Integração por Substituição

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UFMG – CÁLCULO I MAT001
Integração por Substituição
Regra de Integração: Se u = g(x) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo I,
e f for continua em I então ∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du
Em geral, esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma∫
f(g(x))g′(x)dx. Note que se F ′ = f, então∫
F ′(g(x))g′(x)dx =
∫
F (g(x)) + C,
pois pela Regra da Cadeia,
d
dx
[F (g(x))] = F ′(g(x))g′(x)
Se fizermos a “mudança de variável ou substituição u = g(x), temos o resultado dado inicial-
mente.
Para resolver integrais do tipo
∫
f(g(x))g′(x)dx :
1. Faça u = g(x) e du = g′(x)dx
2. Resolva a integral em relação a h (isto é, a integral
∫
f(u)du
3. Volte para a variável inicial x.
Suponhamos que que queremos determina∫ √
1 + x2x5dx
1. Substituição
Uma substituição apropriada fica mais evidente se fatoramos x5 como x4 · x.
Assim faça u = 1 + x2 e du = 2xdx, de modo que xdx = 1
2
du
Temos também que x2 = u− 1, assim x4 = (u− 1)2.
Portanto ∫ √
1 + x2x5dx =
∫ √
u(u− 1)2 · 1
2
du
2. Resolvendo a integral em u∫ √
u(u− 1)2 · 1
2
du =
1
2
∫ √
u(u2 − 2u + 1)du
=
1
2
∫
(u
5
2 − 2u
3
2 + u
1
2 )du
=
1
2
(
2
7
u
7
2 − 2 · 2
5
u
5
2 +
2
3
u
3
2 ) + C
= (
1
7
u
7
2 − 2
5
u
5
2 +
3
u
3
2
) + C
3. Voltando para a variável inicial∫ √
1 + x2x5dx =
1
7
(1 + x2)
7
2 − 2
5
(1 + x2)
5
2 +
1
3
(1 + x2)
3
2 + C
Calcule as seguintes integrais:
1.
∫
cos3xsenxdx
2.
∫ sec2(1/x)
x2
dx
3.
∫ sen(2x)
1 + cos2x
dx
4.
∫ ez + 1
ez + z
dz
5.
∫ dy
y
√
ln y