LISTA DE EXERCÍCIOS - GEOMETRIA ANALÍTICA

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1. (Eear) Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo tal que 𝐴(1,  1), 𝐵(3, −1) e 𝐶(5,  3). O ponto _____ é o 
baricentro desse triângulo. 
a) (2,  1). 
b) (3,  3). 
c) (1,  3). 
d) (3,  1). 
 
2. (Eear) Considere os pontos 𝐴( 2,  8) e 𝐵( 8,  0) A distância entre eles é de 
a) √14 
b) 3√2 
c) 3√7 
d) 10 
 
3. (Eear) Considere os segmentos de retas 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷, onde 𝐴(0,  10), 𝐵(2,  12), 𝐶( − 2,  3) e 
𝐷( 4,  3). O segmento 𝑀𝑁 determinado pelos pontos médios dos segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 é dado 
pelos pontos 𝑀 e 𝑁, pertencentes respectivamente a 𝐴𝐵 e a 𝐶𝐷. 
 
Assinale a alternativa que corresponde corretamente a esses pontos. 
a) 𝑀(
1
2
,  1) e 𝑁(−1,  3) 
b) 𝑀( − 2,  10) e 𝑁( − 1,  3) 
c) 𝑀(1, −2) e 𝑁(1,  3) 
d) 𝑀(1,  11) e 𝑁( 1,  3) 
 
4. (Eear) O triângulo 𝐴𝐵𝐶 formado pelos pontos 𝐴 (7,  3), 𝐵 (−4,  3) e 𝐶 (−4, −2) é 
a) escaleno 
b) isósceles 
c) equiângulo 
d) obtusângulo 
 
5. (Eear) Sejam 𝐴(−3,  3),  𝐵(3,  1),  𝐶(5, −3) e 𝐷(−1, −2) vértices de um quadrilátero 
convexo. A medida de uma de suas diagonais é 
a) 15 
b) 13 
c) 12 
d) 10 
 
6. (Epcar (Afa)) A circunferência 𝜆 é tangente à reta 𝑟: 𝑦 =
3
4
𝑥 também é tangente ao eixo das 
abscissas no ponto de abscissa 6. 
 
Dentre as equações abaixo, a que representa uma parábola que contém a origem do plano 
cartesiano e o centro de 𝜆 é 
a) 12(𝑦 − 𝑥) + 𝑥2 = 0 
b) 3𝑦2 − 12𝑦 + 2𝑥 = 0 
c) 2𝑦2 − 3𝑥 = 0 
d) 12𝑦 − 𝑥2 = 0 
 
7. (Eear) A equação reduzida da reta que passa pelos pontos 𝐴(0,  1) e 𝐵( 6,  8) é dada por 
a) 𝑦 = 7𝑥 + 1 
b) 𝑦 = 6𝑥 + 1 
 
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c) 𝑦 =
7
6
𝑥 + 1 
d) 𝑦 =
6
7
𝑥 + 1 
 
8. (Eear) Considere os pontos 𝐴(2,  3) e 𝐵(4,  1) e a reta 𝑟: 3𝑥 + 4𝑦 = 0. Se 𝑑𝐴, 𝑟 e 𝑑𝐵, 𝑟 são, 
respectivamente, as distâncias de 𝐴 e de 𝐵 até a reta 𝑟, é correto afirmar que 
a) 𝑑𝐴, 𝑟 > 𝑑𝐵, 𝑟 
b) 𝑑𝐴, 𝑟 < 𝑑𝐵, 𝑟 
c) 𝑑𝐴, 𝑟 = 𝑑𝐵, 𝑟 
d) 𝑑𝐴, 𝑟 = 2𝑑𝐵, 𝑟 
 
9. (Espcex (Aman)) Os pontos 𝑀 (0,  𝑦), com 𝑦 ≥ 0 e 𝑁 (√3,  4) pertencem a uma 
circunferência de centro 𝐶 (0,  2). Considere o ponto 𝑃, do gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2, que possui 
ordenada 𝑦 igual à do ponto 𝑀. 
 
 
 
A abscissa 𝑥 do ponto 𝑃 é igual a 
a) √7. 
b) √7 + 2. 
c) 7. 
d) 9. 
e) 12. 
 
10. (Epcar (Afa)) Considere os pontos 𝐴 (4 , −2), 𝐵   (2 ,  0) e todos os pontos 𝑃 (𝑥   , 𝑦), 
sendo 𝑥 e 𝑦 números reais, tais que os segmentos 𝑃𝐴 e 𝑃𝐵 são catetos de um mesmo triângulo 
retângulo. 
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos 𝑃 (𝑥   , 𝑦) são tais que 
a) são equidistantes de 𝐶 (2 , −1) 
b) o maior valor de 𝑥 é 3 + √2 
c) o menor valor de 𝑦 é −3 
d) 𝑥 pode ser nulo. 
 
11. (Epcar (Afa)) Em umas das extremidades de um loteamento há um terreno triangular que 
será aproveitado para preservar a área verde tendo em seu interior uma região quadrada que 
será pavimentada e destinada a lazer. 
 
Levando as medidas desse projeto, em metros, para o plano cartesiano, em uma escala de 
1: 100, tem-se: 
 
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- 𝑂 é a origem do plano cartesiano; 
- 𝑂,  𝑃 e 𝑄 são os vértices do terreno triangular; 
- dois vértices do triângulo são os pontos 𝑃(−2,  0) e 𝑄(0,  6) e dois de seus lados estão 
contidos nos eixos cartesianos; 
- 𝑂,  𝑀,  𝑅 e 𝑁 são os vértices da região quadrada; 
- a área da região quadrada tem três vértices consecutivos 𝑀,  𝑂 e 𝑁 sobre os eixos 
cartesianos; e 
- R está alinhado com 𝑃 e 𝑄 
 
Assim, pode-se afirmar que 
a) a abscissa do ponto 𝑅 é maior que −1 
 
b) a região pavimentada supera 25.000 𝑚2 
c) a ordenada de 𝑅 é maior que 
7
5
 
d) sobram, para área verde, exatamente, 37.000 𝑚2 
 
12. (Espcex (Aman)) Os pontos 𝐴(3, −2) e 𝐶(−1,  3) são vértices opostos de um quadrado 
𝐴𝐵𝐶𝐷. A equação da reta que contem a diagonal 𝐵𝐷 é 
a) 5𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0. 
b) 8𝑥 − 10𝑦 − 3 = 0. 
c) 8𝑥 + 10𝑦 − 13 = 0. 
d) 4𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0. 
e) 4𝑥 + 5𝑦 − 7 = 0. 
 
13. (Epcar (Afa)) Para construir um viaduto, a prefeitura de uma cidade precisará desapropriar 
alguns locais de uma determinada quadra da cidade. 
Para identificar o que precisará ser desapropriado, fez-se um esboço da planta dessa quadra 
no qual os locais foram representados em um plano cartesiano e nomeados de 𝐴1 até 𝐴10, 
conforme figura a seguir. 
 
 
 
O viaduto estará representado pela região compreendida entre as retas de equações 𝑟: −
1
2
𝑥 −
𝑦 + 8 = 0 e 𝑠: −𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0. 
 
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Um local será inteiramente desapropriado se o viaduto passar por qualquer trecho de seu 
território. 
Se cada unidade do plano no esboço da planta equivale a 10 𝑚 na situação real, então a área 
total dos locais dessa quadra que precisará ser desapropriada, em 𝑚2, é igual a 
a) 5.950 
b) 6.450 
c) 6.950 
d) 7.450 
 
14. (Eear) Para que os pontos 𝐴(𝑥,  3),  𝐵(−2𝑥,  0) e 𝐶(1,  1) sejam colineares, é necessário 
que 𝑥 seja 
a) −2 
b) −1 
c) 2 
d) 3 
 
15. (Eear) A reta 𝑠 que passa por 𝑃(1,  6) e é perpendicular a 𝑟: 𝑦 =
2
3
𝑥 + 3 é 
a) 𝑦 =
3
2
𝑥 
b) 𝑦 = 𝑥 + 5 
c) 𝑦 = −
2
3
𝑥 +
20
3
 
d) 𝑦 = −
3
2
𝑥 +
15
2
 
 
16. (Espcex (Aman)) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação 2𝑥 + 3𝑦 −
4 = 0 é o ponto 
a) (−3,−1). 
b) (−1,−2). 
c) (−4,4). 
d) (3,8). 
e) (3,2). 
 
17. (Espcex (Aman)) Considere a circunferência (𝜆) 𝑥2 + 𝑦2 − 4x = 0 e o ponto 𝑃(1, √3). Se a 
reta t é tangente a 𝜆 no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo 
horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é 
a) –2 
b) 2 + √3 
c) 3 
d) 3 + √3 
e) 3 + 3√3 
 
18. (Eear) O triângulo determinado pelos pontos 𝐴(−1, −3), 𝐵( 2,  1) e 𝐶( 4,  3) tem área igual 
a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
 
19. (Eear) Dada a reta 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 e o ponto 𝑃(5,  6), a distância de 𝑃 à reta 𝑟 é 
a) √91 
 
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b) 30√13 
c) 
3√91
91
 
d) 
3√13
13
 
 
20. (Epcar (Afa)) Considere no plano cartesiano as retas 𝑟 e 𝑠 dadas pelas equações: 
 
𝑟: 3𝑥 + 3𝑝𝑦 + 𝑝 = 0 
𝑠: 𝑝𝑥 + 9𝑦 − 3 = 0 , onde 𝑝 ∈ ℝ. 
 
Baseado nessas informações, marque a alternativa INCORRETA. 
a) 𝑟 e 𝑠 são retas concorrentes se |𝑝| ≠ 3. 
b) Existe um valor de 𝑝 para o qual 𝑟 é equação do eixo das ordenadas e 𝑠 é perpendicular a 𝑟. 
c) 𝑟 e 𝑠 são paralelas distintas para dois valores reais de 𝑝. 
d) 𝑟 e 𝑠 são retas coincidentes para algum valor de 𝑝. 
 
21. (Efomm) A projeção ortogonal de 𝐴 sobre a reta 𝐵𝐶, sabendo-se que 𝐴 = (3,  7),  𝐵 =
(1,  1) e 𝐶 = (9,  6), terá as coordenadas da projeção 
a) 𝑥 =
468
85
;  𝑦 =
321
89
. 
b) 𝑥 =
478
87
;  𝑦 =
319
87
. 
c) 𝑥 =
487
84
;  𝑦 =
321
87
. 
d) 𝑥 =
457
89
;  𝑦 =
319
89
. 
e) 𝑥 =
472
89
;  𝑦 =
295
89
. 
 
