Material de Cálculo I (Integral Indefinida Aula 01) (9)

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y(x)
f
=
MEC – SETEC
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DO PARÁ CAMPUS BELÉM – IFPA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Me. Everaldo Raiol da Silva
Aluno (a): _____________________________ Data:___/___/____
Estudo da Integral de Função de Uma Variável Real
1. A Ideia da Diferenciação
 Função Derivada Integral
 
dy
'(x)
dx
f
=
 
dy'(x)dx
f
=
òò
Quando introduzimos a notação de Leibniz 
dy
dx
 para a derivada não nos aprofundamos no que realmente Leibniz queria demonstrar com esta notação. A partir de agora daremos um significado para as chamadas diferenciais dx e dy.
Quando trabalhamos com as derivadas, 
dy
dx
 era apenas um símbolo. Não havia significado, pedir ao aluno determinar dy ou dx, pois apenas tinha sentido pedir 
dy
dx
.
Quando Leibniz introduziu a notação citada acima, ele visualizou dy e dx como sendo infinitésimos, isto é, quantidades que, embora sejam não nulas, são menores em magnitude do que qualquer quantidade finita. Ele imaginou que, no limite, 
x
D
 e 
y
D
, de alguma forma, tornam-se “quantidades infinitesimais” dx e dy, respectivamente, de modo que o quociente de diferenças 
y
x
D
D
 torna-se a derivada 
dy
dx
. O ponto de vista de Leibniz tem persistido e, ainda hoje, alguns matemáticos e a maioria dos engenheiros e cientistas preferem pensar em dx e dx como “infinitésimos”.
Sendo assim, podemos visualizar 
dy
dx
 como sendo mais que um simples símbolo, ou seja, é realmente uma divisão de grandezas, ou seja, 
(
)
dy
'x
dx
f
=
, que reescrevendo fica 
(
)
dy'x.dx
f
=
. Sendo esta equação a base para definirmos diferencial dy.
· Definição
Seja f uma função e sejam x e y variáveis relacionadas por y = f (x). Então a diferencial dx é uma quantidade que pode tomar (ou designar) qualquer valor em 
¡
. Se x é um número qualquer do domínio de f para o qual 
(
)
'x
f
 existe, a diferencial dy é definida por: 
(
)
dy'x.dx
f
=
.
Por exemplo, considere a função f (x) = 3x2 – 12x + 10, sua derivada é: 
(
)
'x6x12
f
=-
 mas de acordo com a definição 
(
)
dy
'x
dx
f
=
, que substituindo fica: 
dy
6x12
dx
=-
. Ainda de acordo com a definição (Leibniz), podemos escrever: 
(
)
dy6x12dx
=-
.
Na prática, todas as fórmulas vistas anteriormente para derivação, continuam verdadeiras para diferenciação, desde que 
dy
dydx
dx
=×
. Em outras palavras, basta que convertamos as fórmulas simplesmente multiplicando-as por dx. Tomemos como exemplo a derivada da soma: 
Se f (x) = u (x) + v (x), então f ‘(x) = u’ (x) + v’ (x), que escrito na notação de Leibniz fica:
dydudv
dxdxdx
=+
, que multiplicando por dx, vem: 
dydudv
dxdx
dxdxdx
æö
×=+×
ç÷
èø
 Ou ainda: 
dydudv
=+
2. Antiderivadas e Primitivas
Sabemos que a derivada do espaço em função do tempo nos dá a velocidade em função do tempo, ou seja, 
(
)
(
)
ds
s(t)tvt
dt
=Þ=
f
. Assim por exemplo, se 
(
)
2
st1020t5t
=-+
, então a equação da velocidade desse móvel será dada por 
(
)
(
)
vts't2010t
==-+
.
Fato é que às vezes temos a equação da velocidade, mas precisamos da equação da posição. Será se teríamos como conseguir “voltar atrás” na derivação?, ou seja antiderivar?. Vejamos o exemplo abaixo.
Se v (t) = 3t2 – 10t + 1 representa a equação da velocidade em função do tempo, qualquer aluno um pouquinho mais treinado em derivação saberia qual foi o polinômio que originou v (t).
Por exemplo, se 
2
'(x)3t
f
=
, então 
3
(x)t
f
=
, pois derivando 
3
(x)t
f
=
 obteríamos 
2
3t
.
No caso de 
'(x)10t
f
=-
, temos que tomar cuidado de notar quer 
'(x)10t
f
=-
 é o mesmo que 
(
)
'(x)2.5t
f
=-
, logo 
2
(x)5t
f
=-
(verifique você mesmo!). Para finalizar, se f’(x) = 1, então f (x) = x.
Portando, o polinômio que originou v (t) é s (t) = t3 – 5t2 + t + C, onde C é uma constante qualquer, pois sua derivada é iguala zero (lembra?).
