼′𝑦′ =
𝑏3ℎ
3
− (
𝑏
2
)
2
. 𝑏ℎ 
𝐼′𝑦′ =
𝑏3ℎ
3
−
𝑏3ℎ
4
 
𝐼′𝑦′ = (𝑏
3ℎ) (
1
3
−
1
4
) 
 
x G 
^ 
^ 
b 
o 
^
 ^
 
𝐼′𝑦′ =
𝑏3ℎ
12
 
Sendo assim : 
Momento de inércia em 
relação a x e y: 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
3
 
 
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏3
3
 
 
Momento de inércia em 
relação aos eixos centrais 
x’ e y’: 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
12
 
 
𝐼′𝑦′ =
ℎ𝑏3
12
 
 
• Triângulo: 
•Tipo 1 
 
O momento de inércia Em relação a x: 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2 𝑑𝐴 
𝑑𝐼𝑥 = 𝑦
2 𝑥𝑑𝑦 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑑𝐼𝑥
 
𝐴
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 𝑥𝑑𝑦
ℎ
0
 
Como: 
𝑦 = ℎ −
ℎ
𝑏
𝑥 → 𝑥 = 𝑏 −
𝑏
ℎ
𝑦 
Então: 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 (𝑏 −
𝑏
ℎ
𝑦) 𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 
𝑏ℎ − 𝑏𝑦
ℎ
𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 
𝑏(ℎ − 𝑦)
ℎ
𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝐼𝑥 = (
𝑏𝑦3
3
−
𝑏𝑦4
4ℎ
) |0
ℎ 
𝐼𝑥 = [(
𝑏ℎ3
3
) − (
𝑏. ℎ4
4ℎ
)] − [(
𝑏. 0
3
) − (
𝑏. 0
4ℎ
)] 
𝐼𝑥 =
4ℎ. 𝑏ℎ3 − 3𝑏ℎ4
12ℎ
 
𝐼𝑥 =
4𝑏ℎ4 − 3𝑏ℎ4
12ℎ
 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ4
12ℎ
 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
12
 
Em relação a x’: 
Como 𝐼𝑥 já foi calculado e se sabe que 𝑑𝑦 =
ℎ
3
, pode-se obter a seguinte relação: 
𝐼𝑥 = 𝐼′𝑥′ + 𝑑𝑦
2𝐴 
Sendo assim: 
𝐼′𝑥′ = 𝐼𝑥 − 𝑑𝑦
2𝐴 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
12
− (
ℎ
3
)
2
.
𝑏ℎ
2
 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
12
−
𝑏ℎ3
18
 
𝐼′𝑥′ = (
𝑏ℎ3
6
) (
1
2
−
1
3
) 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
36
 
Em relação a y: 
 
 
 
 
 
Em relação a y: 
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥
2 𝑑𝐴 
𝑑𝐼𝑦 = 𝑥
2 𝑦𝑑𝑥 
𝐼 𝑦 = ∫ 𝑑𝐼𝑦
 
𝐴
 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 𝑦𝑑𝑥
𝑏
0
 
Como: 
𝑦 = ℎ −
ℎ
𝑏
𝑥 → 𝑥 = 𝑏 −
𝑏
ℎ
𝑦 
Então: 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 (ℎ −
ℎ
𝑏
𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
0
 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 
ℎ𝑏 − ℎ𝑥
𝑏
𝑑𝑥
𝑏
0
 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 
ℎ(𝑏 − 𝑥)
𝑏
𝑑𝑥
𝑏
0
 
𝐼𝑦 = (
𝑥3ℎ
3
−
𝑥4ℎ
4𝑏
) |0
𝑏 
y
 
^ 
 
^ 
x 
h G 
 
^ 
^ 
dA = y dx 
b 
o 
^
 ^
 
y’ 
x’ 
𝐼𝑦 = [(
𝑏3ℎ
3
) − (
𝑏4ℎ
4𝑏
)] − [(
ℎ. 0
3
) − (
ℎ. 0
4𝑏
)] 
𝐼𝑦 =
4ℎ𝑏4 − 3ℎ𝑏4
12𝑏
 
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏3
12
 
Em relação a y’: 
Como 𝐼𝑦 já foi calculado e se sabe que 𝑑𝑥 =
𝑏
3
, eles podem ser aplicados na seguinte relação: 
𝐼𝑦 = 𝐼′𝑦′ + 𝑑𝑥
2𝐴 
Sendo assim: 
𝐼′𝑦′ = 𝐼𝑦 − 𝑑𝑥
2𝐴 
𝐼′𝑦′ =
ℎ𝑏3
12
− (
𝑏
3
)
2
.
𝑏ℎ
2
 
