Integração de Funções Racionais Por Frações Parciais

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Integração de Funções Racionais por Funções Parciais 
 
 
Nesta aula mostraremos como integrar qualquer função racional (um 
quociente de polinômios), expressando-a como uma soma de frações mais 
simples, chamadas frações parciais, que já sabemos como integrar. Para ilustrar 
o método, observe que, levando as frações 
( )
 e 
( )
 a um denominador 
comum, obtemos 
2
𝑥 − 1
−
1
𝑥 + 2
=
2(𝑥 + 2) − (𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
=
𝑥 + 5
𝑥 + 𝑥 − 2
 
 
Se agora revertermos o procedimento, veremos como integrar a função 
no lado direito desta equação: 
 
𝑥 + 5
𝑥 + 𝑥 − 2
𝑑𝑥 =
2
𝑥 − 1
𝑑𝑥 −
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥 
 = 2 ln|𝑥 − 1| − ln|𝑥 + 2| + 𝐶 
 
Dada a expressão 
)(
)(
xq
xp , com )(xp e )(xq polinômios onde o grau de )(xp 
é menor que o grau de )(xq , podemos decompor 
)(
)(
xq
xp em: 
NFFFFxq
xp
 ...
)(
)(
321
 onde ...)3,2,1(kF possui uma das formas: 
nbax
A
)( 
 ou ncbxax
CBx
)( 2 

 (quando não possui zeros ou raízes reais). 
onde os denominadores são fatores de )(xq . 
 
 
 
 
 
 
CASO 1: Quando )(xq possui raízes reais e distintas. 
 
Exemplo 01 
dx
xx
x
 

6
32
2 
Primeiro: vamos escrever 62  xx em forma de produto 
   3262  xxxx 
Segundo: Reescrever a função racional em frações parciais 
   
   
  32
23
326
32
2 








xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x 
   




32
23
6
32
2 xx
BBxAAx
xx
x logo 





323
2
BA
BA
 
5
3
5
7
323
2






BeA
BA
BA
 
Terceiro: Retomamos a Integral 
   dxx
B
dx
x
A
dx
xx
x
 

326
32
2
 
        

3
1
5
3
2
1
5
7
3
5
3
2
5
7
6
32
2 x
dx
x
dx
dx
x
dx
x
dx
xx
x
 
Resposta: Cxx  3ln
5
3
2ln
5
7
 
 
Exemplo 02 
dx
xxx
xx
 

2
13
23
2
 
Primeiro: vamos escrever xxx 223  em forma de produto 
   22 223 xxxxxx   21  xxx 
Segundo: Reescrever a função racional em frações parciais 
   
      
  21
1221
212
13
23
2









xxx
xCxxBxxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
   




21
222
2
13 222
23
2
xxx
CxCxBxBxAAxAxAx
xxx
xx
 logo 








12
32
1
A
CBA
CBA
 
2
3
1;
2
1
12
32
1









CeBA
A
CBA
CBA
 
Terceiro: Retomamos a Integral 
   dxx
C
dx
x
B
dx
x
A
dx
xxx
xx
 

212
13
23
2
 
    

22
3
1
1
2
1
2
13
23
2
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
xx
 
Resposta: Cxxx  2ln
2
3
1lnln
2
1
 
 
 
CASO 2: Quando )(xq possui raízes reais e iguais: 
 
Exemplo 03 
        
dx
x
C
dx
x
B
dx
x
A
dx
xx
xx
 

22
2
33232
75 
  
      
  2
2
2
2
32
2323
32
75





xx
xCxxBxA
xx
xx
 
     2
22
2
2
32
263296
32
75





xx
CCxBBxBxBxAAxAx
xx
xx
 
CCxBBxBxBxAAxAxxx 26329675 222  
 








7269
56
1
CBA
CBA
BA
 
      
      
      
AA
CBA
CBA
x
xCxxBxAxx





25
1
251
05057104
223222327252
2
232375
2
22
22
 
      
          
      
CC
CBA
CBA
x
xCxxBxAxx





5
31
531
50507159
233323337353
3
232375
2
22
22
 
ESCOLHI UMA EQUAÇÃO DO SISTEMA E SUBSTIUI OS VALORES DE “A” 
E “C” 
 
 
 
 
 
TERCEIRO: RETOMAMOS A INTEGRAL 
         

22
2
35
31
325
24
225
1
32
75
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xx
xx
 
Resposta:  
C
x
xx 


235
31
3ln
25
24
2ln
25
1
 
 
Exemplo 4 
dx
xxx
xx
 

23
2
2
32
 
Primeiro: vamos escrever xxx  23 2 em forma de produto 
   122 223 xxxxxx  21xx 
LOGO:     

dx
x
C
dx
x
B
dx
x
A
xxx
xx
223
2
112
32
 
25
24
25
6
5
31
5
5
5
31
25
1
6
56



BB
B
CBA
 
Segundo: Reescrever a função racional em frações parciais 
   
   
 2
2
223
2
1
11
112
32









xx
CxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
 2
22
23
2
1
2
2
32





xx
CxBxBxAAxAx
xxx
xx
 
CxBxBxAAxAxxx  222 232 








3
22
1
A
CBA
BA
 
62  CeB 
TERCEIRO: RETOMAMOS A INTEGRAL 
    

dx
x
C
dx
x
B
dx
x
A
xxx
xx
223
2
112
32
 
    

