Cálculo Integral de Uma Variável - Livro Texto Unidade IV

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APLICATIVO DE INFORMÁTICA
7 USANDO O MAXIMA NO CÁLCULO INTEGRAL
Software Livre
Fundação Software Livre América Latina1 
Entendemos que um software seja livre quando ele for licenciado por meio de termos que respeitem 
as seguintes liberdades de seus usuários:
•	 A liberdade de executar o programa para qualquer propósito (liberdade nº 0).
•	 A liberdade de estudar como o programa funciona e adaptá-lo as suas necessidades (liberdade 
nº 1). Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade.
•	 A liberdade de redistribuir cópias, de modo que você possa ajudar o seu próximo (liberdade nº 2).
•	 A liberdade de aperfeiçoar o programa e distribuir os seus aperfeiçoamentos, de modo que 
toda a comunidade se beneficie (liberdade nº 3). Acesso ao código-fonte é um pré-requisito 
para esta liberdade (AUSLA, 2011).
 Saiba mais
Você pode saber mais sobre software livre, acessando: 
<http://www.fsfla.org/svnwiki/about/what-is-free-software.pt.html>
7.1 Maxima: o software, a instalação e os recursos básicos
7.1.1 Origens e potencialidades do Maxima
Nós, professores de matemática, durante nossa carreira profissional utilizamos alguns softwares 
computacionais, seja no auxílio à preparação de aulas, na resolução de problemas e exercícios, na 
elaboração de projetos e preparação de atividades ou em aulas a serem desenvolvidas com nossos alunos. 
1 Alexandre Oliva e Pedro Antonio Dourado de Rezende – Fundação Software Livre América Latina. Disponível em: 
<http://www.fsfla.org/svnwiki/texto/pref-const-br-swl.pt>. Acesso em: 12 fev. 2012.
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Aqui, em nosso curso de Matemática da UNIP, oferecemos uma introdução a alguns softwares livres ou 
gratuitos (Winplot, Maxima, Mupad) para que no desenvolvimento de suas funções profissionais você, 
já sendo possuidor de alguma familiaridade com pacotes computacionais, possa fazer uso e aprofundar 
seus conhecimentos conforme suas necessidades ou seus interesses. 
Nessa disciplina, apresentaremos a você o Maxima, um software livre e gratuito. O Maxima é um 
pacote computacional para cálculos matemáticos, semelhante aos softwares MatLab, Mathematica e 
Maple, que não são livres nem gratuitos e representam alto custo aos usuários. O Maxima é um sistema 
de álgebra computacional para trabalharmos com expressões numéricas e simbólicas. O pacote pode 
ser baixado no seguinte endereço: <http://MAXIMA.sourceforge.net>; também se encontra postado em 
nosso Blackboard. 
O Maxima tem sua origem no sistema Macsyma (1968–1982), desenvolvido no Instituto de Tecnologia 
de Massachusetts – MIT. O MIT, em 1982, remanejou uma cópia/versão do código-fonte do Macsyma ao 
departamento de energia; essa versão é conhecida com Macsyma DOE (Departamento de Energia). 
O professor William F. Schelter (2001†) obteve, em 1998, permissão para liberar o código-fonte 
sob a GNU General Public License – GPL. A sobrevivência e a abertura do código-fonte do Maxima se 
deveram aos esforços e às habilidades de muitas pessoas, em especial do professor Schelter. Um grupo 
cada vez maior de colaboradores e usuários deram forma e disponibilizaram o Maxima a todos os que 
se interessassem. 
Para que você tenha noção da abrangência do Maxima, saiba que ele inclui: limites, diferenciação, integração, 
gráficos 2D e 3D, curvas de nível, séries de Taylor, transformações de Laplace, equações diferenciais ordinárias, 
sistemas de equações lineares, séries, listas, conjuntos, números complexos, vetores, matrizes, determinantes, 
autovalores e autovetores, raízes de polinômios, polinômio característico, entre outras possibilidades.
7.1.2 Baixando e instalando o Maxima
 
A versão que iremos usar do Maxima ficará disponível para você baixar dentro do site da própria 
UNIP, em nosso curso, junto com o material dessa disciplina.
Instalação do Maxima
Após efetuar o download do software Maxima, dê dois cliques com o botão direito do mouse ou 
selecione o ícone (figura 36) e pressione a tecla Enter:
Figura 36 – Ícone do instalador do Maxima
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Após executar o instalador do software, a primeira tela que aparece é para selecionar a língua de 
instalação do software (figura 37); como padrão está a língua inglesa, mas, clicando nas opções, pode-se 
escolher a opção Português do Brasil (figura 38). Após selecionar a língua, basta clicar em Ok para 
prosseguir com a instalação:
Figura 37 – Línguas disponíveis para instalação
Figura 38 – Selecionando a língua portuguesa (Brasil)
Atenção: Existem algumas razões para que, mesmo seguindo os passos indicados acima, você não 
consiga ter a versão em português do Maxima (não entraremos nesse mérito). Apresentamos a imagem 
em português, uma vez que lhe será mais significativa. Qualquer que seja o idioma em que o pacote for 
instalado, a posição dos temas, das funções ou das operações será sempre a mesma. Com essa versão 
em português, ficará fácil você compreender o que aparece em sua tela. Tudo tem um lado positivo; 
se sua versão permanecer em inglês, além de aprender a ser um usuário desse pacote computacional, 
você também irá agregar aos seus conhecimentos novos termos técnicos em inglês. Dessa forma, você 
poderá e saberá transitar em qualquer versão do Maxima e aumentará o entendimento de termos em 
outros pacotes computacionais.
Voltemos à instalação do Maxima. O próximo passo é o Contrato de Licença de Uso; basta ler os 
termos, ativar a opção Eu aceito os termos do contrato e clicar em Avançar para continuar. A figura 
4 mostra a tela como é apresentada e a opção Eu aceito os termos de Contrato já selecionada: 
 
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Figura 39 – Licença de contrato de uso
Após as configurações iniciais de instalação, é apresentada uma tela de boas-vindas do assistente de 
instalação (figura 40); basta clicar em Avançar e prosseguir com a instalação do software:
Figura 40 – Boas-vindas do instalador
A próxima tela apresenta as seguintes informações:
•	 Usuários do sistema operacional MS Windows 9X devem ler a sessão referente à falta de espaço 
para ambiente no arquivo Readme.
•	 Se a interface do software Maxima não funcionar, leia a sessão referente à firewall no arquivo Readme.
 
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A figura 41 ilustra a parte que contém essas informações; depois de lidas, clique em Avançar para 
prosseguir com a instalação: 
Figura 41 – Informações gerais
 O passo seguinte da instalação consiste em definir o diretório para instalação do Maxima. A figura 
42 mostra o diretório-padrão escolhido pelo instalador; caso deseje mudar o diretório destino, clique no 
botão Procurar... e defina o diretório de sua preferência. Após definir o diretório ou aceitar o padrão, 
clique em Avançar para continuar com a instalação: 
 