𝐼′𝑦′=
𝑏3ℎ
12
−
𝑏3ℎ
18
 
𝐼′𝑦′ = (
𝑏3ℎ
6
) (
1
2
−
1
3
) 
𝐼′𝑦′ =
𝑏3ℎ
36
 
•Tipo 2 
 
 
 
Esses dois tipos de triângulos possuem a mesma área (
𝑏ℎ
2
) e a mesma distância 𝑦 ao centróide 
(
ℎ
3
) 
Sendo assim: 
Momento de inércia em 
relação a x e y: 
𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3
12
 
 
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏3
12
 
 
Momento de inércia em 
relação aos eixos x’ e y’: 
𝐼′𝑥′ =
𝑏ℎ3
36
 
 
𝐼′𝑦′ =
ℎ𝑏3
36
 
 
 
• Círculo: 
 
Pode-se resolver isso utilizando a relação do momento de inércia polar em relação à 
origem dos eixos x e y: 
𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
Sabendo que qualquer eixo que passa pelo ponto O é o eixo de simetria, 𝐼𝑥 = 𝐼𝑦. Então 
primeiramente pode-se calcular o 𝐼𝑝. 
∫ 𝑟2 𝑑𝐴
𝑅
0
 
∫ 𝑟2 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
 
 
2𝜋 ∫ 𝑟3𝑑𝑟
𝑅
0
 
2𝜋 [
𝑟4
4
] |0
𝑅 
2𝜋 [(
𝑅4
4
) − (
0
4
)] 
𝜋𝑟4
2
 
Agora substituindo: 
𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
𝜋𝑟4
2
= 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
 
Como 𝐼𝑥 = 𝐼𝑦: 
𝜋𝑟4
2
= 𝐼𝑥 + 𝐼𝑥 
𝜋𝑟4
2
= 2𝐼𝑥 
𝐼𝑥 =
𝜋𝑟4
4
 
Sendo Assim: 
Momento de inércia em relação a x : 
𝐼𝑥 =
𝜋𝑟4
4
 
 
Momento de inércia em relação a y: 
𝐼𝑦 =
𝜋𝑟4
4
 
 
 
• Elipse: 
 
Momento de inércia em relação a x: 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2 𝑑𝐴
 
𝐴
 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥 =
𝑎
𝑏
√𝑏2 − 𝑦2 
𝐼𝑥 = ∫ ∫ 𝑦
2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥
−𝑥
𝑏
−𝑏
 
∫ [𝑦2𝑥]|−𝑥
𝑥
𝑏
−𝑏
𝑑𝑦 
∫ 𝑦2(𝑥 − (−𝑥)𝑑𝑦
𝑏
−𝑏
 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2(2𝑥)𝑑𝑦
𝑏
−𝑏
 
𝐼𝑥 = ∫ 2𝑦
2
𝑎
𝑏
𝑏
−𝑏
√𝑏2 − 𝑦2 𝑑𝑦 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
Obs: 
𝑦 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 → 𝑑𝑦 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 → 𝑦 = [−𝑏, 𝑏] → 𝜃 = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 
𝐼𝑥 = ∫ 2(𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃)
2
𝑎
𝑏
√𝑏2 − (𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃)2 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜗𝑑𝜃
𝜋
2
−
𝜋
2
 
𝐼𝑥 = ∫ 2𝑏
3 a sin2 𝜃 cos2 𝜃𝑑𝜃
𝜋
2
−
𝜋
2
 
𝐼𝑥 = ∫
𝑏3𝑎
2
sin2 2𝜃𝑑𝜃
𝜋
2
−
𝜋
2
 
𝐼𝑥 =
𝑏3𝑎
8
∫
1 − 𝑐𝑜𝑠4𝜗
2
𝑑4𝜃
𝜋
2
−
𝜋
2
 
𝐼𝑥 =
𝑏3𝑎
16
[4𝜃 − 𝑠𝑖𝑛4𝜃]|
−
𝜋
2
𝜋
2 
𝐼𝑥 =
𝑏3𝑎
16
((
4𝜋
2
−
𝑠𝑖𝑛4𝜋
2
) − (−
4𝜋
2
+
𝑠𝑖𝑛4𝜋
2
)) 
𝐼𝑥 =
𝑏3𝑎
16
4𝜋 
𝐼𝑥 =
𝜋𝑎𝑏3
4
 
Momento de Inércia em relação a y: 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2 𝑑𝐴
 
𝐴
 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑥 =
𝑎
𝑏
√𝑏2 − 𝑦2 
𝐼𝑦 = ∫ ∫ 𝑥
2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥
−𝑥
𝑏
−𝑏
 
