AOL 4 Cálculo integral rt

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AOL4 - Cálculo Integral 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - 
Questionário 
Nota finalEnviado: 06/12/21 15:10 (BRT) 
10/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo 
cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de 
áreas, volumes e comprimento de arcos de funções. 
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas 
podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais. 
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de 
revolução construído com eixo de rotação em x. 
III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de 
uma função. 
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de 
revolução construído com eixo de rotação y. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
2. 
V, V, F, F 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
5. 
V, F, V, V. 
2. Pergunta 2 
/1 
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os 
estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de 
algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos 
importantes de integração é o método conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e 
ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os 
passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os 
cálculos dessas integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 1, 3, 4, 5. 
2. 
2, 4, 1, 5, 3. 
3. 
5, 2, 3, 4, 1. 
4. 
3, 4, 2, 1, 5 
5. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
/1 
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em 
geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e 
facilmente solucionáveis. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos 
métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados 
descritos: 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em 
inúmeros casos de integrais. 
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. 
( ) Utilizado para integração de funções racionais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 1, 2, 3. 
Resposta correta 
2. 
2, 1, 3, 4. 
3. 
1, 2, 3, 4. 
4. 
3, 4, 2, 1. 
5. 
1, 2, 4, 3. 
4. Pergunta 4 
/1 
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, 
volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre 
curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e 
subtrações para a determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
1.png 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por 
meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e 
lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) 
e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de 
um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as 
seguintes integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma 
integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
V, F, F, V. 
3. 
V, F, V, F. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
F, V, F, F. 
5. Pergunta 5 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que 
a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações 
no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são 
as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico 
equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou 
translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas 
de integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito 
substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a 
raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser 
integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem 
na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da 
substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se 
recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades 
trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de 
substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x 
original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III. 
2. 
II e IV. 
3. 
I, II e III. 
Resposta correta 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e IV. 
6. Pergunta 6 
/1 
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar 
pela forma de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão 
dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a 
integrandos específicos, como é o caso do método de integração por 
substituições trigonométricas. 
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por 
substituições trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
II. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
III. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
IV. ( ) é um integrando que pode ser resolvido por substituição 
trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
2. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
F, V, F, V. 
7. Pergunta 7 
/1 
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas 
do cálculo por nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de 
uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra técnica de 
integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma 
função e a separamos em duas partes para acharmos sua integral 
indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e 
de acordo com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise 
as afirmativas a seguir. 
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia 
para a derivação. 
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a 
integral de v.du. 
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente 
para a derivação. 
IV. Assim como na derivação, existem regrasque sempre garantem a 
obtenção da integral indefinida de uma função. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I, e IV. 
3. 
II e IV. 
4. 
I e II. 
Resposta correta 
5. 
I, II e III. 
8. Pergunta 8 
/1 
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou 
seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente 
determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um 
dos métodos importantes de integração é o método conhecido como 
integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e 
ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os 
passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
3, 4, 2, 1, 5. 
2. 
2, 4, 1, 3, 5. 
Resposta correta 
3. 
2, 1, 3, 4, 5. 
4. 
2, 4, 1, 5, 3. 
5. 
5, 2, 3, 4, 1. 
9. Pergunta 9Crédito total dado 
/1 
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de 
uma integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para 
encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, 
dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por 
diferentes técnicas de integração, como o método da substituição, o da 
integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral 
indefinida e definida pelo método de integração por partes e com seus 
conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra 
da integração por partes, por se tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é 
aproximadamente igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, F. 
2. 
F, V, F, V. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
F, V, V, V. 
Resposta correta 
5. 
V, F, F, V. 
10. Pergunta 10 
/1 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no 
que diz respeito à integração de funções mais complexas do que as 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se 
encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua 
integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de 
integração por substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e 
a relação proposta entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada 
pelo método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 
2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e 
com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e 
como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula 
inicial e integrando, encontramos a expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I 
2. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
5. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta