Matrizes: Conceitos e Operações

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Introdução 
Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e 
colunas, onde são abstraídos os significados das linhas e 
colunas. É um conceito que aparece naturalmente na 
resolução de problemas e são essenciais para a resolução 
desses pois facilmente ordena e facilita possibilitando que 
novos métodos de resoluções possam ser encontrados. 
Podem ter tamanho e número de elementos variantes: 
 
E seus elementos podem ser números (reais ou complexos), 
funções ou ainda outras matrizes. Uma representação mais 
abrangente de uma matriz de m linhas e n colunas, pode 
ser feita da seguinte forma: 
 
Geralmente se usa letras maiúsculas para denotar matrizes. 
A ordem de uma matriz (número de linhas e colunas) 
escrevemos a denotação da matriz e a sequencia com os 
números de linhas versus colunas: Além dos 
colchetes, elas podem ser representadas também por 
parênteses ou duas barras: 
 
Quando queremos nos referir ou localiza um elemento de 
uma matriz dizemos a linha e coluna em que esse elemento 
está. Por exemplo, na matriz a seguir; 
 
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é o 
-4 e para expressar a sua localização denotamos assim: 
 sendo o 1 a linha e o 3 a coluna. 
DEFINIÇÃO 1: Podemos dizer que duas matrizes 
, são iguais 
A=B se eles tiverem o mesmo número de linhas m = r e 
colunas n = s, e se todos os seus elementos 
correspondentes forem também iguais (aij = bij), mesmo que 
eles tenham sido obtidos de operações diferentes, como no 
exemplo a seguir: 
 
A primeira matriz é como se fosse os cálculos e a segunda 
o resultado desses cálculos, mas as duas são equivalentes. 
Tipos especiais de matrizes 
MATRIZ QUADRADA: É aquela cujo número de linhas é igual 
ao número de colunas (m=n), e nesse caso dizemos que a 
matriz é de ordem m; já que os valores entre linhas e 
colunas são iguais: 
 
MATRIZ NULA: É aquela onde todos os seus elementos são 
iguais a 0; aij = 0 para todo i e j. 
 
MATRIZ-COLUNA: É aquela que possuí apenas uma coluna; 
n=1. 
 
MATRIZ SIMÉTRICA: É igual a matriz quadrada, (m = n), mas 
além disso há uma simetria em seus elementos, onde 
podemos observar que a parte superior é uma reflexão da 
parte inferior em relação a diagonal: 
 
MATRIZ-LINHA: Aquela que só possuí uma linha, m=1: 
 
MATRIZ DIAGONAL: É uma matriz quadrada onde seus 
elementos são iguais a 0 para a linha diferente da coluna, 
ou seja, os elementos que não estão na diagonal são nulos: 
 
MATRIZ IDENTIDADE QUADRADA: É aquela em que os 
elementos da diagonal são todos iguais a 1 e os demais igual 
a 0; aii = 1, aij =0 para i diferente de j 
 
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: É uma matriz quadrada 
onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto 
é, m=n e aij = 0, para i>j. 
 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: É aquela em que m = n e aij 
= 0, para todo i < J. 
 
Operações com matrizes 
PROPRIEDADES I: Dadas as matrizes A, B e C de mesma 
ordem m x n, temos: 
 
Multiplicação por escalar (por um número real ou complexo) 
Seja A = e K um número, então podemos definir 
uma nova matriz: . Exemplo: 
 
PROPRIEDADES 2: Dadas as matrizes A e B de mesma 
ordem m x n e números k, k1 e k2, temos: 
 
Às vezes é conveniente considerarmos as linhas de uma 
dada matriz como colunas de uma nova matriz, isso se 
chama transposição que é quando podemos obter uma 
outra matriz cujas linhas são as colunas de uma matriz. A 
segunda matriz é denotada como sendo a transposta de A: 
 
 
 
PROPRIEDADES 3: 
 
Multiplicação de Matrizes 
Seja A = e B = . Definimos AB = 
: 
 
 
 
No entanto, se o número de colunas da primeira matriz for 
diferente do número de linhas da segunda a multiplicação 
não pode ser efetuada. 
PROPRIEDADES 3: 
 
Transposta de uma Matriz 
Se A é uma matriz arbitrária de ordem mxn, então a matriz 
de ordem nxm obtida de A ao mudar suas linhas pelas 
colunas, chama-se a transposta de A (denotada por AT). 
 