Obs: 
∫ [
1
3
𝑥3] |−𝑥
𝑥
𝑏
−𝑏
𝑑𝑦 
∫ (
1
3
𝑥3 − (−
1
3
𝑥3)) 𝑑𝑦
𝑏
−𝑏
 
𝐼𝑥 = ∫
2
3
𝑥3𝑑𝑦
𝑏
−𝑏
 
𝐼𝑦 = ∫
2𝑎3
3𝑏3
(√𝑏2 − 𝑦2)
𝑏
−𝑏
3
𝑑𝑦 
 
𝑦 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 → 𝑑𝑦 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 → 𝑦 = [−𝑏, 𝑏] → 𝜃 = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 
 
𝐼𝑦 = ∫
2𝑎3
3𝑏3
(√𝑏2 − (𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃)2)
3
𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜗𝑑𝜃
𝜋
2
−
𝜋
2
 
𝐼𝑥 = ∫
2𝑎3𝑏
3
cos4 𝜃𝑑𝜃
𝜋
2
−
𝜋
2
 
𝐼𝑦 =
2𝑎3𝑏
3
[
1
32
(12𝜃 + 8𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛4𝜃)] |
−
𝜋
2
𝜋
2 
𝐼𝑦 =
𝑎3𝑏
48
((12
𝜋
2
+ 8 sin
2𝜋
4
+ sin
4𝜋
2
) − (12 (−
𝜋
2
) + 8𝑠𝑖𝑛 (−
2𝜋
2
) + 𝑠𝑖𝑛 (−
4𝜋
2
))) 
𝐼𝑦 =
𝑎3𝑏
48
(12𝜋) 
𝐼𝑦 =
𝜋𝑎3𝑏
4
 
Sendo assim: 
Momento de inércia em relação a x : 
𝐼𝑥 =
𝜋𝑎𝑏3
4
 
 
Obs: 
Momento de inércia em relação a y: 
𝐼𝑦 =
𝜋𝑎3𝑏
4
 
 
 
Grupo 3: Estefani Linhares, Felipe Cardoso, João Paulo Araújo, Luiz Felipe, Matheus Gerard, Pedro 
Bastos, Phelipe Martins, Renato Garcia Welignton Neves. 
3. MOMENTO POLAR DE INERCIA 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
 
O momento polar de inércia é uma quantidade usada para prever a capacidade de um 
objeto de resistir à torção, em objetos (ou segmentos de objetos) com uma seção transversal 
circular invariável e sem empenamento significativo ou deformação fora do plano. É usado 
para calcular a torção de um objeto submetido a um torque. É análogo ao momento de inércia 
da área, que caracteriza a capacidade de um objeto de resistir à flexão e é necessário para 
calcular o deslocamento. Quanto maior o momento polar de inércia, menos o feixe se torcerá, 
quando submetido a um determinado torque. O momento polar de inércia não deve ser 
confundido com o momento de inércia, que caracteriza a aceleração angular de um objeto 
devido a um torque. 
3.2. DEFINIÇÃO 
 
 
Um esquema mostrando como o momento polar de inércia é calculado para uma forma arbitrária em torno 
de um eixo , onde é a distância radial ao elemento . 
 
Embora tenha se tornado comum encontrar o termo momentos de inércia usado para 
descrever os segundos momentos de área polar e planar , isso é principalmente uma 
construção de campos de engenharia. O termo momento de inércia, dentro dos campos da 
física e da matemática, é estritamente o momento de inércia de massa, ou segundo momento 
de massa, usado para descrever a resistência de um objeto maciço ao movimento rotacional, 
não sua resistência à deformação torcional. Enquanto os segundos momentos de 
inércia polar e planar são integrados sobre todos os elementos infinitesimais de uma 
determinada área em alguma seção transversal bidimensional, o momento de inércia 
de massa é integrado sobre todos os elementos infinitesimais de massa em um espaço 
tridimensional ocupado por um objeto. Simplificando, os segundos momentos de 
inércia polar e planar são uma indicação de rigidez, e o momento de inércia de massa é a 
resistência ao movimento rotacional de um objeto massivo. 
 
 
J x = o momento polar de inércia em torno do eixo x 
dA = uma área elementar 
r = a distância radial ao elemento dA do eixo x 
 
O momento polar da área aparece nas fórmulas que descrevem a tensão de torção e o 
deslocamento angular. 
 
• Tensão de torção: 
 
onde T é o torque, r é o raio e J x é o momento polar da área. 
Em um eixo circular, a tensão de cisalhamento é máxima na superfície do eixo (já que 
é onde o torque é máximo): 
 
Na maioria das vezes, o problema inverso é resolvido, no qual se resolve para o raio. 
 