Figura 42 – Definição do diretório de instalação do Maxima
A tela seguinte do instalador (figura 43) é referente aos componentes a serem instalados. Por padrão, 
é definido Full installation ou instalação completa, que consiste em todos os componentes do software 
Maxima. Existem outras duas opções:
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•	 Compact installation ou instalação compacta: consiste somenteno Maxima core with command 
line interface.
•	 Custom installation ou instalação customizada: o usuário pode definir quais pacotes deseja instalar.
Por padrão, deixaremos a opção Full installation. Clique no botão Avançar para continuar com a instalação: 
Figura 43 – Componentes do Maxima
A tela seguinte (figura 44) confirma o nome da pasta em que serão salvos os atalhos no Menu 
Iniciar. Você pode alterar o nome, clicar em Procurar e definir outro local ou aceitar o padrão, como 
em nosso caso, clicar em Avançar para prosseguir com a instalação:
Figura 44 – Diretório do menu Iniciar
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A próxima tela define tarefas adicionais (figura 45) de como adicionar ícones à área de trabalho; por 
padrão, está definida a criação do ícone do Maxima na área de trabalho, basta clicar em Avançar e 
continuar com a instalação: 
Figura 45 – Tarefas adicionais
A próxima tela mostra as definições da instalação; basta clicar em Instalar para efetuar a instalação:
Figura 46 – Definições de instalação
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Após clicar em Instalar, ocorrerá a instalação do software Maxima. Espera-se a barra de progresso 
para o fim da instalação, conforme a figura 47:
Figura 47 – Progresso da instalação
Após a instalação, é exibida uma tela com informações gerais conforme a figura 48; basta clicar em Avançar:
Figura 48 – Informações gerais
Concluída a instalação, é exibida a tela da figura 49 clique em Concluir. O ícone do Maxima pode 
ser encontrado na área de trabalho, como na figura 50:
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Figura 49 – Instalação concluída
Figura 50 – Ícone do Maxima
7.1.3 A interface do Maxima
A interface wxMáxima é planejada para facilitar o uso do Maxima. A tela do programa é como está 
aparecendo a seguir (figura 51), que é a padrão para esta versão; possui 12 botões de atalho na parte inferior da 
tela abaixo da Entrada. Informo aos “futuros amantes do Maxima” que esta quantidade pode ser aumentada: 
Figura 51 – Interface do wxMaxima
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Caso deseje visualizar ou trabalhar com a versão completa, você deve clicar em Editar e selecionar 
Configurar no painel de botões; selecione a opção Completo (como ilustrado na figura 52) e clique em 
Ok. Caso não deseje, tudo bem, não vamos usar esses botões de atalho em nossa excursão pelo Maxima:
Figura 52 – Configuração do Maxima
Na sequência, você deve fechar o programa e abri-lo novamente. Após seguir os procedimentos 
anteriores listados, irá visualizar uma janela semelhante à que apresentamos na figura 53:
Figura 53 – Interface do wxMaxima com painel de botões completo
Nessa imagem, pode-se observar a existência de 20 botões de atalho. Você também tem a opção de 
ocultar todos os botões de atalho. 
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O Maxima foi desenvolvido em C++ e possui o código-fonte aberto, que permite ser modificado e 
aprimorado por qualquer pessoa que se interesse e desenvolva o conhecimento suficiente para fazê-lo. 
Caso, no futuro, você queira desenvolver algum trabalho nesse sentido, este poderá ser configurado 
como um projeto de iniciação científica, tanto na Matemática quanto na Computação, que são ciências 
social e culturalmente construídas. 
O Maxima também possui potencialidades a serem desenvolvidas e existem características 
a melhorar. Saiba que é usual aprimorar programas computacionais. Existem pelo mundo 
pessoas investindo tempo, inteligência e paixão para fazê-lo. Um exemplo desses esforços 
está na busca por modificações no sentido de aumentar o número de funções existentes no 
programa hoje. 
Na versão que escolhemos para apoiar nossa disciplina, existe uma interface gráfica que permite ao 
Maxima trabalhar com matrizes de forma semelhante à que ocorre com o Winmat. Outras equipes se 
envolvem em fazer traduções2 em diversas línguas para as versões que são aprimoradas.
Para ter acesso ao manual virtual do Maxima, você pode clicar sobre o ícone na barra 
de ferramentas. Uma segunda forma é colocar o cursor na região Entrada, digitar o símbolo da 
interrogação (?), dar um espaço e teclar Enter. Se estiver com uma dúvida específica sobre um 
comando, você deve colocar o cursor na região Entrada, digitar o símbolo da interrogação (?), dar 
um espaço, digitar a primeira letra (também pode ser mais de uma) do comando pretendido e clicar 
Enter; o manual virtual abrirá na página com a sequência em ordem alfabética das funções que 
apresentam, como início, a(s) letra(s) que você digitou. Para sair do manual, basta clicar no ícone 
no canto superior direito da tela.
7.1.4 Recursos básicos no Maxima 
Você pode apoiar seus estudos, tanto no que se refere aos de cálculo quanto aos conteúdos de 
álgebra. No que se refere aos conteúdos de cálculo, podemos, entre outros, nos apoiar no Maxima 
para:
•	 fazer a representação gráfica de uma função em duas ou três dimensões; 
•	 calcular o limite de uma função; 
•	 calcular a(s) derivada(s) de uma função; 
•	 calcular a integral indefinida e/ou definida de uma função; 
•	 encontrar as frações parciais de uma equação racional;
•	 resolver equações diferenciais.
2 Para contribuir com a equipe do Maxima na tarefa de manter a tradução para o português sempre atualizada, 
envie um e-mail para <maxima@math.utexas.edu>. A fonte dessa informação está na página 1 do manual virtual dessa 
versão do Maxima.
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Sei que são muitos conceitos novos, mas saiba que no curso de matemática construirá campos 
de compreensão e aplicação em um deles. Mantenha a calma, estude sistematicamente, assista aos 
vídeos das aulas, participe ativamente do fórum de discussão, resolva reflexivamente as atividades 
solicitadas, faça suas pesquisas pessoais que esses conceitos, com o tempo, se constituirão como seus. 
Estude e tenha a postura que recomenda Walter Franco em uma de suas canções: mantenha “a mente 
quieta, a espinha ereta e o coração tranquilo”. Iremos desenvolver esses temas mais adiante. 
No que se refere aos conteúdos de álgebra, podemos, entre outros, nos apoiar no Maxima para:
•	 calcular determinantes; 
•	 operar com matrizes; 
•	 operar com vetores;
•	 resolver sistemas lineares; 
•	 encontrar as raízes ou zeros de um polinômio.
7.1.4.1 Iniciando e conhecendo o Maxima 
Para abrir o programa, você deve clicar sobre o ícone ; obterá a figura 54: 
Figura 54 – Inicializando o Maxima
Leia e feche a dica do dia. Ao iniciá-lo, saiba que você estará em um ambiente de trabalho que 
recebe e armazena os dados segundo linhas de comando. Você irá o tempo todo ler e interpretar 
as linhas de comando simbolizadas das seguintes formas (%i1), (%i2), [...], (%iN); N é um número 
natural. O i é uma abreviação da palavra input, termo da língua inglesa usado para designar 
entrada de dados. 
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As respostas às entradas serão dadas nas seguintes etiquetas: (%o1), (%o2), [...], (%oN). O o é uma 
abreviação da palavra output, que significa saída de dados. Uma vantagem dessa simbologia é que 
você poder fazer referência a uma entrada ou a um resultadopassado relacionando apenas pela etiqueta 
(figura 55):
Figura 55 – Uso de etiquetas e a mensagem do Maxima
O texto em inglês que aparece acima (figura 55) é sobre a versão do software. O local no 
qual se encontra oficialmente armazenado informa que o mesmo é livre e de domínio público e 
apresenta uma dedicatória à memória do professor William Schelter, um incansável defensor dos 
sotfwares livres e um dos responsáveis por incentivar o aprimoramento e a disponibilidade pública 
do Maxima. 
Caso deseje iniciar suas atividades sem que a mensagem-padrão ocupe a tela do seu computador, 
basta clicar em Editar, selecionar a opção limpar a tela e não verá mais a mensagem na sessão 
aberta. Aliás, você pode realizar o procedimento de limpar a tela sempre que considerar necessário, 
independentemente do que esteja registrado na tela. A única imagem que ficará visível é a indicação de 
qual será sua próxima “linha de comando”. 
Embora não visíveis na tela, as contas, as equações ou os comandos inseridos permanecem na 
memória virtual do Maxima e você pode retomá-los posicionando o cursor sobre a janela Entrada e 
clicando sobre a seta ↑(sentido para cima) em seu teclado. Se teclar uma vez, aparecerá na região de 
entrada o conteúdo (fórmula e/ou operação) do código da última linha de comando inserida, mesmo 
que a linha não esteja visível na tela. Clicando duas vezes, você recuperará o conteúdo do código da 
penúltima linha de comando e assim sucessivamente.
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Exemplo:
Veja como efetuamos as seguintes operações:
a) 220 b) 3+5 c) 5–13*2 d) 10/2–3 e) 2,5*2
Figura 56 – Exercícios
Para realizar os cálculos, inserimos na Entrada: para o item:
•	 2^20 e teclamos Enter, a resposta é automática;
•	 3+5 e teclamos Enter, a resposta é automática;
•	 5–13*2 e teclamos Enter, a resposta é automática;
•	 10/2–3 e teclamos Enter, a resposta é automática;
•	 2.5*2 e teclamos Enter, a resposta é automática.
 
 Lembrete
Quando inserimos 2,5*2 e teclamos Enter, a resposta é um alerta: 
Improper argument (em português, esse alerta está chamando sua 
atenção para o fato de você ter inserido um argumento impróprio, ou 
seja, você cometeu um erro).
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 Observação
Nunca se esqueça de que no Maxima, assim como ocorre nas calculadoras, 
os números decimais são escritos com ponto (no lugar da vírgula); por 
exemplo: 3,1415 [...]. Para inserirmos esse valor, devemos usar 3.1415; isso 
vale tanto no Maxima quanto no Mupad, no Maple etc. 
Isso se deve ao fato de a programação interna desses pacotes (e de boa parte das calculadoras) 
seguir o padrão da língua inglesa. Nunca use vírgula ao inserir um número, seja em calculadoras 
eletrônicas, seja em pacotes computacionais de nível internacional; o único pacote que foge a essa 
regra é o Excel. E se você digitar uma vírgula ao inserir um número, agora você já sabe o que acontece. 
Veja no quadro a seguir:
(%i13) 3,1415;
Improper argument to ev:1415 -- an error. To debug this try debugmode(true);
O programa está informando que você usou um argumento impróprio e avisa que é um erro. O que 
você deve fazer para corrigi-lo? Posicione o cursor na Entrada e clique a seta ↑	(sentido para cima) em 
seu teclado; recuperando a expressão 3,1415, delete a vírgula (,) e substitua pelo ponto (.), depois tecle 
Enter. Para ocultar qualquer entrada e sua correspondente saída, basta clicar na etiqueta, por exemplo, 
(%i13) de entrada que aparecerá em vermelho a seguinte mensagem (%i13) 
<< Unfold >>. Para recuperar a imagem ocultada, basta clicar sobre a mensagem 
<< Unfold >> que novamente você terá, nesse exemplo:
(%i13) 3,1415;
Improper argument to ev:1415 -- an error. To debug this try debugmode(true);
Atenção: após inserir o comando desejado na Entrada, deve-se pressionar o botão Enter para que 
o comando seja executado pelo Maxima.
7.1.4.2 Salvando arquivos e Maxima como editor de texto matemático simbólico
Salvando arquivos
O procedimento para salvar as operações e variáveis (inputs e outputs) que você realizou por meio 
do Maxima é muito simples; basta clicar sobre a barra de ferramentas na opção Arquivo e depois Salvar 
como (caso seja a primeira vez), depois será mostrada uma tela para você selecionar o diretório em que 
deseja salvar e o nome que deseja dar ao arquivo. Vale lembrar que a extensão com que o arquivo é salvo 
é a extensão WXM, que é uma sessão do wxMaxima:
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Figura 57 – Salvando uma sessão do wxMaxima
Após salvo a primeira vez por meio do procedimento descrito anteriormente, basta clicar no ícone 
do disquete para salvar o arquivo: 
Figura 58 – Salvar sessão
Usando o Maxima como editor simbólico matemático
 
Em nossos textos como professores de matemática, muitas vezes precisamos escrever fórmulas, 
expressões e símbolos. Fazemos isso, tanto em exercícios que propomos aos nossos alunos quanto ao 
elaborarmos provas, trabalhos e/ou projetos. Se nos apoiarmos no Maxima para verificarmos nossas 
propostas, podemos usá-lo também como editor de fórmulas e expressões simbólicas. Veja como 
proceder com o exemplo a seguir:
Exemplo:
 