22. (Epcar (Afa)) Considere no plano cartesiano os pontos 𝐴 (2,  0) e 𝐵 (6, −4) que são 
simétricos em relação à reta 𝑟. 
 
Se essa reta 𝑟 determina na circunferência 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 32 = 0 uma corda que mede 𝑛 
unidades de comprimento, então 𝑛 pertence ao intervalo 
a) [4,  5[ 
b) [3,  4[ 
c) [2,  3[ 
d) [1,  2[ 
 
23. (Espcex (Aman)) Uma reta tangente à curva de equação 𝑦 = 𝑥2 é paralela à reta 6𝑥 − 𝑦 +
5 = 0. As coordenadas do ponto de tangência são 
a) (3,  9). 
b) (6,  5). 
c) (5,  6). 
d) (5,  9). 
e)(9,  3). 
 
24. (Epcar (Afa)) Considere no plano cartesiano as retas 𝑟: {
𝑥  =  2t
𝑦  =  3t  + 
1
2
 e 𝑠: (𝑘  +
 1)𝑥 –  𝑦 – 
𝑘
2
 =  0, onde 𝑘  ∈  ℝ. 
Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão 
a) concorrentes perpendiculares. 
b) concorrentes oblíquas. 
c) paralelas distintas. 
 
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d) paralelas coincidentes. 
 
25. (Epcar (Afa)) Sejam a e b dois números reais positivos. 
As retas r e s se interceptam no ponto (a, b) 
Se (
𝑎
2
,  0) ∈ 𝑟 e (0, 
𝑏
2
) ∈ 𝑠, então uma equação para a reta t, que passa por (0, 0) e tem a 
tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é 
a) 3abx + (2a2– 𝑏2)𝑦 = 0 
b) 3bx– 𝑏(𝑎2 + 𝑏2)𝑦 = 0 
c) 3ax– 𝑎(𝑎2 + 𝑏2)𝑦 = 0 
d) 3abx– 2(𝑎2 + 𝑏2)𝑦 = 0 
 
26. (G1 - cmrj) Com base na definição a seguir, responda. 
 
“A área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de sua 
altura.” 
 
Considere o retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, cuja base mede 40 𝑐𝑚 e altura mede 60 𝑐𝑚, e o triângulo 𝐵𝐸𝐹 
construído com vértices sobre os lados do retângulo, conforme a figura abaixo. Sabendo que 
𝐸𝐷 = 3𝐷𝐹 e a área do triângulo 𝐵𝐸𝐹 é a maior possível, qual a área deste triângulo? 
 
 
a) 750 𝑐𝑚2 
b) 900 𝑐𝑚2 
c) 1050 𝑐𝑚2 
d) 1200 𝑐𝑚2 
e) 1350 𝑐𝑚2 
 
27. (G1 - cmrj) A imagem a seguir ilustra parte do gráfico da função real polinomial do primeiro 
grau 𝑦, de variável real 𝑥, além dos pontos 𝐻,  𝑃,  𝐴 e 𝐵, pertencentes a esse gráfico, no plano 
cartesiano 𝑥𝑂𝑦. 
 
 
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A diferença entre as abscissas dos pontos 𝐴 e 𝐵 é 4, e a diferença entre as ordenadas desses 
mesmos pontos é 3. 
 
Se o segmento 𝑂𝐻 mede 3, então o gráfico intersecta o eixo 𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗ no ponto 𝑃, cuja ordenada é 
a) 3,00 
b) 3,25 
c) 3,75 
d) 4,00 
e) 5,00 
 
28. (Epcar (Afa)) Um quadrado de 9 cm2de área tem vértices consecutivos sobre a bissetriz 
dos quadrantes pares do plano cartesiano. 
Se os demais vértices estão sobre a reta r, que não possui pontos do 3º quadrante, é incorreto 
afirmar que a reta r 
a) pode ser escrita na forma segmentária. 
b) possui o ponto 𝑃(−√2, 2√2) 
c) tem coeficiente linear igual a 3√2 
d) é perpendicular à reta de equação 2𝑥 − 2𝑦 = 0 
 
29. (Epcar (Afa)) Considere, no plano cartesiano, a circunferência 𝜆:𝑚𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑛𝑥𝑦 − 16𝑥 +
3𝑘 − 1 = 0, em que 𝑚, 𝑛 e 𝑘 são números reais. 
Sabe-se que a circunferência 𝜆 tangencia a reta de equação 3𝑥 − 4𝑦 − 16 = 0. 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA. 
 
( ) O ponto 𝑃(3𝑘,  𝑛) é interior a 𝜆 
( ) 𝜆 tangencia o eixo das ordenadas. 
( ) 𝜆 tem abscissa máxima igual à ordenada máxima. 
 
Tem-se a sequência correta em 
a) F – V – V 
b) F – F – V 
c) V – F – F 
d) V – V – F 
 
30. (Efomm) A forma de uma montanha pode ser descrita pela equação 𝑦 = −𝑥2 + 17𝑥 − 66 
(6 ≤ 𝑥 ≤ 11). Considere um atirador munido de um rifle de alta precisão, localizado no ponto 
(2,  0). A partir de que ponto, na montanha, um indefeso coelho estará 100% seguro? 
a) (8,  9). 
 
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b) (8,  6). 
c) (7,  9). 
d) (7,  5). 
e) (7,  4). 
 
31. (Espcex (Aman)) Considere a reta 𝑡 mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos 
em que a reta 
𝑠: 2 𝑥 −3𝑦 + 12 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto 𝑀(1,  1) à 
reta 𝑡 é 
a) 
13√3
11
 
b) 
10√13
13
 
c) 
13√11
13
 
d) 
3√11
13
 
e) 
3√3
11
 
 
32. (Espcex (Aman)) A equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 1, no 
ponto (4, −7), é igual a 
a) 𝑦 = −2𝑥 + 1. 
b) 𝑦 = 3𝑥 − 19. 
c) 𝑦 = 𝑥 − 11. 
d) 𝑦 = −3𝑥 + 5. 
e) 𝑦 = 2𝑥 − 15. 
 
33. (Eear) As posições dos pontos 𝐴 (1,  7) e 𝐵 (7,  1) em relação à circunferência de equação 
(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 2)2 = 16 são, respectivamente, 
a) interna e interna. 
b) interna e externa. 
c) externa e interna. 
d) externa e externa. 
 
34. (Espcex (Aman)) O ponto da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada 
máxima é 
a) (0, −6) 
b) (−1,−3) 
c) (−1,0) 
d) (2,3) 
e) (2, −3) 
 
35. (Esa) Qual é a posiçمo do ponto P(5, 3) em relaçمo à circunferência de centro C(3, 1) e raio igual a 5 
unidades? 
a) Externo. 
b) Interno, não coincidente com o centro. 
c) Pertence à circunferência. 
d) Coincidente com o centro. 
e) Excêntrico. 
 
36. (Espcex (Aman)) Sejam dados a circunferência 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 10𝑦 + 25 = 0 e o ponto 
P, que é simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da 
circunferência concêntrica à 𝜆 e que passa pelo ponto P. 
 
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a) 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 10𝑦 + 16 = 0 
b) 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 10𝑦 + 12 = 0 
c) 𝜆: 𝑥2 − 𝑦2 + 4𝑥 − 5𝑦 + 16 = 0 
d) 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 5𝑦 + 12 = 0 
e) 𝜆: 𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑥 − 10𝑦 − 17 = 0 
 
37. (Espcex (Aman)) Uma circunferência tem centro no eixo das abscissas, passa pelo ponto 
(4,  4) e não intercepta o eixo das coordenadas. Se a área do círculo definido por essa 
circunferência é 17𝜋, a abscissa de seu centro é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
38. (Efomm) Quanto à posição relativa, podemos classificar as circunferências (𝑥 − 2)2 + (𝑦 −
3)2 = 9 e 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 15 = 0 
a) secantes. 
b) tangentes internas. 
c) tangentes externas. 
d) externas. 
e) internas. 
 
39. (Espcex (Aman)) As equações das retas paralelas à reta 𝑟: 3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0, que cortam a 
circunferência 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, 
são, respectivamente 
a) 3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0 e 3𝑥 + 4𝑦 + 25 = 0. 
b) 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 e 3𝑥 + 4𝑦 − 25 = 0. 
c) 3𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0 e 3𝑥 − 4𝑦 + 25 = 0. 
d) 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 e 3𝑥 + 4𝑦 + 25 = 0. 
e) 3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0 e 3𝑥 + 4𝑦 − 25 = 0. 
 
40. (Espcex (Aman)) Sabendo-se que a equação 2𝑥2 + 𝑎𝑦2 − 𝑏𝑥𝑦 − 4𝑥 + 8𝑦 + 𝑐 = 0 
representa uma circunferência de raio 3, a soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a 
a) −10. 
b) −6. 
c) −2. 
d) 2. 
e) 6. 
 
41. (Epcar (Afa)) Considerando a circunferência de equação 𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, é 
correto afirmar que 
a) 𝜆 é concêntrica com 𝛼: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 1 
b) o ponto 𝑂(0,0) é exterior a 𝜆 
c) a reta 𝑟:  𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 é tangente a 𝜆 
d) 𝜆 é simétrica da circunferência 𝛽: (𝑥 −1)2 + (𝑦 + 2)2 = 9, em relação ao ponto 𝑂(0,0). 
 
42. (Epcar (Afa)) Considere no plano cartesiano a circunferência 𝜆 tangente à bissetriz dos 
quadrantes ímpares no ponto 𝐴(1,  1). 
 
Sabendo que a reta 𝑡: 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 tangencia 𝜆 no ponto 𝐵, marque a opção correta. 
a) A soma das coordenadas de 𝐵 é igual a 3. 
 
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b) 𝑃(−1,  2) é exterior a 𝜆. 
c) O ponto de 𝜆 mais próximo da origem é 𝑄(0,  2 − √2). 
d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a 𝜆. 
 
