CONE - FÓRMULAS E EXERCÍCIOS - QUESTÕES RESOLVIDAS

Prévia do material em texto

CONE – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rozário Brasil
RESOLUÇÕES DE QUESTÕES SOBRE CONES DO LIVRO: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR, VOLUME 10
(Fundamentos de Matemática Elementar, FME, Vol. 10, p. 241, questão 593) - Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diâmetro de sua base.
Solução
(i) No triângulo retângulo VOA destacado, temos:
10² = h² + 6² ----> 
100 = h² + 36 ----> 
h² = 100 – 36 ----> 
h² = 64 ---->
 
h = 8 cm
(FME, questão 594) Determine a medida do diâmetro da base de um cone de revolução cuja geratriz mede 65 cm, sendo 56 cm a altura do cone.
Solução(i) No triângulo retângulo VOA, por Pitágoras, temos:
(ii) Logo, o diâmetro da base do cone vale:
D = 2r ----> D = 2.33 -----> D = 66 cm
(FME, questão 595) Calcule a medida da altura de um cone de raio “r”, sabendo que sua base é equivalente à secção meridiana.
Solução
Devemos ter:
(i) Área da base: 
(ii) Área da secção meridiana: 
(iii) Como a base é equivalente à secção meridiana, devemos ter suas respectivas áreas iguais:
(FME, questão 596) Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é cm³.
Solução
r = ?
h = 3 cm
(FME, questão 597) Determine a medida do raio da base de um cone de revolução de altura 3 cm, sendo cm³ o seu volume.
Solução
r = ?
h = 3 cm
(FME – Questão 598) Um cone equilátero tem raio da base “r”. Calcule:
(a) A área lateral;
(b) A medida em radianos do ângulo do setor circular equivalente à superfície lateral;
(c) A área total;
(d) O volume.
Solução
(i) A secção meridiana de um cone equilátero é um triângulo equilátero, logo, sua altura é igual a altura do cone:
(2r)² = h² + r² ----> 4r² = h² + r² ----> h² = 4r²-r² --->
h² = 3r² ----> 
(a) Cálculo da área lateral:
(b) ângulo do setor circular:
(c) Cálculo da área total:
(d) Cálculo do volume:
(FME – Questão 599) Calcule o raio e a altura de um cone de revolução cujo desenvolvimento é um semicírculo de raio “a”.
(i) Considerando g = “a”. Sabemos que o ângulo é dado por:
(ii) Sendo: g² = r² + h², temos:
(FME – Questão 600) A geratriz de um cone mede 14 cm e a área da base cm². Calcule a medida da altura do cone.
Solução
g = 14 cm
Sendo:
(FME – Questão 601) Determine a medida da área lateral de um cone equilátero, sendo 20 cm a medida da sua geratriz.
Solução
g = 20 cm
(i) A altura do cone equilátero é dada por:
(ii) Sabemos que:
(iii) A área lateral do cone equilátero é dada por:
(FME – Questão 602) Determine a área total de um cone, cuja secção meridiana é um triângulo equilátero de 8 dm de lado.
Solução
	(i) No triângulo retângulo destacado ao lado, temos:
(ii) Pela figura, notamos que o raio do cone vale: 4 dm.
(iii) A área total do cone equilátero é dada por:
(FME – Questão 603) Determine a medida da área lateral e da área total de um cone de revolução, sabendo que sua altura mede 12 cm e sua geratriz 13 cm.
Solução
h = 12 cm
g = 13 cm
(i) Cálculo da área lateral:
(ii) Cálculo da área total:
(FME – Questão 604) Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total mede cm².
Solução
(i) 
A secção meridiana do cone equilátero é um triângulo equilátero cujo lado vale: L = 2r ----> 
(ii) A altura do cone equilátero é dada por:
(FME – Questão 605) Calcule a área total e o volume de um cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a cm².
Solução
(i) Cálculo da área total:
(ii) Cálculo do volume:
(FME – Questão 606) Determine a área lateral de um cone cujo raio da base mede 5 cm, sendo 60° o ângulo que a geratriz forma com a base do cone.
Solução
(i) Devemos ter:
(ii) No triângulo retângulo destacado ao lado, temos:
(iii) Substituindo (ii) em (i) temos:
(iv) Cálculo da área lateral:
(FME – Questão 607) Determine a área total de um cone cuja a altura mede 12 cm e forma um ângulo de 45° com a geratriz.
Solução
(i) No triângulo retângulo destacado ao lado, temos:
(ii) Cálculo do raio:
(iv) Cálculo da área total:
(FME – Questão 608) O raio da base de um cone mede 12 cm. Sabendo que a altura forma um ângulo de 60° com a geratriz do cone, determine a sua área lateral.
