20 Geometria Plana, Geometria Espacial e Geometria Analítica (Parte 2)

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1.! Coordenadas no Plano Cartesiano ................................................................................................................... 2!
1.1.! Distância entre dois pontos ............................................................................................................................. 8!
1.1.1.! Ponto Médio de um Segmento de Reta ..................................................................................................... 14!
1.1.2.! Baricentro de um Triângulo ....................................................................................................................... 16!
1.2.! Pontos Colineares .......................................................................................................................................... 17!
2.! Equação da Reta ............................................................................................................................................ 21!
2.1.! Coeficiente Angular ....................................................................................................................................... 28!
2.1.1.! Cálculo do Coeficiente Angular .................................................................................................................. 29!
2.2.! Coeficiente Linear .......................................................................................................................................... 31!
2.3.! Posições relativas de duas retas .................................................................................................................... 34!
2.3.1.! Retas Perpendiculares ............................................................................................................................... 37!
2.4.! Formas da Equação da Reta .......................................................................................................................... 38!
2.4.1.! Forma reduzida ......................................................................................................................................... 38!
2.4.2.! Forma Segmentária ................................................................................................................................... 40!
2.5.! Equação da reta que passa por um ponto com coeficiente angular conhecido ............................................ 43!
3.! Distância de Ponto a Reta .............................................................................................................................. 44!
4.! Áreas de Polígonos Convexos ........................................................................................................................ 46!
5.! Circunferências .............................................................................................................................................. 49!
5.1.! Equação Normal da Circunferência ............................................................................................................... 51!
6.! Elipse ............................................................................................................................................................. 54!
6.1.! Equação da Elipse .......................................................................................................................................... 61!
7.! Hipérbole ...................................................................................................................................................... 63!
7.1.! Equação da Hipérbole .................................................................................................................................... 68!
8.! Parábola ........................................................................................................................................................ 71!
8.1.! Equação da Parábola ..................................................................................................................................... 74!
Apêndice – Cálculo de Determinante de Terceira Ordem ....................................................................................... 78!
9.! Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 81!
10.! Gabaritos ....................................................................................................................................................... 88!
11.! Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 89!
12.! Considerações Finais .................................................................................................................................... 118!
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Lembrem-se de me acompanhar pelo Instagram @profguilhermeneves para receber dicas diárias e 
questões comentadas. 
Hoje vamos estudar Geometria Analítica. O objetivo da Geometria Analítica é o estudo de 
conceitos geométricos a partir de processos algébricos. 
 
1.!COORDENADAS NO PLANO CARTESIANO 
 
Considere duas retas orientadas � e �. Chamaremos estas retas de eixos coordenados. Considere 
ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90o) e se cortam no ponto 
O. 
 
 
 
•! O eixo � é o eixo das abscissas. 
•! O eixo � é o eixo das ordenadas. 
•! A origem do plano cartesiano é o ponto O. 
•! O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. 
•! A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário. 
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Como representamos o par ordenado (�, �) no plano cartesiano? 
- Localizamos o número � no eixo � e desenhamos uma reta vertical passando pelo ponto 
encontrado. 
- Localizamos o número � no eixo � e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto encontrado. 
- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto (�, �). 
 
Exemplo: Localize no mesmo plano cartesiano os pontos �(2,4), �(−1,−3), �(3,0)	�	�(0,2). 
 
Observações 
i)! O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do eixo � possuem a 
ordenada igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo � 
possuem � = 0. 
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ii)! O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do eixo � possuem a 
abscissa igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo � 
possuem � = 0. 
 
É importante notar que os pares ordenados (�, �) e (�, �) não representam o mesmo ponto no 
plano cartesiano. Esses pares apenas representam o mesmo ponto se � = �. 
 
Existe uma propriedade bem interessante que relaciona os pontos (�, �) e (�, �). 
Observe os quadrantes 1 e 3 (quadrantes ímpares). Existe uma reta (� = �) que é a bissetriz 
desses quadrantes, ou seja,divide cada quadrante em ângulos de 45o. Observe: 
 
Esta reta, que tem equação � = � (pois todos os pontos dela possuem coordenadas iguais), é 
conhecida como “bissetriz dos quadrantes ímpares”. 
Pois bem: os pontos (�, �) e (�, �) são simétricos em relação a esta reta, ou seja, é como se esta 
reta funcionasse como um espelho. 
Vamos representar os pontos (4,2) e (2,4). 
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Pontos de coordenadas iguais, ou seja, em que � = �, estarão representados sobre esta reta. 
Observe, por exemplo, os pontos (3,3), (0,0) e (−1,−1). 
 
 
Observe que a origem do plano cartesiano está simultaneamente no eixo x (pois sua ordenada y é 
0), no eixo y (pois sua abscissa x é 0) e na bissetriz dos quadrantes ímpares � = � (pois suas 
coordenadas são iguais). 
 
 
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Observe agora os pontos a seguir. 
 
 
Todos eles possuem ordenada (y) igual a 2. Pontos que possuem a mesma ordenada estão na 
mesma reta horizontal. No caso, estes pontos estão sobre a reta de equação � = 2. 
 
 
O que acontecerá com pontos que possuem a mesma abscissa? 
Vamos representar os pontos (2, −1), (2,0), (2, 3)	�	(2, 6). 
 
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Observe que esses pontos, que possuem a mesma abscissa (�), estão em uma mesma reta 
vertical. Estamos falando da reta de equação � = 2. 
 
 
 
•! A reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada � tem equação � = �. 
•! A reta vertical que passa pelo ponto de abscissa � tem equação � = �. 
 
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1.1.! DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Vamos agora aprender como calcular a distância entre dois pontos. 
Vamos começar com exemplos bem simples. 
Qual a distância entre os pontos (3,2) e (7,2). 
Sabemos que estes pontos estão na mesma horizontal, pois eles possuem ordenadas (�) iguais. 
 
Dê uma olhadinha no eixo �. 
 
É fácil perceber que a distância é: 
7 − 3 = 4 
Observe que eu subtraí a maior abscissa da menor abscissa. 
Imagine que eu não prestei atenção e subtraí o menor do maior. 
3 − 7 = −4 
Para não correr esse risco, vamos tomar o valor absoluto (módulo) da diferença entre as abscissas. 
Lembre-se que uma distância NUNCA pode ser negativa. 
 
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|7 − 3| = |4| = 4 |3 − 7| = |−4| = 4 
 
 
Para calcular a distância entre dois pontos que estão na mesma horizontal, devemos 
calcular a diferença entre as abscissas (em módulo). 
 
Portanto, a distância entre os pontos (�:, �) e (�;, �) é |�; − �:| = |�: − �;|. 
 
O raciocínio é muito parecido quando vamos calcular a distância entre dois pontos que estão na 
mesma vertical. Vamos calcular a distância entre os pontos (2, −1)	�	(2,3). 
 
Observe que de −1 até o 3 são 4 unidades. A distância é 4. 
Este valor corresponde à diferença entre os valores. Para não correr o risco de subtrair o menor do 
maior e obter um valor negativo, vamos tomar a diferença em valor absoluto (módulo). 
 |3 − (−1)| = |3 + 1| = |4| = 4 
 |−1 − 3| = |−4| = 4 
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Para calcular a distância entre dois pontos que estão na mesma vertical, devemos 
calcular a diferença entre as ordenadas (em módulo). 
 
Portanto, a distância entre os pontos (�, �:) e (�, �;) é |�; − �:| = |�: − �;|. 
 
Vamos agora aprender como calcular a distância entre pontos que não estão na mesma horizontal 
nem na mesma vertical. 
 
Tomemos como exemplo o cálculo da distância entre os pontos (1,2)	�	(13,7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A técnica consiste em desenhar um triângulo retângulo. 
 
 
Observe que a medida do cateto horizontal é |13 − 1| = 12. 
A medida do cateto vertical é |7 − 2| = 5. 
 
