Brochura de matematica 11 classe ciencia

Prévia do material em texto

1 
 
TEMA: Equações e inequações fraccionárias. 
 
EQUAÇÕES FRACCIONÁRIAS 
A equação fraccionária é aquela em que pelo menos uma incógnita aparece no denominador de 
uma fracção. 
Para resolver uma equação fraccionária, devemos analisar os denominadores para verificar em 
qual caso a equação não é definida. De seguida reduzimos aos mesmos denominadores, caso a 
equação tenha denominadores diferentes. 
Exemplos 
Resolva as seguintes equações fraccionárias: 
2
12)


x
x
x
a 
2
15
2
3) 
x
b 
4
1
2
1
2
12) 2 





xxxx
c 0
1
23)
2



x
xxd 
Resolução: 
 
 
 
 
   
     
 
 
   
 
 4;1
14
2
53
1.2
253
25169
4.1.43
043
20042
02042
02122
2
2
1
2
22
2
12)
21
2
1
2
1
2
2
2
2






















Sol
xx
x
x
xx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
a
 
     
 5
5
2
10
0102
2
0103
02103
2
22
2.5
2
3
2
15
2
3)






Sol
x
xx
xxx
xxx
xx
x
x
xx
x
x
b
 
 
 
2 
 
4
1
2
2
2
12) 2 





xxxx
c 
  
        xxxxxxx
xxxxx
2222
22
1
2
2
2
12







 
      
     2222
222222





xxx
x
xxx
xxxxxx
         022222222  xxxxxxxxxx 
   0202042242 222  xxxxxxxxx 
 220042282 222  xxxxxxxxx 
   
 
1
10
10
5
8
10
16
10
133
5.2
1693
1691609
8.5.43
0835
21
2
1
2
1
2
2










xx
x
x
xx
 






5
8;1Sol 
0
1
23)
2



x
xxd 
010232  xxx 
 
 
 
2
112
2
13
1.2
13
189
2.1.43
1023
21
2
1
2
1
2
2









x
xxx
x
x
xxx
 
 2Sol 
 
3 
 
Exercícios 
Resolva, em IR, cada uma das seguintes equações 
a) 01 
x
x 
b) 0
2
42



x
x 
c) 2
3
1
62
2 




xx
x 
d) 22 41
2
14
1
x
x
x
x



 
e) 21
3
1
2
1
1
xxx 




 
f) 
436
21
3
1
2
2





x
x
x
x 
g) 1
1
3
1
2 


 xx
 
h) 
xx
x
x
x
4
3
4
3
11
2




 
i) 
4
5
4
3
16
2
2 



 xx
x
x
x 
 
INEQUAÇÕES FRACCIONÁRIAS 
Inequação fraccionária: é toda inequação em que pelo menos uma incógnita aparece no 
denominador de uma fracção e que apresenta uma das seguintes formas: 
0
)(
)(

xB
xA ; 0
)(
)(

xB
xA ; 0
)(
)(

xB
xA ou 0
)(
)(

xB
xA 
Métodos de resolução de inequações fraccionárias 
1. Método de tabela 
O método de tabela, consiste na elaboração de um quadro onde se estuda o sinal do numerador e 
do denominador separadamente e, em seguida, o sinal da fracção. 
Exemplos 
Resolvas as inequações fraccionárias pelo método de tabela. 
0
5
2) 


x
xa 1
42
53) 


x
xb 
 
 
4 
 
Resolução: 
 
1
42
53) 


x
xb 
 
0
42
1
0
42
4253
0
42
42153
01
42
53












x
x
x
xx
x
xx
x
x
 
04201  xx 
2
41  xx 
21  xx 
 
 
 
 
 
 2;1Sol 
 
 
x  1 2  
1x  0  1  
42 x  4  0  
42
1


x
x  0  ∄  
 
2. Método analítico 
O método analítico consiste no estudo do sinal da fracção. Eis as condições impostas no método: 












0)(
0)(
0)(
0)(
0
)(
)(
xB
xA
xB
xA
xB
xA ; 












0)(
0)(
0)(
0)(
0
)(
)(
xB
xA
xB
xA
xB
xA 
 












0)(
0)(
0)(
0)(
0
)(
)(
xB
xA
xB
xA
xB
xA ; 