3.3. COMPARAÇÃO ENTRE VÁRIOS MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UM CILINDRO 
 
Momento polar de Inércia 
 
 
d é o diâmetro 
 
Momento de Inércia da área 
 
 
 
 
 
Momento de Inércia 
 
 
 
 
Tipos de seção transversal, momento polar de inércia 
 
 
 
1. Eixo oco 
 
Para determinar o momento polar de inércia que usamos; 
J hollow = 
 
R 1 e R o = raio interno e externo do eixo oco. 
 
2. Eixo de Parede Fina 
 
Para determinar o momento polar de inércia que usamos 
J fino = 
t = espessura do eixo de parede fina. 
 
3. Eixo Circular Sólido 
 
Para determinar o momento polar de inércia, usamos a seguinte fórmula; 
J sólido = 
R = raio do eixo circular. 
 
3.4. DIFERENÇA ENTRE O MOMENTO DE INÉRCIA E O MOMENTO POLAR DE INÉRCIA 
 
 Embora o momento de inércia e o momento polar de inércia soem semelhantes, eles são 
duas quantidades diferentes para medir propriedades diferentes de certos objetos. Veremos 
algumas diferenças abaixo. 
Momento de inércia Momento polar de inércia 
O momento de inércia é usado para medir a 
capacidade de um objeto de se opor à aceleração 
angular. 
É uma medida da capacidade de 
um objeto de se opor à torção. 
Sua fórmula é dada como I = r 2 dm É definido como I ou J = r 2 dA 
É medido em kg m 2 Sua unidade SI é m 4 
Depende da massa do corpo. Depende da geometria do corpo. 
 
3.4.1. APLICAÇÃO 
 
Se pensarmos em uma viga ou em outro elemento estrutural a interpretação do 
efeito do momento em cada uma das direções muda. Dois destes momentos são momentos 
fletores e o terceiro momento é o momento de torção. 
Podemos concluir que o torque faz um corpo “torcer”. Ou seja, um valor baixo do 
momento polar de inércia significa que é fácil torcer este corpo; enquanto um valor alto do 
momento polar de inércia significa que é difícil torcer este corpo. 
O momento de inércia de área da seção transversal de uma viga, em relação a um 
eixo que passe pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez, ou seja a sua resistência 
à flexão em relação a esse eixo. 
O módulo de resistência polar de uma superfície é definido através da relação entre o 
momento de inércia polar da secção, e o comprimento entre o polo e o ponto mais distante 
da periferia da secção transversal (distânciamáxima). 
 
Importância do módulo de resistência polar nos projetos. Utiliza-se o módulo de 
resistência polar no dimensionamento de elementos submetidos a esforço de torção. Quanto 
maior o módulo de resistência polar da secção transversal de uma peça, maior a sua 
resistência à torção. 
 
3.5. MOMENTO POLAR DE INÉRCIA (Jp) 
 
 
Momento polar de inércia (Jp) 
Como Jp = J, + Jy, para secção circular: 
 
 
Módulo de resistência (Wp) 
Na secção circular, a distância máxima entre o pala e o ponto mais afastado na periferia 
é o próprio raio da secção. 
 
Tem-se, portanto: 
 
 
Então temos, que: 
 
 
 
 
 
Obtém-se o momento de inércia da secção d, através da subtração entre o momento de 
inércia do círculo e o momento de inércia do quadrado. 
 
 
 
 
 
Como J, = Jy, conclui-se que: 
 
 
 
 
 
Módulo de resistência: 
 
 
 
 
A distância máxima entre o polo mais afastado da periferia é o raio do círculo, portanto: 
temos então que: 
 
 
 
3.5.1. CÁLCULOS 
 
- Determinar as expressões de momento polar de inércia (Jp) e o módulo de resistência polar 
(Wp) 
 
 
Momento polar de inércia 
 
Sabe-se que Jp = J, + Jy' o momento de inércia da secção transversal quadrada é o 
mesmo para o eixo x e para o eixo y, e 
 
 
 
A distância máxima entre o polo e o ponto mais afastado da periferia da secção 
transversal quadrada é a metade da sua diagonal. Como rmáx é a hipotenusa de um triângulo 
retângulos de catetos iguais, pode-se afirmar que: 
 
 
 
 
Para poupar o trabalho de calcular integral com a área de cada figura, que geralmente 
se resumem a cilindros e outras figuras geométricas simples, muitos profissionais utilizam a 
seguinte tabela: 
 
 
 
Grupo 4: Danielle Sousa, Gerta Pimenta, Luan Maciel, Lucas Arcangelo, João Victor Gomes, José Hugo 
Gebara, Matheus Gregorio, Thales Braga e Wemerson de Oliveira. 
4. MOMENTO DE GIRAÇÃO 
 