 
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Para calcular a distância �, basta aplicar o Teorema do finado Pitágoras. 
�; = 12; + 5; 
 
�; = 144 + 25 
 
�; = 169 
 
� = 13 
 
Quando os pontos não estão na mesma horizontal e nem estão na mesma vertical, devemos 
aplicar uma fórmula para calcular a distância. 
Com o mesmo raciocínio, vamos deduzir a fórmula da distância entre dois pontos. 
Tomemos dois pontos genéricos (�:, �:) e (�;, �;). 
 
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras. 
�; = |�; − �:|; + |�; − �:|; 
 
Como estamos elevando as diferenças ao quadrado, não precisamos nos preocupar se a diferença 
será positiva ou negativa, pois ao elevar um número negativo ao quadrado, teremos um resultado 
positivo. 
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�; = (�; − �:)² + (�; − �:)² 
 
� = Α(�; − �:)² + (�; − �:)² 
 
Na verdade, não importa se você vai calcular �; − �: ou �: − �;, pois ao elevar ao quadrado, 
obteremos resultados iguais. 
Podemos também escrever esta fórmula da seguinte maneira. 
� = Β(Δ�); + (Δ�); 
Em que Δ� representa a diferença entre as coordenadas � (diferença entre as abscissas) e Δ� 
Representa a diferença entre as coordenadas � (diferença entre as ordenadas). 
 
 
Exemplo: Determinar a distância entre os pontos (-2,5) e (4,-3). 
Resolução 
Vamos calcular Δ� e Δ�. 
Δ� = 4 − (−2) = 6 Δ� = −3 − 5 = −8 
Agora é só aplicar a fórmula. 
� = Β(Δ�); + (Δ�); 
 
� = Β(6); + (−8); 
 
� = √36 + 64 
 
� = √100 
 
� = 10 
 
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1.1.1.! PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA 
 
É importante também saber calcular as coordenadas do ponto médio de um segmento AB. Se o 
ponto A tem coordenadas (�:;�:) e o ponto B tem coordenadas (�;; �;), o ponto médio M terá 
coordenadas 
�Η�: + �;2 ; �: + �;2 Ι 
 
 
Por exemplo, o ponto médio do segmento de extremos (6, - 4) e (8,2) é o ponto de coordenadas 
Η6 + 82 ;−4 + 22 Ι = (7;−1) 
 
 
 
 
 
 
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Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos �(−1,−1), �(2,6) e �(4, −2). 
Resolução 
Mediana é o segmento que liga um vértice até o ponto médio do lado oposto. 
Assim, a mediana AM liga o vértice A ao ponto médio do lado oposto BC. 
Vamos logo calcular o ponto médio do segmento BC. 
Η2 + 42 ; 6 + (−2)2 Ι = (3,2) 
 
 
O comprimento da mediana AM será igual à distância entre os pontos �(−1,−1) e �(3,2). 
 
Δ� = 3 − (−1) = 4 Δ� = 2 − (−1) = 3 
Agora é só aplicar a fórmula da distancie entre dois pontos. 
�ϑΚ = Β4² + 3² = √25 = 5 
 
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1.1.2.! BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO 
Vimos que a mediana é um segmento que liga um vértice de um triângulo ao ponto médio do lado 
oposto. 
É possível demonstrar (utilizando o teorema de Ceva, por exemplo – mas não se preocupe com 
isso) que as três medianas se encontram em um único ponto. Este ponto é chamado de baricentro 
do triângulo. Indicaremos o baricentro pela letra G. 
 
As coordenadas do baricentro são dadas pelas médias aritméticas das coordenadas dos vértices do 
triângulo. 
� Η�: + �; + �Μ3 , �: + �; + �Μ3 Ι 
 
Exemplo: Determinar o baricentro do triângulo ABC cujos vértices são os pontos �(−1,−1), �(2,6) e �(4, −2). 
 
Resolução 
Basta calcular a média das coordenadas dos vértices. 
 
� Η−1 + 2 + 43 ,−1 + 6 − 23 Ι 
 
� Η53 , 1Ι 
 
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1.2.! PONTOS COLINEARES 
Vamos considerar três pontos �(�:, �:), �(�;, �;) e �(�Μ, �Μ). 
Dizemos que estes três pontos são colineares se uma mesma reta passa pelos três pontos. 
 
Assim, como saber se três pontos são ou não colineares? 
 
Os pontos �(�:, �:), �(�;, �;) e �(�Μ, �Μ) são colineares se e somente se Ν�: �: 1�; �; 1�Μ �Μ 1Ν = 0. 
 
A última coluna sempre será preenchida com números 1. 
 
Observe que este teorema é dado por uma proposição bicondicional (se e somente se). Isto quer 
dizer que se os pontos são colineares, então o determinante é 0 e se o determinante é 0, então os 
pontos são colineares. 
 
Caso você não se lembre, você pode conferir como calcular determinantes de terceira ordem no 
apêndice desta aula. 
 
 
 
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Exemplo: Verificar se os pontos �(1,−3), �(4,9) e �(21,77) são colineares. 
Resolução 
Basta substituir as coordenadas dos pontos na matriz e calcular o determinante. Se o resultado for 
zero, os pontos são colineares. Se o resultado não for zero, os pontos não são colineares. 
Ν 1 −3 14 9 121 77 1Ν 
Não se preocupe com a ordem dos pontos na matriz. 
Para calcular o determinante (verifique como se faz no apêndice desta aula), vamos utilizar a regra 
de Sarrus. Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
Ν 1 −3 14 9 121 77 1Ν	
1 −34 921 77 
O determinante fica: 
1 × 9 × 1 + (−3) × 1 × 21 + 1 × 4 × 77 − [(−3) × 4 × 1 + 1 × 1 × 77 + 1 × 9 × 21] = 
 
= 9 − 63 + 308 − [−12 + 77 + 189] = 
 
= 9 − 63 + 308 − [254] = 0 
Como o determinante é igual a zero, podemos concluir que os pontos A, B e C são colineares. 
 
 
Considere os pontos �(1,3) e �(4,−2). Determine o ponto de interseção do segmento AB com o 
eixo das abscissas. 
Resolução 
Observe a nossa situação-problema. 
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Como o ponto �	pertence ao eixo x, então sua ordenada é igual a 0. Em outras palavras, o ponto � 
é do tipo (�, 0). 
 
Pela figura, vemos que 2 < � < 3. Vamos calcular seu valor exato. 
 
Observe que os pontos A, B e C são colineares. 
 Vamos aplicar a condição de colinearidade. 
 
Ν1 3 1� 0 14 −2 1Ν = 0 
 
Vamos repetir as duas primeiras colunas. 
Ν1 3 1� 0 14 −2 1Ν	
1 3� 04 −2 = 0 
 
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1 × 0 × 1 + 3 × 1 × 4 + 1 × � × (−2) − [3 × � × 1 + 1 × 1 × (−2) + 1 × 0 × 4] = 0 
 
Obviamente, com a prática, você fará essas multiplicações mentalmente. 
0 + 12 − 2� − [3� − 2 + 0] = 0 
 
12 − 2� − 3� + 2 = 0 
 
−5� = −14 
 
� = 145 
Portanto, a interseção do segmento AB com o eixo � é o ponto Σ:ΤΥ , 0ς. 
 
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2.!EQUAÇÃO DA RETA 
Nesta aula, já estudamos alguns casos particulares de equações de reta. 
Aprendemos um pouco sobre uma reta muito famosa: a bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
A equação dessa reta é dada por: 
� = � 
 
Podemos reescrever esta equação como: 
� − � = 0 
Ou ainda: 
1 ∙ � + (−1) ∙ � + 0 = 0 
 
Observe que eu escrevi a equação da reta como �� + �� + � = 0, em que � = 1, � = −1 e � = 0. 
 
1⏟Ζ ∙ � + (−1)[∴ ∙ � + 0⏟] = 0 
 
Aprendemos também sobre retas horizontais e retas verticais. 
 
 
 
 
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Veja os exemplos. 
 
A reta horizontal azul, que passa pelo ponto (0,2), tem equação: 
� = 2 
 
Essa equação pode ser reescrita: 
� − 2 = 0 
 
0 ∙ � + 1 ∙ � − 2 = 0 
Assim, a reta azul foi escrita como uma equação �� + �� + � = 0, em que � = 0, � = 1 e � = −2. 
 
