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Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Os seguintes exemplos e exercícios complementam o capítulo 11 do livro “Stewart, J. Calculo, Vol II.” Séries de Taylor e MacLaurin. Capítulo 11.10 1. Séries de Taylor e de MacLaurin. Lembramos que dada uma função f : R → R, define-se sua série de Taylor ao redor do ponto x = a como Taf(x) = ∞∑ n=0 f (n)(a) n! (x− a)n. (1) Como o lado direito da série de Taylor é uma série de potências, podemos calcular o raio de con- vergência usando algum método estudado anteriormente. Lembre também que f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f avaliada no ponto a. A série de MacLaurin, nada mais é do que a série de Taylor ao redor de x = 0; isto é, T0f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(0) n! xn. (2) Theorem 1. Se f admite uma representação (expansão) em série f(x) = ∞∑ n=0 an(x− a)n Então Taf(x) = ∑∞ n=0 an(x− a)n. Note que os coeficientes satisfazem an = f (n)(a) n! para cada n ≥ 0. Exemplo 1. Encontrar a série de MacLaurin da função f(x) = (1− x)−2 usando a definição e encontre o raio de convergência. Resolução. Precisamos primeiro achar (conjecturar) uma expressão geral para f (n)(0). Para isso, calculamos f (n)(0) para alguns valores de n. Sabemos que f (0) = f , logo f (0)(0) = f(0) = 1 (1−(0))2 = 1. 1 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Para n = 1, f (1)(x) = f ′(x) = ( 1 (1−x)2 )′ = 2 (1−x)3 ⇒ f ′(0) = 2. Para n = 2, f (2)(x) = f ′′(x) = 3·2 (1−x)4 ⇒ f ′′(0) = 3 · 2. Para n = 3, f (3)(x) = 4·3·2 (1−x)5 ⇒ f (3)(0) = 4 · 3 · 2. Resumidamente, n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 f (0)(0) = 1 f ′(0) = 2 f ′′(0) = 3 · 2 f (3)(0) = 4 · 3 · 2 Esses cálculos já são suficientes para conjecturar que f (n)(x) = (n+1)! (1−x)n+2 . Portanto, f (n)(0) = (n+ 1)! para todo n ≥ 0. Assim, substituindo na equação (2), a série de MacLaurin da função dada é T0f(x) = ∞∑ n=0 (n+ 1)! n! xn = ∞∑ n=0 (n+ 1)��n! ��n! xn = ∞∑ n=0 (n+ 1)xn. Para calcular o raio de convergência podemos usar, por exemplo, o Teste da Raiz, sabendo que limn→∞ n √ n+ 1 = 1: lim n→∞ n √ |(n+ 1) · xn| = lim n→∞ n √ (n+ 1) · |x|n = ��� ��� �:1 lim n→∞ n √ n+ 1 · lim n→∞ �n √ |x|�n = |x|. Para garantizarmos convergência, precisamos que |x| < 1. Portanto o raio de convergência da série de MacLaurin de f é R = 1. ■ Problema 1. Encontre o intervalo de convergência da série de MacLaurin achada no exemplo acima. Exemplo 2. Encontre a série de MacLaurin da função f(x) = sinh(x). Resolução. Como no exemplo anterior, calculamos f (n)(0) para alguns valores de n, para podermos “conjecturar” uma expressão geral. Por definição sinh(x) = ex − e−x 2 = 1 2 (ex − e−x). 