Escrever a equação do segundo grau e copiar as fórmulas e expressões simbólicas obtidas por meio 
do Maxima:
x2 - 2x + 4 = 0
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Solução:
 Passo 1: digitamos a equação do segundo grau no campo de Entrada:, conforme a figura 59:
Figura 59 – Entrada da equação
Após a entrada da equação, obtemos a saída do Maxima de acordo com o exemplo a seguir, sendo 
%o1 a primeira equação na forma matemática que desejamos copiar: 
 (%i1) x^2 - 2*x + 4 = 0;
 (%o1) x2 - 2 x + 4 = 0
Passo 2: para copiarmos a equação %o1, damos um clique sobre ela (selecionamos a equação), de 
tal forma que ela fique com um fundo cinza, conforme a figura 60:
(%o1) x2 - 2x + 4 = 0
Figura 60 – Calculando a equação
Após selecionar a equação, vamos à opção Editar da barra de menu e selecionamos a opção Copiar 
como imagem, para então poder colar a equação, conforme a figura 61:
Figura 61 – Procedimento para copiar a equação
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Depois disso, colocamos as duas raízes da equação na entrada do Maxima (fórmula de Baskhara) e 
efetuamos o passo 2 para as duas raízes, conforme as figuras 62; 63; 64; 65:
Figura 62 – Primeira raiz da equação
x
b ac b
a
1
4
2
2
=
− − −
Figura 63 – Equação da primeira raiz
Figura 64 – Segunda raiz da equação
x
b ac b
a
2
4
2
2
=
− −
Figura 65 – Equação da segunda raiz
 Observação
Vale ressaltar que as fórmulas para as raízes da equação obtidas por 
meio do Maxima diferem da convenção adotada pelas literaturas, isto é, as 
raízes precedem o valor de –b no numerador.
7.1.4.3 O Maxima: operando numérica e algebricamente
Nessa sessão aprenderemos, apoiados em exemplos, a usar alguns comandos do Maxima para realizar 
uma série de operações matemáticas.
Operadores aritméticos 
Apresentaremos no quadro a seguir uma série de exemplos de como operar no Maxima. Apresentaremos 
tanto a sintaxe (como ordenar de forma escrita que algo seja feito no pacote computacional) quanto a 
prioridade (ordem de precedência) do operador:
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Quadro 1
Operador Ação Exemplo No MAXIMA Resultado no MAXIMA Prioridade
+ Adiciona 2/3 + 1/21 2/3 + 1/21; 5/7 1
- Subtrai 2/3 - 1/21 2/3 - 1/21; 13/21 1
* Multiplica 2/3 * 1/21 2/3 * 1/21 2/63 2
/ Divide (2/3) / (1/21) (2/3) / (1/21) 14 2
! Fatorial 5! 5!; 120 3
Fatorial 2 + 2 * 5! 2 + 2 * % ; * 242 3, 2, 1
∧ Potência
2 ∧ 10 2 ∧ 10, 1024 3
(1/4) ∧ (1/2) (1/4) ∧ (1/2); 1/2 3
a a=
1
2
Calcula a raiz 
quadrada de a
1024 sqrt(1024); 32 3
1024 ∧ (1/2) 1024 ∧ (1/2); 32 3
a amn
m
n
=
Calcula a enésima 
de a elevado a n 10 10
54
5
4
=
10 ∧ (5/4); 10 * 10 ∧ (1/4) 3
* Caso queira resgatar o resultado de um cálculo imediatamente anterior, basta usar o símbolo %
% Resgata o último resultado (UR)
5 + (UR) 5 + %; depende do (UR)
(UR) * 3 % * 3; depende do (UR)
Operação em cadeia
5! 5!; 120 3
2 + 2 * 5! 2 + 2 * % ; * 242 3, 2, 1
Precedência dos operadores
Ao avaliar uma expressão, o Maxima leva em conta a prioridade das operações; veja a última 
coluna do quadro anterior. As operações de maior prioridade (3 no quadro) são realizadas em 
primeiro lugar. Operações de mesmo grau de prioridade são realizadas na ordem em que aparecem 
na expressão, da esquerda para a direita. O uso de parênteses altera a prioridade. Você já deve 
ter percebido isso, quando realizou os procedimentos das letras 5–13*2 e 10/2–3, do exemplo 
anterior. 
Analisando as informações do quadro, você pode verificar que colocamos duas linhas para ação 
fatorial. Nossa intenção era trazer ao seu conhecimento o comando %, que resgata o último valor 
calculado e o insere em uma nova operação. 
 Lembrete
Revelo a você que eu, ao redigir o presente livro-texto, faço-o com o 
Maxima aberto em outra janela. Recomendo que, ao ler esse texto, faça-o 
com o Maxima aberto e vá realizando cada atividade na medida em que as 
lê ou estuda.
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Já tendo calculado 5! em meu computador, resolvi fazer uma conta que conseguíssemos ter o 
resultado por cálculo mental, de modo que usasse tal resultado. Essa é a razão que bastou que eu 
digitasse 2+2*%. Tentei esclarecer tal comando (%) na parte inferior da tabela.
 Resultados numéricos oferecidos pelo Maxima
O Maxima é programado para devolver os resultados mais exatos, porém, nem sempre é possível; 
isso significa que algumas vezes ele devolve uma expressão simbólica no lugar de um valor numérico. 
Veja os exemplos a seguir: 
•	 (i) (%i3) sqrt(2); (%o3) sqrt(2)
•	 (ii) (%i4) log(10); (%o4) log(10)
•	 (iii) (%i5) 2/3; (%o5) 2/3
Porém, muitas vezes não interessa saber o valor fracionário como no exemplo (iii), mas sim um valor 
aproximado. Para forçar o Maxima a nos devolver um resultado aproximado, usamos a expressão float 
(comando de entrada). Veja como ficam nossos exemplos: 
(i) (%i6) float(2/3); (%o6) 0.66666666666667 
(ii) (%i7) float(sqrt(2)); (%o7) 1.414213562373095 
(iii) (%i8) float(log(10)); (%o8) 2.302585092994046
Observação 1: Sabemos que log1010 = 1; consequentemente log(10) calculado no Maxima não foi 
log1010 e sim log
10
 e . Desta forma, ao inserirmos o comando log(x) nesse pacote computacional estamos 
esperando o resultado de um logaritmo na base e “e” não na base 10. Para calcular log e e digite na caixa 
de entrada log(%e) e tecle Enter; você obterá como resposta o valor 1.
O quadro a seguir ilustra como inserimos constantes e/ou símbolos especiais no Maxima:
Quadro 2
Algumas notações no Maxima
Nome Símbolo Representação no Maxima
Comando: valor 
aproximado Valor aproximado
Número de Euler e %e float(%e); 2.718281828
Pi p %pi float(%pi); 3.14592654
Raiz quadrada de 2 2 sqrt(2) float(sqrt(2)); 1.414213562
Logaritmo de 3 na base e In3 log(3) float(log(3)); 0.477121255
Infinito ∝ inf
i; nº complexo i = −1 %i
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Unidade IV
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 Observação
Você deve ter observado que até agora o símbolo % teve duas funções: 
chamar o último resultado obtido para inseri-lo em novo cálculo e para 
indicar que um símbolo é uma constante. Mas e % como porcentagem... se 
você entrar com 10% na caixa de Entrada do Maxima.
(%i1) 10%; Incorrect syntax: % is not an infix operator10%; ^ => ele 
não entende que é 0,1 e chama a sua atenção ao fato de que você está 
cometendo um erro. Fique atento!
Diferentemente de outras, essa versão diferencia letras maiúsculas de minúsculas; A: e a: são 
entendidas como declaração de variáveis diferentes. Consequentemente, se você entrar com sen(pi), ele 
procederá de forma diferente se entrar com sen(PI). 
Isto é, sen(PI) ≠ sen(pi). 
Abreviamos seno por sin em pacotes computacionais que têm a língua inglesa como base. Veja os 
resultados obtidos: 
(%i18) sin(%PI); (%o18); sin(%PI) 
Já (%i19) sin(%pi); (%o19) 0
 Lembrete
Há versões do Maxima que não diferenciam letra maiúscula de minúscula.
 Observação
(i) (a – b)* c é diferente de a – b*c.
(ii) O Maxima é um sistema no qual trabalhamos em linhas de comando. 
Você informa um comando na Entrada, obtém uma resposta e pode 
inserir o próximo comando.
(iii) Se quiser saber um valor aproximado, precisa usar a expressão 
float[...].
Exemplos:
Resolva as operações a seguir e expresse cada resultado nas formas fracionária e decimal: 
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
a b) _ * ) ,
2
3
2
1
4
2
2
5
15
2
4
3
2
2 3 2
2
3
1



 +



 + ( ) − +






+
−
−
33
3
10
3 11
2
2






c)
!
*
Resolução: 
a) (%i10) (2/3)^2–2*(1/4) + sqrt(2); (%o10) sqrt(2) – 1/18
Usando a tecla que tem a seta para cima “↑”, resgatamos o resultado já digitado. Na sequência, 
digitamos a palavra ou comando float e inserimos o comando já digitado em (i%10) dentro dos 
parênteses. Tecle Enter.
(%i11) float((2/3)^2 – 2*(1/4)+sqrt(2)); (%o11) 1.35865800681754
b) Para evitar erros de digitação ou que você venha a se perder nos parênteses, sugerimos que faça 
esse item em partes: 
Parte 1: (%i15) ((2^3)/5)^2; (%o15) 64/25
Parte 2: queremos resultado fracionário, logo, usamos o 1,5 na forma de fração 3/2 e obtemos:
 (%i16) (3/2)^(–2); (%o16) 4/9
Parte 3: subdivida e faça passo a passo para ser mais didático: 
(%i17) ((2^3)/(4+3/2))^(–1); (%o17) 11/16 
(%i18) ((2^3)/(4+3/2))^(–1)+ 1; (%o18) 27/16
(%i19) (((2^3)/(4+3/2))^(–1)+ 1)^2; (%o19) 729/256 
Parte 4: fazer a operação entre as partes: 
(1) + (2) – (3): (%i20)(64/25) + (4/9) – (729/256) 
 (%o20) 9031/57600 
(%i21) float(%); (%o21) 0.15678819444444
c) (%i22) sqrt((10!)/(3*11^2)); (%o22) (240*sqrt(21))/11
 (%i23) float(%); (%o23) 99.9834697081274
 