Solução(i) No triângulo retângulo destacado ao lado, temos:
(ii) Sabemos que:
(iii) Cálculo da área lateral:
(FME – Questão 609) A geratriz de um cone de revolução forma com o eixo do cone um ângulo de 45°. Sendo A, a área da secção meridiana do cone, calcule sua área total.
Solução
(i) Note que o triângulo retângulo VOA destacado é isósceles, logo:
h = r
(ii) Ainda no triângulo VOA, temos que a área da secção meridiana é:
(iii) Sabemos que:
(iv) Cálculo da área total:
(FME – Questão 610) A planificação da superfície lateral de um cone de revolução é um setor circular de 90°. Calcule a razão entre o raio da base do cone e a geratriz do cone.
O ângulo do setor circular é:
Solução
(FME – Questão 611) Determine a razão entre o raio da base e a geratriz de um cone de revolução, sabendo que o desenvolvimento da superfície lateral é um setor circular cujo ângulo mede 60°.
SoluçãoO ângulo do setor circular é:
(FME – Questão 612) Determine a altura de um cone, sabendo que o desenvolvimento de sua superfície lateral é um setor circular de 135° e raio igual a 10 cm.
Solução
(i) O ângulo do setor circular é dado por:
(ii) Cálculo da altura:
(FME – Questão 613) Determine o ângulo central (em graus) de um setor circular obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral de um cone cuja geratriz mede 18 cm e o raio da base 3 cm.
Solução
(FME – Questão 614) Determine a medida (em graus) do ângulo do setor circular resultante do desenvolvimento sobre um plano da superfície lateral de um cone cuja altura e cujo raio estão na razão 3/4.
 Solução
(ii) 
(FME – Questão 615) A área da base de um cone de revolução é 1/3 da área total. Calcule o ângulo (em graus) do setor circular que é o desenvolvimento da superfície lateral do cone.
Solução
(i) Devemos ter:
(ii) ângulo do setor circular:
(FME – Questão 616) O diâmetro da base de um cone circular reto mede 3 m e a área da base é 2/5 da área total. Calcule o ângulo (em graus) do setor circular que é o desenvolvimento da superfície lateral do cone.
Solução
(i) Diâmetro da base = 3 m -----> Raio da base r= 3/2 m
(ii) ângulo do setor circular:
(FME – Questão 617) Determine a área total de um cone, sendo 40 cm o diâmetro de sua base e 420 cm² a área de sua secção meridiana.
Solução
(i) Diâmetro da base = 40 cm -----> Raio da base r= 20 cm
(ii) Na secção meridiana a base do triângulo isósceles é igual ao diâmetro da base: b = 40 cm
(iii) Cálculo da geratriz:
(iii) Cálculo da área total:
(FME – Questão 618) Determine a superfície lateral de um cone cuja área da base mede , sendo 4 cm a medida da sua altura.
Solução
Altura: h = 4 cm
(ii) Cálculo da geratriz:
(iii) Cálculo da área lateral:
(FME – Questão 619) Um cone tem 8 cm de altura e 15 cm de raio. Outro cone tem 15 cm de altura e 8 cm de raio. Quanto a área lateral do primeiro excede a área lateral do segundo?
Solução
(i) Primeiro cone:
h = 8 cm
r = 15
(i) Cálculo da geratriz: 
(ii) Área lateral do primeiro cone: 
(iii) Segundo cone:
h = 15 cm
r = 8 cm
(iv) Cálculo da geratriz:
(v) Área lateral do segundo cone: 
(vi) Temos, então: 
(FME – Questão 620) Determine a medida da altura de um cone, sendo 42 cm o diâmetro da base e 1050 cm² sua área total.
Solução
h = ?
Diâmetro = 42 cm
Raio r = 21 cm
(i) Área total do cone = 1050 cm²
(ii) Cálculo da altura:
(FME – Questão 621) A altura de um cone circular reto cujo raio da base mede “r” é “. Sendo 3 cm a medida do apótema do hexágono regular inscrito na base, determine a área da secção meridiana do cone.
Solução
Raio da base = r
Altura do cone = 
Apótema do hexágo inscrito = 3 cm
(i) No triângulo retângulo destacado ao lado, “ap” é o apótema do hexágono. Logo:
(ii) A altura vale: 
(iii) Área da secção meridiana do cone:
(FME – Questão 622) O que ocorre com o volume de um cone de revolução se duplicarmos sua alturaE se duplicarmos o raio de sua base?
Solução
(i) Se sua altura vale “h”, se duplicarmos esta altura passa a ser: 2h, logo:
Resposta: O volume do cone dobra.
(ii) Se duplicarmos o raio r, este passará a valer: 2r, logo:
Resposta: O volume do cone quadruplica.
(FME – Questão 623) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são: a, b, c. Qual é a altura de um cone equivalente se o raio da base do cone mede “a”?