0)(
0)(
0)(
0)(
0
)(
)(
xB
xA
xB
xA
xB
xA 
0
5
2) 


x
xa 
52
52
0502



xx
xx
xx
 
 
x  2 5  
2x  0  3  
x5  3  0  
x
x


5
2  0  ∄  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  5:2Sol 
5 
 
Exemplos: 
Resolva pelo método analítico as seguintes inequações fraccionárias: 
0
3
54) 


x
xa 3
1
1) 


x
xb 
Resolução: 
 0
3
54) 


x
xa 
 












03
054
03
054
x
x
x
x
 
 












3
)1(/54
3
)1(/54
x
xx
x
xx
 
 












3
54
3
54
x
x
x
x
 
 














3
4
5
3
4
5
x
x
x
x
 
 
 














3
4
5
3
4
5
x
x
x
x
 
 
 
 
 


  ;3
4
5;0lS 
 
 
 
6 
 
3
1
1) 


x
xb 
03
1
1 


x
x 
   0
1
131 


x
xx 
 0
1
331 


x
xx 
0
1
42 


x
x 
 












01
042
01
042
x
x
x
x
 
 












1
)1(/42
1
)1(/42
x
xx
x
xx
 
 












1
42
1
42
x
x
x
x
 
 
















1
2
4
1
2
4
x
x
x
x
 
 












1
2
1
2
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 1;2 Sol 
 1;2 Sol 
 
 
Exercícios 
Resolva as inequações em IR. 
a) 0
2
12 


x
x 
b) 0
23
23 


x
x 
c) 0
15
43 


x
x 
d) 1
43
35 


x
x 
e) 2
43
25 


x
x 
f) 1
75
32 


x
x 
g) 0
5
1 


x
x 
h) 
8
7
4
31 
xx
 
i) 0
2
7 


x
x 
7 
 
TEMA: Racionalização de denominadores das fracções algébricas 
 Equações do 2º grau (Revisão) 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES DAS FRACÇÕES ALGÉBRICAS 
Para a racionalização de dos denominadores recorre-se com frequência propriedades da 
potenciação e as identidades notáveis. 
1º CASO: O radical do denominador possui índice 2 
O numerador e o denominador da fracção devem ser multiplicados pelo radical que se encontra 
no denominador. 
Exemplos: 
a)   555
510
5
510
5
5
5
10
5
10
2  x 
b)   3
62
3
62
3
3
3
22
3
22
2  x 
c)   2
33
6
39
3.2
39
3.2
39
3
3
32
9
32
9
2  x 
2º CASO: O radical do denominador possui índice diferente de 2 
O numerador e o denominador da fracção devem ser multiplicados pelo radical de mesmo índice 
e de mesmo radicando, mas com expoente que complementa para se igualar ao índice. ( n ma , o 
factor racionalizante é: n mna  ) 
Exemplos: 
a) 
2
25
2
25
2
25
22
25
2
2
2
5
2
5 3
3 3
3
3 12
3
3 13 2
3 1
3 23
3 23
3 23 2



x
x 
b) 4
4
4 4
4
4 31
4
3 34
4 3
4 14
4 14
44
272
3
276
3
276
3
276
33
36
3
3
3
6
3
6



x
x 
8 
 
3º CASO: O denominador é um binómio em que pelo menos um dos termos é um número 
irracional sob a forma de radical. 
O numerador e o denominador da fracção devem ser multiplicados pelo binómio conjugado. 
( ba  o binómio conjugado é ba  ). Binómio conjugado é igual ao produto 
notável:    22 bababa  
Exemplos: 
a)       7
239
29
239
23
239
2323
233
23
3
22












 
b)       6221
622
34
622
32
622
3232
322
32
2
22













 
c)         2
610
35
610
35
610
3535
352
35
2
22












 
 
Exercicios 
Racionalize os denominadores das seguinte expressoes 
a) 
2
4
 
b) 
23
5
 
c) 
7 33
3 
d) 
3 7
1
 
e) 
62
4

 
f) 
35
2

 
g) 
23
7

 
h) 
67
32

 
i) 
26
5

 
j) 
25
34

 
k) 
13
9

 
l) 
37
3
m) 
79
12

 
n) 
357
1

 
o) 
64
34

 
p) 
311
26

 
q) 
135
6

 
r) 
524
4

 
 
 
9 
 
EQUAÇÕES QUADRÁTICAS OU DO 2º GRAU (REVISÃO) 
Chama-se equação quadrática ou do 2º grau a toda equação do tipo do tipo 02  cbxax , 
com ba, e c números reais e 0a . 
Classificação das equações quadráticas 
As equações quadráticas são classificadas em completas e incompletas. 
Completas: quando b e c são diferentes de zero (0). 
02  cbxax 
Ex: 02092  xx ; 0134 2  xx 
Incompletas: quando b ou c é igual a zero (0) ou quando ambos são iguais a zero (0). 
02  cax 02  bxax 02 ax 
Ex: 0362 x Ex: 0102 2  xx Ex: 04 2 x 
Resolução de equações quadráticas 
1. Equações do tipo: 02 ax 
Forma de resolução: 
0000 222  xx
a
xax 
Exemplos: 
a) 002  xx b) 00
4
004 222  xxxx 
 0Sol  0Sol 
2. Equações do tipo: 02  cax 
Forma de resolução: 
a
cxcaxcax  222 0 , que tem solução em IR quando 0
a
c 
 
 
10 
 
 Exemplos: 
 6;6
6
36
36
036)
2
2





Sol
x
x
x
xa
 
 
 
 5;5
5
25
25
3
75
753
0753)
2
2
2
2







Sol
x
x
x
x
x
xb
 






Sol 
:logo IR, em negativo
 número um de 
quadrada raiz existe Não
25
25
2
50
502
0502)
2
2
2
2
x
x
x
x
xc
3. Equações do tipo: 02  bxax 
Forma de resolução 
Coloca-se em evidência o factor comum e de seguida, usa-se a lei do anulamento do 
produto. 
a
bxxbaxxbaxxbxax  0000)(02 
Exemplos: 
 6;0
60
060
0)6(
06) 2





Sol
xx
xx
xx
xxa
 
 
 0;5
50
5
2
0
0502
052
0102) 2






Sol
xx
xx
xx
xx
xxb
 
 
 3;0
30
030
03
03
3)
2
2






Sol
xx
xx
xx
xx
xxc
 
4. Equações do tipo: 02  cbxax 
Forma de resolução 
A resolução deste tipo de equações, é com base na formula resolvente. 
 
 
 
 
11 
 
Exemplos: 
 
 
 5;2
52
2
37
2
37
2
37
1.2
97
2
9
4049
10.1.47
4
0107)
21
21
2
1
2
1
2
1
2
2
2

















Sol
xx
xx
x
x
a
bx
acb
xxa
 
 






















1;
2
7
1
2
7
4
4
4
14
4
95
4
95
4
95
2.2
815
81
5625
7.2.45
0752)
21
21
21
2
1
2
1
2
2
Sol
xx
xx
xx
x
x
xxb
 
 3
33
4
012
4
012
4
012
2.2
012
0
144144
18.2.412
018122
18122)
21
21
2
1
2
1
2
2
2















Sol
xx
xx
x
x
xx
xxc
 
    






Sol
reais. raízes temnão equação a Logo,0
7
81
1.2.41
012)
2
2 xxd
 
 
 
12 
 
Exercícios 
Resolva as seguintes equações do 2º grau, e determine as raízes se existirem. 
a) x² - 5x + 6 = 0 
b) x² - 8x + 12 = 0 
c) x² + 2x - 8 = 0 
d) x² - 5x + 8 = 0 
e) 2x² - 8x + 8 = 0 
f) x² - 4x - 5 = 0 
g) -x² + x + 12 = 0 
h) x + x2 = 90 
i) -x² + 6x - 5 = 0 
j) 6x² + x - 1 = 0 
k) 3x² - 7x + 2 = 0 
l) 2x² - 7x = 15 
m) 4x² + 9 = 12x 
n) x² = x + 12 
o) x² + 25 = 2x 
p) x² + 9 = 4x 
q) 25x² = 20x - 4 
r) 2x = 15 - x² 
s) x² + 3x - 6 = -8 
t) x² + x - 7 = 5 
u) 4x² - x + 1 = x + 3x² 
v) 3x² + 5x = -x - 9 + 2x² 
x) 4 + x ( x - 4) = x 
z) x ( x + 3) - 40 = 0 
a1) x² + 5x + 6 = 0 
a2) x² - 7x + 12 = 0 
a3) x² + 5x + 4 = 0 
a4) 7x² + x + 2 = 0 
a5) x² - 18x + 45 = 0 
a6) -x² - x + 30 = 0 
a7) x² - 6x + 9 = 0 
a8) ( x + 3)² = 1 
a9) ( x - 5)² = 1 
a10)( 2x - 4)² = 0 
a11) ( x - 3)² = -2x² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 TEMA: Equações do 3º grau (casos simples) 
 Equações que se reduzem a uma equação quadrática 
 