4.1. CONCEITO 
 
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de 
inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração 
é utilizado para o estudo da flambagem. 
A flambagem, também conhecida como encurvadura, é um fenômeno que ocorre em 
peças esbeltas, ou seja, peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao seu 
comprimento, quando submetidas a um esforço de compressão axial. A flambagem acontece 
quando a peça sofre flexão transversalmente devido à compressão axial. A flambagem é 
considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que 
o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento, em geral, leva a uma falha repentina 
e dramática da estrutura. 
• FLAMBAGEM 
 
4.2. GRÁFICOS ILUSTRATIVOS E CÁLCULOS DE OBTENÇÃO. 
 
 
Considere uma superfície A com momento de inércia I, em relação ao eixo x. 
 
Imaginemos que concentramos essa superfície em uma faixa estreita paralela ao eixo x. Se 
essa superfície de área A concentrada desse modo tiver o mesmo momento de inércia em 
relação ao eixo x, a faixa deverá ser colocada a uma distância k, do eixo x, onde kx é definido 
pela relação Ix = k2x . A. 
 
Resolvendo para kx, escrevemos: 
 
A distância kx é denominada raio de giração da superfície em relação ao eixo x. Da 
mesma forma podemos definir os raios de giração do eixo y e do polo 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Se reescrevermos a equação do momento de inércia polar, em termos de raios de 
giração, concluímos que: k0 = kx + ky 
4.3. APLICAÇÕES REAIS 
 
A compreensão do fenômeno de flambagem nos permitirá sua aplicação futura no 
dimensionamento de elementos estruturais (obtenção da carga limite) sempre que ele sofrer 
compressão. Barras de treliça, colunas, escoras e outros elementos comprimidos. Há de se 
frisar que a flambagem é um efeito causado pelas cargas de compressão. A tração tende a 
retificar as peças (imagine uma corda sendo esticada. Ela fica mais reta quanto mais carga 
aplicar). 
 
A figura 1 representa um grão de um sólido cristalino. 
 
Figura 1 – Plano de grão de sólido 
É basicamente impossível ter um sólido cristalino perfeito, ou seja, os materiais que 
utilizamos na construção civil estão sujeitos a penetração de impurezas dentro do material. 
Dois dos principais defeitos no material são chamados de Lacunas (ou vacâncias) e Interstícios. 
As vacâncias ocorrem, por exemplo, pelo resfriamento rápido de um material, tal como 
os vidros temperados. O mesmo também ocorre pela formação sob pressão. Em ambos os 
casos, a velocidade do processo é muito importante para formação de grãos e células 
unitárias. A vacância nada mais é uma simples ausência na malha, como mostra a figura 2ª, 
(que não desorganiza o material) ou uma aproximação de outros átomos, figura 2b, (gerando 
desordem no material). 
 
Figura 2a – ausência de átomo / Figura 2b – aproximação de átomos 
Para ambos, ocorre um desbalanceamento da transmissão de cargas no entorno do 
defeito cristalino. De forma que no primeiro caso a distribuição se da de forma mais 
compreensível (Figura 3a), já no segundo de forma mais desorganizada (Figura 3b). 
 
Figura 3a – distribuição balanceada / Figura 3b – distribuição desorganizada 
Assim, as cargas não são mais feitas de forma bem distribuída e balanceada, mas 
acabam se concentrando ao redor do defeito cristalino, comprimindo o sólido de forma não 
centrada, e com cargas residuais. 
Para os defeitos intersticiais, o que ocorre é que um átomo (maior ou menos que o 
átomo do material) ocupada um espaço que não lhe é natural no grão, também chamamos 
esse fenômeno de impureza no material. Na impossibilidade da expulsão deste átomo, ele 
gera uma desordem no plano de distribuição da rede cristalográfica como mostra a figura 4. 
 
Figura 4 – caminho das forças em estrutura cristalina com defeito intersticial. 
Como é perceptível, a distribuição das cargas se torna descentraliza e se acumula ao 
redor do átomo maior, isso porquê ele possui ligações com mais átomos do que os átomos do 
próprio material, como mostra a figura 5. 
 
Figura 5 – Desbalanceamento das cargas 
Olhando macroscopicamente, se todos os grãos tiverem defeitos na estrutura, este 
conceito se expandirá e tornará a distribuição de cargas desordenada e descentralizada ao 
longo da peça inteira de concreto. 
A figura 6 mostra um pilar com as cargas centradas e em ordem de forma geral. 
 
Figura 6 – pilar exemplo 
Espera-se que este pilar esteja sob tensões totalmente distribuídas e centradas, 
esperando que sofra somente tensões no seu comprimento, perdendo altura (encurvando-se) 
após sofrer uma carga na direção vertical, o que chamamos de flambagem, como mostra a 
figura 7. 
 