A função s (t) que encontramos é a chamada primitiva da função v (t). Sendo assim:
“Se f´(x) é a derivada de f (x), então f(x) é uma das primitivas de f´(x)”
Observe que deixamos bem claro que f (x) é apenas uma das primitivas de 
(
)
'x
f
, pois qualquer outra função f (x) + C, C constante real, representaria a derivada de f (x), pois a derivada de uma constante é nula.
· Notação para antiderivadas
Tradicionalmente as antiderivadas são escritas usando-se um simbolismo especial criado por Leibniz. Uma letra “s” estilizada, escrita como 
.
ò
(mais tarde entenderemos o por que da escolha da letra “s”).
Johann Bernoulli, um contemporâneo de Leibniz, sugeriu que o processo de antiderivação fosse chamada de integração (tal como a explicação de o por que da escolha da letra “s”, o nome integração também será explicado no momento oportuno) e fosse representado por 
ydy
=
ò
. Sua sugestão foi aceita e o símbolo 
ò
passou oficialmente a ser tratado como o símbolo da integral (ou sinal de integração).
Seja g uma antiderivada de f, ou seja, 
'
gf
=
. Se tomarmos y = g (x), então utilizando a notação de Leibniz temos 
(
)
(
)
dy
g'xdyg'xdx
dx
=Û=
. Mas 
(
)
(
)
g'xx
f
=
, logo, substituindo este valor na integral vem: 
(
)
xdx
=
ò
yf
. Mas y vale g (x), portanto 
(
)
(
)
gxfxdx
=
ò
.
Mas como foi visto antes, g (x) é apenas uma das primitivas de f (x). Para considerarmos o conjunto das infinitas primitivas de vemos tomar sempre uma constante arbitrária c. Sendo assim: 
(
)
(
)
xxdx
gfC
=+
ò
. Onde g(x) é a chamada primitiva de f (x), que por sua vez é chamada de integrando. O processo de encontrar g (x) é chamado de Integração indefinida. A palavra indefinida é bastante oportuna, pois a constante C pode assumir qualquer valor (possui valor indefinido), portanto não é determinada pela função.
Vejamos alguns exemplos de integração indefinida. 
(
)
2xdx
ò
.
Estamos aqui querendo determinar qual a função g (x) que ao ser derivada originou f (x) = 2x. Ora, de uma antiderivação básica podemos ver que g (x) = x2, ao ser derivada, tem com resposta 2x. Portanto: 
(
)
2
2xdxxC
=
ò
+
Obs: Não esqueçamos nunca de colocar a constante C, pois infinitas funções do tipo g (x) = x2 + C, ao serem derivadas, originam f (x) = 2x.
3. Regras básicas de Integração
Já que a antidiferenciação (ou integral indefinida) “inverte” a diferenciação, cada regra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para antidiferenciação. A saber:
Regra 1. 
(
)
(
)
x
Dxdxx
ff
=
ò
“A diferencial em relação à x de uma integral, também em relação à x, é a própria função.” 
Explicação:
Como diferenciação e antidiferenciação são “operações” inversas, diferenciar e integrar seria o mesmo que multiplicar e depois dividir por um mesmo número (desde que diferente de zero), ou ainda somar e subtrair por um mesmo número.
Regra 2. 
(
)
(
)
'xdxxC
ff
=+
ò
“A integração, em relação à x, da diferenciação, também em relação à x, é a própria função mais a constante.”
Explicação:
Lembrando, que a grosso modo, derivar e diferenciar são a mesma coisa, a explicação é análoga. Faremos apenas a ressalva do fato de aparecer a constante C aqui, pois apesar de serem “operações” inversas, sempre ao se integrar (SEMPRE!) deveremos considerar a constante.
Regra 3. 
dxxC
=+
ò
“A integração do diferencial é a função identidade, mais a constante.”
Explicação:
Aqui cabe uma explicação que, apesar de grosseira, ajudará muito o aluno a fixar essa ideia: “Lembrando que a derivada da função identidade é a constante 1 (um) e que 
dx
ò
 é o mesmo que 
(
)
1.dx
ò
, então: 
dxxC
=+
ò
”.
Regra 4. (Regra da potência) 
(
)
n1
n
x
xdxC
n1
+
=+
+
ò
Explicação:
Cabe agora ao aluno uma reflexão sobre a regra da derivação de uma função potência. A saber:
(
)
(
)
nn1
xx'xnx
-
=Þ=×
ff
. “multiplicamos x por n e subtraímos de n uma unidade”.Invertendo a regra: “Adicionamos uma unidade ao expoente e dividimos x por n + 1”.