EQUAÇÕES DO 3º GRAU (CASOS SIMPLES) 
Chama-se equação do 3º grau em IR a toda equação real que pelos princípios de equivalência 
pode ser reduzida a uma equação da forma: 0,,,,023  aeIRdcbacomdcxbxax . 
Tal como classificamos as equações quadráticas, em completas e incompletas, as equações do 
3º grau também são classificadas da mesma forma. 
Resolução de equações do 3º grau 
1. Equações do tipo .0,03  dcomcxbxax 
Forma de resolução: 
000)(0 223  cbxaxxcbxaxxcxbxax 
Exemplos 
   
 
 3;0;2
23
2
51
1.2
251
25
241
6.1.41
060
0)6(
06)
21
2
1
2
1
2
2
2
23












Sol
xx
x
x
xxx
xxx
xxxa
 
  
 
 5;1;0
51
2
46
1.2
166
16
2036
5.1.46
0560
0)56(
056)
21
2
1
2
1
2
2
2
23














Sol
xx
x
x
xxx
xxx
xxxb
 











5
9;0
5
90
950
0950
0)95(
095)
2
2
23
Sol
xx
xx
xx
xx
xxc
 
 
2. Equações do tipo .0,03  cbcomdax 
Forma de resolução: 
a
dxdaxdax  333 0 
14 
 
Exemplos 
 3
3
27
27
2
54
542
0542)
3
3
3
3
3







Sol
x
x
x
x
x
xa
  2
2
8
8
08)
3
3
3





Sol
x
x
x
xb
 
 
3. Equações do tipo ,023  dcxbxax 
Forma de resolução: 
Para a resolução deste tipo de equações, consideram-se todos os divisores de d e por meio 
de tentativas procura-se uma das raízes da equação. Encontrada a raiz e usando a regra de 
BRIOT-RUFFINI, obtêm-se as restantes raízes. 
Descrição da regra de Briot-Ruffini. 
Para montar o dispositivo de Briot-Ruffini, colocamos a raiz de Q(x) à esquerda e os coeficientes 
de P(x) à direita, além de reescrever o primeiro coeficiente na linha de baixo. Esse número será 
multiplicado por u e somado com o segundo coeficiente. O resultado será colocado abaixo do 
segundo coeficiente como vemos na imagem abaixo. Em seguida, esse valor encontrado será 
multiplicado por u e somado com o terceiro coeficiente, e o resultado será colocado abaixo do 
terceiro coeficiente. Repetimos esse procedimento até que se acabem os coeficientes. O último 
valor encontrado será o resto da divisão. Os demais valores encontrados na linha inferior serão 
os coeficientes do polinómio encontrado, lembrando que o último desses valores sempre 
acompanhará variável cujo expoente é zero. 
 
 
15 
 
Exemplos 
055) 23  xxxa 
Os divisores de 5 são:  5;1;1;5 D 
Substituindo no lugar de x um dos divisores, teremos: 
051510511.51 23  . Logo, 1 é uma das raízes da equação. Usando a regra de 
BRIOT-RUFFINI vamos encontrar as restantes raízes. 
 1 5 -1 -5 
 
 
1 
 + + + 
 5  1 6 
 1 6 5 0 
Factorizando fica: 
  
16
2036
5.1.461
05601
0561
2
2
2





x
xxx
xxx
 
 1;1;5
51
2
46
1.2
166
21
2
1
2
1






Sol
xx
x
x
 
 
010325) 23  xxxb 
Os divisores de 1 são:  10;5;2;1;1;2;5;10 D 
Substituindo no lugar de x um dos divisores, teremos: 
      010325010131215) 23 b . Logo, -1 é uma das raízes da equação. 
Usando a regra de BRIOT-RUFFINI vamos encontrar as restantes raízes. 
16 
 
 5 -2 3 10 
 
 
-1 
 + + + 
-10  -5 7 
 5 -7 10 0 
Factorizando fica: 
  
 
 1
em solução temNão,0
151
20049
10.5.471
0107501
010751
2
2
2







Sol
IR
x
xxx
xxx
 
Exercícios 
Resolva as seguintes equações 
a) 03  xx 
b) 03  xx 
c) 054 23  xxx 
d) 023  xx 
e) 0232 23  xxx 
f) 07 23  xx 
g) 064 23  xxx 
h) 0253  xx
 
