Operações e Conjuntos Matemáticos

Prévia do material em texto

Profa. Dra. Deiby Gouveia
UNIDADE I
Matemática
 Conjunto
 Elemento
 Pertinência
Notação matemática:  e 
Exemplo: Região Nordeste
Conjunto: 
Elemento:
 Pertinência: 
Ex.: SE  aos estados da Região Nordeste
 SP  aos estados da Região Nordeste
Números Reais - Conjuntos
Piauí
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/brasil/a-regiao-
nordeste.htm
 Representação dos Conjuntos:  Diagrama de Venn - Euler
 Enumeração
Exemplo:
A = {conjunto dos números de um dado}
C = {conjunto dos números pares}
D = {conjunto dos números ímpares positivos menores que 12}
Números Reais - Conjuntos
 Tipos de Conjuntos  Finitos
 Infinitos
 Classificação  Vazio:  ou { }
 Unitário
 Universo
Exemplo: A = conjunto dos meses do ano
B = conjunto dos números pares
C = {x   | x é maior que 5 e menor que 6}
D = {x | x é um número par maior que 30 e menor que 32}
E = {x | x + 3 = 8}
Números Reais - Conjuntos
 Operações dos conjuntos Ex.: A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} 
A) União  “ou”
B) Intersecção  “e”
C) Diferença
Números Reais - Conjuntos
D) Igualdade 
Exemplo: A = {a, e, i, o, u} e B = {u, o, i, e, a}
D = {x | x + 5 = 12} e F = {7}
E) Complementar
Exemplo: A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 3} 
B  A  BC = A – B = {6, 8, 10}
Notação: B  A  BC = A – B = {x | x  A e x  B} 
Números Reais - Conjuntos
Exemplo: Num grupo de 20 pessoas, sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 
são sócias de um clube B e 6 são sócias de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas são sócias de A?
b) Quantas são sócias de B?
c) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem B?
Números Reais - Conjuntos
Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: A – B = {1, 3, 6, 7}, B – A = {4, 8} e
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, então, A  B é o conjunto: 
a) 
b) {1, 4}
c) {2, 5}
d) {6, 7, 8}
e) {1, 3, 4, 6, 7, 8}
Interatividade
 Resposta correta: c = {2, 5}
Resolução: 
 Montar o Diagrama de Venn
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , A – B = {1, 3, 6, 7} e B – A = {4, 8}, então, A  B
Resposta
A) Números Naturais  N
 Obs.: N* = N - {0}
N* = {1, 2, 3, 4, ....}
Obs.: N é um subconjunto de Z
Todos os elementos N pertencem ao conjunto de Z
 N  Z
N = {0, 1, 2, 3, 4,....}
B) Números Inteiros  Z
 Obs.: Z* = Z - {0}
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ....}
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4}
Z- = {-3, -2, -1, 0}
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,....}
Números Reais - Tipos de Conjuntos
C) Números Racionais  Q
Ex.: Decimal inteiro: 6/2 = 3
Decimal exato: 5/2 = 0,5 -1/2 = -0,25
Decimal infinito periódico: 1/3 = 0,333... = 0,33
1/22 = 0,04545....= 0,045
D) Números Irracionais  I
Representação decimal: infinita e não periódica.
Ex.: 3 = 1,73205... π = 3,14159.
Q = a/b, a  Z, b  Z* e b  0
Números Reais - Tipos de Conjuntos
Números Reais – R
 Representação geométrica de R
R = Q  I R = N  Z  Q  I
Números Reais - Tipos de Conjuntos
Diagrama de Venn
Exemplo: Classifique em V ou F as seguintes sentenças:
a) ( ) 5  
b) ( ) 2,5  
c) ( ) – 10/5  
d) ( ) 0,666  Q
e) ( ) -11/12 = 0,916666  Q
Números Reais - Tipos de Conjuntos
Exemplo: Analise os dois retângulos abaixo, calcule a diagonal de cada um deles e, 
em seguida, classifique os números encontrados em racionais ou irracionais. 
Cálculo da Diagonal:
D2 = a2 + b24
5
(I)
4
3
(II)
Números Reais - Tipos de Conjuntos
 Intervalos: são subconjuntos do conjunto dos números reais. 