Regra 5. (Regra da homogeneidade)
(
)
(
)
xdxxdx
×=×
òò
afaf
Regra 6. (Regra da adição)
(
)
(
)
(
)
(
)
xxdxxdxxdx
+=×+×
éù
ëû
òòò
fgfg
Obs: Esta propriedade se estende para um número qualquer de somas.
Regra 7. (Regra da linearidade)
(
)
(
)
(
)
(
)
afxbgxdxafxdxbgxdx
×+×=××+××
éù
ëû
òòò
Obs: Esta propriedade também se estende para um número qualquer de somas.
4. Integração por Substituição
Infelizmente, à medida que começamos a mergulhar nas mais diferentes formas de funções derivadas, a sua primitiva começa a ficar cada vez mais difícil de encontrar com as regras de integração básicas vistas até agora. Por exemplo, para calcularmos 
(
)
57
x1dx
+
ò
, teríamos primeiro que desenvolver o binômio para depois integrarmos cada termo, aplicando a regra da linearidade.
Introduziremos agora uma nova ferramenta de integração, conhecida como Integração por substituição que a grosso modo seria o inverso da regra da cadeia (o aluno mais atento com certeza se lembrou do mesmo problema ao introduzirmos a regra da cadeia). Esse processo é análogo á regra da cadeia para derivação e pode ser justificado como segue os exemplos:
Exemplo 1
Calcular 
5x7dx
+
ò
.
Resolução:
Veja que temos uma função composta, portanto regras diretas de antiderivação são inúteis. Temos, portanto, que fazer uma substituição. Vejamos façamos u = 5x + 7, que derivando resultando em 
du
5
dx
=
, ou ainda 
du5dx
=
. Portando: 
du
dx
5
=
, que será o nosso outro fator de substituição.
Retornando à 
5x7dx
+
ò
, notamos que se substituirmos 
(
)
5x7
+
 por u, a integral acima fica 
udx
ò
.
Mas isso nos trás outro problema, pois nada podemos dizer à respeito de 
u
 em função de dx. Mas como vimos anteriormente, 
du
dx
5
=
. Que substituindo fica 
1
udu
5
××
ò
, o que completa a nossa substituição, transformando a nossa integral numa bem mais simples de se resolver.
13
1
22
33
111u1u
u..du.udu.C.C
13
5555
1
22
122C
..uC.uK,ondeK
53155
+
æöæö
ç÷ç÷
ÛÛ+Û+Û
ç÷ç÷
ç÷ç÷
+
ç÷ç÷
èøèø
æö
Û+Û+=
ç÷
èø
òò
Portanto, resolvendo nossa integral em função de u, temos: 
3
2
.uK
15
+
. Mas u = 5x + 7, o que finalmente resulta em 
(
)
3
2
.5x7K
15
++
.
Nem sempre é tão fácil a substituição numa integral. Às vezes é necessária mais de uma tentativa até que se encontre a substituição que faça com que a integral se torne o mais simples possível para que possamos utilizar as regras apresentadas.
Infelizmente, só o exercitando você saberá qual a melhor substituição.
Questões de Integral Indefinida
01) Usando as fórmulas fundamentais de integração resolva as integrais abaixo.
1) 
t
e1
tdt
2t
æö
++×
ç÷
ç÷
èø
ò
 R: 
3
t
2
12
etLnt+ C
23
×+×+
2) 
432
2
8x9x6x2x1
dx
x
æö
-+-+
ç÷
ç÷
èø
ò
 R: 
32
8x9x1
6x2Lnx+C
32x
-+--
3) 
2
Ln x
dx
xLn x
æö
×
ç÷
×
èø
ò
 R: 
1
Lnx+C
2
×
4) 
2
senx
dx
cosx
×
ò
 R: 
sec (x) + C
5) 
cos 
θtgθdθ
××
ò
 R: 
cos x + C
-
6) 
23
secx(cosx1)dx
×+×
ò
 R: 
sen x + tg x + C
7) 
xdx
5x2
×
-
ò
 R: 
(25)5x2C
×-+
8) 
x
x
e
dx
e1
×
-
ò
 R: 
x
Lne1+ C
-
9) 
2x
2x
e
dx
e4
+
ò
 R: 
2x
(12)Ln(e4)C
++
10) 
dx
tgx
x
×
ò
 R: 
2LncosxC
-×+
11) 
sen(3x)
dx
3 + cos(3x) 
×
ò
 R: 
(13)Ln(3+cos(3x)) + C
-×
12) 
2
1+3cosxsen(2x)dx
××
ò
 R: 
23
(29)(1+3cosx)C
-×+
13) 
2
tgx
dx
cosx
×
ò
 R: 
3
(23)tgxC
×+
14) 
2
3
2
cotgx
dx
senx 
×
ò
 R: 
53
cotgx
C
5
-+
15)
tg(3x)cotg(3x)
dx
sen(3x) 
-
×
ò
 R: 
1
(13)Lnsec(3x) + tg(3x)+ +C
sen(3x)
æö
×
ç÷
èø
16) 
2
2
secx
dx
tgx2 
×
-
ò
 R: 
2
Lntgx +tgx2+C
-
17) 
dx
tg(x1)
(x1)
-×
-
ò
 R: 
2Lncosx1C
-×-+
18) 
2
(5x)cossec(x)dx
×
ò
 R: 
22
(52)Lncossec(x)cotg(x)C
-+
19) 
22
(2x)sec(3x)dx
×
ò
 R: 
2
(13)tg(3x)C
+
20) 
2
cossec(36x)dx
-
ò
 R: 
(16)cotg(36x)C
-+
21) 
22
xsec(4x3)tg(4x3)dx
×-×-
ò
 R: 
2
(18)sec(4x3)C
-+
02) Resolva as seguintes integrais usando a técnica de substituição.