EQUAÇÕES QUE SE REDUZEM À UMA EQUAÇÃO QUADRÁTICA.1. Equações biquadradas 
Chama-se equação biquadrada a uma equação da forma: 
0,,,024  aeIRcbacomcbxax . 
Esta equação pode ser considerada como equação quadrática relativamente a 2x , pois é 
equivalente a   0222  cbxxa . Fazendo a substituição tx 2 , obtemos a equação 
02  cbtat e assim podemos aplicar as teorias das equações quadráticas. 
Exemplos: 
04014) 24  xxa 
  04014 222  xx 
Seja tx 2 
Substituindo teremos: 
040142  tt 
 
36160196
40.1.414 2

 
 
410
2
614
1.2
3614
21
2
1
2
1





tt
t
t
 







4
10
2
2
2
x
x
tx  10;2;2;10
2
10
4
10
2
2















Sol
x
x
x
x
 
17 
 
03613) 24  xxb 
  03613 222  xx 
Seja tx 2 
Substituindo teremos: 
036132  tt 
 
25144169
36.1.413 2

 
 
49
2
513
1.2
2513
21
2
1
2
1





tt
t
t
 







4
9
2
2
2
x
x
tx 
 3;2;2;3
2
3
4
9
2
2














Sol
x
x
x
x
 
 
 
Exercícios 
Resolva as equações biquadradas, transformando-as em equações do 2º grau. 
a) 04174 24  xx 
b) 065 24  xx 
c) 09104 24  xx 
d) 043 24  xx 
e) 09374 24  xx 
f) 094016 24  xx 
g) 0127 24  xx 
h) 065 24  xx 
i) 03108 24  xx 
j) 04139 24  xx 
 
k) 03218 24  xx 
l) 01224  xx 
m)    4522 22  xxxx 
n)      2051122 2  xxxxx 
o)    024121 22  xx 
p)    622 222  xx 
q)   20922 xx 
r)     0706176 222  xx 
s)     1191022  xxxx
2. Equações do tipo 036  cbxax . 
A solução deste tipo de equações faz-se mediante a substituição tx 3 . Feito isto, 
obtemos a equação quadrática com a qual já sabemos lidar. 
 
 
 
18 
 
Exemplos: 
0910) 36  xxa 
   0910 323  xx 
Seja tx 3 
 
64
36100
9.1.410
0910
2
2



 tt
 
 
19
2
810
1.2
6410
21
2
1
2
1





tt
t
t
 







1
9
3
3
3
x
x
tx 
 3
3
3
3
9;1
1
9
1
9














Sol
x
x
x
x
 
 
 
02726) 36  xxb 
   02726 323  xx 
Seja tx 3 
 
784
108676
27.1.426
02726
2
2



 tt
 
271
2
2826
1.2
78426
21
2
1
2
1





tt
t
t
 







27
1
3
3
3
x
x
tx 
 1;3
3
1
27
1
3
3














Sol
x
x
x
x
 
 
 
Exercícios 
Resolva as seguintes equações: 
a) 01610 36  xx 
b) 051256 36  xx 
c) 0375122 36  xx 
d) 0729730 36  xx 
e) 08018 36  xx 
f) 01296210 36  xx 
g) 0178 36  xx 
h) 016 x 
i) 01000117 36  xx
 
 
 
 
19 
 
 TEMA: Equações irracionais 
 Inequações irracionais 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
Chama-se equação irracional a toda equação que apresenta incógnita sob o radical. 
Exemplos: 
a) 91 x 
b) 123 x 
c) 1023 x 
d) xx  3624
Resolução de equações irracionais 
1. Separa-se os radicais estando em membros diferentes; 
2. Eleva-se ao quadrado, cubo, quarta potência (conforme o índice do radical), ambos os 
membros da equação, para eliminar a raiz quadrada, cúbica, quarta, respectivamente e 
libertar a incógnita no radical; 
3. Resolve-se a equação e encontra-se o valor da incógnita; 
4. Faz-se a verificação do resultado encontrado e apresenta-se a solução final. 
Exemplos: 
 
 61
61
364
643
83
83
2103
1023)
22








Sol
x
x
x
x
x
x
xa
 
Verdade
xPara
1010
1028
10264
102361
61
oVerificaçã
?
?
?





 
   






Sol
x
x
x
x
xb
4
31
13
13
13)
22
 
 
 
Verificação 
Falso
xPara
11
11
134
4
?
?