Figura 7 – pilar exemplo sob efeito de flambagem 
Esse fenômeno ocorre justamente pois o material é imperfeito e as cargas não 
balanceadas não foram combatidas. Somando-se grão-a-grão, totalizam-se em uma carga 
horizontal equivalente mostrada na figura 8, sem contar com a compressão excêntrica 
causada também pelo desbalanceamento das tensões. 
 
Figura 8 – carregamento desbalanceado resultante. 
Nem todos os materiais são de origem cristalina, tal como a madeira e o concreto. O 
aço é cristalino. Mas no concreto temos o que chamamos de porosidade, e a flambagem 
ocorre a partir do desbalanceamento das cargas devido a este feito. A madeira é fibrosa, e 
devido a imperfeições da própria fibra, que possuem curvaturas ou direções de crescimento, 
além de defeitos como nós e falhas de corte. 
Existem diversos prédios que foram implodidos por erros de cálculo devido as 
impurezas que haviam no material, um exemplo disso é o prédio Palace II, construído na Barra 
da Tijuca – Rio de janeiro, que foi implodido no dia 28 de fevereiro de 1998, pois investigaram 
e descobriram falhas de cálculo assinadas pelo engenheiro responsável. 
 
Após alguns desabamentos o prédio foi implodido, para nãodesmoronar e destruir os 
demais prédios ao redor. 
Grupo 5: Alan Dantas, Amanda Padrenosso, Fábio Ramalho, Gabriel Ramos, Geisy, Gilberto Almeida, 
Marcelo de Suckow e Mariani Jeremias. 
5. MOMENTO DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES COMPOSTAS 
 
5.1. CONCEITO 
 
Consideramos uma superfície composta A, aquela que pode ser dividida em várias 
superfícies componentes A1, A2, ......An. Como a integral que representa o momento de 
inércia de A pode ser subdividida em integrais calculadas sobre A1, A2, .......An, o momento 
de inércia de A em relação a um eixo dado, poderá ser calculado somando-se os momentos 
de inércia das superfícies A1, A2, .....An, em relação ao mesmo eixo. 
Portanto, para uma superfície composta, basta calcular o momento de inércia para cada 
uma das superfícies que a compõem, lembrando que as parcelas de cada superfície na 
composição do momento de inércia da área total devem ser obtidas utilizando o teorema dos 
eixos paralelos. O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é um teorema que 
permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que 
passa por um ponto O, quando são conhecidos o momento de inércia relativo a um eixo 
paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do sólido e a distância entre os eixos. 
 
Considerando-se: 
Icm - denota o momento de inércia do objeto sobre o centro de massa; 
m - Massa do objeto; 
 d - Distância perpendicular entre os dois eixos. 
Então o momento de inércia sobre o novo eixo z é dado por: Iz = Icm + md² 
A regra dos eixos paralelos também se aplica ao segundo momento de área (momento de 
inércia de área); 
 
onde: 
Iz é o momento de inércia de área através do eixo paralelo; 
Ix é o momento de inércia de área através do centroide da área; 
 A é a medida de superfície da área; 
d é a distância do novo eixo z ao centroide da área. 
 
A resistência de uma viga em perfil I (360x44) é aumentada ao se anexar uma placa à 
sua aba superior. Determine o momento de inércia da seção composta em relação a um eixo 
paralelo à placa passando pelo centroide da seção. 
Solução: 
1- Determinamos a localização do centroide da seção composta em relação a um sistema 
de coordenadas com origem no centroide C da seção. 
 
 
2- Aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para determinar os momentos de inércia do 
perfil e da placa em relação ao eixo centroidal da seção composta. 
 
 
No caso de figuras conhecidas, já existe uma tabela para cálculo do Ix que é o 
momento de inércia de área da figura através do centroide da área.
 
 
Quando trabalhamos no eixo cartesiano com figuras compostas, temos que: 
1- Achar o centroide de cada uma das figuras; 
2- Calcular o centroide da figura composta; 
3- Encontrar o Momento de Inércia tanto em relação ao eixo x, quanto ao eixo y; 
4- Para Ix = Ix’ + A*d², consideramos d a distância entre o eixo horizontal que passa pelo 
centroide da figura menor e o eixo horizontal que passa pelo centroide da figura 
composta; 
5- Para Iy = Iy’ + A*d², consideramos d a distância entre o eixo vertical que passa pelo 
centroide da figura menor e o eixo vertical que passa pelo centroide da figura composta. 
 