A reta vertical vermelha, que passa pelo ponto (4,0), tem equação: 
� = 4 
Essa equação pode ser reescrita: 
� − 4 = 0 
 
1 ∙ � + 0 ∙ � − 4 = 0 
Assim, a reta vermelha foi escrita como uma equação �� + �� + � = 0, em que � = 1, � = 0 e � = −4. 
 
Em suma, toda reta do plano cartesiano está associada a uma equação da forma �� + �� + � = 0, 
em que � ≠ 0 ou � ≠ 0. 
O ponto P(�, �) representa um ponto genérico da reta. 
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Observe, por exemplo, ográfico da reta 2� − 4� + 6 = 0. 
 
 
 
Para determinar a interseção da reta com o eixo �, basta substituir � por 0 na equação. 
Para determinar a interseção da reta com o eixo �, basta substituir � por 0 na equação. 
 
No nosso exemplo, temos: 
� = 0														 → 									2� − 4 ∙ 0 + 6 = 0												 → 											� = −3 
 
� = 0														 → 									2 ∙ 0 − 4 ∙ � + 6 = 0												 → 											� = 1,5 
 
 
 
 
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Uma mesma reta está associada a infinitas equações. 
 
É sempre possível reescrever a equação de uma reta de modo a obter uma outra equação 
equivalente. 
Para tanto, podemos multiplicar (ou dividir) os dois membros da equação por um mesmo número 
ou também podemos adicionar (ou subtrair) um mesmo número aos dois membros da equação. 
Tomemos como exemplo a equação do exemplo anterior. 
2� − 4� + 6 = 0 
Vamos multiplicar todos os termos por (−1). Ficamos com: 
−2� + 4� − 6 = 0 
Isso é muito importante na hora de marcar a resposta da questão. Em alguns casos, você terá que 
procurar uma equação que seja equivalente à equação encontrada por você. 
Se dividirmos todos os termos da equação original por 2, teremos: 
� − 2� + 3 = 0 
Poderíamos também isolar �. 
� + 3 = 2� 
 
� = �2 + 32 
Todas essas equações são equivalentes entre si e representam a mesma reta. 
 
 
 
 
 
 
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O que significa a “equação de uma reta”? 
 
Na Geometria Analítica, estudamos objetos geométricos (pontos, retas, circunferências, 
elipses, ...) através de expressões algébricas (equações ou inequações). 
 
Quando dizemos que a equação da reta é 2� − 4� + 6 = 0, queremos dizer que todo 
ponto (�, �) da reta satisfaz essa equação e, reciprocamente, todo ponto (�, �) que 
satisfaz a equação é um ponto da reta. 
 
Esta explicação serve para todas as equações de curvas que estudaremos futuramente. 
 
 
Obtenha uma equação da reta que passa pelos pontos (−1,2) e (2,11). 
Resolução 
Guarde este exemplo e seu resultado, pois utilizaremos posteriormente para explicar outras partes 
da teoria. 
Adiante aprenderemos técnicas mais eficientes para calcular a equação da reta. Por enquanto, 
vamos utilizar os conhecimentos adquiridos até agora. 
Seja �(�, �) um ponto genérico da reta. 
 
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Observe que os pontos (−1,2), (2,11) e (�, �) são colineares. Vamos aplicar a condição de 
colinearidade. 
Ν−1 2 12 11 1� � 1Ν = 0 
Para calcular este determinante, vamos utilizar a regra de Sarrus. 
 
Ν−1 2 12 11 1� � 1Ν	
−1 22 11� � = 0 
 
−1 ∙ 11 ∙ 1 + 2 ∙ 1 ∙ � + 1 ∙ 2 ∙ � − [2 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ 1 ∙ � + 1 ∙ 11 ∙ �] = 0 
 
−11 + 2� + 2� − [4 − � + 11�] = 0 
 
−11 + 2� + 2� − 4 + � − 11� = 0 
 
−9� + 3� − 15 = 0 
Pronto!! Esta já é a equação da reta. 
Se fosse em uma prova, provavelmente o elaborador iria colocar alguma equação equivalente 
dentre as alternativas. Vamos, por exemplo, multiplicar essa equação por −1. 
9� − 3� + 15 = 0 
Essa seria uma outra possível resposta! 
Vamos agora dividir todos os termos por 3. 
3� − � + 5 = 0 
Outra possível resposta! 
Vamos agora isolar �. 
� = 3� + 5 	 
Conforme falei anteriormente, há infinitas possibilidades. 
 
 
 
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Para verificar se um ponto pertence a uma reta, basta verificar se as coordenadas do ponto 
satisfazem a equação. 
Por exemplo, o ponto (−1,2) pertence à reta 3� − � + 5 = 0 porque: 
 
3 ∙ (−1)[α − (2)βχ + 5 = 
 
−3 − 2 + 5 = 0 
 
 
Uma reta não-vertical é a representação gráfica de uma função polinomial do 1º grau, 
também conhecida como função afim. 
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2.1.! COEFICIENTE ANGULAR 
 
Vamos definir o ângulo formado por uma reta � e o eixo das abscissas �. 
Se a reta � for horizontal, diremos que o ângulo entre a reta � e o eixo � é nulo. 
Estamos englobando os dois casos: quando a reta � é o próprio eixo � (neste caso, a reta � é 
definida pela equação � = 0) ou quando a reta � é qualquer outra paralela ao eixo �. 
 
No gráfico acima estão representadas as retas � = 2, � = −3 e o próprio eixo � em vermelho, que 
é a reta � = 0. 
O ângulo que cada uma dessas retas forma com o eixo x, por definição, é o ângulo nulo (zero grau). 
 
Se a reta � não for horizontal, teremos três casos a considerar. 
 
 
Perceba que vamos considerar com “ângulo formado pela reta e pelo eixo �” o ângulo que fica 
acima do eixo x e à direita da reta. 
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O coeficiente angular (ou declividade) da reta está relacionado ao ângulo �. 
 
Quando a reta � é vertical, não definimos coeficiente angular para reta �. 
 
Para os outros casos (reta horizontal ou reta inclinada), o coeficiente angular é um número � tal 
que: 
� = ��	� 
É justamente por isso que não podemos definir o coeficiente angular para uma reta vertical. A 
trigonometria ensina que não existe ��	90°. 
 
 
•! Se � é um ângulo agudo (entre 0o e 90o), então � > 0. 
•! Se � é um ângulo obtuso (entre (90o e 180o), então � < 0. 
•! Se � é um ângulo nulo (0o), então � = 0. 
 
2.1.1.! CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR 
É de suma importância saber como calcular o coeficiente angular de uma reta. Basicamente 
teremos duas situações: 
•! São dados dois pontos distintos da reta. 
•! É dada a equação da reta. 
 
Quando são dados dois pontos distintos (�:, �:) e (�;, �;), o coeficiente angular � é dado por: 
 
� = �; − �:�; − �: 
Podemos calcular também da seguinte forma: 
� = �: − �;�: − �; 
Ou simplesmente: 
� = Δ�Δ� 
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Preste atenção na ordem. Se no numerador você utilizar �; − �:, no denominador deverá usar �; − �:. Se inverter a ordem do numerador, deverá inverter a ordem no denominador. 
 
Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (−1,2) e (2,11). 
Resolução 
� = 11 − 22 − (−1) = 93 
 
� = 3 
 
Vamos agora aprender como calcular o coeficiente angular quando é dada a equação da reta. É 
muito simples. 
O primeiro passo será isolar �. O coeficiente angular será o número que multiplica �. 
 
Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta de equação −9� +3� − 15 = 0. 
Resolução 
Esta é justamente a reta que passa pelos pontos (−1,2) e (2,11). 
Para calcular o coeficiente angular, devemos isolar �. 
 