 
 
 
 
20 
 
   
 
64132196
33.1.414
03314
0336212
123632
.6.2632
632
632)
2
2
2
2
22
22








xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxc
 
 
 3
311
2
814
1.2
6414
21
2
1
2
1






Sol
xx
x
x
 
 
 
 
 Verificação 
Falso
xPara
55
525
5322
116311.2
11
?
?
?





 
 
Verdade
xPara
33
39
336
3633.2
3
?
?
?





 
 
 
   
813249
8.1.47
087
87
27
27)
2
2
2
3
3
3 2
3 2






xx
xx
xx
xxd
 
 
 8;1
18
2
97
1.2
817
21
2
1
2
1






Sol
xx
x
x
 
Verificação 
Verdade
xPara
22
28
25664
28.78
8
?
3
?
3
?
3 2





 
 
   
Verdade
xPara
22
28
271
21.71
1
?
3
?
3
?
3 2





 
 
Exercícios 
Resolva as seguintes equações irracionais: 
a) 71 x 
b) 213 x 
c) xx  93 
d) 2133 x 
e) 01132  xx 
f) 22  xx 
g) 526113 x 
h) 72  x 
i) 317  x 
j) 244 2  xx 
k) 1413  xx 
l) xx 23  
m) 1132  xx 
n) 292  xx 
o) 53  xx 
p) 112  xx 
q) 24 x 
r) 123.2  xx 
 
21 
 
INEQUAÇÕES IRRACIONAIS 
Inequação irracional é uma inequação em que há incógnita sob um ou mais radicais. 
Exemplos: 
33 x ; xxx  432 ; 331  xx 
Resolução de inequações irracionais 
Na resolução de inequações irracionais são validas todas as normas para a resolução de equações 
lineares. A única coisa adicional, é que faz-se a intersecção com o domínio de existência. 
Exemplos: 
223) xa
 
 











































2
3
2
3
6
3
2
63
3
2
243
3
2
423
23
223
023
223
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
 



 2;
3
2: xSol 
363) xb
 
 







































5
2
3
15
2
153
2
693
3
6
963
63
362
063
363
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
   ;5: xSol 
 
Exercícios 
Resolva as seguintes inequações irracionais: 
a) 352 x 
b) 532 x 
c) 3722  xx 
d) 173 x 
e) 2253 2  xx 
f) 23 
x
x 
22 
 
TEMA: Sistema de equações lineares à duas incógnitas (Revisão) 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES À DUAS INCÓGNITAS (REVISÃO) 
Sistema de equações lineares à duas incógnitas: é um conjunto de equações que devem ser 
satisfeitas pelos mesmos valores das incógnitas. 
A forma típica, canónica ou geral de um sistema de equações lineares à duas incógnitas é: 





22221
11211
byaxa
byaxa
 
Onde: 
quaisquer. reais números sãoe,,,, 2122211211 bbaaaa 
Métodos de resolução de sistema de equações lineares à duas incógnitas 
1. Método de substituição 
 Resolve-se uma das equações em ordem a uma das incógnitas; 
 Substitui-se o valor encontrado na outra equação; 
 Resolve-se a equação assim obtida; 
 Substitui-se o valor da incógnita na primeira equação. 
Exemplos: 
Resolva os sistemas pelo método de substituição: 





26042
90
)
yx
yx
a 




52
1132
)
yx
yx
b 
Resoluta: 
 
  40;50
40
50
40
4090
40
____
2
80
___
802
______
18026042
______
26042180
______
2604902
______
26042
90
26042
90
)























































Sol
y
x
y
x
yyyyy
yyyyyx
yx
yx
yx
a
 
23 
 
 


 


















______
112532
25
1132
)1(x/25
1132
52
1132
)
xx
xy
yx
xy
yx
yx
yx
b 


 











 



 



 

___
1
____
4
4
______
44
______
151162
______
116152 xxxxxxx
 


















3
1
25
1
1.25
1
y
x
y
x
y
x
 
  3;1 Sol 
2. Método de adição ordenada ou redução 
Para resolver um sistema de equações pelo método de adição ordenada, faz-se com que uma das 
incógnitas tenha coeficientes simétricos e depoisadicionando-se as duas equações membro a 
membro, elimina-se a incógnita em causa. 
Exemplos: 
Resolva pelo método de adição ordenada: 





634
82
)
yx
yx
a 





743
132
)
yx
yx
b 
Resolução: 
a) 
 
b) 
 