Grupo 6: Ana Clara, Corinne Spyrides, Elton Rodrigues, Hugo Gomes, Leonardo Gomes, Leonardo de 
Souza, Walter Cristovam e Williane Martins. 
6. PRODUTO DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA 
 
Produto de inércia é a propriedade de uma área que é necessária para determinar os 
momentos de inércia máximo e mínimo. Esses valores máximo e mínimo são propriedades 
importantes necessárias para projetar membros estruturais e mecânicos como vigas, colunas 
e eixos. 
O produto da inércia em relação aos eixos X e Y é definido como: 
 
Observe a imagem: 
 
Se o elemento de área escolhido tem uma dimensão diferencial em duas dimensões, será 
necessária uma dupla integração. Normalmente, porém, é mais fácil escolher um elemento 
tendo uma dimensão diferencial ou espessura em apenas uma direção, possibilitando resolver 
com uma única integração. 
Assim como o momento da inércia, o produto de inércia tem unidades de comprimentos 
elevados à quarta potência. 
Entretanto, como X e Y podem ser negativos, o produto de inércia pode ser positivo, negativo 
ou zero, dependendo do local e orientação dos eixos das coordenadas. Quando o eixo X e Y for um 
eixo de simetria, o produto de inércia para uma área será zero (imagem 10.11). É possível observar na 
imagem 10.12, cada elemento dA localizado no ponto (X e Y) tem um elemento correspondente dA 
localizado em (X, - Y). 
Os produtos de inércia para esses elementos são, respectivamente, xy dA e -xy dA, logo a sobra 
algébrica ou integração de todos os elementos escolhidos dessa maneira irão se cancelar. Como 
consequência o produto de inércia para área total será zero. O sinal dependerá do quadrante onde a 
área está localizada. Como pode-se observar na imagem 10.13, se a área for girada de um quadrante 
para o outro o sinal de (xy) mudará. 
 
6.1. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
 
 
A área sombreada na imagem 10.14 onde X; Y representam um par de eixos. Passando 
pelo centroide da área enquanto X, Y representam paralelos correspondentes. Como o 
produto da inércia de dA em relação aos eixos X, Y é ⅆ𝑙 𝑥y= (𝑥 ′ + ⅆ𝑥)(y’ + dy)dA. Então, para 
toda área: 
 
O primeiro termo da direita representa o produto de inércia da área em relação aos 
eixos que passam pelo centroide Ixy. As integrais no segundo e terceiro termo são iguais a 
zero, uma vez que momentos da área são tomadas em relação aos eixos que passam pelo 
centroide e a quarta integral representa a área total A, com isso o resultado é: 
 
Deve-se notar a semelhança entre essa equação e o teorema dos eixos paralelos para 
os momentos de inércia. Particularmente, é importante que os sinais algébricos para dx e dy 
seguem mantidos com a aplicação da equação. O teorema dos eixos paralelos encontra uma 
importante aplicação na determinação do produto de inércia de uma área composta em 
relação a um par de eixos x, y. 
EXEMPLO 1: 
Determine o produto da inércia Ixy, do triângulo Mostrado na imagem 10.15 a: 
 
Solução I: 
 
 Um elemento infinitesimal com largura dx (figura 
10.15b) tem área dA=y dx. O produto da inércia de 
elemento em relação aos eixos x, y é determinado 
utilizando-se m relação ao teorema dos eixos 
paralelos. 
 
 
 
 
 
Onde (x, y) localizam o centroide do elemento ou origem dos eixos x’, y’. 
Como dlxy=0 devido á simetria e como �̃� = 𝑥 𝑒 �̃� = y/2 temos: 
 
Integrando em relação a x, de x=0 a x = b, obtemos: 
 
Solução II: 
 
O elemento infinitesimal com largura dy (imagem 10.15c) e 
área dA =(b-x) dy pode também ser utilizado. O centroíde está 
localizado no ponto �̃� =x+(b-x) /2=(b+x) /2 e 𝑦̃=y, então o 
produto de inércia do elemento é: 
 
Integrando em relação a y, de y=0 a y=h, obtemos: 
 
Calcule o produto de inércia da seção reta da viga mostrada na Figura 10.16a em relação aos 
eixos que passam pelo centroide x, y. 
 