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Unidade IV
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Resultados algébricos e simbólicos oferecidos pelo Maxima
Mencionamos na abertura do apêndice que o Maxima efetua operações simbólicas, isto 
é, realiza operações algébricas como fatorar polinômios, expandir expressões algébricas, 
calcular raízes de uma equação polinomial, resolver sistemas de equações etc. Uma das 
mais importantes características desse aplicativo é que ele manipula e simplifica expressões 
algébricas. Podemos usar os operadores aritméticos para efetuar a simplificação de uma 
expressão algébrica.
Exemplo 1:
 
Simplifique a expressão: 3
1
3
2 2x a x a+ − +
Expressão3
1
3
2 2x a x a+ − +
Sintaxe 3*x^2+a–x^2+(1/3)*a;
Resultado 2
4
3
2x
a
+
Se colocada uma expressão, o Maxima conservará a forma simbólica: (%i10) (1+sqrt(3))^2; (%o10) 
( )3 12+
Dicas de formatação de fórmulas:
•	 Podemos dar espaço entre os operadores para melhorar a visualização das expressões na tela sem 
nenhum problema: 
(%i11) (1 + sqrt (3))^2; (%o11) ( )3 12+
•	 Se inserirmos o símbolo dólar ($) no final da linha de comando antes de teclar Enter, o Maxima 
omitirá o aparecimento do resultado na tela. Esses artifícios são usados quando pretendemos 
otimizar tempo e aparência da tela que exibe os cálculos. Ao colocarmos uma expressão, o Maxima 
conservará a forma simbólica da mesma.
Exemplo 2: 
 
Decompor 10! em função de seus fatores primos: 
 
Sabemos que 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3628800. O Maxima irá fazer a decomposição para nós; 
basta colocarmos o pronpt na caixa de entrada e digitar a palavra factor (número); veja abaixo:
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Sintaxe factor(10!);
Resultado 28 34 52 7
 Lembrete
Para decompor um número em fatores primos, esse número 
obrigatoriamente tem que ser um número natural.
Exemplo 3:
Decompor: x2 - 1
 
O Maxima também realiza decomposição de expressões algébricas; basta digitar a palavra factor 
(expressão); veja: 
Sintaxe factor(x^2-1);
Resultado (x - 1) (x + 1)
Uma limitação do comando factor é que ele não é um bom resolvedor de expressões, caso o 
componente numérico da fatoração seja um número não inteiro. 
Veja os dois exemplos:
(%i20) factor(x^2+1); (%o20) x^2+1: aqui não foi feita a fatoração.
(%i21) factor(x^2–1/4);(%o21) ((2*x–1)*(2*x+1))/4: aqui a resposta mais simples seria 
(x–1/2)*(x+1/2).
Exemplo 4:
Determine a forma expandida de (x - 2)4
Para obter a forma expandida de uma expressão qualquer, basta usar o comando expand (expressão) 
e clique Enter, veja:
Expressão (x - 2)4
Sintaxe expand((x–2)^4);
Resultado x4 - 8x3 + 24 x2 - 32 x + 16
Exemplo 5: 
Determine a decomposição parcial fracionária de 
13 25
62
x
x x
�
� �
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Unidade IV
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Para obter a decomposição parcial fracionária simples de expressões fracionárias, fazemos uso do 
comando partfrac e procedemos da seguinte forma: na caixa de entrada, digitamos partfrac(expressão, 
variável) e teclamos Enter. Veja no exemplo:
Expressão
13 25
62
x
x x
−
+ −
Sintaxe partfrac((13*x–25)/(x^2+x–6),x);
Resultado
64
5 3
1
5 2( ) ( )x x+
+
−
Outros exemplos:
Usando a função factor do Maxima, decomponha os pares de números abaixo e determine o MMC:
a) 473 e 96
b) 112 e 108
Respostas:
a) 473 = 43*11 e 96 = 2^5*3
MMC = 45408
b) 112 = 24 7 e 108 = 22 33
MMC = 3024
7.1.4.4 Variáveis, funções, constantes e expressões no Maxima
Se desejarmos definir variáveis e funções no Maxima, deveremos proceder como exemplificamos em 
diversos subitens a seguir.
Atribuindo valores a variáveis e calculando numericamente o resultado de expressões
Para calcular x10, por exemplo, quando (i) x = 2; (ii) x = 0,5:
(%i1) x : 2;(%o1) 2 (%i2) x^10; (%o2) 1024 ou (%i3) x : 2$ (%i4) x^10; (%o4) 1024
 
Digitamos na caixa de entrada, x, dois pontos (:), 2 e $. Dessa forma, o Maxima vai entender que 
todo x que você colocar em uma expressão daqui para frente, nessa sessão de trabalho, tem valor 
numérico 2. O símbolo de $ é para que ele oculte a saída de x:2 (x=2). Na sequência, voltamos à caixa 
de entrada e fazemos a potência x10, digitando x^10; é só aguardar o resultado.
(ii) (%i5) x : 0.5$ (%i6) x^10; (%o6) 9.765625*10^–4
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Re
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
 Exemplo:
Sejam a = –1; b = 4; c = 0,5; d = 2; e = –3. Calcule, usando no Maxima, o valor de cada expressão a 
seguir. Antes de pedir ao Maxima que realize as contas, devemos informá-lo do valor das variáveis, na 
sequência inserir a variável, depois os dois pontos (:) e, por fim, o valor da variável:
(%i9) a : –1$; (%i10) b : 4$; (%i11) c : 0.5$; (%i12) d :2$; (%i13) e : –3 
a) 
Expressão − + −b b ac
a
2 4
2
Sintaxe (–b+sqrt(b^2–4*a*c))/(2*a);
Resultado –0.12132034355964
b)
Expressão − − −b b ac
a
2 4
2
Sintaxe (–b–sqrt(b^2–4*a*c))/(2*a);
Resultado 4.121320343559642
c)
Expressão 1
2 3 4 5
2 3 4 5
− + − + −b
b b b b
! ! ! !
Sintaxe
1–b+(b^2)/2!–(b^3)/3!+(b^4)/4!–(b^5)/5!; ou
1–b+b^2/2!–b^3/3!+b^4/4!–b^5/5!;
Resultado –53/15
d)
Expressão
( )
( )
2 3b a
a d e
d
c
−
+
Sintaxe ((2*b–3*a)^d)/(a*(d+e)^c);
Resultado –121/(–1)^0.5
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Unidade IV
Re
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Definindo e operando com funções matemáticas
 Lembrete
Para definir uma função de uma variável, usaremos o comando :=
a) Dada a função f(x)= x2 - 2x -3, determine f(0) e f(–1/2):
Expressão f(x)= x2 - 2x - 3 (i) f(0)= ? e (ii) f(–1/2)=?
Sintaxe f(x): = x^2-2x-3; f(0); f(-1/2);
Resultado (i) –3 e (ii) –7/4
b) Dada a função f(x) = x2 - 2x - 3, determine f(x+h):
Expressão f(x)= x2 - 2x - 3 f(x+h)= ?
Sintaxe f(x):=x^2–2*x–3; f(x+h);
Resultado 1 (x + h)2 - 2(x + h) - 3
Vamos expandir o resultado que acabamos de obter?
Sintaxe expand(%);
Resultado 2 x2 + 2 hx - 2x + h2 -2h -3
c) Dada a função f(x, y) = (x - 1)2 + y2, determine f(2, 3)
Expressão f(x, y) = (x - 1)2 + y2 e f(2, 3) = ?
Sintaxe f(x, y):=(x–1)^2+y^2 ; f(2, 3);
Resultado 10
d) Dada a função f(x) = cos(2x), determine f(pi)
Expressão f(x)= cos(2x) e f(pi) = ?
Sintaxe f(x):=cos(2*x); f(%pi);
Resultado 1
Destacamos que é bem simples operarmos com limites, derivadas e integrais no Maxima. 
Recomendamos que, independentemente dessa disciplina, você aprofunde seu conhecimento do Maxima. 
Esse pacote computacional pode ser um importante aliado seu, nos estudos de outras disciplinas e no 
nosso curso de matemática. Boa diversão!
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
7.1.4.5 Funções internas do Maxima
O Maxima contém muitos comandos e funções internas – algumas destas vimos na sessão anterior. 
Vale lembrar que o nome das funções deve ser digitado sempre em letras minúsculas. Destacamos que 
os parâmetros de uma função devem ser delimitados por parênteses e que basta digitar a abertura dos 
parênteses que o fechamento é inserido automaticamente. Logo, mesmo que você seja desatento, não 
terá muitos problemas com isso.
A seguir, apresentamos uma lista de exemplos: 
Quadro 3
Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função Sintaxe Função
abs(x) |x| acos(x) arccos(x) sinh(x) senh(x) asinh(x) arcsenh(x)
sqrt(x) x asin(x) arcsen(x) cosh(x) cosh(x) acosh(x) arcosh(x)
log(x) ln(x) atan(x) arctan(x) tanh(x) tgh(x) atanh(x) arctanh(x)
sec(x) sec(x) asec(x) arcsec(x) sech(x) sech(x) asech(x) arcsech(x)
csc(x) cosec(x) acsc(x) arccosec(x) csch(x) csch(x) acsc(x) arccosech(x)
cot(x) cotg(x) acot(x) arccotg(x) coth(x) cotgh(x) acoth(x) arccotgh(x)
Sintaxe tan(...) sqrt(...) sin(...) cos(...)
Função Tangente de... Raiz quadrada de... seno de... cos de...
Sintaxe sign(...) factor(...) expand(...)
Função
x
x| |
A fatoração de um número ou de uma 
expressão Expande uma expressão fatorada
Sintaxe exp(...) ratsimp(...) display(...)
Função ex Reduz uma expressão a um mesmo denominador Simplifica uma expressão
Sintaxe min(a,b,c)max(a,b,c) partfrac(expressão, variável)
Função Valor mínimo entre...
Valor máximo 
entre...
Calcula a decomposição parcial fracionária simples para 
expressões fracionárias
Sintaxe invert(A) A^^-1 determinant (A) rank (A) transpose (A)
Função Inverte a matriz A Inverte a matriz A Determinante da matriz A Posto da matriz A
Transposta da 
matriz A
Sintaxe charpoly(A,x) echelon (A) eigenvalues (A) eigenvetors (A) triangularize (A)
Função Polinômio característico
Forma escalonada 
da matriz A
Autovalores da 
matriz A
Autovetores da 
matriz A
Forma triangular 
da matriz A
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Unidade IV
Re
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8 TÓPICOS DE CÁLCULO
 