2 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Assim, f (0)(0) = sinh(0) = 12(e0 − e−0) = 1 2(1− 1) = 0. Para n = 1, f ′(x) = 12(ex + e−x) ⇒ f ′(0) = 1. Para n = 2, f ′′(x) = 12(ex − e−x) ⇒ f ′′(0) = 0. Para n = 3, f (3)(x) = 12(ex + e−x) ⇒ f (3)(0) = 1. Em suma, n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 f (0)(0) = 0 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 0 f (3)(0) = 1 Com esses valores já podemos dizer que f (n)(0) = { 0 se n é par 1 se n é ímpar Assim, a série de MacLaurin fica T0f(x) = ∞∑ n=0 fn(0) n! xn = �� �� �� ��*0∑ n par fn(0) n! xn + ∑ n ímpar fn(0) n! xn = ∑ n ímpar 1 n! xn. Como todo número ímpar n ≥ 1 pode ser escrito na forma n = 2k+1, k ≥ 0 a série acima pode ser escrita como T0f(x) = ∑ n ímpar 1 n! xn = ∞∑ k=0 1 (2k + 1)! x2k+1. É comum voltar à variável original n, trocando k por n (isto não é necessário, é apenas costume!). Temos assim, T0f(x) = ∞∑ n=0 1 (2n+ 1)! x2n+1. Para calcularmos o raio de convergência, pela presença do fatorial, usamos o Teste da Razão com termo an = x 2n+1 (n+1)! : lim n→∞ |an+1/an| = ∣∣∣∣∣ x2(n+1)+1(2(n+ 1) + 1)!/ x2n+1(2n+ 1)! ∣∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ x2n+2+1(2n+ 3)!/ x2n+1(2n+ 1)! ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ x2���x2n+1(2n+ 3)(2n+ 2)�����(2n+ 1)! · ��� ��(2n+ 1)! ���x2n+1 ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣ x2(2n+ 3)(2n+ 2) ∣∣∣∣ = 0 < 1. Como o limite acima é L = 0, independente do valor de x, concluímos que o raio de convergência é R = ∞. ■ 3 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Exemplo 3. Determine a série de MacLaurin de f(x) = 3x2 − 6x+ 5 usando a definição e determine seu raio de convergência. Resolução. Como antes, calculamos f (n)(0) nos primeiros valores de n, para assim podermos determinar uma expressão geral. Para n = 0, f (0)(0) = f(0) = 5. Para n = 1, f ′(x) = 6x− 6, ⇒ f ′(0) = −6. Para n = 2, f ′′(x) = 6, ⇒ f ′′(0) = 6. Para n = 3, f (3)(x) = 0, ⇒ f (3)(0) = 0. Como f (3)(x) = 0, é claro que f (n)(x) = 0 para todo n ≥ 3, portanto, n = 0 n = 1 n = 2 n ≥ 3 f (0)(0) = 5 f ′(0) = −6 f ′′(0) = 6 f (n)(0) = 0 Assim, a série de MacLaurin é T0f(x) = ∞∑ n=0 f (n) n! xn = 2∑ n=0 f (n) n! xn + � � � � ��> 0 ∞∑ n=3 f (n) n! xn = f (0) 0! x0 + f ′(0) 1! x1 + f ′′(0) 2! x2 = 5− 6x+ 3x2. Como a série de Taylor é finita (os termos an = 0, para n ≥ 3), a série é convergente para qualque valor de x. Portanto, o raio de convergência é R = ∞. ■ Remark 2. O resultado acima não deve ser tão surpreendente, porque a série de MacLaurin de qualquer polinômio é o próprio polinômio. Exemplo 4. Sabendo que a função cos(x) tem expansão em série: cos(x) = ∞∑ n=0 (−1)nx2n (2n)! para todo x ∈ R, determine a série de MacLaurin de cos2(x). Resolução. Basta usar a identidade trigonométrica cos2(x) = 1 + cos(2x) 2 . Pois, conhecendo a expansão em série de cos(x), podemos calcular fácilmente a expansão em série de cos(2x). De fato, cos (2x) = ∞∑ n=0 (−1)n(2x)2n (2n)! = ∞∑ n=0 (−1)n22nx2n (2n)! . 