−9� + 3� − 15 = 0 
 
3� = 9� + 15 
 
Vamos dividir todos os termos por 3. 
� = 3� + 5 
 
O coeficiente angular é o número que multiplica �. Portanto, 
 
� = 3 
 
 
 
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2.2.! COEFICIENTE LINEAR 
O coeficiente linear de uma reta não-vertical é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo �. 
Assim, se a reta corta o eixo � no ponto (0, �), então o coeficiente linear é �. 
Vimos que para determinar a interseção da reta com o eixo �, basta substituir � por 0 na equação. 
 
Exemplo: Determinar o coeficiente linear da reta de equação −9� + 3� − 15 = 0. 
Resolução 
Basta substituir � por 0. 
−9 ∙ 0 + 3� − 15 = 0 
 
3� = 15 
 
� = 5 
 
Portanto, o coeficiente linear é igual a 5. 
 
 
Podemos calcular o coeficiente linear isolando � na equação da reta. O termo 
independente da equação será o coeficiente linear. 
 
Tomemos como exemplo a reta de equação −9� + 3� − 15 = 0. 
Vamos isolar � novamente. 
−9� + 3� − 15 = 0 
 
3� = 9� + 15 
 
Vamos dividir todos os termos por 3. 
� = 3� + 5 
Vimos que o número que multiplica � é o coeficiente angular. 
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O coeficiente linear será o termo independente. 
� = 3⏟]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 5⏟]λmν.ρτοmΖσ
 
 
Desta forma, concluímos que a reta acima corta o eixo � no ponto de ordenada 5. 
Como o coeficiente angular é positivo, então a reta é ascendente (forma um ângulo agudo com o 
eixo �). 
 
 
Os coeficientes angular e linear são fundamentais para desenhar um esboço da reta dada por uma 
equação. 
 
•! O coeficiente angular � está associado à inclinação da reta. 
•! Se � > 0, então a reta é ascendente. 
•! Se � < 0, então a reta é descendente. 
•! ��	� = 0, então a reta é horizontal. 
•! O coeficiente linear indica o ponto em que a reta corta o eixo �. 
Podemos ainda complementar o esboço do gráfico calculando o ponto de interseção da reta com o 
eixo �. Para tanto, como já vimos, basta substituir � por 0. 
 
 
 
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Exemplo: Esboce o gráfico da reta 2� + 4� − 6 = 0. 
Resolução 
Podemos adotar duas estratégias. Uma delas é encontrar os pontos de interseção da reta com os 
eixos coordenados. 
� = 0 → 				4� − 6 = 0			 → 				� = 1,5 
 
� = 0 → 			2� − 6 = 0				 → 			� = 3 
Assim, a reta corta o eixo � no ponto de ordenada 1,5 e a reta corta o eixo � no ponto de abscissa 
3. 
 
O coeficiente linear da reta é 1,5. 
Vamos isolar � na equação da reta. 
2� + 4� − 6 = 0 
 
4� = −2� + 6 
 
Vamos dividir todos os termos por 4. 
� = −2�4 + 64 
 
� = −0,5� + 1,5 
 
Observe: 
� = −0,5[]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 1,5β]λmν.ρτοmΖσ
 
Como o coeficiente angular é negativo, então a reta é descendente. 
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2.3.! POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
Dadas duas retas quaisquer �	�	� do plano cartesiano, há apenas três possíveis posições relativas 
entre elas. 
 
•! � e � são paralelas distintas ⟺ não possuem pontos em comum 
•! � e � são concorrentes ⟺ possuem um único ponto em comum 
•! � e � são paralelas coincidentes ⟺ possuem infinitos pontos comuns. 
 
Duas retas coincidentes são, na verdade, a mesma reta. 
 
As figuras a seguir representam as três possíveis situações. 
 
 
Não vamos incluir na nossa análise os casos em que pelo menos uma das retas é vertical. Isso 
porque não se define o coeficiente angular de uma reta vertical e a determinação da posição 
relativa entre as retas é imediata. 
Se duas retas distintas são verticais, então elas são paralelas distintas. Se uma delas é vertical e a 
outra não é, então elas são concorrentes. 
Vamos agora analisar os casos de retas não-verticais. 
 
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Duas retas que possuem o mesmo coeficiente angular possuem a mesma inclinação. 
 
Assim, ou elas são paralelas distintas ou elas são paralelas coincidentes. 
 
Quem vai decidir isso é o coeficiente linear (a ordenada do ponto em que a reta corta o 
eixo y). 
 
Se as retas possuírem coeficientes lineares distintos, então as retas são paralelas 
distintas. 
 
Se as retas possuírem o mesmo coeficiente linear, então as retas são coincidentes. 
 
Duas retas que possuem coeficientes angulares diferentes são concorrentes. 
 
 
Determine a posição relativa dos seguintes pares de retas: 
a) 3� + 6� − 7 = 0 e −2� − 4� + 5 = 0 
b) � − 2� + 3 = 0 e −5� + 10� − 15 = 0 
c) 3� − � + 6 = 0 e � − 3� + 9 = 0 
 
Resolução 
Em cada uma das alternativas, devemos isolar � para determinar os coeficientes angular e linear. 
a) 3� + 6� − 7 = 0 e −2� − 4� + 5 = 0 
3� + 6� − 7 = 0															 − 2� − 4� + 5 = 0 
 
6� = −3� + 7																			 − 4� = 2� − 5 
 
� = −0,5[]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 7/6ψ]λmν.ρτοmΖσ
															� = −0,5[]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 5/4ψ]λmν.ρτοmΖσ
 
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Observe que as duas retas possuem o mesmo coeficiente angular. Portanto, as retas são paralelas. 
Vamos agora decidir se são paralelas coincidentes ou paralelas distintas. 
Como os coeficientes lineares são diferentes, então as retas são paralelas distintas. 
 
 
b) � − 2� + 3 = 0 e −5� + 10� − 15 = 0 
 
� − 2� + 3 = 0															 − 5� + 10� − 15 = 0 
 
−2� = −� − 3																									10� = 5� + 15						 
 
� = 0,5β]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 3/2ψ]λmν.ρτοmΖσ
															� = 0,5β]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 15/10ζ{|]λmν.ρτοmΖσ
 
Observe que as duas retas possuem o mesmo coeficiente angular. Portanto, as retas são paralelas. 
Vamos agora decidir se são paralelas coincidentes ou paralelas distintas. 
Como os coeficientes lineares são iguais ΣΜ; = :Υ:}ς, então as retas são paralelas coincidentes. 
 
c) 3� − � + 6 = 0 e � − 3� + 9 = 0 
 
3� − � + 6 = 0																� − 3� + 9 = 0 
 
−� = −3� − 6																					 − 3� = −� − 9						 
 
� = 3⏟]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 6⏟]λmν.ρτοmΖσ
															� = (1/3)ζ{|]λmν.ΖοπθρΖσ
∙ � + 3⏟]λmν.ρτοmΖσ
 
 
Como os coeficientes angulares são diferentes, então as retas são concorrentes. 
 
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2.3.1.! RETAS PERPENDICULARES 
 
Vimos que duas retassão concorrentes se e somente se seus coeficientes angulares são diferentes. 
Um caso particular ocorre quando essas retas concorrentes são perpendiculares (formam um 
ângulo reto (90o)). 
Observe, por exemplo, as retas 2� + � − 3 = 0 (verde) e −2� + 4� + 10 = 0 (azul). 
 
Estas retas formam um ângulo de 90o e são, portanto, perpendiculares. 
 
Duas retas não-verticais � e � são perpendiculares se e somente se o produto de seus 
coeficientes angulares é igual a −1. 
Podemos também dizer que duas retas não-verticais são perpendiculares se e somente se seus 
coeficientes angulares são recíprocos e simétricos: recíproco porque devemos inverter a fração e 
simétricos porque devemos trocar o sinal. 
Vejamos o nosso exemplo acima. Vamos isolar � nas duas equações. 
 