(i) Volume do paralelepípedo:
V =abc
(ii) Se o paralelepípedo e o cone são equivalentes, então, têm volumes iguais
(FME – Questão 624) O volume de um cilindro reto é e sua altura é 35 cm. Determine o volume de um cone de revolução, sendo sua base a mesma do cilindro e sua geratriz a geratriz do cilindro.
Solução
Pelo enunciado da questão: geratriz (g) do cilindro = altura (h) do cilindro, logo: g = h = 35 cm
Cálculo da altura do cone
Substituindo (ii) em (i), temos:
(FME – Questão 625) Determine o volume de um cone de revolução cuja secção meridiana é um triângulo isósceles de área 4,8 dm², sendo 3 dm a altura do cone.
Solução(i) A área da secção meridiana vale = 4,8 dm², logo:
O raio da base do cone vale: 
(ii) Volume do cone:
(FME – Questão 626) Determine a área lateral de um cone, sendo 3 cm a sua altura e 5 cm a soma da medida da geratriz com o raio da base.
Solução
Área lateral = ?
h = 3 cm
g + r = 5 cm -----> g = 5 – r 
Logo:
Cálculo da área lateral:
(FME – Questão 627) Determine a geratriz de um cone de revolução, sabendo que a área da base é equivalente à secção meridiana do cone e que a altura desse cone mede cm.
Solução
Geratriz = ?
Área da base = Secção meridiana
Altura = cm
Obs: Na secção meridiana a base é igual a: b = 2r
Cálculo da geratriz:
(FME – Questão 628) O volume de um cone de revolução é cm³, sendo 8 cm o lado do hexágono inscrito em sua base. Determine a relação entre a área total do cone e a área total de um cilindro que tenha o mesmo volume e a mesma base do cone. Calcule ainda a medida do ângulo do setor circular obtido do desenvolvimento da superfície lateral do cone.
Solução
Dados:
r = 8 
(a) Relação entre a área do cone e a área total do cilindro:
(b) Cálculo da medida do ângulo do setor circular obtido do desenvolvimento da superfície lateral do cone:
(FME – Questão 629) Com um setor circular de 120° e raio R, construímos um cone. Calcule a área total e o volume do cone.
Solução 1
Solução 2
Na base adotaremos o raio como: R/3, pois o setor de 120° é 3 vezes menor que a circunferência que tem 360°, logo:
Área da base
Área lateral
Área total = Área da base + Área lateral:
O volume de um cone é:
V=
Para descobrir o h, fazemos Pitágoras no triangulo que está na imagem em anexo.
h=
Substituindo:
V=
V=
(FME – Questão 630) Determine o ângulo central de um setor obtido pelo desenvolvimento da superfície lateral de um cone cujo raio da base mede 1 cm e cuja altura mede 3 cm.
Solução
Raio da base = 1 cm
Altura = 3 cm
A superfície lateral de um cone é um setor circular cujo comprimento do arco é 2.π.r, ou seja, é o comprimento da circunferência da base.
Como o raio da base mede 1 cm, o arco mede 
C= 2.π.1 ----> C= 2π
Pelo enunciado da questão, devemos ter:No triângulo retângulo destacado, temos:
O ângulo do setor é dado por:
(FME – Questão 631) Um cone circular reto tem 24 cm de altura e 7 cm de raio. Calcule em radianos a medida do ângulo do setor circular que se obtém pelo desenvolvimento da superfície lateral do cone.
Solução
h = 24 cm
r = 7 cm
Cálculo do ângulo do setor:
(FME – Questão 632) Um cone circular reto de altura h = 3 m tem área lateral igual a 6 m². Determine o ângulo que a geratriz g faz com a reta suporte da altura h.
 Solução
Pelo triângulo retângulo formado pela geratriz (hipotenusa), raio e altura (catetos):
Portanto:
(FME – Questão 633) Um cilindro e um cone têm mesmo volume e igual altura “h”. Determine o raio do cilindro em função do raio “r” da base do cone.
Solução
Sejam: 
R = raio do cilindro 
r = raio do cone
 
(FME – Questão 634) Calcule a altura, a área lateral e o volume de um cone de revolução de raio R e base equivalente à secção meridiana.
Solução(i) Cálculo da altura:
(ii) Cálculo da geratriz: 
(iii) Cálculo da área lateral:
(iv) Cálculo do volume:
(FME – Questão 635) Determine a razão entre a base e a superfície de um cone que tem altura igual ao diâmetro da base.
Solução
Altura (h) = Diâmetro da base ----> h = 2r ou r = h/2
Área total do cone:
Razão entre a base e a superfície do cone:
(FME – Questão 636) Sendo 7/5 a razão entre a área lateral e a área da base de um cone, determine a medida do raio da base e da geratriz, sabendo que a altura do cone mede cm.