4 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Logo cos2 x = 1 + cos(2x) 2 = 1 2 + 1 2 ∞∑ n=0 (−1)n22nx2n (2n)! = 1 2 + ∞∑ n=0 (−1)n22n−1x2n (2n)! . Como o raio de convergência da série ∑∞ n=0 (−1)nx2n (2n)! é R = ∞, o raio de convergência da série 1 2 + ∑∞ n=0 (−1)n22n−1x2n (2n)! tem que ser também R = ∞. ■ Exemplo 5. (a) Mostre que a função f(x) = ∞∑ n=0 xn n! é uma solução da equação diferencial y′ = y. (3) (b) Mostre que f(x) = ex. Resolução. (a) Se f é solução de (3), deveria verificar que f ′(x) = f(x). Observe que f(x) = 1 + x+ x2 2 + x3 3 · 2 + x4 4 · 3 · 2 + · · · Derivando essa função termo a termo obtemos f ′(x) = 1 + x+ x2 2 + x3 3 · 2 + x4 4 · 3 · 2 + · · · que coincide com f(x). Portanto f ′(x) = f(x) e portanto é solução de (3). (b) Sabemos que as soluções de (3) são múltimos da exponencial (as únicas funções cuja derivada coincide com ela mesma); isto é, as soluções de (3) são da forma ϕ(x) = a · ex, a ∈ R. Em particular, f(x) = a · ex para algum a ∈ R (já que foi provado em (a) que f é solução). Assim, a · ex = ∞∑ n=0 xn n! = 1 + x+ x2 2 + x3 3 · 2 + x4 4 · 3 · 2 + · · · Avaliando em x = 0, obtemos ae0 = 1 + 0 + 02 2 + 03 3 · 2 + 04 4 · 3 · 2 + · · · = 1 Portanto, a = 1 e logo f(x) = ex. ■ 5 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Exemplo 6. Determine a série de Taylor da função f(x) = e2x ao redor de a = −1. Achar o raio de convergência da série. Resolução. Calculamos as primeiras derivadas de f em a = −1 para conjecturar uma fórmula geral para f (n)(−1). Para n = 0, f (0)(x) = f(x) = e2x, ⇒ f(−1) = e−2. Para n = 1, f ′(x) = 2e2x, ⇒ f ′(−1) = 2e−2. Para n = 2, f ′′(x) = 4e2x, ⇒ f ′′(−1) = 4e−2. Para n = 3, f (3)(x) = 8e−2x ⇒ f (3)(−1) = 8e−2. Para n = 3, f (4)(x) = 16e−2x ⇒ f (4)(−1) = 16e−2. Em suma, n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 f (0)(−1) = e−2 f ′(−1) = 2e−2 f ′′(−2) = 4e−2 f (3)(−2) = 8e−2 16e−2 20e−2 21e−2 22e−2 23e−2 24e−2 A partir desses valores podemos conjecturarque f (n)(−1) = 2ne−2, para todo n ≥ 0. Portanto, T−1f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(−1) n! (x+ 1)n = ∞∑ n=0 2ne−2 n! (x+ 1)n. Para calcular o raio de convergência (devido à presença de factoriais), usamos o Teste da Razão: lim n→∞ ∣∣∣∣2n+1e−2(n+ 1)! (x+ 1)n+1/2ne−2n! (x+ 1)n ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣ 2��·2n��e−2(n+ 1)��n! (x+ 1)n · (x+ 1)/��2n��e−2��n! �����(x+ 1)n ∣∣∣∣ = lim n→∞ ∣∣∣∣2(x+ 1)n+ 1 ∣∣∣∣ = 0 < 1. Como o limite acima foi L = 0 para qualquer valor de x ∈ R, concluímos que o raio de con- vergência da série de Taylor é R = ∞. ■ Exemplo 7. Encontre a série de Taylor da função f(x) = log(x) ao redor de x = 2. Determine o raio de convergência. Resolução. Calculamos as derivadas para poder determinar uma expressão geral de f (n)(2). Para n = 0, f (0)(x) = log(x), → f (0)(2) = log(2). 6 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Para n = 1, f ′(x) = 1x , → f ′(2) = 1 2 . Para n = 2, f ′′(x) = − 1 x2 , → f ′′(2) = −14 . Para n = 3, f (3)(x) = 2 x3 , → f (3)(2) = 28 . Para n = 4, f (4)(x) = −3·2 x4 , → f (4)(2) = −3·216 . Em suma n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 f (0)(2) = log(2) f ′(2) = 12 f ′′(2) = −14 f (3)(2) = 28 f (4)(2) = − 616 log(2) (−1)0 · 0!2 (−1) 1 1! 22 (−1)2 2! 23 (−1)3 3! 