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Orientador: Profº João Gusmão Monitor: Magno Lapenda MONITORIA – ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES Denomina-se matriz do tipo m x n, um conjunto de números reais dispostos em um quadro de m linhas (horizontais) e n colunas (verticais). Usa-se sempre letras maiúsculas para denotar matrizes. Para especificar a ordem da matriz A (informar o número de linhas e colunas), escreve-se A m x n. Algebricamente, uma matriz A m x n pode ser indicada por: Onde aij representa o elemento que está situado na i linha e j coluna. CLASSIFIAÇÃO DAS MATRIZES Matriz Quadrada: É aquela que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n). OBS: Nesses casos de A m x m, costuma-se dizer que A é uma matriz quadrada de ordem m (Am). Matriz Nula: É aquela onde aij = 0, para todo i e j. (Ou seja, possui todos os seus elementos iguais a zero.) Matriz Linha: É aquela que possui uma única linha (m = 1). Matriz Coluna: É aquela que possui uma única coluna (n = 1). Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada (m = n), onde aij = 0, para i ≠ j. (Ou seja, todos os elementos que não estão em sua diagonal principal são nulos.) OBS: Os elementos da diagonal são aqueles em que i = j. Matriz Identidade: É uma matriz diagonal, onde todos os elementos de sua diagonal são iguais a 1. Matriz Triangular: É uma matriz quadrada (m = n), onde se tem; Matriz Triangular Inferior: aij = 0 para i < j. (Os elementos acima da diagonal são nulos.) Matriz Triangular Superior: aij = 0 para i > j. (Os elementos abaixo da diagonal são nulos.) Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada (m = n), onde aij = aji. (A parte inferior é uma “reflexão” da parte superior, em relação à diagonal principal.) Matriz Anti-Simétrica: É uma matriz quadrada (m = n), onde aij = -aji. (É a matriz oposta da simétrica.) Matriz Oposta: Todos os elementos da matriz oposta em relação à original possuem sinal trocado. (A) = - (- A) IGUALDADE ENTRE MATRIZES Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) do tipo m x n, são iguais quando tiverem o número de linhas, colunas e todos os elementos correspondentes iguais. A = B ↔ aij = bij OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição: A adição de matrizes só pode ocorrer SE, E SOMENTE SE as matrizes forem de mesma ordem, ou seja, tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A + B = (aij + bij) m x n Propriedades: i) A + B = B + A (comutativa) ii) A + (C + B) = (A + B) + C (associativa) iii) A + B = A (B é uma matriz nula) Multiplicação por um escalar: Seja A = (aij)mxn e k um número, então k*A = (kaij)mxn. Propriedades i) k*(A + B) = k*A + k*B ii) (k + t)*A = k*A + t*A iii) 0*A = 0 (matriz nula) iv) k*(t*A) = (k*t)*A Transposição: Uma matriz B é a transposta da matriz A, se as linhas de B forem ordenadamente as colunas de A. (B = At) Propriedades i) Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta. A = At ii) A matriz transposta da transposta é ela mesma. (At)t = A iii) A transposta de uma soma é igual a soma das transpostas. (A + B)t = At + Bt iv) k*At = (k*A)t Multiplicação de matrizes: Define-se como produto de A = (aij) m x n por B = (bij) n x p a matriz A*B = C = (cij) m x p, tal que o elemento Cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B. OBS: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz. Propriedades i) Em geral A*B ≠ B*A ii) A*I = I*A = A (I = matriz identidade) iii) A*(B + C) = A*B + A*C iv) (A + B)*C = A*C + B*C v) (A*B)*C = A*(B*C) (associativa) vi) (A*B) t = Bt *At (atenção para a ordem!) EXERCÍCIOS 1- Sejam A = [ 2 −1 3 0 4 5 −2 1 4 ]; B = [ 8 0 −5 −3 0 2 1 0 6 ]; C = [ −1 2 4 ]; D = [2 − 1]; a = 2 a) Verifique que: i) A + B ii) A*B iii) C*D e D*C existem? Justifique sua resposta. iv) (At)t = A v) (A + B)t = At + Bt vi) (a*C)t = a*(Ct) b) Prove que B*I = B c) Encontre a matriz oposta à B 2- Dadas as matrizes: A = [ 27 0 0 2 ] e B = [ 𝑥³ sin 𝑢 log (𝑦) 𝑧 ]; Sabendo que A = B, determine x, u, y e z.
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