43. (Espcex (Aman)) Seja 𝐶 a circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 2 = 0. Considere 
em 𝐶 a corda 𝑀𝑁 cujo ponto médio é 𝑃( − 1, −1). O comprimento de 𝑀𝑁 (em unidade de 
comprimento) é igual a 
a) √2 
b) √3 
c) 2√2 
d) 2√3 
e) 2 
 
44. (Espcex (Aman)) Considere a circunferência que passa pelos pontos (0,  0), (0,  6) e (4,  0) 
em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0,  6) e (4,  0) 
pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentesa 
essa circunferência, que passa pelo ponto (3, −2), tem por equação 
a) 3𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0 
b) 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 
c) 2𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 
d) 𝑥 − 5𝑦 − 13 = 0 
e) 8𝑥 + 3𝑦 − 18 = 0 
 
45. (Efomm) Sejam as circunferências 𝑐1: 𝑥
2 + 𝑦2 − 16 = 0 e 𝑐2: (𝑥 −2)
2 + (𝑦+2)2 = 4. 
Considere 𝐴 e 𝐵 os pontos de intersecção dessas circunferências. Determine a distância entre 
𝐴 e 𝐵. 
a) 2√7 
b) √14 
c) 2√14 
d) √7 
e) 
√7
2
 
 
46. (Epcar (Afa)) No plano cartesiano, a circunferência 𝜆 de equação 𝑥2  + 𝑦2  −  6x  +
 10𝑦  +  𝑘  =  0, com 𝑘  ∈  ℝ, determina no eixo das ordenadas uma corda de comprimento 
ℓ  =  8. 
Dessa forma, é correto afirmar que 
a) 𝜆 é tangente ao eixo Ox⃡⃗⃗⃗ 
b) o raio de 𝜆 é igual a √𝑘 
c) 𝑃(k , −1)  ∈  𝜆 
d) 𝜆 é secante à reta 𝑥  =  𝑘 
 
47. (Epcar (Afa)) Seja 𝜆: 3𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑥 − 12𝑦 + 𝑘 = 0, uma circunferência que no plano 
cartesiano tem intersecção vazia com os eixos coordenados. 
 
Considerando 𝑘 ∈ ℝ, é correto afirmar que 
a) 𝑃 (
𝑘
3
,  
𝑘
3
) é interior a 𝜆. 
b) existem apenas dois valores inteiros para 𝑘. 
c) a reta 𝑟: 𝑥 = 𝑘 intersecta 𝜆. 
d) se 𝑐 é o comprimento de 𝜆, então 𝑐 > 2𝜋 unidades de comprimento. 
 
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48. (Epcar (Afa)) Considere no plano complexo, o conjunto dos números 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ; {𝑥,  𝑦} ⊂
ℝ e 𝑖2 = −1 que satisfazem a condição |𝑧|  ≥   |2𝑧 + 1| 
 
É FALSO afirmar que 
a) este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a 
1
3
 
b) 𝑧 = −1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto. 
c) 𝑧 = −
1
3
 é o elemento de maior argumento, neste conjunto. 
d) não existe 𝑧, neste conjunto, que seja imaginário puro. 
 
49. (Epcar (Afa)) No plano cartesiano, os focos 𝐹1 e 𝐹2 da elipse 𝛼:
𝑥2
36
+
𝑦2
32
= 1 são pontos 
diametralmente opostos da circunferência 𝜆 e coincidem com as extremidades do eixo real de 
uma hipérbole equilátera 𝛽. 
 
É INCORRETO afirmar que 
a) 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝜆 = ∅ 
b) 𝜆 ∩ 𝛽 = {𝐹1,  𝐹2} 
c) 𝛼 ∩ 𝛽 = {𝐴,  𝐵,  𝐶,  𝐷}, sendo 𝐴,  𝐵,  𝐶,  𝐷 pontos distintos 
d) 𝛼 ∩ 𝜆 ≠ ∅ 
 
50. (Epcar (Afa)) Considere no plano cartesiano um triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 em que: 
 
- os vértices 𝐵, de abscissa positiva, e 𝐶, de abscissa negativa, estão sobre o eixo 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗; 
- possui baricentro no ponto 𝐺 (0, 
√3
3
) 
 
Considere também, nesse mesmo plano cartesiano, a circunferência 𝜆1 inscrita e a 
circunferência 𝜆2 circunscrita ao triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
 
Analise as proposições abaixo e escreva (V) para verdadeira e (F) para falsa. 
 
( ) A reta 𝑟, suporte do lado 𝐴𝐵, passa pelo ponto (−1,  𝑏), em que 𝑏 é o dobro do oposto do 
coeficiente angular de 𝑟 
( ) O círculo delimitado por 𝜆2 contém o ponto (−
1
2
,   √3) 
( ) O ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares de abscissa 
√3
3
 pertence a 𝜆1 
 
A sequência correta é 
a) V - F - V 
b) F - F - V 
c) V - F - F 
d) F - V - F 
 
51. (Epcar (Afa)) O ponto da reta 𝑟: 𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0 que está mais próximo da origem do 
sistema cartesiano é também exterior à circunferência 𝜆: 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 12𝑦 + 𝑘 − 4 = 0, 
com 𝑘 ∈ ℤ. 
 
É correto afirmar que dentre os possíveis valores de 𝑘 
a) existem 8 elementos. 
b) três são números primos. 
 
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c) há um elemento que é um quadrado perfeito. 
d) existem números negativos. 
 
52. (Epcar (Afa)) Sejam as matrizes 𝑀 = [
𝑥 − 2𝑦 1
3𝑥 + 𝑦 −1
] e 𝑁 = [
1 −1 3
0 1 2
−2 1 −4
] 
 
A melhor representação, no plano cartesiano, dos pares ordenados (𝑥,  𝑦) que satisfazem à 
inequação 𝑑𝑒𝑡(𝑀) ≤ 𝑑𝑒𝑡(𝑁) é 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
53. (Espcex (Aman)) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo 
MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas 
cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela equação 
𝑥2
362
+
𝑦2
602
= 1. Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do retângulo MNPQ. 
 
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Assim, a distância entre as retas MN e PQ é 
a) 48 m 
b) 68 m 
c) 84 m 
d) 92 m 
e) 96 m 
 
54. (Espcex (Aman)) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9𝑥2 − 𝑦2 =
36𝑥 + 8𝑦 − 11 é dada por 
a) duas retas concorrentes. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma parábola. 
e) uma hipérbole. 
 
55. (Espcex (Aman)) O ponto 𝑃 (𝑎,
1
3
) pertence à parábola 𝑥 =
𝑦2+3
3
. A equação da reta 
perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares que passa por P é: 
a) 27x + 27y– 37 = 0 
b) 37x + 27y– 27 = 0 
c) 27x + 37y– 27 = 0 
d) 27x + 27y– 9 = 0 
e) 27x + 37y– 9 = 0 
 
56. (Espcex (Aman)) Sobre a curva 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a alternativa 
correta. 
a) Seu centro é (– 2,1). 
b) A medida do seu eixo maior é 25. 
c) A medida do seu eixo menor é 9. 
d) A distância focal é 4. 
e) Sua excentricidade é 0,8. 
 
57. (Espcex (Aman)) Considere as afirmações: 
 
I. Uma elipse tem como focos os pontos 𝐹1(−3,  0), 𝐹2(3,  0) e a medida do eixo maior é 8. Sua 
equação é 
𝑥2
16
+
𝑦2
7
= 1. 
 
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II. Os focos de uma hipérbole são 𝐹1(−10,  0), 𝐹2(10,  0) e sua excentricidade é 
5
3
. Sua equação 
é 16𝑥2 − 9𝑦2 = 576. 
III. A parábola 8𝑥 = −𝑦2 + 6𝑦 − 9 tem como vértice o ponto 𝑉(3,  0). 
 
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Apenas as afirmações I e III são falsas. 
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
58. (Epcar (Afa)) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de 
equação 𝑥2 + 9y2 − 8x − 54y + 88 = 0 é correto afirmar que 
a) tem raio igual a 1. 
b) tangencia o eixo das abscissas. 
c) é secante ao eixo das ordenadas. 
d) intercepta a reta de equação 4x– 𝑦 = 0. 
 
59. (Efomm) A equação (
𝑥2
144
) + (
𝑦2
225
) = 1 representa uma 
a) elipse com focos em (0,  9) e (0, −9). 
b) circunferência de raio igual 9. 
c) parábola. 
d) hipérbole. 
e) elipse com centro em [12,  15]. 
 
60. (Espcex (Aman)) Os valores reais de 𝑛 para os quais a reta (𝑡) 𝑦 =𝑥+𝑛 seja tangente à 
elipse de equação 2 𝑥2+3𝑦2 = 6 são iguais a 
a) −√5 e √5 
b) −√3 e √3 
c) −3 e 3 
d) −2 e 2 
e) −5 e 5 
 
61. (Epcar (Afa)) No plano cartesiano, os pontos 𝑃(𝑥,   𝑦) satisfazem a equaзгo 
(𝑥 −1)2
25
+
(𝑦 +2)2
9
= 1 da 
curva 𝜆. 
 
Se 𝐹1 e 𝐹2 sгo os focos de 𝜆, tais que a abscissa de 𝐹1 й menor que a abscissa de 𝐹2, й INCORRETO 
afirmar que 
a) a soma das distâncias de 𝑃 a 𝐹1 e de 𝑃 a 𝐹2 é igual a 10. 
b) 𝐹1 coincide com o centro da curva 𝑥
2+𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 = 0. 
c) 𝐹2 é exterior a 𝑥
2+𝑦2 = 25. 
d) o ponto de abscissa máxima de 𝜆 pertence à reta 𝑦 =𝑥 −8. 
 
62. (Espcex (Aman)) Uma elipse tem centro na origem e vértices em (2𝑎,  0) e (0,  𝑎), com 𝑎 >
0. A área do quadrado inscrito nessa elipse é 
a) 
16𝑎2
5
. 
b) 
4𝑎2
5
. 
c) 
12𝑎2
5
. 
 
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d) 
8𝑎2
5
. 
e) 
20𝑎2
5
. 
 