2� + � − 3 = 0																	 − 2� + 4� + 10 = 0 
 
										� = −2� + 3																				4� = 2� + 10					 
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� = −2β]λmν.ΖοπθρΖσ
� + 3⏟]λmν.ρτοmΖσ
															� = (1/2)ζ{|]λmν.ΖοπθρΖσ
∙ � + 5/2	[]λmν.ρτοmΖσ
 
 
Os coeficientes angulares são −2 e :;. Estes coeficientes são recíprocos e simétricos, ou seja, seu 
produto é −1. 
−2 × 12 = −1 
Portanto, as retas são perpendiculares. 
 
2.4.! FORMAS DA EQUAÇÃO DA RETA 
Vimos que toda reta no plano pode ser descrita por uma equação do tipo 
�� + �� + � = 0 
Esta é a chamada Equação Geral da Reta. 
Entretanto, esta nem sempre é a forma mais adequada para realizar estudos sobre a reta. Vamos 
agora conhecer outras importantes formas de escrever a equação de uma reta. 
 
2.4.1.! FORMA REDUZIDA 
Em diversas ocasiões tivemos que isolar � na equação da reta. Quando fazemos isso, estamos 
obtendo a famigerada equação reduzida da reta. 
Começando pela equação geral da retal: 
�� + �� + � = 0 �� = −�� − � 
� = Σ−��ςζ{|]λmν.ΖοπθρΖσ
∙ � + Σ− ��ςζ{|]λmν.ρτοmΖσ
 
Fazendo � = −�/� e � = −�/�, temos: 
 
� = �� + � 
Nesta equação, � é o coeficiente angular e � é o coeficiente linear da reta. 
 
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Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos (−1,2) e (2,11). 
Resolução 
O primeiro passo é calcular o coeficiente angular. 
� = Δ�Δ� = 11 − 22 − (−1) 
 
� = 93 = 3 
 
Assim, a equação reduzida da reta, por enquanto, é � = 3⏟� � + �. 
 
Dizer que a reta passa pelo ponto (−1,2) é o mesmo que dizer que quando � = −1, � = 2. 
Assim, basta substituir esses valores na equação reduzida. Poderíamos também ter usado o ponto (2,11); o resultado seria exatamente o mesmo. 
2 = 3 ∙ (−1) + � 
 
� = 5 
Portanto, a equação reduzida da reta é � = 3⏟� � + 5⏟ο . 
 
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2.4.2.! FORMA SEGMENTÁRIA 
A Equação Segmentária é muito útil quando são dados os pontos de interseção da reta com os 
eixos coordenados. 
 
A reta passa pelos pontos (8,0) e (0,4). Poderíamos rapidamente obter a equação desta reta 
utilizando a forma reduzida. O primeiro passo seria calcular o coeficiente angular. 
 	
� = Δ�Δ� = 4 − 00 − 8 
 
� = 4−8 = −12 
Como a reta corta o eixo � no ponto de ordenada 4, então o coeficiente linear � é igual a 4. 
Portanto, a equação reduzida da reta é 
� = −12 ∙ � + 4 
A equação reduzida é importante porque deixa claro os valores dos coeficientes angular e linear. 
Assim, podemos saber qual é a inclinação da reta e onde a reta corta o eixo �. 
 
Vamos agora estudar a forma segmentária. A forma segmentária deixa claro onde a reta corta os 
eixos coordenados. 
 
 
 
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Se a reta � corta o eixo � no ponto de abscissa � e corta o eixo � no ponto de ordenada 
�, então sua equação é dada por α� + χο = 1. 
 
Observe que, no nosso exemplo, a reta corta o eixo � no ponto de abscissa 8 e também corta o 
eixo � no ponto de ordenada 4. 
Portanto, a equação na forma segmentária é: �8 + �4 = 1 
Esta equação é equivalente à equação reduzida que encontramos � = Σ− :;ς ∙ � + 4. São apenas 
equações escritas de formas diferentes. Uma delas (a equação reduzida) dá ênfase aos coeficientes 
angular e linear e a outra (equação segmentária) dá ênfase aos pontos de interseção da reta com 
os eixos coordenados. 
 
 
Dada a reta � de equação geral 6� + 3� − 1 = 0, obtenha a equação reduzida e a equação 
segmentária. 
Resolução 
Para obter a equação reduzida, basta isolar �. 
3� = −6� + 1 
 
																																										 � = −2� + 13 → ����çã�	�������� 
 
Com a equação reduzida, percebemos que a reta corta o eixo � no ponto de ordenada 1/3. 
Para calcular o ponto em que a reta corta o eixo �, basta substituir � por 0. 
−2� + 13 = 0 
 
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−2� = −13 
 
2� = 13 
 
� = 1/32 
 
� = 13 × 12 
 
� = 16 
Portanto, a reta corta o eixo � no ponto de abscissa 1/6 e corta o eixo � no ponto de ordenada 1/3. 
Eis a equação segmentária. �� + �� = 1 
 
																																																						 �16 +
�13 = 1 → ����çã�	�������á��� 
 
Poderíamos ter obtido a equação segmentária direto da equação geral sem passar pela equação 
reduzida. 
Comecemos com a equação geral da reta. 
6� + 3� − 1 = 0 
Para calcular o ponto de interseção com o eixo �, devemos substituir � por 0. 
6� + 3 ∙ 0 − 1 = 0 
 
6� = 1 
 
� = 16 
Para calcular o ponto de interseção com o eixo �, devemos substituir � por 0. 
6 ∙ 0 + 3� − 1 = 0 
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3� = 1 
� = 13 
Agora é só substituir na equação segmentária. �� + �� = 1 
 
																																																						 �16 +
�13 = 1 → ����çã�	�������á��� 
 
2.5.! EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR UM PONTO COM COEFICIENTE ANGULAR 
CONHECIDO 
Ficou um pouco grande o título deste tópico, né? Rss.. 
Não existe um nome bonitinho em português para esta fórmula. Em inglês, é conhecida como 
“point-slope form”. 
Slope é a tradução para “coeficiente angular”, que é o mesmo que declividade. Então seria algo 
como “forma ponto-declividade”. 
Já temos conhecimento suficiente para determinar a equação da reta sem o estudo desse tópico. 
Imagine, por exemplo, que queremos calcular a equação da reta que possui coeficiente angular 
igual a 3 e que passa pelo ponto (5,13). 
 
Vamos utilizar a equação reduzida. 
� = �� + � 
 
� = 3� + � 
 
Como a reta passa pelo ponto (5,13), vamos substituir � por 5 e � por 13. 
13 = 3 ∙ 5 + � � = −2 
Portanto, a equação reduzida da reta é: 
� = 3� − 2 
A fórmula que aprenderemos agora fornece a equação da reta em uma paulada só. Não 
precisamosfazer dois passos como acabamos de fazer. 
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A equação da reta que passa pelo ponto (�}, �}) e que possui coeficiente angular igual a � é dada por � − �} = �(� − �}). 
 
No nosso exemplo, temos uma reta de coeficiente angular igual a 3 e que passa pelo ponto (5,13). 
Portanto, sua equação é dada por: 
� − 13 = 3 ∙ (� − 5) 
 
3.!DISTÂNCIA DE PONTO A RETA 
Considere um ponto �(�}, �}) e uma reta � de equação geral �� + �� + � = 0. 
 
A distância � é dada por: 
� = ���} + ��} + �√�; + �; � 
 
Esta fórmula é bem fácil de memorizar. O primeiro passo é substituir o ponto na equação da reta. 
Assim, obtemos ��} + ��} + �. Em seguida, dividimos por √�; + �;. Para não correr o risco de 
obtermos um número negativo, tomamos o módulo do resultado. 
 
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Determine a distância do ponto (1, −2) à reta 6� − 8� − 15 = 0. 
Resolução 
Nessa equação geral, temos que � = 6 e � = −8. 
Portanto, 
Β�; + �; = Β6; + (−8); = √100 = 10 
 
Vamos substituir o ponto (1, −2) na expressão 6� − 8� − 15. Em seguida, vamos dividir o 
resultado por √�; + �; = 10. Por fim, tomamos o valor absoluto do resultado. 
� = ���} + ��} + �√�; + �; � 
 
� = �6 ∙ 1 − 8 ∙ (−2) − 1510 � 
 
� = �6 + 16 − 1510 � 
 
� = � 710� 
 
� = 710 = 0,7 
 
 
 
 
 
 
 
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4.!ÁREAS DE POLÍGONOS CONVEXOS 
Vamos agora aprender um algoritmo para calcular a área de um polígono convexo quando são 
dadas as coordenadas dos seus vértices. 
Vamos utilizar como exemplo o cálculo da área de um hexágono convexo. 
 