Em geral, se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 → 𝐴
𝑡 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛×𝑚 
PROPRIEDADES: 
1. Os elementos da diagonal principal de AT são os mesmos 
elementos da diagonal principal do A 
2. (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴 
3. (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 
4. (𝑘 ∗ 𝐴)𝑇 = 𝑘 ∗ 𝐴𝑇 , para qualquer escalar k 
5. (𝐴 ∗ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ∗ 𝐴𝑇 , sempre que A e B sejam 
conformes para com a multiplicação. 
 
DEFINIÇÕES: 
1. Sendo , Chamaremos a 
estas matrizes de ordem nx1 de n-vetores coluna, e 
chamaremos e 
 de n-vetores linha. Os elementos xi e 
yi são chamados os componentes dos vetores. 
2. Sendo , define-se o 
produto interno ou produto escalar do X com Y por 
 
 
Matriz triangular superior e inferior 
DEFINIÇÃO: Uma matriz quadrada A=(aij) chama-se 
triangular superior se aij = 0 para todo i maior que j. Em 
outras palavras uma matriz quadrada chama-se triangular 
superior se todos os elementos da matriz que se encontram 
por debaixo da diagonal principal são zeros. Por exemplo: 
 
Uma matriz quadrada A=(aij) chama-se triangular inferior 
quando aij = 0 para todo i menor que j. Em outras palavras, 
uma matriz quadrada chama-se triangular inferior se todas 
as entradas de uma matriz que se encontre por cima da 
diagonal principal sejam zero; 
 
Matrizes simétricas e anti-
simetricas 
DEFINIÇÃO: Seja A=(aij) uma matriz quadrada, se diz que A 
é simétrica quando AT = A, isto é, aij = aji para todo i e j. 
 
Seja A=(aij) uma matriz quadrada. Se diz que A é anti-
simétrica quando AT = -A, isto é, aij = -aji para todo i e j. Por 
exemplo; seja A=(aij) uma matriz anti-simétrica, então aii=0 
para todo i. Logo: 
 
Exemplo: 
 
 
Submatrizes 
Se algumas linhas e colunas de qualquer matriz A são 
apagadas, a matriz resultante é chamada de uma submatriz 
de A. Por exemplo, se 
 
Então; 
é uma submatriz de A, a qual 
resultou de apagar a 3ª linha e as 
colunas 4 e 5 da matriz A. 
DEFINIÇÃO: Quando A é uma matriz quadrada, definimos as 
submatrizes principais dominantes como sendo as 
submatrizes quadradas de A obtidas a partir do primeiro 
item superior esquerdo e finalizando com a própria matriz 
A: 
As matrizes destacadas de 
verde são as submatrizes 
principais dominantes. 
 
 
 
 
Por outro lado, quando A é uma matriz quadrada definimos 
uma submatriz principal de A como sendo qualquer 
submatriz quadrada de A tal que sua diagonal principal é 
parte (ou é toda) da diagonal de A. 
Particionamento ou subdivisão de 
uma matriz 
Particionar uma matriz é subdividi-la em pequenos blocos de 
elementos, como por exemplo; 
 
Essa técnica pode ser útil quando tratamos de matriz de 
grande ordem, e assim podemos realizar as operações 
desejadas em pequenos blocos que pertencem a matriz 
original. Assim, quando temos matrizes particionadas em 
blocos, podemos aplicar todas as regras aos blocos como se 
fossem elementos de uma matriz; exemplo;