 
  2;3Sol 












17
11;
17
25Sol 
24 
 
3. Método misto 
O método misto consiste na aplicação simultânea dos métodos de adição ordenada e de 
substituição na resolução de um sistema de equações lineares. 
Exemplos: 
Resolva pelo método misto, os seguintes sistemas de equações: 





2463
326
)
yx
yx
a 





138
664
)
yx
yx
b 
Resolução 
a) 
 
  5;2
5
6
30
306
2326
3262
326







Sol
y
y
y
y
y
yx
 
b) 
 
     











 








9
11;
3
1
9
11
18
22
2218
41818
133
3
466
66
3
1.4
664
Sol
y
y
y
y
y
y
yx
 
 
 
 
 
25 
 
4. Regra de Cramer 
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema de equações lineares, mas só se 
utiliza nos sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. 
Forma de resolução usando o método de Cramer: 
Consideremos o sistema: 





22221
11211
byaxa
byaxa
 
1º. Calculamos o determinante principal, que consiste na extracção dos coeficiente do sistema e 
coloca-los da mesma posição que se encontra. De seguida multiplica-se os elementos da diagonal 
principal e subtraindo pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária. 
12212211
2221
1211 .. aaaa
aa
aa
 
2º. Calculamos o determinante de x, que consiste na substituição dos termos independentes na 
coluna de x. 
122221
222
121 .. abab
ab
ab
x  
3º. Calculamos o determinante de y, que consiste na substituição dos termos independentes na 
coluna de y. 
121211
221
111 .. baba
ba
ba
y  
4º. Encontra-se a solução do sistema pelas seguintes relações matemáticas: 


 xx e 


 yy 
:adespossibilid seguintes 
as se-Colocamo.determinad é não sistema o então)0(zero a igualfor principal tedeterminan o Se 
 impossível Sistema0,0
 adoindetermin Sistema00


xx
xx
 
 
26 
 
Exemplos: 
Resolva pela regra de Cramer, os seguintes sistemas de equações: 





432
3
)
yx
yx
a 





123
35
)
yx
yx
b 
Resolução 





432
3
)
yx
yx
a 
  5231.23.1
32
11


 
    5491.43.3
34
13


 x 
  10643.24.1
42
31


 y 
2
5
10;1
5
5












 yx yx 
  2;1Sol 





123
35
)
yx
yx
b 
  133101.32.5
23
15


 
  7161.12.3
21
13


 x 
4953.31.5
13
35
 y 
13
4
13
4;
13
7
13
7












 yx yx 












13
4;
13
7Sol 
 
Exercícios 
Resolva pelo método que julgar conveniente os seguintes sistemas: 
a) 





92
3
yx
yx
 
b) 





102
3
yx
yx
 
c) 





82
10
yx
yx
 
d) 





5653
2
yx
yx
 
e) 





952
74
yx
yx
 
f) 





1264
8
yx
yx
 
g) 





632
93
yx
yx
 
h) 





253
032
yx
yx
 
i) 





532
145
yx
yx
 
j) 





33
1
yx
yx
27 
 
TEMA: Sistema de equações lineares à três incógnitas 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES A TRÊS INCÓGNITAS 
Sistema de equações lineares à duas incógnitas: é um conjunto de equações que devem ser 
satisfeitas pelos mesmos valores das incógnitas. 
A forma típica, canónica ou geral de um sistema de equações lineares à duas incógnitas é: 








3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
 
 
Resolução de sistema de equações lineares à três incógnitas 
1. Método de substituição 
Resolva o sistema pelo método de substituição: 








343
32
132
zyx
zyx
zyx
 
Resolução: 
  
 





























332143
33212
__________
343
32
__________
343
32
321
343
32
132
yxyx
yxyx
zyx
zyx
zyx
zyx
yxz
zyx
zyx
zyx
 




























71311
1
______
71311
5:/555
______
431311
2355
______
312843
3642
__________
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
yxyx 
  


























1172
______
______
7131111
______
______
713111
______
______
71311
1
______
yyyyyyx
yx 
28 
 
















































2
3
2.33.21
2
3
______
2
21
______
2
______
______
2
4
______
______
42
______
______
y
x
z
y
x
y
x
yyy
 



