24 De onde podemos concluir que f (0)(2) = log(2) e f (n)(2) = (−1)n−1 (n−1)!2n se n ≥ 1. Portanto, a série de Taylor é T2f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(2) n! (x− 2)n = f (0)(2) 0! (x− 2)0 + ∞∑ n=1 f (n)(2) n! (x− 2)n = log(2) + ∞∑ n=1 (−1)n−1(n− 1)! 2nn! (x− 2)n = log(2) + ∞∑ n=1 (−1)n−1 n2n (x− 2)n. O raio de convergência pode ser calculado usando o Teste da Raiz, sabendo que limn→∞ n √ n = 1: lim n→∞ n √∣∣∣∣(−1)n−1n2n (x− 2)n ∣∣∣∣ = limn→∞ n √ |x− 2|n n2n = lim n→∞ n √ |x− 2|n n √ n n √ 2n = |x− 2| 2 1 limn→∞ n √ n = |x− 2| 2 Pelo Teste da Raiz, para que a série convirga, precisamos que |x−2|2 < 1. Assi, |x − 2| < 2 e portanto, o raio de convergência é R = 2. ■ Exemplo 8. Encontre a série de Taylor de f centrada em x = 4 se f (n)(4) = (−1)nn! 3n(n+ 1) . Qual é o raio de convergência da série de Taylor? Resolução. Pela definição da série de Taylor, temos que T4f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(4) n! (x− 4)n = ∞∑ n=0 (−1)n�n! 3n(n+1) ��n! (x− 4)n = ∞∑ n=0 (−1)n 3n(n+ 1) (x− 4)n. Para calcular o raio de convergência podemos usar, por exemplo, o Teste da Raiz, sabendo que limn→∞ n √ n+ 1 = 1: 7 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro lim n→∞ n √∣∣∣∣(−1)n(x− 4)n3n(n+ 1) ∣∣∣∣ = limn→∞ n √ |x− 4|n 3n(n+ 1) = lim n→∞ n √ (x− 4)n n √ 3n n √ n+ 1 = lim n→∞ |x− 4| 3 n √ n+ 1 = |x− 4| 3 O Teste da Raiz garante a convergência da série somente quando |x−4|3 < 1, ou seja, quando |x− 4| < 3. Portanto, o raio de convergência da série é R = 3. ■ Exemplo 9. Determine a série de Taylor de f(x) = 3x2 − 6x+ 5 ao redor de x = −1. Achar seu raio de convergência. Resolução. Como temos feito até agora, devemos achar os valores de f (n)(−1) para alguns valores de n, para podermos determinar uma expressão geral. Para n = 0, f (0)(−1) = f(−1) = 14. Para n = 1, f ′(x) = 6x− 6, logo f ′(−1) = −12. Para n = 2, f ′′(x) = 6, logo f ′′(−1) = 6. Para n = 3, f (3)(x) = 0, logo f (3)(−1) = 0. É fácil ver que f (n)(−1) = 0 para todo n ≥ 3. Em suma, n = 0 n = 1 n = 2 n ≥ 3 f (0)(−1) = 14 f ′(−1) = −12 f ′′(−1) = 6 f (n)(−1) = 0 Assim, T1f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(−1) n! (x+ 1)n = 2∑ n=0 f (n)(−1) n! (x+ 1)n + ��� ��� ��� ��:0∞∑ n=3 f (n)(−1) n! (x+ 1)n = 14− 12(x+ 1) + 6 2 (x+ 1)2 = 14− 12(x+ 1) + 3(x+ 1)2. Como a série é finita, o raio de convergência é R = ∞. ■ Exemplo 10. Determine a série de MacLaurin de f(x) = { x−sen(x) x3 se x ̸= 0 1/6 se x = 0. 8 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Resolução. Como f(x) = x−sen(x) x3 para todo x ̸= 0, a série de MacLaurin de f coincide com a série de MacLaurin de x− sen(x) x3 . Lembremos que sen(x) admite uma série de potências sen(x) = ∞∑ n=0 (−1)nx2n+1 (2n+ 1)! = x− x 3 3! + x5 5! − x 7 7! + · · · Logo x− sen(x) = x− ( x− x 3 3! + x5 5! − x 7 7! + · · · ) = �x−�x+ x3 3! − x 5 5! + x7 7! − · · · = x3 ( 1 3! − x 2 5! + x4 7! − · · · ) Portanto, x− sen(x) x3 = 1 3! − x 2 5! + x4 7! − · · · = ∞∑ n=0 (−1)n (2n+ 3)! x2n ■ Exemplo 11. Use séries para calcular o limite lim x→0 1− cosx 1 + x− ex . Resolução. Lembremos que • ∞∑ n=0 (−1)n (2n)! x2n = 1− x 2 2! + x4 4! − x 6 6! + · · ·. • ∞∑ n=0 xn n! = 1 + x+ x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + · · ·. 