8.1 Recursos básicos do Maxima envolvendo conceitos de cálculo
Já comentamos anteriormente, no item 7.1.4 dessa unidade, que você pode usar o Maxima para 
apoiar seus estudos, tanto no que se refere a elementos de cálculo como em elementos de álgebra 
(em especial a linear). Vamos, neste tópico, estudar limites e derivadas. Que tal iniciarmos agora essa 
capacitação? 
 
Após abrir o Maxima, o primeiro passo é clicar sobre o tema cálculo e escolher o Integrar... Esse 
passo é necessário tanto para calcular integrais definidas quanto as indefinidas, como indicamos na 
figura 66:
Figura 66 – Preparação para calcular integrais (primeiro passo)
Clique em Integrar como indica a seta sobre a figura e imediatamente você verá na tela de seu 
computador a seguinte imagem:
Figura 67 – Preparação para calcular integrais (segundo passo)
123
Re
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Clique sobre o símbolo de porcentagem que aparece e apague-o. Você e o Maxima estão prontos 
para realizar os procedimentos finais para o Maxima calcular e lhe devolver a resposta de uma 
determinada integral. 
Pode ocorrer, como veremos mais adiante, que a resposta seja uma mensagem de erro. Vejamos 
dois dos casos mais comuns de erro para um usuário iniciante de pacotes computacionais aplicados à 
matemática. Eles estão na categoria limitação do usuário:
•	 Erro de sintaxe para o nosso pacote computacional em estudo: caso você saiba inserir ou escrever 
corretamente a função na linguagem do Maxima.
—Solução: volte aos temas Operadores aritméticos ou Funções internas ao Maxima para ver como 
proceder corretamente. 
•	 Erro de base conceitual matemática: por exemplo, ao pedir o valor de uma integral definida num 
intervalo em que a função em estudo é descontínua, entre outros. 
—Solução: volte aos conceitos e definições do tema em estudo e avalie com atenção limites e 
restrições apresentadas teoricamente. 
Como nossa intenção aqui é lhe oferecer familiaridade com esse pacote computacional, e não 
passar quantidade de informação em demasia que você não consiga absorver, paramos por aqui nossos 
destaques sobre tipos de erros. Voltemos, pois, a nos capacitar a obter o resultado de uma integral pelo 
Maxima.
8.2 Maxima aplicado ao estudo de integrais indefinidas
Abrimos o Maxima, clicamos em Cálculo e depois em Integrar. Com esse procedimento, chegamos 
à tela ilustrada anteriormente na figura 31 e podemos começar a calcular usando essa ferramenta. 
 É usual, ao trabalharmos com pacotes computacionais, partirmos dos procedimentos mais fáceis 
para os mais complexos, assim como fazemos tradicionalmente (embora essa não seja nem a única 
forma de proceder) em sala de aula ao abordamos um conteúdo novo com nossos alunos. O mesmo 
padrão de procedimento, na maioria das vezes, é usado ao desenvolvermos um programa em uma 
determinada linguagem computacional, para testarmos uma determinada argumentação, hipótese 
ou teoria. Primeiro verificamos sua validade para casos mais simples, dos quais conseguimos efetuar, 
calcular sem o programa que queremos testar. Validade confirmada, seguimos desenvolvendo nosso 
programa ampliando a complexidade do modelo e avaliando a razoabilidade dos resultados.
 Voltando ao estudo de integrais no Maxima, vamos começar resolvendo integrais, na qual já sabemos 
o resultado para verificar a validade dos procedimentos. Explore no Maxima os exemplos a seguir:
Exemplo 1: 
Vamos calcular ∫	kdx
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Unidade IV
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A essa altura dos estudos, você já sabe que ∫	kdx = kx + C. Veja e aprenda os procedimentos que 
você deve seguir: 
Vamos até a janela intitulada Integrar do Maxima, no espaço Integrar: (que aparece inicialmente 
com o símbolo de % no qual apagamos) e digitamos k; ele já vem indicando x (no espaço variável:) 
como sendo a nossa variável de integração. Você verá que ele interpretará k como sendo uma constante. 
Clique em OK e aguarde o resultado:
Figura 68 – Calculando a integral de k na variável x
A tela geral do programa registrará as seguintes informações:
(%i1) integrate (k, x);
(%o1) kx
Vamos analisá-las:
 (%i1) integrate (k,x) => Foi armazenada como primeira entrada (%1) a função integrate, comando 
interno que o Maxima possui em linguagem simbólica para calcular uma integral, considerado k como 
sendo a função a ser integrada e x a variável de integração.
(%o1) kx => A saída ou resultado para o que foi solicitado em (i%1) é k vezes x.
Avaliação do resultado: você sabe a priori, ou seja, de antemão, que ∫	kdx = kx + C. Note que o 
Maxima não devolveu como resultado a constante somando. Paira no ar a pergunta: “Será que quando 
resolvemos integrais indefinidas no Maxima, ele não devolve a constante somando? Ou será que 
realizamos algum procedimento errado?” Vamos guardar essas hipóteses e resolver mais um exemplo:
Exemplo 2: 
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Vamos calcular ∫	x-2 dx
É claro que você sabe que x dx x C
x
C− −∫ = − + = − +2 1 1
Vamos repetir os procedimentos do exemplo anterior. 
Vamos até a janela intitulada Integrar do Maxima, no espaço Integrar: (que aparece inicialmente 
com o símbolo de % que apagamos) e digitamos x^(-2); o Maxima continua indicando x (no espaço 
variável:) como sendo a nossa variável de integração. Você verá que ele interpretará x-2 como sendo a 
função a ser integrada. Clique em OK e aguarde o resultado:
 
Figura 69 – Calculando a integral de x-2 na variável x
A tela geral do programa registrará as seguintes informações:
(%i2) integrate (x^(-2), x);
(%o1) −
1
x
Serei mais direta agora na leitura do resultado. Analisando a resposta da integral oferecida pelo 
Maxima, vemos que a mesma está de acordo com o que aprendemos em nossos cálculos no caderno, 
mas novamente não aparece a constante de integração somando o resultado.
 Não se preocupe, você não cometeu nenhum erro! O Maxima é que não devolve na resposta para a 
integral indefinida uma constante somando. Logo você, como usuário desse pacote, tem que dominar os 
conceitos teóricos da matéria quando desejar que o Maxima faça as integrais por você ou confira integrais 
que você realizou sozinho(a), mas lembre-se de somar a constante de integração ao resultado do Maxima. 
Você deve se lembrar de que integrar é a operação inversa de derivar (é a antiderivada), e que a 
derivada de qualquer constante é zero. Simbolicamente falando: ∫ƒ	(x) dx = F(x) + C. Isso ocorre porque 
(F(x) + C)’ = ƒ(x). Em problemas de aplicação, por exemplo, em física, a nossa constante teórica é a 
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velocidade ou o espaço inicial. Nunca se esqueça de somar uma constante ao dar a resposta de uma 
integral indefinida.O Maxima conta com seu conhecimento sobre o tema estudado e sua inteligência! 
Exemplo 3: 
Vamos calcular x dx
x
dx−∫ ∫=1 1 para enfatizar a sintaxe correta do Maxima.
É claro que você sabe que x dx x C−∫ = +1 ln . Vejamos qual será a resposta do Maxima para o 
cálculo dessa integral.
A partir desse momento, vou considerar que você já sabe abrir a janela que calcula uma integral e 
que eu seria repetitiva em ficar escrevendo novamente os passos iniciais:
Figura 70 – Calculando a integral de x-1 na variável x
O Maxima oferecerá a seguinte devolutiva a você:
(%i3) integrate (x^(-1), x);
(%o3) log(x)
Análise do resultado:
 Você já notou a falta da constante somando na resposta do Maxima. 
Pode parecer aqueles que ainda não dominam a sintaxe do Maxima e que esse pacote computacional 
errou! Ele escreveu que o resultado da integral é log na base 10 e não na base e como era esperado 
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
e desejado. Escolhemos esse exemplo para resolver com você, justamente na intenção de reforçar que 
o log(x) devolvido pelo nosso pacote, em estudo, não representa o log(x) que você sempre registrou 
em seus apontamentos matemáticos. Na sintaxe, linguagem de máquina do Maxima log(x) representa 
simbolicamente nosso usual ln(x). 
Vejamos mais um exemplo para reforçar seus conhecimentos sobre a sintaxe do Maxima.
Exemplo 4: 
Vamos calcular ∫	ln(x) dx para enfatizar a sintaxe correta do Maxima:
Figura 71 – Calculando a integral de ln(x) na variável x
(%i21) integrate (log (x), x);
(%o21) x log(x) - x
Se você sabe que a sintaxe ln(x) para o Maxima é log(x) e sabe interpretar a resposta, ou seja, ler 
corretamente a sintaxe e que é sua responsabilidade somar a constante, fica muito fácil usar o Maxima 
para calcular integrais definidas. 
Veja o que o Maxima lhe devolverá caso você escolha a sintaxe ln(x) como sendo a função que ele 
deve integrar:
(%i18) integrate (ln (x), x);
(%o21) ∫ ln (x) dx
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Unidade IV
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Ele não reconhece a função ln(x) e lhe devolve apenas a simbologia da integral indefinida. Ele não 
consegue resolver a integral na notação por você solicitada.
 Vale lembrar que ln(x) é uma função e que, para se calcular a integral sem apoio tecnológico, ou 
seja, à mão, você precisa ter conhecimento da técnica de integração por partes:
Simbolicamente, pode ser assim descrita: ∫	u dv = u . v - ∫v du
Antes de continuar com os nossos exemplos, destaco que não é necessário ficar abrindo clicar 
em Cálculo, depois em Integrar para calcularmos uma integral qualquer; podemos ir direto à parte 
inferior da tela principal do Maxima, colocarmos o pront no espaço Entrada e digitar Integrate, 
abrir parênteses, digitar corretamente a função que desejamos obter o resultado da integral 
indefinida, acrescentar vírgula, indicar (escrever) qual é a variável de integração simbolicamente 
e teclar Enter.
integrate (função a integrar na sintaxe correta, x) 
Exemplo 5: 
Vamos calcular ∫ cos(x) dx para aprender a integrar direto, sem abrir a tela Integrar. Veja como:
Figura 72 – Calculando a integral de cos(x) na variável x
(%i1) integrate (cos (x), x);
(%o1) sin(x) 
Analisando a resposta, você já sabia que cos ( ) ( )x dx sen x C=∫ + . Sabendo que a integral de cos(x) 
resulta em sen(x) mais constante, você deve ter se lembrado de que no Maxima, assim como em quase 
todos os pacotes de origem de programação em inglês, sen(x) em linguagem de programação é sin(x). 
Com esse exemplo, revisamos mais uma sintaxe do Maxima. 
 