1
2
3
2
3
1
2
3
661
z
y
x
y
x
z
y
x
z
 
   1;2;3Sol 
2. Regra de Cramer. 
Os procedimentos usados na resolução de sistema de equações lineares a duas incógnitas, são os 
mesmo que se usam neste tipo de sistema de três equações a três incógnitas. A única diferença 
consiste no cálculo de determinantes. 
Vamos calcular determinantes usando a regra de Sarrus, que funciona da seguinte forma: 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
Repetimos as duas primeiras colunas a direita, e de seguida multiplicamos os elementos de cada 
diagonal, conforme está ilustrado abaixo. 
Regra de Sarrus para o cálculo de determinante 
 
Exemplos: 
Resolva os seguintes sistemas pelo método de Cramer 








8355
323
42
)
zyx
zyx
zyx
a 








422
332
1
)
zyx
zyx
zyx
b 
29 
 
Resolução 








8355
323
42
)
zyx
zyx
zyx
a 
    61233823381810515203
55
13
21
355
213
121




 
    6166566518408153212
58
13
24
358
213
124






 x 
  122675536161524409
85
33
41
385
233
141


 y 
  61832248152060308
55
13
21
855
313
421




 z 
1
61
61 


 xx ; 2
61
122





 yy ; 1
61
61 

 zz 
  1;2;1 Sol 








422
332
1
)
zyx
zyx
zyx
b 
  2119461432
21
12
11
221
312
111
 
  416206646122
24
13
11
224
313
111
 x 
30 
 
  219174123836
41
32
11
241
332
111
 y 
  41511861434
21
12
11
421
312
111
 z 
2
2
4 




 xx ; 1
2
2






 yy ; 2
2
4 



 zz 
  2;1;2 Sol 
Classificação de sistemas de equações lineares 
Um sistema de n equações e n incógnitas pode ser classificado da seguinte maneira: 
 Possível determinado: quando tem uma única solução. 
IRzyx  ,,0 
 Possível indeterminado: quando tem infinitas soluções. 
0,,0  zyx 
 Impossível: quando não tem solução. 
0,,0  zyx 
Exemplos: 
Resolva os sistemas e classifique-os: 








22
0423
52
)
zyx
zyx
zyx
a
 








223
12
32
)
zyx
zyx
zyx
b 








523
122
6
)
zyx
zyx
zyx
c 
Resolução: 








22
0423
52
)
zyx
zyx
zyx
a
 
31 
 
  131523162644
21
23
12
121
423
112







 
  26441804040810
22
20
15
122
420
115






 x
 
    13114114151606200
21
03
52
121
403
152
 y
 
  2642260103008
21
23
12
221
023
512





 z
 
2
13
26 




 xx ; 1
13
13






 yy ; 2
13
26 



 zz 
É um sistema possível determinado. 
 








223
12
32
)
zyx
zyx
zyx
b
 
    06666813262
13
12
21
213
112
121






 
   65151432146
12
11
23
212
111
123





 x
 
É um sistema impossível. 
32 
 








523
122
6
)
zyx
zyx
zyx
c
 
    03333243461
23
12
11
123
212
111



 
    01818181812452106
25
11
16
125
211
116



 
É um sistema possível indeterminado. 
 
 
Exercícios 
Resolva os seguintes sistemas que se seguem pelo método que achar mais fácil: 
a) 








322
332
1
zyx
zyx
zyx
 
b) 








12
22
1
zyx
zyx
zyx
 
c) 








187
235
3243
zyx
zyx
zyx
 
d) 








223
3322
33
zyx
zyx
zyx
 
e) 








234
222
1222
zyx
zyx
zyx
 
f) 








123
2332
12
zyx
zyx
zyx
 
g) 








1
1
42
zy
zyx
yx
 
h) 








122
524
2232
zyx
zyx
zyx
 
i) 








28510
6434
486
zyx
zyx
zyx
 
j) 








61063
41592
153
zyx
zyx
zyx
33 
 
Referências Bibliográficas 
FAGILDE, Sarifa A. Magide, Matemática 11ª classe, 1ª ed., Textos Editores, Moçambique, 2011 
IEZZI, Gelson, MURAKAMI, Carlos, Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 1, 3ª ed., Actual 
Ed., São Paulo, 1977 
NEVES, Maria Augusta Ferreira, et al, Matemática 11ª classe, Plural Editores, Moçambique, 2009 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-fracionaria.htm 
https://www.passeidireto.com/busca?q=resolva%20as%20equacoes%20biquadradas,%20transfor
mando-as%20em%20equacao%20do%202%20grau%20doc 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://
https://www.