2 09 ET Sistemas Lineares I

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Roberto Carlos Lourenço dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
2 SISTEMAS LINEARES I 
Neste bloco, estudaremos os Sistemas Lineares, onde conheceremos as equações 
lineares para ser possível compreender sua definição. Ainda teremos a oportunidade 
de estudar as caraterísticas dos sistemas lineares como sistema possível e 
determinado, ou ainda, sistema possível, indeterminado e sistema impossível. Para 
concluir, conheceremos o sistema homogêneo. 
Conhecer os sistemas lineares é fundamental para dar sequência aos estudos em 
Cálculo Numérico, sendo necessário para resolver diversos problemas e situações. 
Bons estudos! 
 
2.1 – Equação Linear 
Estudar a teoria das equações lineares é fundamental no campo da Álgebra Linear. 
Onde, muitos dos problemas dessa área são solucionados quando resolvemos um 
sistema de equações lineares. 
Definição de Equação Linear 
Por uma equação linear sobre o corpo real R, entendemos uma expressão da seguinte 
forma: 
bxaxaxaxaxa nn  ........ 54332211 
onde ia assume o papel de coeficiente da incógnitas, sendo naaaaa ,...,,, 43,21 
números reais que acompanham nxxxxx ,...,,, 43,21 . Os ix são as incógnitas ou 
variáveis que possuem valores desconhecidos e b é o termo independente, chamado 
de termo constante, sendo também um número real. 
 
, 
 
 
3 
 
Para um conjunto de valores dados as incógnitas: 
nn kx
kx
kx
kx
kx





44
33
22
11
 
Podemos afirmar que esse conjunto definido por  nkkkkk ,...,,, 43,21 é a solução para a 
equação linear: bxaxaxaxaxa nn  ........ 54332211 , onde é possível obter: 
bkakakakaka nn  ........ 54332211 
Dessa forma, está correto afirmar que S =  nkkkkk ,...,,, 43,21 é o conjunto solução ou 
conjunto verdade para a equação linear. 
 
Exemplos de Equações Lineares: 
Conforme definição de equação linear, uma equação só pode ser classificada como 
equação linear se o expoente da incógnita for exatamente o valor 1. Caso contrário, a 
equação não é uma equação linear. 
bxaxaxaxaxa nn  ........ 54332211 
Veja os exemplos a seguir: 
a) 09427  zyx 
Nesse exemplo, temos os coeficientes das incógnitas sendo 7, 2 e 4. 
As incógnitas são x, y e z, onde todas estão elevadas ao expoente 1. 
Dessa forma é possível classificar essa equação como equação linear. 
b) 123542 5432  xxxxx 
 
, 
 
 
4 
 
Neste outro exemplo, temos os coeficientes das incógnitas sendo 1, 2, 4 , 5 e (-3). 
As incógnitas são 543,21 ,, xexxxx , onde todas estão elevadas ao expoente 1. 
Dessa forma é possível classificá-la como equação linear. 
 
c) 63²  yxx 
Nesse caso não temos uma equação linear, pois a incógnita x está elevada ao expoente 
2 no segundo termo. 
 
d) 34  tyx 
Nesse outro caso, a equação não é linear porque a incógnita x é radicando de uma raiz 
quadrada, onde x está elevado ao expoente ½ . 
 
e) x.y + 3z + 4 t + 7w = 13 
Neste novo exemplo a equação não é linear, pois existe a multiplicação das incógnitas 
x e y, e assim, a equação apresentada não é linear. 
 
 
2.2 – Sistemas Lineares I 
Nesse tópico os objetivos são compreender a definição de sistemas lineares e tornar 
possível classificar cada sistema como sistema possível determinado, sistema possível 
indeterminado ou sistema impossível. 
 
 
, 
 
 
5 
 
 
Equação Linear 
 
Sistema de Equação Linear 
Denomina-se sistema de equações lineares ou sistema linear um conjunto de duas ou 
mais equações lineares: 












nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
Se uma ênupla ordenada de números reais 
 n ,,,, 321  tornarem verdadeira 
todas as equações do sistema linear de n incógnitas, ela é uma solução do sistema 
linear. 
Resolver um sistema linear significa determinar o conjunto de todas as soluções desse 
sistema. 
Classificação dos sistemas lineares quanto ao número de soluções 
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em compatível 
(ou possível) e incompatível (ou impossível). 
, 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
Forma Matricial de um sistema linear 
, 
 
 
7 
 












nnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
 
tesindependen
termospelos
aconstituíd
colunamatriz
n
incógnitaspelas
aconstituíd
colunamatriz
n
incógnitasdasescoeficient
pelosaconstituídmatriz
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa







































  




2
1
2
1
21
22221
11211
 
 
2.3 – Sistemas Lineares II 
Nesse momento será possível compreender a definição de sistema linear homogêneo. 
Sistema homogêneo 












nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
Denomina-se sistema linear homogêneo quando .0ib 












0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nnnnnn
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
S





 
, 
 
 
8 
 
Qualquer sistema linear homogêneo possui a solução (0, 0, 0, 0, ..., 0), porém nem 
sempre será a única solução. O sistema será sempre possível, mas pode ser 
determinado ou indeterminado. 












0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nnnnnn
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
S





 
Teorema: Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do que 
equações tem alguma solução não nula. 
Exemplo: 
Resolva o sistema a seguir 








043
0532
0542
wzyx
wzyx
wzyx
S
 
Demonstração 








043
0532
0542
wzyx
wzyx
wzyx
S
 









014132
0555
0542
wzy
wzy
wzyx
S
 









014132
0
0542
wzy
wzy
wzyx
S
 









01211
0
0542
wz
wzy
wzyx
S
 









01211
0
0542
wz
wzy
wzyx
S
 
11
12
01211
w
zwz 
 
Nesse caso, o w pode assumir um valor real qualquer! 
, 
 
 
9 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos as equações lineares. Sistema linear e suas classificações 
como sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado, sistema 
impossível e, para concluir, sistema homogêneo, estudando um teorema que colabora 
na resolução de sistema homogêneo. 
Tudo de bom! 
 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994.