 Tipos de Intervalos: Aberto: ] [ ou 
Fechado: [ ] ou
 Representação:
a) Intervalo Aberto
b) Intervalo Fechado
c) Intervalo Aberto à Direita
d) Intervalo Fechado à 
esquerda
e) Intervalos Infinitos
Números Reais - Intervalos 
R
R
R
R
R
Exemplo: Representar os Intervalos:
a) [3,5[ = {x ∈ R | 3  x < 5}
b) ]–∞,5] = {x ∈ R | x < 5}
c) ]3,5] = {x ∈ R | 3 < x  5}
d) ]3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
R
R
R
R
Números Reais - Intervalos 
 Sejam A e B os seguintes intervalos numéricos, determinar A  B, A  B, A – B, B – A
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1 [
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ] 0, 5 [
A  B
A  B = {x ∈ R | 
R
R
R
Números Reais – Intervalos: Operações 
-1 1
0 5
 Sejam A e B os seguintes intervalos numéricos, determinar A  B, A  B, A – B, B – A
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ] –1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ] 0, 5 [
A  B
A  B = {x ∈ R | 
R
R
R
Números Reais – Intervalos – Operações 
-1 1
0 5
 Sejam A e B os seguintes intervalos numéricos, determinar A  B, A  B, A – B, B – A
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ]–1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = ] 0, 5 [
A - B
A - B = {x ∈ R |
R
R
R
Números Reais – Intervalos – Operações 
-1 1
0 5
 Sejam A e B os seguintes intervalos numéricos, determinar A  B, A  B, A – B, B – A
A = {x ∈ R | –1 < x < 1} = ]–1,1[
B = {x ∈ R | 0 < x < 5} = [0, 5 [
B - A
B - A = {x ∈ R | 
R
R
R
Números Reais – Intervalos – Operações 
-1 1
0 5
Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4}, B = {x ∊ ℕ | 2 < x  6} e C = {x ∊ ℕ | 3  x < 10},
podemos dizer que (A⋂B) – C = ?
a) {x ∊ ℕ | 1 < x  6}
b) {x ∊ ℕ | 2 < x < 4}
c) {x ∊ ℕ | 2 < x < 3}
d) {x ∊ ℕ | 4  x < 10}
e) {x ∊ ℕ | 2  x < 10}
Interatividade
 Resposta: c) {x ∊ ℕ | 2 < x < 3}
Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4}, B = {x ∊ ℕ | 2 < x  6} e C = {x ∊ ℕ | 3  x < 10},
podemos dizer que (A⋂B) – C = ?
Resolução:
Resposta
R
A
R
B
R
A  B
2 6
R
C
3 10
R
( A  B) - C
32
1 4
 Operações Matemáticas  (+), (-), (x) e ()
 Regra dos Sinais
Soma / Subt. Multip. / Div.
Expressões Algébricas – Operações com Números Reais
 Prioridade
1º Parênteses ( )
2º Colchetes [ ]
3º Chaves { }
 Ordem
1º Potenciação ou Radiciação
2º Multiplicação ou Divisão
3º Adição ou Subtração
A) Adição ou Subtração
 Denominadores iguais
Expressões Algébricas – Operações com Frações
 Denominadores diferentes
B) Multiplicação de Frações
Expressões Algébricas – Operações com Frações
C) Divisão de Frações 
Exemplo: [30 ÷ 5 – (12 ÷ 3)] × (3 × 2 – 15 ÷ 3 ) + (14 + 6) ÷ 2 =
Expressões Algébricas 
Definição: 
Expressões Algébricas – Potencialização
Exemplo: Calcule
a .a . a .a = an
 Operação oposta à potenciação.
Expressões Algébricas – Radiciação
Exemplo: Calcule
Operações: 
1) Adição e Subtração
Exemplo: 3x + 4y – 2y + 5x – 2 
Expressões Algébricas
2) Multiplicação e divisão
Exemplo: (2x2y).(5xz) =
xy
“São operações matemáticas compostas de números e/ou letras”
I. (a + b)2 =
II. (a - b)2=
III. (a + b)3 =
IV. (a - b)3 =
V. (a + b).(a - b) =
Expressões Algébricas – Produtos Notáveis
Exemplo: Fatorar as expressões
Expressões Algébricas – Fatoração e Simplificação
A expressão (x - y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
a) 0
b) 2y2
c) -2y2
d) -4xy
e) -2(x+y)2
Interatividade
Resposta : d) -4xy
 Resolução: a expressão (x - y)2 – (x + y)2 é equivalente a
(x - y)2 – (x + y)2
x2 - 2xy + y2 – (x2 + 2xy + y2)
x2 - 2xy + y2 – x2 - 2xy - y2
- 2xy – 2xy = -4xy
Resposta
 Estrutura Geral das Equações:
1 grau:
2 grau:
 Finalidade de uma equação  encontrar o valor da incógnita que torne a 
igualdade verdadeira.
Exemplo: 2x + 5 = 3
a.x + b = 0, a e b  R e a  0
a.x2 + b.x + c = 0, a, b e c  R e a  0
Equações
João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate. 
