48 - EXERCÍCIOS DE CONE

Prévia do material em texto

<p>Exercícios de cone (com respostas</p><p>explicadas)</p><p>Os cones são sólidos geométricos de revolução que têm como características</p><p>uma base circular e um vértice.</p><p>Questão 1</p><p>Determine o volume de um cone com raio da base de 6 cm e altura de 5 cm.</p><p>Utilize .</p><p>Resposta: 180 cm³</p><p>Para determinar o volume de um cone, utilizamos a fórmula:</p><p>Substituindo os valores na fórmula, obtemos:</p><p>Questão 2</p><p>Determine a área total de um sólido de revolução formado a partir de um</p><p>triângulo retângulo isósceles de catetos iguais a 1 cm.</p><p>Resposta:</p><p>A revolução de um triângulo forma um cubo. Sendo o triângulo retângulo</p><p>isósceles de catetos igual a 1 cm, estas serão as medidas do raio e da altura.</p><p>A área total é a área da base mais a área lateral.</p><p>Área da base</p><p>Área lateral</p><p>Para o cálculo da área lateral, precisamos utilizar a figura de forma</p><p>planificada.</p><p>Assim, a área lateral de um cone é a área de um setor circular em que o arco</p><p>mede 2 R, logo:</p><p>O arco do círculo completo seria , em que g é a geratriz do cone.</p><p>Pelo teorema de Pitágoras:</p><p>Assim, o arco da circunferência completa seria cm.</p><p>A área do círculo completo:</p><p>Montando uma proporção, temos:</p><p>Substituindo os valores:</p><p>A área total do cone será:</p><p>área total = área da base + área lateral =</p><p>Questão 3</p><p>Em um cone com volume de cm³ e raio da base de 3 cm, determine a</p><p>medida de sua geratriz. Utilize .</p><p>Resposta:</p><p>Para determinar a geratriz do cone, precisamos do raio da base, fornecido no</p><p>enunciado, e da altura.</p><p>Podemos determinar a altura a partir do volume.</p><p>O volume de um cone é dado por:</p><p>Elevando os dois lados ao quadrado:</p><p>Substituindo o valor do raio:</p><p>Cálculo da geratriz.</p><p>Pelo teorema de Pitágoras:</p><p>Questão 4</p><p>Em festas de aniversário é comum o uso de um chapéu em forma de um</p><p>cone. Para sua fabricação é utilizado uma folha plana de papel, como no</p><p>molde a seguir.</p><p>Para produzir um chapéu na forma de cone com raio da base com 10 cm e</p><p>altura de 15 cm, qual deve ser a área do molde?</p><p>Resposta:</p><p>A área do setor circular pode ser calculada com um regra de três.</p><p>Onde:</p><p>Em que g é a geratriz do cone, calculada pelo teorema de Pitágoras.</p><p>Assim, o arco total é:</p><p>Substituindo os valores na regra de três:</p><p>Racionalizando para retirar a raiz do denominador:</p><p>Para um valor aproximado, podemos fazer e .</p><p>Questão 5</p><p>(EsPCEx 2014) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma</p><p>esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm³) é igual a</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>e) 3</p><p>RESPOSTA: Letra D</p><p>Gabarito explicado</p><p>Para determinar o volume do cone, é necessário obter o raio da base.</p><p>A vista lateral da figura é:</p><p>imagem</p><p>Identificamos um par de triângulos semelhantes. Pela proporção de seus</p><p>lados, obtemos o raio da base.</p><p>No triângulo retângulo maior, a base é o raio R e a altura é 4 cm.</p><p>No triângulo retângulo menor a altura é x, a hipotenusa é 3 cm e a base 1 cm.</p><p>Pelo teorema de Pitágoras:</p><p>Montando a proporção entre lados correspondentes:</p><p>Racionalizando:</p><p>Substituindo o raio na fórmula de volume:</p><p>Questão 6</p><p>(UFU-MG 2017) Um recipiente cônico utilizado em experiências de química deve ter</p><p>duas marcas horizontais circulares, uma situada a 1 centímetro do vértice do cone,</p><p>marcando um certo volume v, e outra marcando o dobro deste volume, situada H a</p><p>centímetros do vértice, conforme figura.</p><p>Nestas condições, a distância H, em centímetros, é igual a:</p><p>a) b) √3</p><p>c) 4/3 d) 3/2</p><p>RESPOSTA: Letra A</p><p>Questão 8</p><p>(Enem 2021) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos</p><p>descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:</p><p>• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm</p><p>e altura igual a 3,6 cm;</p><p>• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e</p><p>altura igual a 8,0 cm.</p><p>Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis,</p><p>fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro</p><p>circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y</p><p>centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber</p><p>água.</p><p>Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são</p><p>respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:</p><p>O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a</p><p>a) 2,664 cm. b) 7,412 cm.</p><p>c) 12,160 cm. d) 14,824 cm.</p><p>e) 19,840 cm.</p><p>RESPOSTA:Letra C</p><p>Gabarito explicado</p><p>O raio da base der possuir uma medida mínima que permita o consumo da</p><p>água, equivalente ao copo em forma de tronco de cone maior.</p><p>Satisfazendo esta condição, a do café já está automaticamente atendida.</p><p>O volume da caneca em forma de cilindro deve ser, pelo menos, igual ao do</p><p>copo grande.</p>