223
2
1
6
1
23
2
32
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
xx
 
Resposta: 
  Cxxx  1
6
1ln2ln3 
 
 
CASO 3: Quando )(xq possui raízes complexas e/ou complexas repetidas: 
 ncbxx
MNx
cbxx
DCx
cbxx
BAx
)(
...
)()( 2222 







 
 
Exemplo 5 
  xx
dx
33
 
 Primeiro: vamos escrever  33 23  xxxx em forma de produto 
    





dx
x
CBx
dx
x
A
xx
dx
xx
dx
333 223
 
  
  
 3
3
33
1
2
2
23 





 xx
xCBxxA
x
CBx
x
A
xx
 
0
3
1
3
1
13
0
0









CBA
A
C
BA
 
    





dx
x
x
x
dx
xx
dx
xx
dx
3
0
3
1
3
1
33 223
 
     dxx
x
x
dx
xx
dx
xx
dx
33
1
3
1
33 223
 
Resposta: Cxx  3ln
6
1
ln
3
1 2 
 
Exemplo 6 
  83x
dx
 
 Primeiro: vamos escrever   4228 23  xxxx em forma de produto 
       







dx
xx
CBx
dx
x
A
xxx
dx
x
dx
4224228 223
 
   
    
  422
242
4223
1
2
2
23 







 xxx
xCBxxxA
xx
CBx
x
A
xx
 
  422
2242
3
1
2
22
3 


 xxx
CCxBxBxAAxAx
xx
 








124
022
0
CA
CBA
BA
 
BA  
4
4
4
22
022
C
B
CB
CB
CBB
CBA





 
3
1
12
12
4
4
124
124






C
CC
C
C
CB
CA
 
 
12
1
4
3
1
4




B
C
B
 
12
1
12
1








A
A
BA
 
 
TERCEIRO: RETOMAMOS A INTEGRAL 
       







dx
xx
CBx
dx
x
A
xxx
dx
x
dx
4224228 223
 
       





dx
xx
x
x
dx
xxx
dx
42
3
1
12
1
212
1
422 22
 
      







 dx
xx
x
xdx
xx
x
x
dx
42
4
12
1
2ln
12
1
42
12
4
212
1
22
 
     











  42
3
42
1
12
1
2ln
12
1
42
31
12
1
2ln
12
1
222 xx
dx
dx
xx
x
xdx
xx
x
x 
INTEGRAIS 
01)   

 dxxx
x
42
1
2 
1
2
22
422



x
du
xdu
xxu
 
  Cxxu
du
dx
xx
x



 42ln2
1
2
1
42
1 2
2 
 
02)       C
x
arctg
x
dx
xx
dx





 



  3
1
3
3
31
3
42
3
222
 
 
 
RETOMANDO A INTEGRAÇÃO.... 
 
   
C
x
arctgxxx
x
arctgxxx
x
arctgxxx
xx
dx
dx
xx
x
x





 






 












 











 
3
1
34
1
42ln
24
1
2ln
12
1
3
1
312
3
42ln
24
1
2ln
12
1
3
1
3
3
42ln
2
1
12
1
2ln
12
1
42
3
42
1
12
1
2ln
12
1
2
2
2
22
 
 
 
FUNÇÕES RACIONAIS IMPRÓPRIAS 
 
 Embora o método das frações parciais se aplique somente a funções 
racionais próprias, uma função racional imprópria pode ser integrada efetuando-
se uma divisão e expressando a função racional como o quociente mais o resto 
sobre o divisor. O resto sobre o divisor será uma função racional própria, a qual 
pode, então, ser decomposta em frações parciais. 
Temos: 
 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑞(𝑥)
 
 
 
Exemplo 7: 
 
𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 + 2
𝑥 − 2
𝑑𝑥 
 
O integrando é uma função racional imprópria, ou seja, ograu do numerador é 
maior que o grau do denominador. Neste caso, devemos fazer divisões até obter 
um resto cujo grau seja menor que o grau do denominador. 
 
 
 
Assim, 
𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 + 2
𝑥 − 2
= 𝑥 − 1 +
𝑥
𝑥 − 2
 
Então 
𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 + 2
𝑥 − 2
𝑑𝑥 = 𝑥 − 1 +
𝑥
𝑥 − 2
𝑑𝑥 
 
 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 
 
Usando as regras de integração imediata nas integrais 1 e 2 e o método da 
substituição na integral 3, temos: 
 
𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 + 2
𝑥 − 2
𝑑𝑥 =
𝑥
3
− 𝑥 +
1
2
ln(𝑥 − 2) + 𝐶