 
Os vértices do heptágono são �(6,−2), �(−2,−4), �(−4,2), �(−2,8), �(0,10), �(6,10), �(8,6). 
Para calcular a área, você precisa fazer um esboço dos pontos no plano para que possa dispô-los 
em sentido anti-horário ou em sentido horário. 
Você pode tomar qualquer vértice como ponto de partida. Começando por A, temos ABCDEFGA. 
Vamos organizar os dados em uma tabela. Na primeira linha, vamos colocar as abscissas (x) e na 
segunda linha vamos colocar as ordenadas (y). Lembre-se que devemos repetir as coordenadas do 
primeiro vértice para fechar o ciclo. 
� −� −� −� � � � � 
−2 −4 2 8 10 10 6 −2 
 
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O processo é parecido com o cálculo de um determinante. Vamos determinar o produto das 
“diagonais principais” (da esquerda para a direita e de cima para baixo). 
 
Vamos somar estes resultados. 
−24 − 4 − 32 − 20 + 0 + 36 − 16 = −60 
 
Vamos fazer o mesmo com as diagonais secundárias (da esquerda para a direita e de baixo para 
cima). No caso das diagonais secundárias, devemos inverter os sinais dos produtos obtidos. 
 
Vamos somar os resultados obtidos. 
−4 − 16 + 4 + 0 − 60 − 80 − 36 = −192 
 
Pois bem. Para calcular a área, devemos somar os resultados das duas somas, calcular o valor 
absoluto (ou seja, tornar o resultado positivo) e dividir por 2. 
� = | − 60 − 192|2 = | − 252|2 = 2522 
 
� = 126 
Se o polígono for um triângulo, não precisamos nos preocupar na orientação dos vértices, pois eles 
sempre estarão em sentido horário ou anti-horário. 
 
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Exemplo: Determine a área do triângulo de vértices (−4,−2), (2,6)	�	(6,4). 
Resolução 
Vamos armar a tabelinha e calcular os produtos das diagonais. Lembre-se que devemos trocar os 
sinais dos resultados das diagonais secundárias. 
 
A soma dos valores fica: 
−24 + 8 − 12 + 4 − 36 + 16 = −44 
 
A área é a metade do módulo desse resultado. 
� = |−44|2 = 442 
 
� = 22 
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5.!CIRCUNFERÊNCIAS 
Vamos considerar uma circunferência com centro no ponto �(�}, �}) e raio �. Seja �(�, �) um 
ponto genérico desta circunferência. 
 
A circunferência de centro � e raio � é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à 
distância � de �. 
Em outras palavras, todos os pontos �(�, �) da circunferência estão à mesma distância � do 
centro. 
��,� = � 
Vamos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos. Queremos a distância entre o ponto 
genérico �(�, �) e o centro (�}, �}). 
Β(� − �}); + (� − �}); = � 
Elevando os dois membros ao quadrado, temos: 
 (� − �}); + (� − �}); = �; 
Essa é a equação reduzida de uma circunferência de centro �(�}, �}) e raio �. 
Isto quer dizer que qualquer ponto (�, �) que pertença à circunferência tornará verdadeira a 
equação acima. 
Assim, por exemplo, a circunferência de centro (3, −2) e raio 4 tem equação: 
 (� − 3); + (� − (−2)); = 4; 
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Simplificando, temos: (� − 3); + (� + 2); = 16 
 
Exemplo: Determinar o centro e o raio da circunferência de equação �; + (� + 3); = 25. 
Resolução 
Basta comparar com a equação reduzida da circunferência. (� − �}); + (� − �}); = �; 
Assim, concluímos que �} = 0, �} = −3 e � = 5. 
Portanto, o centro é o ponto (0, −3) e o raio mede 5. 
 
(ESAF 2002/AFC-CGU) A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos, que tem a 
seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x,y), da circunferência até o seu centro 
C(a,b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (� − �); +(� − �); = �². Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo 
ponto (3,4) é: 
a) �² + �² = 4 
b) �² + �² = 9 
c) �² + �² = 16 
d) �² + �² = 25 
e) �² + �² = 49 
Resolução 
O centro é a origem do plano cartesiano, ou seja, o ponto (0,0). A circunferência passa pelo ponto 
(3,4). Para calcular o raio, basta calcular a distância do centro da circunferência até um ponto que a 
circunferência passa. 
� = Β(3 − 0)² + (4 − 0)² = 5 
Pronto. Já temos o centro e o raio da circunferência. Basta jogar os valores na equação e marcar a 
resposta. (� − �}); + (� − �}); = �; (� − 0); + (� − 0); = 5² �² + �² = 25 
Gabarito: D 
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5.1.! EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA 
Vamos desenvolver a equaçãoreduzida da circunferência. 
 (� − �}); + (� − �}); = �; 
Vamos expandir os produtos notáveis. 
 (�; − 2�}� + �};) + (�; − 2�}� + �};) = �; 
 
Organizando, temos: 
�; + �; − 2�}� − 2�}� + �}; + �}; − �; = 0 
Esta é a chamada equação normal da circunferência. 
Veja que você tem nada para decorar aqui no estudo da circunferência. A equação reduzida da 
circunferência é, na verdade, uma adaptação da fórmula da distância de dois pontos. A equação 
normal é apenas o desenvolvimento da equação reduzida. 
Com a prática, você vai deduzir a fórmula acima “de cabeça”. É o que eu faço sempre. 
Quando me deparo com uma questão de circunferência, penso: 
 (� − �}); + (� − �}); = �; 
 (�; − 2�}� + �};) + (�; − 2�}� + �};) = �; 
 
�; + �; − 2�}� − 2�}� + �}; + �}; − �; = 0 
 
Isso não deverá levar mais do que alguns segundos. 
Normalmente, será dada uma equação e você deverá comparar com a fórmula acima para calcular 
o centro e o raio. 
 
 
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Determine o centro e o raio das seguintes circunferências. 
a) �; + �; − 6� + 8� + 9 = 0 
b) �; + �; + 2� + 4� − 20 = 0 
 
Resolução 
Basta comparar termo a termo a equação dada com a equação normal de uma circunferência. 
A primeira circunferência é dada por: 
�; + �; − 6� + 8� + 9 = 0 
Agora observe a equação normal: 
�; + �;−2�}ζ{|�� � −2�}ζ{|� � + �}; + �}; − �;ζ���{���|� = 0 
Portanto, 
−2�} = −6 → �} = 3 
−2�} = 8 → �} = −4 
Finalmente, 
�}; + �}; − �; = 9 
 
3; + (−4); − �; = 9 
 
9 + 16 − �; = 9 
 
�; = 16 
Como o raio é positivo, 
� = 4 
A primeira circunferência tem centro (3, −4) e raio � = 4. 
Vamos à segunda circunferência de equação �; + �; + 2� + 4� − 20 = 0. 
 
�; + �;−2�}ζ{|; � −2�}ζ{|Τ � + �}; + �}; − �;ζ���{���|�;} = 0 
Portanto, 
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−2�} = 2 → �} = −1 
−2�} = 4 → �} = −2 
 
�}; + �}; − �; = −20 
 (−1); + (−2); − �; = −20 
 
1 + 4 − �; = −20 
 
�; = 25 
Como o raio é positivo, 
� = 5 
 
A segunda circunferência tem centro (−1,−2) e raio � = 5. 
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6.!ELIPSE 
As curvas que vamos estudar a partir de agora (elipse, hipérbole e parábola) são conhecidas como curvas 
cônicas (ou simplesmente cônicas). Elas são obtidas a partir da interseção de um plano com um cone. 
A elipse é uma curva que se obtém ao seccionar um cone com um plano inclinado em relação à base. 
 