1) 
1
2
3
(x3)dx
(x6x)
+×
+
ò
 R: 
22
3
(34)(x6x)C
×++
2) 
210
(2x2x3)(2x1)dx
+-×+×
ò
 R: 
211
(122)(2x2x3)C
×+-+
3) 
2
dy
y4y4
-+
ò
 R: 
1
C
2y
+
-
4) 
23
8x6x5dx
×+×
ò
 R: 
332
(827)(6x5)C
×++
5) 
t
t
edt
e4
×
+
ò
 R: 
t
Ln(e+ 4)+C
6) 
2x
dx
e+ 16
ò
 R: 
(
)
x
(14)arc.tge4C
×+
7) 
2sen x5cos x
dx
cos x
-
×
ò
 R: 
2Lncos x5xC
-×-+
8) 
233
(5x)cossec(x)cotg(x)dx
××
ò
 R: 
3
(53)cossec(x)C
-+
9) 
2
arc.sen y
dy
21y
×
-
ò
 R: 
2
(14)(arc.seny)+C
×
10) 
2
Lnx
dx
x
×
ò
 R: 
2
(Ln x)+ C
11) 
2
3dx
xLn3x
×
×
ò
 R: 
3
C
Ln3x
-
+
12) 
3
sen
θcosθdθ
××
ò
 R: 
43
(34)sen(
θ)+C
×
13) 
sen2
θcos2θdθ
××
ò
 R: 
32
1
(sen 2
θ)+C
3
×
14) 
3
sen 
θdθ
(5cos 
θ)
×
-
ò
 R: 
2
1
C
2(5cos
θ)
-
+
-
15) 
2x52x
(e2)edx
+××
ò
 R: 
2x6
1
(e2)C
12
×++
16) 
(
)
5x
4
5x
5e
dx
12e
æö
ç÷
ç÷
ç÷
+
èø
ò
 R:
17) 
(
)
2
xLnx
edx
×
ò
 R:
18) 
(
)
2
x4x
(2x)edx
-
-
ò
 R:
19) 
2
3x
xedx
××
ò
 R: 
2
3x
1
eC
6
×+
20) 
x
x
e
dx
12e
æö
ç÷
ç÷
+
èø
ò
 R:
21) 
23
x(sen2x+ 4x)dx
××
ò
 R: 
34
1
cos(2xx)C
64x
-
æö
++
ç÷
+
èø
22) 
x3
dx
x1
+
×
-
ò
 R: 
2x3
2x32LnC
2x3
++
+-+
-+
23) 
cos(x)
dx
x
×
ò
 R: 
(
)
2senxC
×+
24) 
2
tcos(t)dt
××
ò
 R: 
2
(12)sen(t)C
×+
25) 
5
dv
v(1v)
×+
ò
 R: 
4
1
C
2(1v)
-
+
+
26) 
2
dx
x(1x)
×+
ò
 R 
27) 
2
3
9xdx
1x
-
ò
 R:
28) 
5
xx
sencosdx
33
æöæö
×
ç÷ç÷
èøèø
ò
 R:
29) 
(
)
sen(t)
dt
7cos(t)
-
ò
 R:
30) 
2
4dt
t(1lnt)
+
ò
 R:
31) 
22
2
3
18tg(x)sec(x)dx
2tan(x)
éù
ëû
éù
+
ëû
ò
 R: 
32) 
3
sen(
θ)
d
θcos(θ)
q
×
ò
 R:
33) 
3
2
4x
dx
2x7
+
ò
 R:
34) 
2
3
3
3x
dx
2x
-
ò
 R:
35) 
3
(2x)
dx
x
+
ò
 R:
36) 
1x
dx
x
-
ò
 R:
Bom Estudo!!!!!!
AULA O1
3
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