63. (Espcex (Aman)) Uma reta 𝑡 passa pelo ponto 𝐴(−3,0) e é tangente à parábola de 
equação 𝑥 = 3y2 no ponto 𝑃. 
Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações. 
a) 𝑡: 𝑥 − 10𝑦 + 3 = 0 e 𝑃(27,3)b) 𝑡: 2𝑥 − 15𝑦 + 6 = 0 e 𝑃(12,2) 
c) 𝑡: 2𝑥 − 15𝑦 + 6 = 0 e 𝑃(12, −2) 
d) 𝑡: 𝑦 = 0 e 𝑃(0,0) 
e) 𝑡: 𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0 e 𝑃(3, −1) 
 
64. (Epcar (Afa)) Analise as proporções abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola 𝑦2 + 4𝑥 − 4 = 0 é igual a 1 unidade de 
comprimento. 
II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si. 
III. ( ) A equação 2𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 representa uma elipse que tem um dos focos 
no ponto 𝑃 (1 ,  4) 
 
A sequência correta é 
a) F - F - V 
b) V - F - V 
c) F - V - F 
d) V - V - F 
 
65. (Espcex (Aman)) Uma hipérbole tem focos 𝐹1(−5,  0) e 𝐹2(5,  0) e passa pelos pontos 
𝑃(3,  0) e 𝑄(4,  𝑦), com 𝑦 > 0. O triângulo com vértices em 𝐹1,  𝑃 e 𝑄 tem área igual a 
a) 
16√7
3
. 
b) 
16√7
5
. 
c) 
32√7
3
. 
d) 
8√7
3
. 
e) 
8√7
5
. 
 
66. (Ime) No que diz respeito à posição relativa das circunferências representadas pelas 
equações 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 11 
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 4𝑦 = −16 
 
pode-se afirmar que elas são: 
a) exteriores. 
b) tangentes exteriores. 
c) tangentes interiores. 
d) concêntricas. 
e) secantes. 
 
 
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67. (Ita) Considere a curva plana definida pela equação 9𝑥2 + 4𝑦2 + 36𝑥 + 24𝑦 + 36 = 0. O 
ponto 𝑃 = (0,  0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da 
circunferência circunscrita ao retângulo é: 
a) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 9. 
b) (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 9. 
c) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 13. 
d) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 13. 
e) (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 13. 
 
68. (Ita) Duas curvas planas 𝑐1 e 𝑐2 são definidas pelas equações 
 
𝑐1:  16𝑥
2 + 9𝑦2 − 224𝑥 − 72𝑦 + 640 = 0, 
𝑐2: 𝑥
2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 10𝑦 + 13 = 0. 
 
Sejam 𝑃 e 𝑄 os pontos de interseção de 𝑐1 com o eixo 𝑥 e 𝑅 e 𝑆 os pontos de interseção de 𝑐2 
com o eixo 𝑦. 
 
A área do quadrilátero convexo de vértices 𝑃,  𝑄,  𝑅 e 𝑆 é igual a 
a) 15 + 7√3. 
b) 15 − 7√3. 
c) 15 + 14√3. 
d) 15 − 14√3. 
e) 25 + 10√3. 
 
69. (Ita) Os vértices da base de um triângulo isóceles PQR, inscrito numa circunferência de 
centro 𝑂 = (5,  0), são 𝑃 = (4,  2√2) e 𝑄 = (8,  0). Se o vértice R pertence ao primeiro 
quadrante, então a área do triângulo PQR é igual a: 
a) √2(3 − √3). 
b) √3(3 + √3). 
c) √3(3 − √3). 
d) √6(3 + √3). 
e) √6(3 − √3). 
 
70. (Ime) O lugar geométrico definido pela equação 𝑥2 + 3𝑦2 + 5 = 2𝑥 − 𝑥𝑦 − 4𝑦 representa 
a) uma elipse. 
b) uma hipérbole. 
c) uma circunferência. 
d) um conjunto vazio. 
e) duas retas paralelas. 
 
71. (Esc. Naval) Seja 𝑧 um número complexo e 𝑖 a unidade imaginária. O conjunto dos pontos 
𝑧 do plano complexo que satisfaz a equação |𝑧 − 𝑖| = 2|𝑧 − 1| é uma circunferência. Sobre 
essa circunferência, assinale a opção correta. 
a) A maior coordenada do centro é menor que −
1
4
. 
b) O raio é número inteiro maior que 1. 
c) A soma das coordenadas do centro é 1. 
d) O produto das coordenadas do centro é maior que 2. 
e) O raio é um número racional menor que 1. 
 
72. (Ime) Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função 
 
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𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (|−
7
12
+ 𝑥 − 𝑥2|
3𝑥−1
) 
 
e que passam pelo ponto (
1
3
,  𝑓 (
1
3
)). 
 
O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é: 
a) −3 𝑙𝑛( 3) 
b) 
1
2
𝑙𝑛 (
1
3
) 
c) 3 𝑙𝑛 (
13
36
) 
d) 0 
e) 
1
2
 
 
73. (Ime) Os valores para s e t são escolhidos no intervalo (0,  𝑟), tais que 𝑠 + 𝑡 < 𝑟. Considere 
três segmentos de reta com comprimentos s, t e 𝑟 − 𝑠 − 𝑡. Qual a probabilidade desses 
segmentos formarem um triângulo? 
a) 2/3 
b) 1/2 
c) 1/3 
d) 1/4 
e) 3/4 
 
74. (Ime) Considere os triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 em que 𝐵𝐶 = 32 e 
𝐴𝐵
𝐴𝐶
= 3. O maior valor possível para 
a altura relativa ao lado 𝐵𝐶 é: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
75. (Ime) Considere o ponto A(–4, 2) e B um ponto variável sobre o eixo das ordenadas. 
Traçam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abscissas em 
C. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das 
abscissas traçada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por B. A equação 
desse lugar geométrico é: 
a) 𝑥2 = 4𝑦 + 1 
b) 𝑦2 = 4𝑥 
c) 𝑦 = −𝑥 + 2 
d) 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 4 
e) (𝑦 − 1)2 = 4𝑥 + 1 
 
76. (Ita) Seja 𝑏 ∈ ℝ tal que a equação 
 
𝑥2 − 6𝑏𝑥 − (1 − 𝑏2)(𝑦2 − 2𝑏𝑦) + 𝑏4 + 8𝑏2 − 1 = 0 
 
determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar: 
a) 𝐶 ∈ {(𝑥,  𝑦) ∈ ℝ2/𝑥2/9 + 𝑦2/12 < 1}. 
b) 𝐶 ∈ {(𝑥,  𝑦) ∈ ℝ2/𝑥2/4 + 𝑦2/2 > 1}. 
c) 𝐶 ∈ {(𝑥,  𝑦) ∈ ℝ2/𝑥2/9 − 𝑦2/2 < 1}. 
 
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d) 𝐶 ∈ {(𝑥,  𝑦) ∈ ℝ2/3𝑥2 − 2𝑦2 > 1}. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
77. (Ime) Em um triângulo de vértices A(0, 0), B(2, 4) e C(6, 0), toma-se um ponto variável M 
sobre o lado AB. Desse ponto, traça-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q. 
Identifique o lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção das retas BQ e CM e escreva a 
sua equação. 
 
78. (Efomm) Calcule a área 𝑆 do triângulo de vértices 𝐴 (5,  7); 𝐵 (2,  3); 𝐶 (9,  2). 
Considerando o plano cartesiano, temos: 
a) 7,8 
b) 15 
c) 19 
d) 30 
e) 60,5 
 
79. (Epcar (Afa)) Considere no plano de Argand Gauss os números complexos 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, em 
que 𝑥 e 𝑦 são números reais e √−1 = 𝑖, tais que 
{
|𝑧 + 𝑖| = 5
𝑙𝑚(𝑧) + 𝑧2 + |�̄�|2 − 𝑅𝑒( 𝑧) ⋅ [𝑅𝑒( 𝑧) + 2 ⋅ (𝑖1093) ⋅ 𝑙𝑚(𝑧)] = 12
 
 
É correto afirmar que os pontos 𝑃(𝑥,  𝑦), afixos de 𝑧, podem formar um 
a) trapézio isósceles. 
b) trapézio retângulo. 
c) pentágono regular. 
d) quadrado. 
 
80. (G1 - epcar (Cpcar)) As ideias de rotação e de simetria de seres/objetos não são um 
privilégio da Matemática, muito embora a noção de beleza, estreitamente ligada à Arte e à 
Natureza, também não esteja isenta de uma noção matemática. 
 
O “Homem Vitruviano” guarda em si essas noções. 
 
 
 
Para a Matemática, as ideias de rotação e de simetria de polígonos podem auxiliar nos cálculos 
de distâncias. 
 
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Considere o triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 representado no plano cartesiano a seguir. 
 
 
 
O triângulo 𝐴'𝐵'𝐶' será o triângulo 𝐴𝐵𝐶 rotacionado nesse mesmo plano de um ângulo de 45° 
em torno da intersecção de 𝐴𝐵 com o eixo das abscissas, no sentido horário. 
 
As coordenadas cartesianas do vértice 𝐶' do triângulo 𝐴'𝐵'𝐶' serão 
a) (0, −2√6) 
b) (0,  2√6) 
c) (1,  4√6) 
d) (1,  2√6) 
 
81. (Epcar (Afa)) Considere, no plano cartesiano, a figura abaixo, em que os segmentos 
horizontais são paralelos ao eixo 𝑂𝑥⃡⃗ ⃗⃗ e os segmentos verticais são paralelos ao eixo 𝑂𝑦⃡⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
- os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 𝑂 (0,  0) e 
termina em 𝑄, formam uma progressão aritmética decrescente de razão 𝑟 e primeiro termo 𝑎1, 
em que (−
1
15
< 𝑟 < 0) ; 
 
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- dois comprimentos consecutivos da poligonal são sempre perpendiculares; 
- 𝑂𝐴 = 𝑎1, 𝐴𝐵 = 𝑎2, 𝐵𝐶 = 𝑎3, e, assim sucessivamente, até 𝑃𝑄 = 𝑎16. 
 
Suponha que uma formiga parta da origem 𝑂 (0,  0), e percorra a trajetória descrita pela 
poligonal até chegar ao ponto 𝑄.Com base nas informações acima, analise as proposições abaixo. 
 
I. Se 𝑎1 = 1 e 𝑟 = −
1
16
, então a distância 𝑑 percorrida pela formiga até chegar ao ponto 𝑄 é tal 
que 𝑑 =
17
2
𝑎1. 
II. Quando a formiga estiver na posição do ponto 𝐿 (𝑥,  𝑦), então 𝑥 = −6𝑟. 
III. Se 𝑎1 = 1, então de 𝐴 até 𝐶, a formiga percorrerá a distância 𝑑 = 2 + 3𝑟. 
 