Enquanto a circunferência tem um centro, a elipse possui dois focos �: e �; (poderíamos até 
considerar que uma circunferência seria uma “elipse com focos coincidentes”). 
 
O ponto médio do segmento �:�; é o centro � da elipse. 
Lá na circunferência, a distância de qualquer ponto dela até o centro é constante. Esta distância é 
igual ao raio. 
Como é a característica da elipse? 
 
 
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A soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse aos focos é constante. 
Melhor explicando: tome um ponto P qualquer e calcule a soma das distâncias deste ponto até os 
focos. Tome outro ponto Q e calcule a soma das distâncias deste ponto até os focos. Os dois 
resultados sempre serão iguais!! 
 
Na figura acima: 
���: é a distância de P ao foco �: e ���; é a distância de P ao foco �;. ���: é a distância de Q ao foco �: e ���; é a distância de Q ao foco �;. 
 
De acordo com a característica da elipse, podemos concluir que: 
 ���: + ���; = ���: + ���; 
 
A elipse possui dois eixos de simetria. Um dos eixos de simetria é a reta que passa 
pelos focos. O outro eixo de simetria é perpendicular ao primeiro e passa pelo centro 
da elipse. 
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Vamos agora definir os elementos da elipse. 
 
•! O segmento �:�; é o eixo maior e sua medida é 2�. 
•! O segmento �:�; é o eixo menor e sua medida é 2�. 
•! Os focos são os pontos �: e �;. 
•! A distância entre os focos é chamada de distância focal. 
•! A distância focal mede 2�. 
•! O centro � é o ponto médio dos segmentos �:�;, �:�; e �:�;. 
 
Desta forma, 
•! �:� = �;� = � 
•! �:� = �;� = � 
•! �:� = �;� = � 
Na figura fica mais fácil memorizar, né? 
 
 
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Nós vimos que a soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse aos focos é constante. 
Vamos agora calcular o valor desta soma. 
 �: é a medida do segmento ��: e �; é a medida do segmento ��;. 
 
Queremos calcular o valor de �: + �;. �: + �; =	? 
Pois bem. Não importa o ponto da elipse escolhido: o valor da soma das distâncias aos focos será 
constante. 
O truque para determinar o valor dessa soma é escolher um dos extremos do eixo maior: �: ou �;. 
Vou escolher �:. 
 
Novamente: �: é a medida do segmento �:�: e �; é a medida do segmento �:�;. 
No caso, �: é aquele segmento pequenininho e �;	 é a medida do segmento grandão que vai de �: 
até �;. 
Observe que um segmento está “por cima do outro”. 
Como a elipse é simétrica, a distância �:�: = �: é a mesma distância �;�;. Portanto, �;�; = �:. 
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Finalmente: �; é o segmento azul e �: é o segmento vermelho. A soma deles corresponde ao eixo 
maior, que mede 2�. 
�: + �; = 2� 
Vamos agora reescrever a propriedade da elipse com esse resultado que obtivemos. 
 
A soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse aos focos é igual à medida do 
eixo maior 2�. 
 
Vamos voltar àqueles pontos P e Q que usei no início. 
 
 ���: + ���; = 2� 
 ���: + ���; = 2� 
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Observe novamente a figura seguinte: 
 
A distância ��; é a metade da distância focal. Portanto, ��; = �. 
A distância ��: é a metade do eixo menor. Portanto, ��: = �. 
 
Acompanhe agora o raciocínio. Pela simetria, percebemos que �:�: = �:�;. 
 
Como �: é um ponto da elipse, então a soma das distâncias de �: aos focos é igual a 2�. Como �:�: + �:�; = 2� 
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Como sabemos que �:�: = �:�;, então: �:�: = �:�; = � 
 
Aplicando o Teorema do finado Pitágoras no triângulo ��:�;, temos: 
�; = �; + �; 
Essa relação é importantíssima. 
Lembre-se que 2� é a medida do eixo maior, 2� é a medida do eixo menor e 2� é a distância focal. 
 
 �; = �; + �; 
Quando variamos os valores de � e � (consequentemente � também será alterado), a elipse pode 
ficar mais ou menos “achatada”. Observe: 
 
A medida desse “achatamento” é dada pela excentricidade �, que é definida como: 
� = �� 
A excentricidade é um número 0 < � < 1. 
Quanto mais próxima de 0 a excentricidade, mais parecida com um círculo ficará a elipse. 
Poderíamos dizer que a circunferência é uma elipse de excentricidade nula (os focos coincidem e a 
distância focal é igual a 0). 
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Quando mais próxima de 1 a excentricidade, a elipse fica cada vez mais achatada. Se fosse possível 
termos uma excentricidade igual a 1, a elipse se tornaria um segmento de reta de tão achatada. 
Por fim, a área da elipse é dada por: 
� = ��� 
 
6.1.! EQUAÇÃO DA ELIPSE 
Não vou deduzir a fórmula da equação da elipse. A demonstração é bem trabalhosa e não vai nos 
trazer nenhum benefício didático, como foi o caso da reta e da circunferência. 
Precisamos, a priori, saber se o eixo maior é horizontal ou vertical. São dois casos a considerar. 
i) Elipse com centro no ponto (�}, �}) e eixo maior horizontal. 
 
A equação da elipse será dada por: 
(� − �})²�² + (� − �})²�² = 1 
 
ii) Elipse com centro no ponto (�}, �}) e eixo maior vertical. 
 
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A equação da elipse será dada por: 
(� − �})²�² + (� − �})²�² = 1 
 
Assim, por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto (4,6), semieixo maior � = 3 e semieixo 
menor � = 2 apresenta equação: 
a) Com eixo maior horizontal: 
(� − �})²�² + (� − �})²�² = 1 
 
(� − 4)²9 + (� − 6)²4 = 1 
b) Com eixo maior vertical: 
(� − �})²�² + (� − �})²�² = 1 
 
(� − 4)²4 + (� − 6)²9 = 1 
 
 
Determine a excentricidade, a distância focal, e a área da elipse 
25�² + 169�² = 4.225. 
Resolução 
A equação da elipse que conhecemos tem o número 1 do lado direito. Assim, vamos dividir a 
equação toda por 4.225 para “aparecer” este número 1. 
25�;4.225 + 169�
;
4.225 = 4.2254.225 
Simplificando as frações, temos: 
�;169 + �
;
25 = 1 
Como o número maior está “embaixo” do x, então o eixo maior é horizontal. 
Comparando com a equação da elipse: 
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(� − �})²�² + (� − �})²�² = 1 
Percebemos que: 
�} = 0 �} = 0 �² = 169 ⟺ � = 13 
�² = 25 ⟺ � = 5 
Como �² = �² + �², temos: 
13² = 5² + �² 169 = 25 + �; 144 = �; 
� = 12 
Agora podemos calcular tudo que o problema pediu. 
Distância focal: 2c = 24. 
Excentricidade: c/a=12/13 
Área da elipse: ��� = � ∙ 13 ∙ 5 = 65� 
 
 
7.!HIPÉRBOLE 
A hipérbole é um pouquinho diferente das curvas que estudamos até agora. Ela é formada por dois 
ramos. Não é uma curva contínua. 
 
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A propriedade da hipérbole é bem parecida com a propriedade da elipse. 
Vimos que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante e igual a 2�. 
Na hipérbole, em vez de soma vamos utilizar a palavra diferença. Assim, a diferença (em módulo) 
das distâncias de qualquer ponto da hipérbole aos focos é constante e igual a 2�. 
 
Vejamos agora onde estão os focos e quem serão �, � e � aqui no estudo da hipérbole. 
Comecemos pelos focos. A distância entre os focos será igual a 2�. 
 
Um dos focos é o ponto (−5,0) e o outro foco é o ponto (5,0). 
Neste exemplo, a distância focal é igual a 10. Portanto, 
2� = 10 � = 5 
O centro da hipérbole é justamente o ponto médio entre os focos. No nosso exemplo, o centro é o 
ponto (0,0). 
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Os pontos mais próximos dos dois ramos da hipérbole são chamados de vértices da hipérbole. O 
segmento que liga os vértices da hipérbole é chamado de eixo real. Observe o eixo real. O 
comprimento do eixo real é indicado por 2�. 
 