9 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Re-escrevendo, 1− cosx 1 + x− ex = 1− ( 1− x22! + x4 4! − x6 6! + · · · ) 1 + x− ( 1 + x+ x 2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + · · · ) = �1− �1 + x 2 2! − x4 4! + x6 6! − · · · ���1 + x−���1− x− x22! − x3 3! − x4 4! − x5 5! − · · · = ��x 2 ( 1 2! − x2 4! + x4 6! − · · · ) ��x 2 ( − 12! − x 3! − x2 4! − · · · ) = 1 2! − x2 4! + x4 6! − · · · − 12! − x 3! − x2 4! − · · · Usando a continuidade das séries de potências, obtemos lim x→0 1− cosx 1 + x− ex = lim x→0 1 2! − x2 4! + x4 6! − · · · − 12! − x 3! − x2 4! − · · · = 1/2! −1/2! = −1. ■ Exemplo 12. Encontrar a soma das seguintes séries: (a) ∞∑ n=0 (−1)nx4n n! . (b) 1− log(2) + log 2(2) 2! − log 3(2) 3! + · · ·. (c) ∞∑ n=0 (−1)nπ2n 62n(2n)! . Resolução. (a) Como aparece o termo n! no denominador do n-ésimo termo da série, uma primeira possibilidade é que essa série de potências represente alguma variante da função expo- nencial. Lembramos que • ex = ∞∑ n=0 xn n! . Então, manipulando nossa série dada, tentaremos chegar numa expressão similar à da exponen- cial. ∞∑ n=0 (−1)nx4n n! = ∞∑ n=0 (−1)n(x4)n n! = ∞∑ n=0 (−x4)n n! Da última série, podemos ver que ∞∑ n=0 (−1)nx4n n! = ∞∑ n=0 (−x4)n n! = e−x 4 . ■ 10 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro (b) Primeiro, vamos escrever a expressão em (b) como uma série expressada em somatório. Para isso, começamos observando que os termos da série vão alternando seu sinal, portanto o termo (−1)n deve aparecer na série. Agora é fácil ver que 1− log(2) + log 2(2) 2! − log 3(2) 3! + · · · = ∞∑ n=0 (−1)n logn(2) n! = ∞∑ n=0 (− logn(2))n n! Fazendo x = − log(2) na expanssão da exponencial, obtemos ∞∑ n=0 (− logn(2))n n! = e− log(2) = 1 elog 2 = 1 2 . ■ (c) Observe que ∞∑ n=0 (−1)nπ2n 62n(2n)! = ∞∑ n=0 (−1)n (2n)! (π 6 )2n . e como sabemos cos(x) = ∞∑ n=0 (−1)nx2n (2n)! Portanto, se avaliamos x = π/6 na expanssão em série da função coseno obtemos a soma desejada. Assim, ∞∑ n=0 (−1)nπ2n 62n(2n)! = cos(π/6) = √ 3 2 . ■ Theorem 3 (Desigualdade de Taylor). Seja f : (a, b) → R uma função infinitamente difer- enciável. Se |f (n+1)(x0)| ≤ M para x0 ∈ (a−R, a+R), então |Rn(x0)| ≤ M (n+ 1)! |x0 − a|n+1. Exemplo 13. Considere a função f(x) = sen(x). (a) Determinar a série de Taylor de f ao redor de x = π/2. (b) Achar o raio de convergência da série anterior. (c) Achar o intervalo de convergência da série. (d) Mostrar que a Série de Taylor achada em (a) representa à função seno. Resolução. (a) Temos que determinar uma expressão para f (n)(π/2). 