Exemplo 6: 
Vamos calcular a dxx∫ para treinar um pouco a integrar diretamente, sem abrir a tela Integrar. 
Observe que basta ir com o mouse até a caixa Entrada: e clicar, digitar integrate (função a integrar 
na sintaxe correta, x) e teclar Enter.
Figura 73 – Calculando a integral de (a^x) na variável x
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Observe e avalie a devolutiva do Maxima:
(%i22) integrate (a^x, x);
(%o22) 
ax
alog( )
 
De novo, você observa que falta a constante de integração e agora já se lembra de que no lugar em 
que ele escreve log(x), você lê ln(x). Espero que você já tenha assimilado que a dx
a
a
Cx
x
= +∫ ln
Exemplo 6: 
Responda rápido: 5 5e dx∫ é igual a quanto?
Ao inserir o cálculo da integral desejada no Maxima, como ilustra a figura
Figura 74 – Calculando a integral de (5e^x) na variável x
temos em nossa tela principal, as seguintes informações:
(%i22) integrate (5* (e^5), x);
(%o22) 5 e5 x
E aí, você acertou? Você se lembrou de que antes de ver a resposta, 5e5 é uma constante? Se sim, 
parabéns, caso contrário, conscientize-se de que você precisa se empenhar mais em seus estudos.
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Unidade IV
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Exemplo 7: 
Veja como o Maxima pode facilitar sua vida e lhe ajudar a calcular ∫ 2cos(2x) dx e como esse pacote 
computacional indica alguns erros de sintaxe.
Vamos inserir os dados direto na caixa Entrada: dessa vez?
 
Figura 75 – Calculando a integral de (2cos(2x)) na variável x
. 
Avaliando o resultado, indague-se sobre qual é a técnica de integral que você necessitaria usar em 
uma atividade, sem o apoio computacional para resolver o exercício?
(%i4) integrate (2*cos (2*x), x);
(%o4) sin(2x) 
Ou seja, ∫ 2cos(2x) dx = sen (2x) + C
Avaliando a devolutiva do Maxima, espero que você tenha respondido à técnica de integração 
por substituição. Caso você tenha encontrado dificuldade para chegar a essa conclusão, recomendo que 
você adquira maior experiência nessa técnica, resolvendo e estudando exercícios que a envolva.
Refletindo um pouco sobre problemas com sintaxe ou erro de digitação: “Certa vez, em um laboratório 
de informática, vi um aluno tentando pedir ao Maxima que resolvesse esse mesmo exercício: 
(%i4) integrate (2*cos (2*x), x);
Incorrect syntax: x is not an infix operator
integrate (2*cos (2x)<
Frente a essa questão, ele me chamou e disse que o Maxima do seu computador estava com 
defeito”. 
 Analise o exercício. O que você responderia ao aluno? 
Que o pacote instalado no computador estava com defeito ou que provavelmente ele havia cometido 
algum tipo de erro. 
Verifiquei que o computador estava apontando erro de sintaxe. Você conseguiu identificar qual é 
esse erro?
Se você percebeu a falta de símbolo computacional para multiplicação (*) no argumento do cosseno, 
parabéns! Caso contrário, recomendo que pegue exercícios resolvidos de integral definida e desenvolva 
suas habilidades de sintaxe no Maxima. 
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Assim, o aluno digitou cos(2x) e deveria digitar cos(2*x)
Analise agora outra devolutiva do Maxima do mesmo aluno:
(%i6) integrate (3x/ (x^2-1), x);
Incorrect syntax: x is not an infix operator
integrate (3x/
^
Perceba que novamente falta o símbolo computacional para multiplicação (*), dessa vez, entre o 
3 e o x. Avaliando os dois comentários de erro de sintaxe, note que assim que o erro é explicitado, o 
Maxima interrompe a escrita da fórmula que foi inserida em (%i6), vemos 3x/ e existe a interrupção. 
Note, ainda, um acento circunflexo abaixo do x; esse acento está indicando o ponto exato em que o erro 
foi cometido. Já em (%i4), lemos 2*cos(2x); o acento circunflexo está sobre o x do 2x, também indica 
exatamente comose encontra o erro de sintaxe.
Assim, fica fácil identificar e corrigir esse tipo de erro. Gostou? Quando descobri isso em minha 
iniciação ao Maxima fiquei muito extasiada, pois confesso a você, leitor, que tem dias em que eu estou 
um pouco distraída na digitação e daí “erros saltam” à tela.
Cabe registrar que:
(%i6) integrate (3*x/ (x^2-1), x);
(%o6) 3 1
2
2log( )x −
Ou seja: 
3
1
3 1
22
2x
x
dx
x
C
−
=
−
+∫ ln( )
Exemplo 8: 
Vamos calcular no Maxima: 5 2x dx+∫
Primeiramente, vale lembrar que para fazer esse exercício sem apoio computacional, você precisa, 
usando a propriedade de potenciação a amn
n
m
= , transformar a raiz em expoente fracionário, chamar 
de u a expressão que se encontra dentro da raiz, e em seguida usar a regra do tombo, junto com a 
técnica de integração por substituição. Minha experiência de longos anos lecionando cálculo mostra 
que esse é um exercício que muitos alunos encontram dificuldade em resolvê-lo corretamente, por 
isso, recomendo que invista sua atenção e seu tempo a exercícios com esse padrão. Recorra a materiais 
didáticos ou invente você mesmo os exercícios e venha verificar sua resposta aqui no Maxima.
Vale lembrar de que sqrt é uma computacional válida apenas para raiz quadrada; os demais modelos 
de raízes, bem como este, devem ser resolvidos usando expoente fracionário também nos pacotes 
computacionais. Faça esses cálculos em papel, antes de tentar a resolução computacional.
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Unidade IV
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Veja se conseguiu: 5 2
2
15
5 2 3x dx x C+ = +( ) +∫
Esse exercício foi resolvido em seu livro-texto, no tema integral por substituição, mais precisamente 
no exercício número 6. 
A seguir, a ilustração de como inserir no Maxima a função que desejamos integrar 
computacionalmente:
Figura 76 – Calculando a integral de 5 2x + na variável x
(%i7) integrate (sqrt (5*x+2), x);
(%o7) 2 5 2
15
3 2( )x +
Simples não é? Espero que se convença da importância do conhecimento de pacotes para auxiliar a 
resolver ou conferir seus exercícios de cálculo.
Exemplo 9: 
Voltemos a refletir sobre erro de sintaxe no Maxima e a compartilhar outra experiência no laboratório 
de informática com o Maxima: “Certa vez, após uma aula de integração por partes, pedi aos alunos que 
resolvessem a integral xe dxx∫ que foi o primeiro exemplo desse tema feito em sala de aula tradicional. 
Logo, de posse das notas de aula, os alunos sabiam que xe dx e x Cx x∫ = − +( )1 .
Veja algumas imagens apresentadas nas telas dos computadores de alguns alunos:
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Resultado do aluno 1: 
 (%i8) integrate (x*e^x, x);
 (%o8) (log( ) )%
log( )
log( )e x e
e
e x
−1
2
Resultado do aluno 2:
 (%i12) integrate (x* (e^x), x);
 (%o12) (log( ) )%
log( )
log( )e x e
e
e x
−1
2
 (%i13) ratsimp (%);
 (%o13) (log( ) )%
log( )
log( )e x e
e
e x
−1
2
O aluno 2 acreditou que aquele poderia ser o resultado correto, mas não estava simplificado; 
pesquisou em suas anotações de aulas do laboratório e pediu a simplificação da expressão, mesmo 
assim, não obteve o resultado esperado. Será que havia algum erro na técnica estudada em sala de aula 
de forma tradicional? Será que os dois alunos haviam errado? Se sim, você tem alguma ideia de como 
se encontra o erro desses dois alunos?
 Na intenção de ajudar os alunos a encontrarem sozinhos seus erros, sugeri que calculassem 
uma integral mais simples. Pedi que eles tentassem fazer e dxx∫ . Essa é a integral dos “sonhos”, de 
modo que praticamente todos sabem que e dx e Cx x� � � . Porém, contrariando o conhecimento prévio 
adquirido, o Maxima oferecia a seguinte devolutiva:
(%i10) integrate (e^x, x);
(%o10) 
e
e
x
log( )
Afinal, o que estava ocorrendo? Reflita a esse respeito. Precisa de uma dica? 
Você se lembra de quando estávamos discutindo o erro de sintaxe e que, às vezes, pode ser que 
alguém se esqueça de colocar o símbolo computacional correto para multiplicação. Recorda-se de que 
a dica do Maxima era o acento circunflexo indicando o erro?
 Verifique se existe algum símbolo fora do lugar nas saídas (%o8) e (%o12). E aí, identificou algo? 
Percebeu um símbolo de % na frente do e? Pois essa é a dica!
Quando formos calcular a integral de uma exponencial, há duas sintaxes aceita pelo Maxima:
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•	 Primeira sintaxe:
 (%i1) integrate (% e^x, x);
 (%o1) %ex
•	 Segunda sintaxe:
 (%i3) integrate (exp (1) ^x, x);
 (%o3) %ex
Descoberta a sintaxe correta, agora podemos voltar ao exercício inicialmente proposto, ou seja, 
calcular xe dxx∫
 (%i20) integrate (x* (%e^x), x);
 (%o20) %(x - 1)%ex
Fica bem mais fácil quando conhecemos a sintaxe correta. Seguiremos nossos exemplos buscando 
resolver algumas integrais trigonométricas que também necessitam de técnicas de substituição para o 
cálculo feito fora de pacotes computacionais. Usaremos aqui os exemplos apresentados anteriormente 
em nosso livro-texto.
 