Solução
 cm
(FME – Questão 637) Um cilindro e um cone têm altura “h” e raio da base “r”. Sendo “r” o dobro de “h”, determine a razão entre a área lateral do cilindro e a área lateral do cone.
Solução
r = 2h
(FME – Questão 638) Determine o volume de um cone cujo raio da base mede “r”, sendo “3r” a soma das medidas da geratriz com a altura do cone. 
Solução
g + h = 3r ----> g = 3r – h (i)
g² = h² + r² (ii) 
Substituindo (i) em (ii), temos:
(3r - h)² = h² + r² ----> 9r² - 6rh + h² = h² + r² ----> 8r² - 6rh = 0 : (r)----> 8r – 6h =0 ----> 
6h = 8r ----> h = 8r/6 
Volume do cone:
(FME – Questão 639) Calcule o raio da base de um cone de revolução, conhecendo a sua área total e sua geratriz “g”.
(Resposta: )
(FME – Questão 640) Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é igual a “A”, sabendo que a geratriz do cone é igual a 4/5 do diâmetro da base do cone.
Solução
(FME – Questão 641) Determine o volume de um cone de revolução, sendo 126 cm² sua área lateral e 200 cm² sua área total.
Solução
Substituindo (i) em (ii), resulta em:
Sendo:
Área da base:
Volume do cone
(FME – Questão 642) Calcule o volume de um cone equilátero em função de sua área total “S”.
Solução
(i) A secção meridiana de um cone equilátero é um triângulo equilátero, logo, sua altura é igual a altura do cone:
(2r)² = h² + r² ----> 4r² = h² + r² ----> h² = 4r²- r² ---> h² = 3r² ----> 
No cone equilátero: g = 2r
(ii) Área total = Área da base + Área lateral:
(iii) O volume do cone equilátero é dado por:
(FME – Questão 643) O raio da base, a altura, e a geratriz de um cone reto formam, nessa ordem, uma Progressão Aritmética (PA). Determine esses elementos, sabendo que o volume do cone é cm³.
Solução
PA (raio, altura, geratriz)
Seja “R” a razão da PA.
Sejam: 
Raio r = h – R
Altura = h
Geratriz = h + R
Temos:
Substituindo (iii) em (i), temos:
Sendo:
Resposta: 
Raio = ; altura = ; geratriz = 
(FME – Questão 644) Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto, obtém-se um setor circular de raio 10 cm e ângulo central 135°. Calcule o volume desse cone.
(FME – Questão 645) Um semicone reto tem altura igual ao raio e o volume é 576 cm³. Calcule a área lateral do semicone.
Solução
(FME – Questão 646) A geratriz de um cone de revolução mede 25 cm e a diagonal menor do hexágono regular inscrito na base do cone mede cm. Determine a área total e o volume do cone.
Solução
(FME – Questão 647) Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é 60 cm², sendo 4,8 cm a distância do centro da base à geratriz do cone.
Solução
(FME – Questão 648) O diâmetro da base de um cone mede os 3/5 da sua altura e a área lateral é 100 dm³. Calcule a medida da geratriz do cone.
Solução
(FME – Questão 649) Demonstre que o volume de um cone é igual ao produto da sua área lateral pela terça parte da distância do centro de sua base à geratriz do cone.
Solução
Sejam r = raio da baase, h = altura, g =geratriz, x = distância do centro O da base à geratriz, V o vértice, AOB um diâmetro da base
No triângulo retângulo VOB ---> r.h = x.g ---> x = h.r/g
S = pi.r.g
V = S.(x/3) ---> V = pi.r.g.(h.r/g)/3 ---> V = pi.r².h/3
(FME – Questão 650) Um sólido é formado pela superposição de cone sobre um cilindro de raio da base “r”. Sendo a altura do sólido o triplo doraio “r” e a área lateral do sólido o quíntuplo da área da base do cilindro, calcule o volume do sólido em função de “r”.
Solução
(FME – Questão 651) Um semicone tem área lateral igual a cm². Determine a medida da sua geratriz, sabendo que o raio da base tem medida igual à altura do semicone.
(FME – Questão 652) Determine a medida do raio da base e da geratriz de um cone, sendo “h” a medida de sua altura e m² a sua área total.
Solução
(FME – Questão 653) Calcule o volume de um cone de revolução, conhecendo a área lateral “A” e o apótema “g”.
(FME – Questão 654) Calcule o volume de um cone de revolução, conhecendo a área total “S” e a altura “h”.
Solução
(FME – Questão 655) Calcule o volume “V” de um cone de revolução em função de sua área lateral “A” e de sua área total “S”.
Solução
 
------------------------------------------------------------------
	Geometria Espacial – Celso do Rozário Brasil
	2