Quanto a veracidade das proposições, tem-se 
a) apenas uma delas é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) todas são verdadeiras. 
d) nenhuma delas é verdadeira. 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Sabendo que as coordenadas do baricentro correspondem à média aritmética simples das 
coordenadas dos vértices do triângulo, vem 
 
(
1+3+5
3
,  
1−1+3
3
) = (3,  1). 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
A distância 𝑑 entre os pontos 𝐴 e 𝐵 será dada por: 
𝑑 = √(2 − 8)2 + (8 − 0)2 = √36 + 64 = √100 = 10 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Determinando o ponto 𝑀 (ponto médio do segmento 𝐴𝐵), temos: 
𝑥𝑀 =
0 + 2
2
= 1 
 
𝑦𝑀 =
10 + 12
2
= 11 
 
Determinando, agora, o ponto 𝑁 (ponto médio do segmento 𝐶𝐷), temos: 
𝑥𝑁 =
−2 + 4
2
= 1 
 
𝑦𝑁 =
3 + 3
2
= 3 
 
Os pontos pedidos săo 𝑀(1,  11) e 𝑁( 1,  3). 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Calculando os quadrados das medidas dos lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶, encontramos 
 
𝑑2(𝐴,  𝐵) = (−4 − 7)2 + (3 − 3)2 = 121, 
 
𝑑2(𝐴,  𝐶) = (−4 − 7)2 + (−2 − 3)2 = 146 
e 
𝑑2(𝐵,  𝐶) = (−4 + 4)2 + (−2 − 3)2 = 25 
 
Portanto, sendo 
 
𝑑2(𝐴,  𝐶) = 𝑑2(𝐴,  𝐵) + 𝑑2(𝐵,  𝐶), 
 
podemos concluir que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo escaleno. 
 
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Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Supondo que o quadrilátero convexo seja o quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, as diagonais são 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷. 
𝐴𝐶 = √(−5 − (−3))
2
+ (−3 − 3)2 
𝐴𝐶 = 10 
 
𝐵𝐷 = √(−1 − 3)2 + (−2 − 1)2 
𝐵𝐷 = 5 
 
Assim, uma das medidas de suas diagonais é 10. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Com as informações do enunciado, pode-se desenhar: 
 
 
 
Percebe-se que: 
𝑃𝐶 = 𝐶𝑇 = 𝑏 = 𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝜆 (𝑅) 
𝑃𝑂
2
= (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 → 𝑃𝑂
2
= 𝑥2 + 𝑦2 
 
Por semelhança de triângulos, sabe-se que: 
Δ𝑂𝑃𝐶 ∼ Δ𝑂𝐶𝑇 → 𝑃𝑂 = 𝑂𝑇 = 6 
Portanto, 𝑃𝑂
2
= 𝑥2 + 𝑦2 → 𝑥2 + 𝑦2 = 36 
Mas 𝑃 pertence à reta 𝑟, logo 𝑦 =
3
4
𝑥, ou seja: 
𝑥2 + 𝑦2 = 36 ⇒ 𝑥2 + (
3
4
𝑥)
2
= 36 ⇒ 𝑥2 +
9
16
𝑥2 = 36 ⇒ 𝑥 =
24
5
 
𝑦 =
3
4
𝑥 ⇒ 𝑦 =
3
4
⋅
24
5
=
72
20
⇒ 𝑦 =
18
5
 
Portanto, as coordenadas do ponto 𝑃 são (
24
5
,
18
5
). A distância entre o ponto 𝑃 e o centro 𝐶 é 
igual ao raio 𝑅 da circunferência. Assim, pode-se escrever: 
𝑅2 = (
24
5
− 6)
2
+ (
18
5
− 𝑏)
2
⇒ 𝑚𝑎𝑠 𝑏 = 𝑅 
𝑅2 = (
24
5
− 6)
2
+ (
18
5
− 𝑅)
2
⇒ 𝑅2 = (
−6
5
)
2
+ (
18
5
)
2
−
36𝑅
5
+ 𝑅2 ⇒ 0 =
36
25
+
324
25
−
36𝑅
5
 
 
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36𝑅
5
=
360
25
⇒
𝑅
5
=
10
25
⇒ 25𝑅 = 50 ⇒ 𝑅 = 2 ⇒ 𝑏 = 2 
 
Portanto, as coordenadas do centro 𝐶 são (6, 2). 
Assim, o que se pretende descobrir é uma parábola que contenha os pontos 𝐶(6, 2) e a origem 
𝑂(0, 0). Pelas alternativas percebe-se que a única parábola descrita que passa por ambos os 
pontos 𝐶 e 𝑂 é a 3𝑦2 − 12𝑦 + 2𝑥 = 0, pois: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑂 → 3 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 = 0 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐶 → 3 ⋅ 22 − 12 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 = 0 → 12 − 24 + 12 = 0 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
O coeficiente linear da reta é 𝑏 = 1, pois ela passa pelo ponto 𝐴(0,  1) e o coeficiente angular a 
será dado por: 
 𝑎 =
8−1
6−0
=
7
6
 
 
Portanto, a equação da reta será dada por: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑦 =
7
6
⋅ 𝑥 + 1 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos: 
𝑑𝐴, 𝑟 =
|3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 0|
√32 + 42
 
𝑑𝐴, 𝑟 =
18
5
 
 
𝑑𝐵, 𝑟 =
|3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 1 + 0|
√32 + 42
 
𝑑𝐵, 𝑟 =
16
5
 
 
Portanto, 
𝑑𝐴, 𝑟 > 𝑑𝐵, 𝑟 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
O primeiro passo é determinar o raio da circunferência, calculando a distância entre os pontos 
𝑁 e 𝐶. 
𝑟 = √(√3 − 0)
2
+ (4 − 2)2 = √7 
 
Portanto, a ordenada do ponto 𝑀 será 𝑦𝑀 = 2 + √7 
 
Como o ponto 𝑃 tem a mesma ordenada do ponto 𝑀, podemos escrever que: 
2 + √7 = √𝑥 + 2 ⇒ √𝑥 = √7 ⇒ 𝑥 = 7. 
 
Portanto, a abscissa do ponto 𝑃 é 7. 
 
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Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Se 𝑃𝐴 e 𝑃𝐵 são catetos de um mesmo triângulo retângulo, então 𝐴𝐵 será a hipotenusa do 
mesmo. Se 𝐴𝐵 é a hipotenusa, então sabemos que oposto a ela encontra-se um ângulo reto. 
Se imaginarmos um arco oposto a este ângulo reto, concluímos que tal arco deve ter um 
ângulo deve ter 180°, pois sabe-se que a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência 
é igual à metade da respectiva medida do ângulo central (ou arco correspondente). 
 
Daí, pode-se perceber que o conjunto de pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) tais que os segmentos 𝑃𝐴 e 𝑃𝐵 
formem catetos de um mesmo triângulo retângulo é uma circunferência cujo diâmetro é igual à 
hipotenusa dos triângulos retângulos possíveis. A figura a seguir dá exemplo de dois triângulos 
retângulos possíveis (catetos identificados em vermelho). 
 
 
 
Sabendo-se disso tudo, pode-se calcular o raio da circunferência, que será igual a metade da 
hipotenusa 𝐴𝐵. A hipotenusa pode ser calculada pela fórmula de distância entre dois pontos (A 
e B). Assim: 
𝑑𝑖𝑠𝑡 𝐴𝐵 = √(4 − 2)2 + (−2 − 0)2 = √(2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2 
 
Assim, o raio da circunferência será: 
𝑅 =
2√2
2
= √2 
 
Do gráfico percebe-se facilmente que as coordenadas do centro da circunferência serão 
𝐷(3,−1). Outra maneira de se encontrar tais coordenadas seria deduzir a equação da reta e 
utilizar a fórmula da distância entre dois pontos, uma vez que tal distância é conhecida (no 
caso B e D ou A e D, que distam de 𝑅 = √2entre si). 
 
 
 
Analisando então as afirmativas da questão, temos os pontos 𝑃 (𝑥,   𝑦) são tais que: 
[A] Incorreto. O ponto C sugerido é um ponto qualquer dentro da circunferência e não 
corresponde ao centro da mesma, e portanto não é equidistante dos pontos 𝑃 (𝑥,   𝑦). 
 
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[B] Correto. O maior valor de 𝑥 corresponde a coordenada do centro da circunferência, ou seja 
𝐷(3,−1), somado ao raio da mesma, 𝑅 = √2, indicado em azul na figura apresentada. 
Assim, o valor máximo de 𝑥 é 3 + √2. 
[C] Incorreto. O maior valor de 𝑦 corresponde a coordenada do centro da circunferência, ou 
seja𝐷(3,−1), somado ao raio da mesma, 𝑅 = √2. Assim, o valor máximo de 𝑦 é −1 − √2 ≃
−2,41. 
[D] Incorreto, pois a circunferência não toca o eixo das coordenadas. 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
De acordo com as informações do problema e considerando 𝑂𝑀𝑅𝑁 um quadrado de lado 𝑘, 
temos a seguinte figura: 
 
 
 
Δ𝑄𝑅𝑀~Δ𝑄𝑃𝑂 ⇒
6 − 𝑘
6
=
𝑘
2
⇒ 6𝑘 = 12 − 2𝑘 ⇒ 8𝑘 = 12 ⇒ 𝑘 = 1,5 
 
Portanto, o lado do quadrado é 1,5 ⋅ 100 = 150 𝑚. 
 
[A] Falsa, pois a abscissa do ponto 𝑅 é −1,5 
[B] Falsa, a área da região pavimentada é 150 × 150 = 22.500 𝑚2. 
[C] Verdadeira, pois 1,5 >
7
5
 (1,4). 
[D] Falsa, a área verde será dada por 
200⋅600
2
− 22.500 = 37.500 𝑚2. 
 