Exemplo 10: 
Vamos integrar cos2 x dx∫ . Primeiramente, antes de sairmos cometendo erros e depois tentando 
consertar, gostaria de lembrar a você da sintaxe do Maxima, para funções transcendentes. Imediatamente, 
após inserirmos funções transcendentes, a saber: seno, cosseno, tangente, logaritmo, entre outras. 
somos obrigados a colocar, entre parênteses, a variável e essa prioridade precede a potenciação, ou seja, 
colocamos, por exemplo, cos(x) e depois elevamos ao expoente desejado. Veja qual é a sintaxe correta 
para a integral solicitada:
Figura 77 – Calculando a integral de cos2 x na variável x
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Após clicar em OK, recebemos o seguinte texto na tela principal do Maxima:
 (%i23) integrate ( (cos (x) ^2), x);
 (%o23) 
sin( )2
2
2
x
x+
Você já estudou nesse livro-texto que cos2
2
2
4
x dx
x sen x
C∫ = + + . Em outra ocasião, ao você tentar 
refazer esse exercício sozinho sem consultar a sintaxe, pode ser que obtenha em sua tela a seguinte 
resposta:
(%i6) integrate (cos^2 (x), x);
Incorrect syntax: Syntax error
integrate (cos^2 (
 ^
Claro que provavelmente será outra entrada, outro valor aparecerá entre os parênteses depois de %i. 
Acredito que agora você já possua autonomia para identificar seu erro, provavelmente os apontamentos 
do Maxima não passarão mais despercebidos. Veja, ao indicar o erro, que ele parou depois do valor 2 
e o acento circunflexo (^) está apontando no quadrado. Já percebeu que elevar ao quadrado, antes de 
escrever a variável entre parênteses, é que está incorreto.
Exemplo 11: 
Atenção à sintaxe, para integrar ∫ tgx dx e avaliar o resultado.
A seguir, apresentamos a sintaxe que usamos e a devolutiva do Maxima:
 (%i25) integrate (tan(x), x);
 (%o25) log (sec(x))
Note que a sintaxe para tgx é tan(x). Veja a sintaxe completa em (%i25), e a solução é ln(sec(x)) mais 
constante, conforme indicado em (%o25). Dessa forma:
tgx dx x C∫ = +ln(sec )
Exemplo 12: 
Apresentamos aqui nosso último exemplo de integral indefinida. Vamos aprender a sintaxe para 
integrar sen x dx3∫ . A seguir, apresentamos a você a tela integrar com a sintaxe correta, após clicarmos 
em OK:
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Unidade IV
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Figura 78 – Calculando a integral de sen3 x na variável x
Note que a sintaxe de senx é sin(x). Fazendo isso, obtemos a seguinte devolutiva:
 (%i29) integrate (sin (x) ^3), x);
 (%o29) 
cos ( )
cos ( )
x
x
3
3
−
sen x dx x
x
C3
3
3∫ = − + +cos cos
Caso você se distraia e use sen(x) como sintaxe, veja qual será a devolutiva:
 (%i28) integrate (sen (x) ^3), x);
 (%o28) sen x dx( )3∫
Quando entramos com sen(x), o Maxima não identifica que função é essa e consequentemente não 
consegue resolver e devolve ao usuário a expressão simbólica matemática do que foi solicitado.
Em síntese, apresentamos nessa seção os procedimentos para realizarmos integrais indefinidas no 
Maxima. Aproveitamos a ocasião para discutir a sintaxe correta de algumas funções e para avaliarmos 
as devolutivas do Maxima, tanto no que se refere a soluções bem-sucedidas como a erros identificados. 
Acreditamos ter contribuído para suas conquistas de adquirir conhecimento tecnológico, que será um 
grande diferencial para a vida acadêmica e profissional. Agora transferimos a responsabilidade do estudo 
e da experimentação de outras funções a você.
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
8.3 Maxima aplicado ao estudo de integrais definidas
Nesta sessão, aprenderemos os procedimentos para obtermos integrais definidas no Maxima. Como 
de costume, faremos isso apoiados em exemplos.
Abra o Maxima, clique em Cálculo e depois em Integrar. Com esse procedimento, volte à tela ilustrada 
na figura 31; pode-se começar a calcular as integrais definidas usando essa ferramenta tecnológica. 
Na apresentação de nossos exemplos, consideramos que essa etapa foi realizada.
Você já possui experiência em calcular integrais indefinidas no Maxima. Seu procedimento era inserir 
com a sintaxe correta da função que desejava integrar no espaço Integrar: depois clicava em OK 
e pronto, via registrado na tela principal do Maxima tanto a expressão que representava a função 
que você solicitou o cálculo da integral em (%i...) quanto o resultado da integral sema constante de 
integração em (%o...).
Vamos dividir em dois casos os procedimentos para que o Maxima devolva o resultado de uma integral 
definida, caso exista e seja um número real. No primeiro caso, vamos aprender a determinar a integral 
definida quando os extremos de integração são números reais excetuando valores que envolvam: e, 
-∝, ∝ e p. Trataremos, no segundo caso, do cálculo de integrais definidas quando pelo menos um dos 
extremos de integração for um valor que envolva: infinito (∝); menos infinito (-∝); um múltiplo de PI, 
com (np) n∈Q; e um múltiplo do número de Euler (ne) com n∈ℜ.
 Integral definida – 1º caso
 
Como já afirmamos anteriormente, para calcular uma integral definida acrescentaremos alguns 
passos extras aos já conhecidos. Primeiro insira a função que deseja integrar e deixe ativa a opção 
Definite integration (integral definida). Na sequência, insira o valor do limite inferior do extremo de 
integração no espaço de:; depois, no espaço para:, insira o valor do limite superior do extremo de 
integração; e para finalizar clique em OK. Veja os passos indicados na figura a seguir:
 
Figura 79 – Calculando a integral definida de uma função
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Unidade IV
Re
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Vejamos um exemplo desse procedimento. Apresentamos a seguir o passo a passo para obtermos do 
Maxima o resultado da integral definida x dx
1
2
∫
Figura 80 – Calculando a integral definida de f(x)=x no intervalo [1, 2]
Para obter o resultado de x dx
1
2
∫ no Maxima, com a tela anterior aberta, insira no espaço 
Integrar:, x. Ative a opção Definite integration clicando sobre o “quadradinho”. Na sequência, 
insira o valor do limite inferior do extremo de integração no espaço de:, nesse exemplo, 1; depois, 
no espaço para:, insira o valor do limite superior do extremo de integração 2; e para finalizar 
clique em OK. 
Feito isso, em instantes você visualizará em sua tela principal a expressão que solicitou a integral 
definida em (%i...) e em (%o...). Em nossa tela, obteremos:
 (%i31) integrate (x, x, 1, 2);
 (%o31) 
3
2
Análise da devolutiva
(%i31) Integrate (x, x, 1, 2) => interprete da seguinte maneira: (%i31) trigésima primeira entrada 
de operação a ser realizada nesse arquivo; Integrate (x, x, 1, 2) => foi solicitado o cálculo da integral 
definida da função x, na variável x, com extremos de integração no variando de 1 até 2. 
(%o31) 
3
2
=> interprete da seguinte maneira: (%o31) trigésima primeira devolutiva e 
3
2
 é o resultado 
da integral definida para intervalo de integração solicitado.
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CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Ressaltamos que você não precisa recorrer à tela Integrar para calcular integrais definidas do 
1º caso; basta ir até a região Entrada: na tela principal do Maxima e, nesse local, digitar: Integrate 
(x, x, 1, 2) e teclar Enter. De modo geral, digita-se na região Entrada: integrate(“sintaxe 
correta da função que desejamos integrar”, “variável em que estamos integrando”, “valor do 
limite inferior do extremo de integração”, “valor do limite superior do extremo de integração”) 
e teclar Enter.
Destacamos aqui que, quando você desejar calcular uma integral de uma função que seja descontínua 
no intervalo dado, o Maxima apontará na saída da devolutiva uma mensagem de erro. 
Veja um exemplo 
1
1
0
x
dx
−
∫
Inserindo a sintaxe na região Entrada: da tela geral do Maxima, temos a seguinte imagem:
Figura 81 – Calculando a integral definida de f(x)=1/x no intervalo [-1, 0]
 