Solução: 
Como no Exemplo 10.16, a seção reta pode ser considerada a composição das três 
áreas retangulares A, B e D (Figura 10.16b). As coordenadas para o centroide de cada um 
desses retângulos são mostradas na figura. Devido a simetria, o produto de inércia de cada 
retângulo é zero em relação a cada par de eixo x’, y’ que passa pelo seu centroide. 
Consequentemente, a aplicação do teorema dos eixos paralelos para cada um dos retângulos 
fornece: 
 
 
O produto de inércia da seção reta da viga é, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
https://cursos.unisanta.br/quimica/private/mom_inercia.pdf#:~:text=O%20momento%20de%20In%
C3%A9rcia%20de%20uma%20Figura%20plana%2C,quadrado%20entre%20os%20eixos%2C%20pela%
20%C3%A1rea%20da%20figura. 
https://www.passeidireto.com/arquivo/68452827/fundamentos-de-fisica-volume-1-mecanica-9-
edicao-halliday-resnick-e-walker 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4302521/mod_resource/content/1/Ap%C3%AAndice%20A.pdf 
https://www.ufjf.br/mac015/files/2015/02/slides_unidade3.pdf 
https://www.researchgate.net/publication/313874157_Estudo_de_Centroides_e_Momentos_de_In
ercia/link/58ac5154aca27206d9bfa252/download 
http://sideway.to/internet/users/sideblog/default.asp?tno=18102012 
https://byjus.com/jee/polar-moment-of-
inertia/#:~:text=Differences%20Between%20Moment%20Of%20Inertia%20and%20Polar%20Momen
t,Depends%20on%20the%20geometry%20of%20the%20body.%20 
 
https://www.chemeurope.com/en/encyclopedia/Polar_moment_of_inertia.html 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_polar_de_in%C3%A9rcia 
 
https://www.passeidireto.com/arquivo/75759296/mecanica-tecnica-e-resistencia-dos-materiais-
sarkis-melconian 
https://www.ecivilnet.com/dicionario/o-que-e-raio-de-giracao.html 
BEER, Ferdinand P.; DEWOLF T. John; E. Russell; JOHNSTON Jr.; avid F. Mazurek: Estática e 
Mecânica dos Materiais; Versão impressa 2013, AMGH Editora Ltda. 284 p. 
REIS, Luciano. Por quê a flambagem acontece; Blog: Mecânica dos Materiais; Disponível em: 
https://spotcursos.com.br/blogs/mecanica-das-estruturas/posts/por-que-acontece-a-
flambagem 
http://www.madeira.ufpr.br/dvissotto/resmatII/Flambagem.pdf 
Oler, J. Walt. 9° Edição. Mecânica vetorial para Engenheiros: Estática | Notas de Aula. Texas 
Tech University, 2010. 
 Marvinsc. Exemplo. 2006. Disponível em: . Acesso em: 27/09/2020. 
Hibbeler, R. C. Estática: Mecânica Para Engenharia. 10ª Edição. São Paulo - Editora Pearson, 
2005. 
 
 
 
https://cursos.unisanta.br/quimica/private/mom_inercia.pdf#:~:text=O%20momento%20de%20In%C3%A9rcia%20de%20uma%20Figura%20plana%2C,quadrado%20entre%20os%20eixos%2C%20pela%20%C3%A1rea%20da%20figura.
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https://www.passeidireto.com/arquivo/68452827/fundamentos-de-fisica-volume-1-mecanica-9-edicao-halliday-resnick-e-walker
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https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4302521/mod_resource/content/1/Ap%C3%AAndice%20A.pdf
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https://www.ufjf.br/mac015/files/2015/02/slides_unidade3.pdf
https://www.researchgate.net/publication/313874157_Estudo_de_Centroides_e_Momentos_de_Inercia/link/58ac5154aca27206d9bfa252/download
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http://sideway.to/internet/users/sideblog/default.asp?tno=18102012
https://byjus.com/jee/polar-moment-of-inertia/#:~:text=Differences%20Between%20Moment%20Of%20Inertia%20and%20Polar%20Moment,Depends%20on%20the%20geometry%20of%20the%20body.%20
https://byjus.com/jee/polar-moment-of-inertia/#:~:text=Differences%20Between%20Moment%20Of%20Inertia%20and%20Polar%20Moment,Depends%20on%20the%20geometry%20of%20the%20body.%20
https://byjus.com/jee/polar-moment-of-inertia/#:~:text=Differences%20Between%20Moment%20Of%20Inertia%20and%20Polar%20Moment,Depends%20on%20the%20geometry%20of%20the%20body.%20
https://byjus.com/jee/polar-moment-of-inertia/#:~:text=Differences%20Between%20Moment%20Of%20Inertia%20and%20Polar%20Moment,Depends%20on%20the%20geometry%20of%20the%20body.%20
https://www.chemeurope.com/en/encyclopedia/Polar_moment_of_inertia.html
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_polar_de_in%C3%A9rcia
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https://www.passeidireto.com/arquivo/75759296/mecanica-tecnica-e-resistencia-dos-materiais-sarkis-melconian
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https://www.ecivilnet.com/dicionario/o-que-e-raio-de-giracao.html
http://www.madeira.ufpr.br/dvissotto/resmatII/Flambagem.pdf