Resposta: [C], a ordenada de 𝑅 é maior que 
7
5
. 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Coeficiente angular de 𝐴𝐶: 
𝑚𝐴𝐶 =
3 − (−2)
−1 − 3
= −
5
4
 
 
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Como a reta que passa por 𝐵𝐷 é perpendicular a 𝐴𝐶, o seu coeficiente angular é: 
𝑚𝐵𝐷 = −
1
𝑚𝐴𝐶
=
4
5
 
 
Ponto de encontro das diagonais: 
(𝑥,  𝑦) = (
3 + (−1)
2
, 
−2 + 3
2
) = (1, 
1
2
) 
 
Portanto, aequação da reta que contem a diagonal 𝐵𝐷 é: 
𝑦 −
1
2
=
4
5
(𝑥 − 1) 
10𝑦 − 5 = 8𝑥 − 8 
8𝑥 − 10𝑦 − 3 = 0 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
A figura abaixo ilustra as áreas que serão desapropriadas: 
 
 
 
Calculando a sua área: 
𝐴 = 10 ⋅ 8 −
3 ⋅ 3
2⏟
𝐴1
− 2 ⋅ 3⏟
𝐴6
= 69,5 
 
Adequando ao comprimento real, temos: 
1 102 𝑚2
69,5 𝐴𝑇
 ∴ 𝐴𝑇 = 6950 𝑚
2 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Para que os pontos 𝐴,  𝐵 e 𝐶 sejam colineares, basta que: 
 
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0 − 3
−2𝑥 − 𝑥
=
1 − 0
1 − (−2𝑥)
 
−3
−3𝑥
=
1
1 + 2𝑥
 
1
𝑥
=
1
1 + 2𝑥
 
1 + 2𝑥 = 𝑥 
𝑥 = −1 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Sabendo que o coeficiente angular da reta 𝑟 é 
2
3
 e que o produto dos coeficientes angulares de 
duas retas perpendiculares é −1, podemos escrever: 
𝑚𝑠 ⋅
2
3
= −1 ⇒ 𝑚𝑠 = −
3
2
 
 
Logo, a equação da reta 𝑟 será dada por: 
𝑦 − 6 = −
3
2
⋅ (𝑥 − 1) ⇒ 𝑦 = −
3
2
⋅ 𝑥 +
3
2
+ 6 ⇒ 𝑦 = −
3
2
⋅ 𝑥 +
15
2
 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Considerando, (𝑟) 2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0  𝑒  𝑃(1,  5) 
Determinando a equação da reta (𝑠) perpendicular a reta (𝑟) e que passa pelo ponto (1,  5) 
 
(𝑠) 3 𝑥 −2𝑦+𝑘 =0 
3 − 10 + 𝑘 = 0 
𝑘 = 7 
 
Logo, a equação da reta (𝑠) será dada por 3 𝑥− 2𝑦+7 = 0. 
 
Determinando, o ponto M de intersecção das retas 𝑟 e 𝑠. 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
 
 
Resolvendo o sistema, temos 𝑀(−1,  2). 
 
Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de 
PA. 
 
1 + 𝑥𝐴
2
= −1 ⇒ 𝑥𝐴 = −3 
5+𝑥𝐴
2
= 2 ⇒ 𝑥𝐴 = −1 
 
Logo, 𝐴( − 3, −1). 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
 
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Completando os quadrados, obtemos 
 
 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 = 0 ⇔ (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 4. 
 
Assim, o centro da circunferência é o ponto 𝐶(2,  0). 
O coeficiente angular da reta 𝑡 é dado por 
 
 −
𝑥𝐶−𝑥𝑃
𝑦𝐶−𝑦𝑃
= −
2−1
0−√3
= −
1
−√3
=
1
√3
⋅
√3
√3
=
√3
3
. 
 
Desse modo, a equação de 𝑡 é 𝑦 − √3 =
√3
3
⋅ (𝑥 − 1) e, portanto, a abscissa do ponto de 
interseção de 𝑡 com o eixo 𝑥 é tal que 
 
 0 − √3 =
√3
3
⋅ (𝑥 − 1) ⇔ −3 = 𝑥 − 1 ⇔ 𝑥 = −2. 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
Utilizando a regra de Sarrus para o cálculo do determinante, temos: 
𝐷 = |
−1 −3 1
2 1 1
4 3 1
 | 
−1 −3
2 1
4 3
 
 
𝐷 = −1 − 12 + 6 − 4 + 3 + 6 = −2 ⇒ 𝐷 = −2 
 
Logo, a área do triângulo será dada por: 
𝐴 =
1
2
⋅ | − 2| = 1 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
Calculando a distância do ponto 𝑃(5,  6) a reta 𝑟, temos: 
𝑑 =
|2⋅5−3⋅6+5|
√22+(−3)2
=
|−3|
√13
⋅
√13
√13
=
3⋅√13
13
 
 
Resposta da questão 20: 
 [D] 
 
[A] Verdadeira. De fato, pois se 
3
𝑝
≠
3𝑝
9
⇔ 𝑝2 ≠ 9 ⇔  |𝑝|  ≠ 3, 
 
entгo as retas sгo concorrentes. 
 
[B] Verdadeira. Com efeito, pois se 𝑝 = 0, entгo 𝑟: 𝑥 = 0 e 𝑠: 𝑦 =
1
3
. 
 
[C] Verdadeira. De fato, pois se 
3
𝑝
=
3𝑝
9
≠
𝑝
−3
⇔ 𝑝 = ±3, 
 
entгo 𝑟 e 𝑠 sгo paralelas distintas. 
 
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[D] Falsa. As retas 𝑟 e 𝑠 serгo coincidentes se existir algum valor real de 𝑝 para o qual se tenha 
3
𝑝
=
3𝑝
9
=
𝑝
−3
. Porйm, tal sistema й impossнvel e, assim, nгo existe 𝑝 real de tal sorte que 𝑟 e 𝑠 sejam coincidentes. 
 
Resposta da questão 21: 
 [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
Equação da reta 𝑟: 
𝑚𝑟 =
6 − 1
9 − 1
=
5
8
 
𝑦 − 1 =
5
8
⋅ (𝑥 − 1) 
𝑦 =
5
8
𝑥 +
3
8
 
 
Equação da reta 𝑠: 
𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠 = −1 
5
8
⋅ 𝑚𝑠 = −1 
𝑚𝑠 = −
8
5
 
𝑦 − 7 = −
8
5
⋅ (𝑥 − 3) 
𝑦 = −
8
5
𝑥 +
59
5
 
 
O ponto 𝑃 é obtido resolvendo-se o sistema linear abaixo: 
{
𝑦 =
5
8
𝑥 +
3
8
  (𝑖)
𝑦 = −
8
5
𝑥 +
59
5
 (𝑖𝑖)
 
 
Das equações (𝑖) e (𝑖𝑖), 
 
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5
8
𝑥 +
3
8
= −
8
5
𝑥 +
59
5
 
5
8
𝑥 +
8
5
𝑥 =
59
5
−
3
8
 
25𝑥 + 64𝑥
40
=
472 − 15
40
 
89𝑥 = 457 
𝑥 =
457
89
 
 
Substituindo 𝑥 =
457
89
 na equação (𝑖), 
𝑦 =
5
8
⋅
457
89
+
3
8
 
𝑦 =
1
8
⋅ (5 ⋅
457
89
+ 3) 
𝑦 =
1
8
⋅
5 ⋅ 457 + 89 ⋅ 3
89
 
𝑦 =
1
8
⋅
2552
89
 
𝑦 =
319
89
 
 
Assim, as coordenas da projeção são: 
𝑥 =
457
89
 e 𝑦 =
319
89
 
 
Resposta da questão 22: 
 [A] 
 
Como os pontos 𝐴(2,  0) e 𝐵(6, −4) são simétricos em relação à reta 𝑟, o ponto 𝑀, médio do 
segmento 𝐴𝐵, dado por 𝑀(
2+6
2
,  
0+(−4)
2
), pertence à reta 𝑟. 
𝑀(4, −2) 
𝑚𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗ =
−4 − 0
6 − 2
 
𝑚𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗ =
−4
4
 
𝑚𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗ = −1 
 
Logo, o ponto 𝑀(4, −2) é um ponto da reta 𝑟, que possui coeficiente angular igual a 1, pois é 
perpendicular à reta 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗. 
Portanto, a equação da reta 𝑟 é: 
𝑦 − (−2) = 1 ⋅ (𝑥 − 4) 
𝑦 + 2 = 𝑥 − 4 
𝑦 = 𝑥 − 6 
 
Os pontos que definem a corda que a reta 𝑟 determina na circunferência cuja equação é 𝑥2 +
𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 32 = 0 são dados pela solução do sistema não linear abaixo: 
{
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 4𝑦 + 32 = 0 (𝑖)
𝑦 = 𝑥 − 6 (𝑖𝑖)
 
 
Das equações (i) e (ii), 
𝑥2 + (𝑥 − 6)2 − 12𝑥 − 4 ⋅ (𝑥 − 6) + 32 = 0 
 
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𝑥2 + 𝑥2 − 12𝑥 + 36 − 12𝑥 − 4𝑥 + 24 + 32 = 0 
2𝑥2 − 28𝑥 + 92 = 0 
𝑥2 − 14𝑥 + 46 = 0 
𝑥 =
−(−14) ± √(−14)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 46
2 ⋅ 1
 
𝑥 =
14 ± 2√3
2
 
𝑥 = 7 ± √3 
 
Assim, os pontos que definem a corda são: 
𝐶(7 + √3,  1 + √3) e 𝐷(7 − √3,  1 − √3). 
 
Logo, 
𝑛 = √(7 − √3 − 7 − √3)
2
+ (1 − √3 − 1 − √3)
2
 
𝑛 = √12 + 12 
𝑛 = √24 
𝑛 = 2√6 
𝑛 ≅ 4,89 
𝑛 ∈ 4,  5[ 
 
Resposta da questão 23: 
 [A] 
 
Coeficiente angular da reta: 
6𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 ⇒ 𝑦 = 6𝑥 + 5 ∴ 𝑚 = 6 
 
A reta tangente pode ser escrita da forma: 
𝑦 = 6𝑥 + 𝑘 
 
Como essa intercepta a parábola em apenas um ponto, devemos ter: 
𝑥2 = 6𝑥 + 𝑘 ⇒ 𝑥2 − 6𝑥 − 𝑘 = 0 
Δ = 36 + 4𝑘 = 0 ∴ 𝑘 = −9 
 
Logo, o ponto de tangência é dado por: 
𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0 ⇒ (𝑥 − 3)2 = 0 ∴ 𝑥 = 3 
𝑦 = 6 ⋅ 3 − 9 ∴ 𝑦 = 9 
𝑃(3,  9) 
 
Resposta da questão 24: 
 [D] 
Escrevendo a reta 𝑟: {
𝑥  =  2t
𝑦  =  3t  + 
1
2
 na forma geral, temos: 
 
Escrevendo as duas retas na forma reduzida, temos: 
 
(𝑟)𝑦 =
3
2
⋅ 𝑥 +
1
2
 𝑒 (𝑠) 𝑦 = (𝑘 + 1) ⋅ 𝑥 + 𝑘 
 
Para que as retas sejam paralelas iguais, devemos ter: 
 
 
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𝐾 + 1 = 
3
2
⇒ 𝑘 = −
1
2
 
𝐾 = 
1
2
 
 
Como não se pode ter dois valores distintos para k, concluímos que as retas nunca serão 
paralelas iguais. 
 
Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
 
 
Calculando os coeficientes angulares das retas r e s 
 
𝑚𝑟 =
𝑏 − 0
𝑎 −
𝑎
2
=
𝑏
𝑎
2
=
2𝑏
𝑎
 
 
𝑚𝑠 =
𝑏 −
𝑏
2
𝑎 − 0
=
𝑏
2
𝑎
=
𝑏
2𝑎
 
 
Calculando a tangente do ângulo agudo formado pelas reatas r e s. 
 
 𝑡𝑔𝜃 =
|
2𝑏
𝑎
−
𝑏
2𝑎
|
1+
2𝑏
𝑎
⋅
𝑏
2𝑎
 
𝑡𝑔𝜃 =
3𝑎𝑏
2 ⋅ (𝑎2 + 𝑏2)
 
 
Portanto, a reta t passa pelo ponto (0, 0) e tem coeficiente angular 𝑚𝑡 =
3𝑎𝑏
2⋅(𝑎2+𝑏2)
 
 
Logo, sua equação será dada por 𝑦 − 0 =
3𝑎𝑏
2⋅(𝑎2+𝑏2)
(𝑥 − 0) ⇒ 3𝑎𝑏𝑥 − 2 ⋅ (𝑎2 + 𝑏2) ⋅ 𝑦 = 0. 
 
Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
 
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Adotemos, convenientemente, o sistema de eixos cartesianos usual, com a origem no ponto 
Logo, se é a distância de até temos e Ademais, 
segue que e implicam em 
Portanto, a área do triângulo é dada por 
 
 
 
Se a área é a maior possível, então e a resposta é 
 
Resposta da questão 27: 
 [C] 
 
 
 
𝐴𝐵2 = 32 + 42 ⇒ 𝐴𝐵 = 5 
Δ𝑀𝐴𝐵~Δ𝐻𝑂𝑃 ⇒
𝑃𝑂
5
=
3
4
⇒ 4 ⋅ 𝑃𝑂 = 15 ⇔ 𝑃𝑂 = 3,75 
 
Portanto, a ordenada do ponto 𝑃 é 3,75. 
 
Respostada questão 28: 
 [B] 
 
D.
x D F, F (x, 0),= B (40, 60)= E (0, 3x).=
 0 x 40  0 3x 60  0 x 20.
BEF
2
2
x 40 0 x1 1
| 60x 120x 3x |
2 0 60 3x 0 2
3
| 900 (x 30) | .
2
 =  + −
=  − −
=x 20  = 2
3
800 1200cm .
2
 
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O lado do quadrado é 3. Portanto, a distância da origem à reta também é 3. 
 
O coeficiente angular da reta r é -1, pois é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. 
 
Portanto sua equação é y = - x + 3√2 
Falso o ponto (-√2,2.√2) não pertence à reta dada, pois para x = - √2, temos y = 4. √2. 
 
Resposta da questão 29: 
 [D] 
 
Para que a equação represente uma circunferência, devemos ter n = 0. Logo, a sua equação 
reduzida é dada por: 
𝑚𝑥2 + 4𝑦2 − 16𝑥 + 3𝑘 − 1 = 0 
𝑚
4
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 +
3
4
𝑘 −
1
4
= 0 
𝑚 = 4: 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 =
1
4
−
3
4
𝑘 + 4 
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = (
√17 − 3𝑘
2
)
2
 
 
Dada a condição de tangência, a distância do centro da circunferência à reta deve ser igual ao 
raio: 
|3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 0 − 16|
√32 + (−4)2
=
√17 − 3𝑘
2
 
10
5
=
√17 − 3𝑘
2
 
√17 − 3𝑘 = 4 
17 − 3𝑘 = 16 
𝑘 =
1
3
 
 
Logo, a circunferência possui centro (2, 0) e o seu raio vale: 
𝑅 =
√17 − 3 ⋅
1
3
2
=
√16
2
= 2 
 
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Analisando as afirmativas: 
[I] Verdadeira. Ponto P: 
𝑃 (3 ⋅
1
3
,  0) = 𝑃(1,  0) 
 
Distância do ponto P ao centro da circunferência: 
𝑑 = √(1 − 2)2 + (0 − 0)2 = 1 
 
Como d < R, o ponto P é interior a 𝜆. 
 
[II] Verdadeira. Como a abscissa do centro é igual ao raio, concluímos que a circunferência 
tangencia o eixo das ordenadas. 
 
[III] Falsa. Abscissa máxima: 
2 + 2 = 4 
 
Ordenada máxima: 
0 + 2 = 2 
 
Portanto, a sequência correta é V – V – F. 
 
Resposta da questão 30: 
 [B] 
 
Teremos: 
 
 
 
A equação da reta t é dada por: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
 
O ponto (2,  0) é um ponto da reta t, logo, 
0 = 2𝑚 + 𝑛 
𝑛 = −2𝑚 
 
Então, 
(𝑡) 𝑦 = 𝑚𝑥 − 2𝑚 
 
O ponto de tangência entre a reta t e a parábola é dado por: 
 
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𝑚𝑥 − 2𝑚 = −𝑥2 + 17𝑥 − 66 
𝑥2 + 𝑥(𝑚 − 17) + 66 − 2𝑚 = 0 
Δ = 0, 
(𝑚 − 17)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (66 − 2𝑚) = 0 
𝑚2 − 34𝑚 + 289 − 264 + 8𝑚 = 0 
𝑚2 − 26𝑚 + 25 = 0 
𝑚 = 25 𝑜𝑢 𝑚 = 1 
 
Se 𝑚 = 1, 
{
𝑦 = 𝑥 − 2
𝑦 = −𝑥2 + 17𝑥 − 66
 
𝑥 − 2 = −𝑥2 + 17𝑥 − 66 
𝑥2 − 16𝑥 + 64 = 0 
(𝑥 − 8)2 = 0 
𝑥 = 8 
 
Substituindo 𝑥 = 8 na equação 𝑦 = 𝑥 − 2, 
𝑦 = 6 
 
Se 𝑚 = 25, 
{
𝑦 = 25𝑥 − 50
𝑦 = −𝑥2 + 17𝑥 − 66
 
25𝑥 − 50 = −𝑥2 + 17𝑥 − 66 
𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0 
(𝑥 + 4)2 = 0 
𝑥 = −4 
 
Como o ponto que garante a segurança do coelho está no primeiro quadrante, tal ponto é: 
(8,  6). 
 
Resposta da questão 31: 
 [B] 
 
 
 
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Intersecção da reta 𝑠 com o eixo 𝑥. (𝑦 = 0) 
2𝑥 + 12 = 0 ⇒ 𝑥 = −6 ⇒ 𝑃(−6,  0) 
 
Intersecção da reta 𝑠 com o eixo 𝑦. (𝑥 = 0) 
−3𝑦 + 12 = 0 ⇒ 𝑦 = 4 ⇒ 𝑄(0,  4) 
 
Considerando que 𝑁 é o ponto médio de 𝑃𝑄, temos: 
𝑥𝑁 =
−6 + 0
2
= −3 
𝑦𝑁 =
0 + 4
2
= 2 
 
Portanto, 𝑁 = (−3,  2). 
 
A reta 𝑠 tem coeficiente angular 
2
3
, portanto a reta 𝑡 terá coeficiente angular 
−3
2
, pois são 
perpendiculares. 
 
Determinando agora a equação da reta 𝑡, que passa pelo ponto 𝑁 e é perpendicular à reta 𝑠, 
temos: 
𝑦 − 2 = −
3
2
⋅ (𝑥 − (−3)) ⇒ 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 
 
Calculando a distância do ponto 𝑀(1,  1) à reta (𝑡) 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0, temos: 
𝑑 =
|3⋅1+2⋅1+5|
√32+22
=
10
√13
=
10⋅√13
√13
 
 
Resposta da questão 32: 
 [E] 
 
Equação da reta tangente à parábola no ponto (4, −7). 
𝑦 − (−7) = 𝑚 ⋅ (𝑥 − 4) ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 − 4𝑚 − 7 
 
Resolvendo um sistema com as equações da parábola e da reta, temos: 
𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 𝑚𝑥 − 4𝑚 − 7 ⇒ 𝑥2 − (𝑚 + 6)𝑥 + 4𝑚 + 8 = 0 
 
Como existe apenas um ponto de intersecção do discriminante deverá ser zero, ou seja: 
Δ = 0 
(−(𝑚 + 6))2 − 4 ⋅ (4𝑚 + 8) = 0 
(𝑚 − 2)2 = 0 ⇒ 𝑚 = 2 
 
Considerando 𝑚 = 2, a equação da reta será: 
𝑦 = 2𝑥 − 4 ⋅ 2 − 7 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 15 
 
Resposta da questão 33: 
 [C] 
 
Seja 𝑓(𝑥,  𝑦) = (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 2)2 − 16. Logo, temos 
 
𝑓(1,  7) = (1 − 6)2 + (7 − 2)2 − 16 = 25 + 25 − 16 > 0, 
 
implicando em (1,  7) exterior à circunferência, e 
 
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𝑓(7,  1) = (7 − 6)2 + (1 − 2)2 − 16 = 1 + 1 − 16 < 0, 
 
implicando em (7,  1) interior à circunferência. 
 
Resposta da questão 34: 
 [C] 
 
Completando os quadrados, obtemos 
 
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 + 1 = 0 ⇔ (𝑥 + 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 1 = 0 
  ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 9. 
 
Logo, segue que o centro da circunferência é o ponto 𝐶(−1, −3) e o seu raio é 𝑟 = √9 = 3. 
O ponto de ordenada máxima é o ponto sobre a reta 𝑥𝐶 = −1, cuja ordenada é dada por 𝑦𝐶 +
𝑟 = −3 + 3 = 0, ou seja, (−1,  0). 
 
Resposta da questão 35: 
 [B] 
 
A distância do ponto 𝑃 ao centro 𝐶 da circunferência é igual a 
2 2d(P, C) (5 3) (3 1)
8.
= − + −
=
 
 
Portanto, como 𝑑(𝑃,  𝐶) = √8 < √9 = 3 < 5 = 𝑟, segue que 𝑃 é interno, não coincidente com o 
centro. 
 
Resposta da questão 36: 
 [B] 
 
Determinando o centro C da circunferência dada: 
 
x2 + 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25 + 4 + 25 
 
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 4 
 
Logo, o centro é C(–2,–5). 
 