11 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Para n = 0 f (0)(x) = sen(x) ⇒ f (0)(π/2) = sen(π/2) = 1. Para n = 1 f ′(x) = cos(x) ⇒ f ′(π/2) = cos(π/2) = 0. Para n = 2 f ′′(x) = −sen(x) ⇒ f ′′(π/2) = −sen(π/2) = −1. Para n = 3 f (3)(x) = − cos(x) ⇒ f (3)(π/2) = − cos(π/2) = 0. Como f (4)(x) = f(x) vemos que as derivadas se repetem formando um ciclo. Por outro lado, observamos também que f (n)(π/2) = 0 se n é ímpar. Quando n é par,pode ser escrito como n = 2k. Aqui notamos que se k é par então f (n)(x) = sen(x), logo f (n)(π/2) = 1. Se k é ímpar, então f (n)(x) = −sen(x) e logo f (n)(π/2) = −1. Portanto, Tπ/2f(x) = ∞∑ n=0 f (n)(π/2) n! (x− π/2)n = ∑ n par f (n)(π/2) n! (x− π/2)n + ��� ��� ��� ��� ���:0∑ n ímpar f (n)(π/2) n! (x− π/2)n = ∑ k=0 f (2k)(π/2) (2k)! (x− π/2)2k = ∑ k=0 (−1)k (2k)! (x− π/2)2k Por costume, voltamos à variável n e obtemos Tπ/2f(x) = ∑ n=0 (−1)n (2n)! (x− π/2)2n (b) Para determinarmos o raio de convergência, usamos o Teste da Razão: lim n→∞ ∣∣∣∣ (−1)n+1(2n+ 2)!(x− π/2)2n+2/(−1)n(2n)! (x− π/2)2n ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣ (x− π/2)2(2n+ 2)(2n+ 1) ∣∣∣∣ = 0 Como o limite acima é L = 0 independente do valor de x, obtemos que R = ∞. (c) Todo R. (d) Vimos antes que f (n)(x) ∈ {sen(x), cos(x),−sen(x),− cos(x)}. Seja R > 0, então |f (n)(x)| ≤ 1 para qualquer x ∈ (−R,R) 12 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro (porque as funções seno e coseno são limitadas por 1). Portanto, se satisfazem as hipóteses da desigualdade de Taylor, logo Tπ/2(x) = f(x) para todo x ∈ (−R,R). Como R foi escolhido arbitrariamente, f(x) = Tπ/2f(x) para todo x ∈ R. ■ EXERCICIOS Exercício 1. Represente as seguintes integrais indefinidas como séries de potências: (a) ∫ sen(πx) πx dx. (b) ∫ e−x 2 dx. Pode dar uma aproximação do valor ∫ 1 0 e−x 2 dx? Exercício 2. Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência: (a) f(x) = cos( √ x). (b) f(x) = cosh(x). (c) f(x) =. (d) f(x) = ∫ x 0 cos( √ t)dt. Exercício 3. Determine a série de Taylor das seguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência: (a) f(x) = log(x) em x = 1. (b) f(x) = x 4x− 2x2 − 1 em x = 1. (c) f(x) = 1√ 1− x em x = 0. (d) f(x) = log(1− x), em x = 0. Exercício 4. Usando séries de potências, calcule os seguintes limites: (a) lim x→0 log(1− x2) x2 . (b) lim x→0+ cos( √ x)− 1 2x . Exercício 5. Achar a soma das seguintes séries numéricas: (a) ∞∑ n=0 1 ( √ 2)n . (b) ∞∑ n=0 (−1)n n . (c) ∞∑ n=0 (−1)nk2nπ2n (2n)! para todo k ∈ Z. 13 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Exercício 6. Achar a série de MacLaurin e o raio de convergência da função f(x) = 1 2− x . Na seguinte tabela, resumimos as séries de MacLaurin das funções mais importantes. 14 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro Função Série de MacLaurin Raio de convegência 1 1− x ∞∑ n=0 xn R = 1 ex ∞∑ n=0 xn n! R = ∞ sen(x) ∞∑ n=0 (−1)n (2n+ 1)! x2n+1 R = ∞ cos(x) ∞∑ n=0 (−1)n (2n)! x2n R = ∞ arctan(x) ∞∑ n=0 (−1)n 2n+ 1 x2n+1 R = 1 log(1 + x) ∞∑ n=1 (−1)n−1 n xn R = 1 (1 + x)k ∞∑ n=0 ( k n ) xn R = 1 senh(x) ∞∑ n=0 1 (2n+ 1)! x2n+1 R = ∞ cosh(x) ∞∑ n=0 1 (2n)! x2n R = ∞ 15 Cálculo II - Séries de Taylor e MacLaurin Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro ( k n ) = k(k − 1)(k − 2) · · · (k − (n− 1)) n! . 16
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