Se cada trufa custa R$ 2,00, quantas trufas João podecomprar com seu dinheiro?
 Modelagem matemática: x = quantidade de trufas
2 . x = 10
Equação de 1 Grau – Aplicação
 Estrutura Geral:
 Fórmula de Bháskara
 = discriminante Possibilita saber a quantidade de soluções possíveis para uma 
equação de 2 grau
 = 0  a Equação admite duas raízes reais e iguais
 > 0  a Equação admite duas raízes reais e diferentes
 < 0  a Equação não admite duas raízes reais
a.x2 + b.x + c = 0, a, b e c  R e a  0
Equação de 2 Grau
 Encontrar as possíveis soluções (ou raízes) das equações quadráticas
Equação de 2 Grau
 =1
x’ = 2 e x’’ = 3
 = 0
x‘ = x’’ = -1
 = -4
b) x2 + 2x + 1 = 0 c) x2 + 2x + 2 = 0
 = 0  a Equação admite duas raízes reais e iguais
 > 0  a Equação admite duas raízes reais e diferentes
 < 0  a Equação não admite duas raízes reais
a) x2 -5x + 6 = 0
 Comparativo: Equação x Inequação
Exemplo: 2x + 5 < 3
Inequação
Equação Inequação
Finalidade
Encontrar o valor da 
incógnita que torne a 
igualdade verdadeira.
Encontrar todos os valores da 
incógnita que tornam a 
desigualdade verdadeira.
Sinal utilizado = >, <,  , 
Resultados Valores pontuais Intervalos
João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate. Se 
cada trufa custa R$ 2,00, até quantas trufas João pode comprar com seu dinheiro?
 Modelagem matemática: x = quantidade de trufas
2 x  10
Inequação – Aplicação 
 Estrutura Geral da Inequação de 1 Grau
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
Sendo que a e b são números reais e a ≠ 0.
 Cálculo: 
Mesma técnica de resolução de equações
Utiliza sinal de desigualdade
 Notação: intervalo
Inequações – Inequação de 1º grau
 Estrutura Geral da Inequação de 2 Grau
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
Sendo a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Cálculo: 
 Mesma técnica de resolução de equações de 2 grau.
 Estuda o sinal da desigualdade.
Notação: intervalo
Inequações – Inequação de 2º grau
 Adotando:
Inequações
Esquema para Estudo do Sinal das Inequações de 2º grau
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Sinal contrário do 
coeficiente a
X’ X’’
Se  > 0
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
x‘ = x’’
Se  = 0
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Se  < 0
Exemplo: Encontrar os valores que tornam a inequação x2 - 5x + 6 > 0
 Estudo do sinal: 
 Logo, a solução da inequação x2 - 5x + 6 > 0:
S = {x  R / x < 2 OU x > 3} ou
]-, 2[  ] 3, [
Inequações 
 =1 ( > 0)
x’ = 2 e x’’ = 3
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Sinal contrário do 
coeficiente a
X’ X’’
+ +-
2 3
Exemplo: Encontrar os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 1 < 0 verdadeira
 Estudo do sinal:
 Como se deseja que na inequação os valores sejam 
menores que zero (x2 + 2x + 1 < 0), não há solução nos 
reais para essa inequação, pois no estudo dos sinais
só existe o sinal positivo.
 S = ∅
Inequações
 = 0
x‘ = x’’ = -1
+ +
-1
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
x’=x’’
Exemplo: Encontrar os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 2 > 0 verdadeira
 Estudo do sinal:
 Como se deseja que na inequação os valores sejam 
maiores que zero (x2 - 5x + 6 > 0), todos os valores da 
reta dos reais tornam essa inequação verdadeira
 S = R.
Inequações
 = -4 ( < 0)
Mesmo sinal do 
coeficiente a
+
Tem-se (x+2).(x - 1) < 0 se e somente se:
a) x < 1
b) x > -2
c) -2 < x < 0
d) x  -2 e x = 1
e) -2 < x < 1 
Interatividade
Resposta : e) -2 < x < 1
 Resolução: Tem-se (x+2).(x - 1) < 0 se e somente se:
x2 – x + 2x – 2 < 0
x2 + x – 2 < 0 a = 1, b = 1, c = -2
 = 9 ( > 0)
x‘ = -2 e x ‘’ = 1
Logo, a solução da inequação x2 + x -2 < 0:
Alternativa: e) {x  R / -2 < x < 1}
Resposta
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Mesmo sinal do 
coeficiente a
Sinal contrário do 
coeficiente a
X’ X’’
+ +-
-2 1
ATÉ A PRÓXIMA!