No nosso exemplo, um vértice é o ponto (−4,0) e o outro vértice é o ponto (4,0). Portanto, o 
comprimento do eixo real é 8. 
2� = 8 � = 4 
Observe que a hipérbole possui um eixo de simetria horizontal (neste exemplo, é o eixo �) e um 
eixo de simetria vertical (neste exemplo, é o eixo �). 
O eixo real está no eixo �. No eixo �, teremos o eixo imaginário. 
O comprimento do eixo imaginário será indicado por 2�. 
Aqui no estudo da hipérbole, a relação entre �, � e � é dada por: 
�; = �; + �; 
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Desta forma, podemos formar um triângulo retângulo de hipotenusa � e catetos � e �. O segmento 
de medida � já está desenhado na figura anterior. O segmento de medida � ficará no eixo �. Vou 
desenhar a hipotenusa de comprimento �. 
 
No nosso exemplo, tínhamos � = 5 e � = 4. Para manter a relação �; = �; + �;, temos que � =3. 
Uma curiosidade sobre a hipérbole. A hipérbole possui duas assíntotas. Em uma linguagem 
informal, assíntota é uma reta que se aproxima muito da hipérbole, mas nunca a toca. 
Como encontrar essas assíntotas? 
Vamos desenhar um retângulo de lados � e �. Observe: 
 
Pois bem. As retas que passam pelas diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole. Veja 
um pouco “mais de longe”: 
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A hipérbole e a reta se aproximam muito “no infinito”, mas nunca se tocam. 
Agora o eixo imaginário faz um pouco mais de sentido, né? 
 
Quando � = �, o retângulo se torna um quadrado. Neste caso, as assíntotas são 
perpendiculares e a hipérbole é chamada de hipérbole equilátera. 
 
Continuando... 
A hipérbole também tem excentricidade. A excentricidade da hipérbole é dada por: 
� = �� 
Na hipérbole, � > �. Portanto, a excentricidade será um número maior que 1. 
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7.1.! EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE 
Novamente temos dois casos a considerar para determinar a equação da hipérbole. 
Vamos considerar uma hipérbole com centro no ponto (�}, �}). 
i) O eixo real é horizontal. 
(� − �})²�² − (� − �})²�² = 1 
Observe que a equação parece muito com a da elipse, mudando apenas o sinal de + para -. 
Esse é justamente o caso da hipérbole que estávamos trabalhando. 
 
Neste caso, o centro é o ponto (0,0) e temos � = 4 e � = 3. Portanto, a equação dessa hipérbole 
é: 
(� − 0)²4² − (� − 0)²3² = 1 
 
�²16 − �
;
9 = 1 
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ii) O eixo real é vertical. 
Neste caso, o gráfico terá o seguinte aspecto. 
 
Sua equação será: 
(� − �})²�² − (� − �})²�² = 1 
 
Nesse exemplo, temos que o centro é o ponto (0,0), � = 4 e � = 3. A equação fica: 
(� − 0)²4² − (� − 0)²3² = 1 
 
�;16 − �
;
9 = 1 
 
 
 
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Calcular a excentricidade da hipérbole cuja equação é 9�² − 16�² = 144. 
Resolução 
Vamos utilizar o mesmo artifício daquela questão com a elipse. Vamos dividir os dois membros da 
equação por 144 para “aparecer” o número 1 no lado direito da equação. 
9�;144 − 16�
;
144 = 144144 
Simplificando as frações, temos: 
�;16 − �
;
9 = 1 
Assim, o eixo real é horizontal, o centro é o ponto (0,0) e: 
�² = 16 � = 4 
 
�² = 9 � = 3 
Aplicando a relação �² = �² + �². 
�² = 4² + 3² 
� = 5 
A excentricidade é igual a: �� = 54 = 1,25 
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8.!PARÁBOLA 
A parábola estudada aqui em Geometria Analítica é a mesma parábola estudada na função 
polinomial do segundo grau. Entretanto, vamos focar nossas atenções às características desta 
curva como lugar geométrico. 
Vamos escolher uma reta e um ponto qualquer no plano cartesiano. O ponto será chamado de 
foco e a reta será chamada de diretriz. 
 
A parábola é o conjunto dos pontos que estão a mesma distância do ponto e da reta. 
Como exemplo, vamos tomar como foco o ponto (0,1) e como diretriz a reta � = −1. 
 
Você consegue pensar em algum ponto que esteja à mesma distância do foco e da diretriz? 
Que tal o ponto (0,0)? 
 
Como a distância VF é igual à distância de V à reta diretriz, então o ponto V pertence à parábola. 
Este ponto V, que é justamente o ponto médio do segmento perpendicular que liga o foco à 
diretriz, é conhecido como vértice da parábola. 
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Existem infinitos outros pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Estes infinitos 
pontos formam a nossa parábola. Observe. 
 
A reta FV é o eixo de simetria da parábola. 
A distância do foco à diretriz é o parâmetro. Indicamos essa distância por �. Desta forma, a 
distância FV é igual a �/2. Obviamente a distância de V à diretriz também é �/2. 
 
Nesse exemplo, a distância do foco F à reta diretriz é igual a 2. Portanto, � = 2. 
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•! O ponto � é o foco 
•! A reta � é a diretriz 
•! A distância do foco à diretriz é o parâmetro �. 
•! O ponto V é o vértice. 
•! A reta �� é o eixo de simetria. 
•! A distância VF é a metade do parâmetro �/2. 
 
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8.1.! EQUAÇÃO DA PARÁBOLA 
Vamos considerar que o vértice é o ponto (�}, �}). São 4 casos a considerar. 
i) Eixo de simetria horizontal e concavidade voltada para a direita. 
 
Nesse caso, a equação é dada por: (� − �}); = 2�(� − �}) 
 
ii) Eixo de simetria horizontal e concavidade voltada para a esquerda. 
 
 
Nesse caso, a equação é dada por: (� − �}); = −2�(� − �}) 
 
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iii) Eixo de simetria vertical e concavidade voltada para cima 
 
Nesse caso, a equação é dada por: (� − �}); = 2�(� − �}) 
 
iv) Eixo de simetria vertical e concavidade voltada para baixo 
 
Nesse caso, a equação é dada por: (� − �}); = −2�(� − �}) 
 
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Determine a equação da parábola em cada um dos casos a seguir: 
a) Foco no ponto F(2,0) e vértice na origem. 
b) Foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0). 
c) Foco no ponto (1,0) e vértice no ponto (1,2). 
Resolução 
a) Foco no ponto F(2,0) e vértice na origem. 
Se o foco está no ponto (2,0) e o vértice na origem, então a concavidade está voltada para a direita 
(eixo de simetria horizontal). 
A distância do foco até o vértice é igual a 2. �2 = 2 � = 4 
Assim, a equação é dada por: (� − �}); = 2�(� − �}) 
 (� − 0); = 2 ∙ 4(� − 0) 
 
�² = 8� 
 
b) Foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0). 
Como o foco está à direita do vértice, a concavidade está voltada para a direita. 
A distância do foco até o vértice é igual a 2. �2 = 2 � = 4 
Portanto, (� − �}); = 2�(� − �}) 
 (� − 0); = 2 ∙ 4(� − 2) 
 
�² = 8� − 16 
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c) Foco no ponto (1,0) e vértice no ponto (1,2). 
Como o foco está abaixo do vértice, então a concavidade está voltada para baixo. A distância do 
foco até o vértice é igual a 2. �2 = 2 � = 4 
Portanto, (� − �}); = −2�(� − �}) 
 (� − 1); = −2 ∙ 4(� − 2) 
 (� − 1); = −8(� − 2) 
 
 
 
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APÊNDICE – CÁLCULO DE DETERMINANTE DE TERCEIRA ORDEM 
 
Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus. 
 
� = ��:: �:; �:Μ�;: �;; �;Μ�Μ: �Μ;