Como devolutiva, temos: (%i8) integrate(1/x, x, -1, 0) e destacados em vermelho você encontrará 
alertas de advertência. Veja dois exemplos de advertências possíveis:
•	 Is x - 1 positive, negative, or zero?
•	 Integral is divergent
-- an error. Quitting. To debug try debugmode (true)
Isso aconteceu porque a função é descontínua no intervalo de integração que estamos avaliando. 
Ou seja, a função é descontínua em x = 0, como ilustra o gráfico a seguir:
4
3
2
1
-1
-2
-3 -2 -1 1 2 3
f(x)=1/x
y
Gráfico 1 – Representação gráfica da função f(x)=1/x
140
Unidade IV
Re
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Para conseguir dar continuidade às atividades nesse pacote computacional, você deve reiniciar o 
Maxima procedendo da seguinte maneira: clique no título Maxima na barra de ferramentas; escolha 
a opção Reiniciar maxima, conforme ilustrado na figura a seguir e, em segundos, terá a tela limpa e 
desimpedida para você dar prosseguimento as suas investigações:
Figura 82 – Reiniciando o Maxima
Integral definida – 2º caso
 
Aprenderemos agora a determinar a integral definida quando os extremos de integração são valores 
que envolvam: e, -∝, ∝ e p . A diferença de procedimentos reside apenas na forma de inserção dos 
extremos de integração. Para inserir valores que envolvam e, -∝, ∝ e p , como extremos de integração, 
deve-se proceder da seguinte forma: clique no botão Especial que aparece em frente aos espaços, para 
entrar com o limite inferior do extremo de integração (de:) e/ou no botão Especial que aparece em 
frente à região destinada ao valor do limite superior do extremo de integração (para:). Veja os exemplos 
a seguir:
Exemplo1:
Vamos determinar, usando o Maxima sen dx
0
pi
∫
Para obter o resultado de sen dx
0
pi
∫ no Maxima com a tela Integraraberta: coloque no espaço 
Integrar:, sin(x). Ative a opção Definite integration clicando sobre o “quadradinho” para inserir o 
valor do limite inferior do extremo de integração no espaço de:, nesse exemplo, 0. Depois clique no 
botão Especial que fica em frente ao espaço para:, no qual se acrescenta o valor do limite superior 
do extremo de integração. Isso feito, clique na opção Pi; na sequência, pressione o botão OK da tela 
Constante e para finalizar clique em OK. 
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0/
00
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Vale destacar que, se você lembrar que a sintaxe de Pi no Maxima é %pi, não precisa recorrer ao 
botão especial. Veja a ilustração a seguir:
Figura 83 – Calculando a integral definida de f(x)=sen(x) no intervalo [0,PI]
Em instantes, você visualizará em sua tela principal a expressão que solicitou a integral definida em 
(%i...) e em (%o...). Em nossa tela, obteremos:
 (%i32) integrate (sin(x), x, 0, %pi);
 (%o32) 2
Análise da devolutiva
Perceba que sen(x) tem sintaxe sin(x). Caso você deseje, não precisa abrir a tela Integrar: para realizar 
essa integral, pode fazer todos os procedimentos no espaço Entrada: da tela principal do Maxima e 
clicar Enter, para finalizar. 
Exemplo 2: 
Vamos determinar usando o Maxima sen dx
0
2
pi
∫
Para obter o resultado de sen dx
0
pi
∫ no Maxima com a tela Integrar aberta: coloque no espaço 
Integrar:, sin(x). Ative a opção Definite integration clicando sobre o “quadradinho” para inserir o 
valor do limite inferior do extremo de integração no espaço de:, nesse exemplo, 0. Depois clique no 
botão Especial que fica em frente ao espaço para:, no qual acrescentaremos o valor do limite superior 
do extremo de integração. Isso feito, clique na opção Pi; na sequência, pressione o botão OK da tela 
Constante do espaço para:; após %pi, que já se encontra nesse local, digite /2 (dividido por 2) e, para 
finalizar, clique em OK. Veja a ilustração a seguir:
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Unidade IV
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0/
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Figura 84 – Calculando a integral definida de f(x)=sen(x) no intervalo [0,PI/2]
A devolutiva do Maxima será a seguinte:
 (%i33) integrate (sin(x), x, 0, %pi/2);
 (%o33) 1
Interpretação da devolutiva
A integral definida de uma função f(x), em um intervalo [a, b] cujo gráfico da função nesse intervalo 
esteja acima do eixo 0x, pode ser interpretada como sendo a área da região entre a curva f(x) e o eixo 
0x limitada pelas retas x = a e x = b. Veja a ilustração do gráfico a seguir:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-6 -4 -2 0 2 4 6 
a b
A integral 
definida 
é a área 
destacada 
ao lado
curva f(x) = sen(x)
sin(x)
1.51884
0.992337
Gráfico 2 – Representação de f(x)=sen(x) destacando a área a qual a integral se refere
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0/
00
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Observe atentamente o gráfico. Sabendo que a = 0 e b =
pi
2
, e que a altura máxima de f(x)=sen(x) é 
y=1, foque sua atenção no retângulo de base no intervalo [a, b] e altura 1; parece que a linha da função 
sen(x) divide esse retângulo em duas partes iguais. Mas, se isso for verdade, a área não seria igual a 1u.a. 
(unidade de área) que é o resultado da integral. A área seria 
pi
4
0 785≅ , u.a. Será que o Maxima errou? 
Será que há algo errado em nosso procedimento?
Calma, é uma ilusão de ótica causada em parte pela diferença de escala entre os eixos e em parte 
pelo próprio formato da curva seno. Não se iluda com a imagem, a hipótese de que a função seno estava 
dividindo o retângulo em duas partes iguais é falsa! 
sin(x)
1.51884
0.992337
Gráfico destacando a divisão do retângulo com 
escalas diferentes nos eixos 0x e 0y.
2
1
-1
-1 1 2 -3 4
 
Gráfico destacando a divisão do retângulo com mesma escala nos 
eixos 0x e 0y.
Gráfico 3 – Representação de f(x) = sen(x) com diferentes escalas para o eixo y
O gráfico do seno não está dividindo o retângulo em duas partes iguais. Para confirmar esse fato 
ligamos, com uma reta, o ponto (0, 0) com o ponto (
pi
2
, 1). Pronto. Veja que a região da integral (área 
destacada) é maior que metade do retângulo. Por isso, peço a você cuidado com as interpretações 
precipitadas extraídas de gráficos.
A seguir, apresentaremos alguns exemplos de integração com limites infinitos. 
Exemplo 3: 
Vamos determinar usando o Maxima e dxx2
0
−∞
∫
Primeiramente, vamos ver e avaliar a representação gráfica de ƒ(x) = e2x 
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Unidade IV
Re
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/0
0/
00
4
3
2
1
-1
-2
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
Gráfico 4 – Representação gráfica de f(x) = e^(2x)
Note que quando x tende a menos infinito, o gráfico se aproxima cada vez mais de zero. Em 
nossa representação gráfica, temos a impressão de que o gráfico fica sobre o eixo 0x. Não se iluda 
com a imagem computacional! Teoricamente, você sabe que o gráfico não intercepta o eixo 0x. Por 
outro lado, essa imagem mostra que antes de x assumir o valor o valor 1, a representação gráfica já 
ultrapassou y = 4. Desejamos, nesse exemplo, determinar a área entre a curva em azul e o eixo 0x, 
desde menos infinito até a reta x = 0. 
Vamos determinar esse valor usando o Maxima. Ao ler o procedimento a seguir, faça-o observando 
a figura que o ilustra.
Com a tela Integrar aberta, vá até o espaço Integrar: e digite a sintaxe %e^(2*x); clique no 
“quadradinho” Definite Integration, deixando a opção ativa. Na sequência, clique no botão Especial 
que fica em frente à região destinada ao extremo de integração inferior, ou seja, a região de: na tela 
Constante; escolha a opção – Infinity, e clique em OK, nessa mesma tela. Depois, insira o extremo de 
integração superior; nesse exemplo, o 0 e, para finalizar, clique em OK, na tela Integrar:
Figura 85 – Integral definida com menos infinito no extremo de integração
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00
/0
0/
00
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Avaliação da devolutiva na tela geral do Maxima:
 (%i1) integrate (%e^(2*x), x, minf, 0;
 (%o1) 
1
2
Por essa devolutiva, sabemos que a área é 0,5 u.a., e pelos nossos exercícios anteriores, sabemos que 
podemos ir direto à região Entrada:, inserirmos a sentença sintática: integrate(%e^(2*x), x, minf, 0) 
e teclar Enter, que obteremos a mesma resposta.
Exemplo 3:
Vamos determinar usando o Maxima e sen x dxx−
−∞
∫ ( )
0
Podemos realizar todo o procedimento na tela Integrar ou irmos direto à região da caixa de entrada 
e introduzirmos a integral desejada com a sintaxe correta, como ilustra a seguir:
Figura 86 – Integral definida inserindo sintaxe na Entrada:
Procedendo dessa maneira, sua devolutiva será a seguinte:
 (%i7) integrate ((%e^ (-x)) *sin(x), x, 0, inf);
 (%o7) 
1
2
A área será 0,5 u.a. Atenção! Só estou falando de área, porque sei que no intervalo de integração 
estudado no gráfico, está completamente acima do eixo 0x. Observe o gráfico de f(x) e veja que 
após o zero o gráfico realmente está acima do eixo 0x, que quando x tende a infinito, o valor de 
y tende a zero.
-1
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-3 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) = e^(2x)* sen(x)
Gráfico 5 – Representação gráfica de ƒ(x) = 3-x sen(X) 
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Unidade IV
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