O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao eixo x é P (–1, –1). 
 
Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, 
 
R2 = (–1 – (–2))2 + (–1 – (–5))2 = 17 
 
Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : 
 
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 17  x2 + y2 + 4x + 10y + 29 – 17 = 0  x2 + y2 + 4x + 10y + 12 = 0 
 
Resposta da questão 37: 
 [C] 
 
 
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Como a área do círculo é 17𝜋, temos: 
𝜋 𝑟2 =17𝜋, onde r é a medida do raio do círculo. 
𝑟2 =17 
 
Sendo 𝐶(𝑥𝐶 ,  0) o centro da circunferência, temos: 
(𝑥 − 𝑥𝐶)
2 + 𝑦2 = 17 
 
Como o ponto (4,  4) pertence à circunferência, temos: 
(4 − 𝑥𝐶)
2 + 42 = 17 
(4 − 𝑥𝐶)
2 = 1 
4 − 𝑥𝐶 = 1 𝑜𝑢 4 − 𝑥𝐶 = −1 
 
De 4 − 𝑥𝐶 = 1, 
𝑥𝐶 = 3 
 
De 4 − 𝑥𝐶 = −1, 
𝑥𝐶 = 5 
 
Assim, a circunferência têm equação (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 17 ou (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 = 17. 
Observe que a circunferência (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 17 intercepta o eixo das ordenadas, pois a 
equação (0 − 3)2 + 𝑦2 = 17 admite solução real, já a circunferência (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 = 17 não 
intercepta o eixo das ordenadas, pois equação (0 − 5)2 + 𝑦2 = 17 não admite solução real. 
Portanto, a abscissa do centro da circunferência é 5. 
 
Resposta da questão 38: 
 [A] 
 
Sejam 𝜆1: (𝑥 − 2)
2 + (𝑦 − 3)2 = 9 e 𝜆2: 𝑥
2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 15 = 0. É imediato que 𝐶1 = (2,  3) e 𝑟1 =
3. Ademais, completando os quadrados na equação de 𝜆2, encontramos 𝜆2: (𝑥 − 4)
2 + (𝑦 −
0)2 = 1. Daí, vem 𝐶2 = (4,  0) e 𝑟2 = 1. 
 
A distância entre os centros de 𝜆1 e 𝜆2 é dada por 
 
𝑑(𝐶1,  𝐶2) = √(4 − 2)
2 + (0 − 3)2 = √13. 
 
Logo, como 𝑟1 + 𝑟2 = 4 e 𝑟1 − 𝑟2 = 2, temos 
 
|𝑟1 − 𝑟2|  < 𝑑(𝐶1,  𝐶2) < 𝑟1 + 𝑟2. 
 
Portanto, podemos concluir que 𝜆1 e 𝜆2 são secantes. 
 
Resposta da questão 39: 
 [E] 
 
Completando os quadrados, temos 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0 ⇔ (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 52. 
 
Logo, o centro de 𝜆 é 𝐶 = (2,  1) e seu raio mede 5. 
Agora, é fácil ver que a distância de 𝐶 às cordas de comprimento 8 é igual a 3. Daí, como as 
retas paralelas à reta 𝑟 têm equação 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑐 = 0, vem 
|3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 + 𝑐|
√32 + 42
= 3 ⇔  |10 + 𝑐|  = 15 
 
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  ⇔ 𝑐 = −25 ou 𝑐 = 5. 
 
Portanto, as equações pedidassão 3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0 e 3𝑥 + 4𝑦 − 25 = 0. 
 
Resposta da questão 40: 
 [B] 
 
Para que a equação represente uma circunferência, o termo 𝑥𝑦 deve ser nulo. Logo: 
𝑏 = 0 
 
Também temos que: 
2𝑥2 + 𝑎𝑦2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 𝑐 = 0 
2(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 𝑎 (𝑦2 +
8
𝑎
𝑦 +
16
𝑎2
) = 2 +
16
𝑎
− 𝑐 
2(𝑥 − 1)2 + 𝑎 (𝑦 +
4
𝑎
)
2
= 2 +
16
𝑎
− 𝑐 
(𝑥 − 1)2 +
𝑎
2
(𝑦 +
4
𝑎
)
2
= (√1 +
8
𝑎
−
𝑐
2
)
2
 
 
Outra condição para que a equação represente uma circunferência é que: 
𝑎 = 2 
 
Dessa forma: 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = (√5 −
𝑐
2
)
2
 
 
Como o raio vale 3, devemos ter: 
√5 −
𝑐
2
= 3 ⇒ −
𝑐
2
= 9 − 5 ⇒ 𝑐 = −8 
 
Portanto: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2 + 0 − 8 = −6 
 
Resposta da questão 41: 
 [D] 
 
Completando os quadrados, segue que 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0 ⇔ (𝑥 + 1)2 − 1 + (𝑦 − 2)2 − 4 − 4 = 0 
  ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 9. 
 
Logo, o centro de 𝜆 é o ponto (−1,  2), distinto de (1,  2), que é o centro de 
 
Seja 𝑓 a função dada por 𝑓(𝑥,  𝑦) = (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 − 9. Como 𝑓(0,  0) = −4 < 0, tem-se 
que 𝑂 é interior a 𝜆. 
 
Tomando a equação explícita da reta 𝑟 e a equação reduzida da circunferência 𝜆, temos 
 
(𝑥 + 1)2 + (𝑥 + 3 − 2)2 = 9 ⇔ 2(𝑥 + 1)2 = 9. 
 
 
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Donde podemos concluir que a reta 𝑟 é secante à circunferência 𝜆. 
 
O centro da circunferência 𝛽 é o ponto (1, −2), e seu raio é 3. Logo, como as circunferências 𝜆 
e 𝛽 têm o mesmo raio e seus centros distam √5 do ponto 𝑂, segue-se que 𝜆 é simétrica de 𝛽 
em relação ao ponto 𝑂. 
 
Resposta da questão 42: 
 [C] 
 
Sendo 𝑦 = 𝑥 + 4 a forma explícita da equação de 𝑡, podemos concluir que 𝑡 e 𝑦 = 𝑥 são 
paralelas, uma vez que seus coeficientes angulares são iguais. Em consequência, se 𝐴 e 𝐵 são 
pontos de tangência a 𝜆, então 𝐴𝐵 é um diâmetro de 𝜆. 
Considere a figura. 
 
 
 
A reta 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗, perpendicular à reta 𝑦 = 𝑥, tem por equação 
𝑦 − 1 = (−1) ⋅ (𝑥 − 1) ⇔ 𝑦 = −𝑥 + 2. 
 
Logo, a abscissa do ponto 𝐵 é tal que 
−𝑥 + 2 = 𝑥 + 4 ⇔ 2𝑥 = −2 ⇔ 𝑥 = −1. 
 
Portanto, vem 𝐵 = (−1,  3). 
O centro, 𝐶, de 𝜆 corresponde ao ponto médio do segmento 𝐴𝐵, ou seja, 
𝐶 = (
1 − 1
2
, 
1 + 3
2
) = (0,  2). 
 
Daí, segue que o raio de 𝜆 mede 
𝑑(𝐶,  𝐴) = √(1 − 0)2 + (1 − 2)2 = √2. 
 
A equação de 𝜆, assim, é dada por 
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 = (√2)2 ⇔ 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 2. 
 
[A] Falsa. Na verdade, temos −1 + 3 = 2. 
 
[B] Falsa. Seja 𝑓(𝑥,  𝑦) = 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 − 2. Tem-se que 
 
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𝑓(−1,  2) = (−1)2 + (2 − 2)2 − 2 < 0. 
 
Por conseguinte, 𝑃(−1,  2) é interior a 𝜆. 
 
[C] Verdadeira. Com efeito, pois como 𝐶 pertence ao eixo das ordenadas, e sendo 𝑟 = √2 o 
raio de 𝜆, temos 
𝑄 = (𝑥𝐶 ,  𝑦𝐶 − 𝑟) = (0,  2 − √2). 
 
[D] Falsa. A distância de 𝐶 à reta 𝑥 + 𝑦 = 0 é dada por 
|0 + 2|
√12 + 12
=
2
√2
= √2. 
 
Portanto, 𝜆 e a bissetriz dos quadrantes pares são tangentes. 
 
Resposta da questão 43: 
 [C] 
 
Determinando o centro 𝐴 e o raio 𝑟 da circunferência: 
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 2 = 0 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = −2 + 4 + 1 ⇒ 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 3 
 
Portanto, 𝐴(−1, −2) e 𝑟 = √3 
 
 
 
Sabemos que 𝐴𝑃 = 1, pois são pontos que estão na mesma reta vertical. 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras podemos determinar o valor de 𝑃𝑁: 
𝑃𝑁2 + 12 = √3
2
⇒ 𝑃𝑁 = √2 
 
Logo, 𝑀𝑁 = 2 ⋅ √2. 
 
Resposta da questão 44: 
 [A] 
 
 
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Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro). 
𝐶 = (
0 + 4
2
,
6 + 0
2
) ⇒ 𝐶 = (2,3) 
 
Cálculo do raio da circunferência. 
𝑟 =
√(4 − 0)2 + (6 − 0)2
2
=
2√13
2
= √13 
 
Equação da reta tangente à circunferência. 
𝑦 + 2 = 𝑚(𝑥 − 3) ⇒ 𝑚𝑥 − 𝑦 − 3𝑚 − 2 = 0 
 
Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever: 
|2𝑚 − 3 − 3𝑚 − 2|
√𝑚2 + 1
= √13 ⇒ (−𝑚 − 5)2 = 13(𝑚2 + 1) ⇒ 12𝑚2 − 10𝑚 − 12 = 0 ⇒ 6𝑚2 − 5𝑚 + 6
= 0 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos: 
𝑚 =
5 ± √169
2 ⋅ 6
⇒ 𝑚 =
3
2
  𝑜𝑢  𝑚 = −
2
3
 
 
Se 𝑚 =
3
2
 a equação da reta será dada por 𝑦 + 2 =
3
2
⋅ (𝑥 − 3) ⇒ 3𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0 
 
Se 𝑚 = −
2
3
 a equação da reta será dada por 𝑦 + 2 = −
2
3
⋅ (𝑥 − 3) ⇒ 2𝑥 + 3𝑦 = 0 
 
Portanto, a alternativa [A] é a correta. 
 
Resposta da questão 45: 
 [B] 
 
Resolvendo um sistema com as equações das circunferências. 
 
{
𝑥2 + 𝑦2 = 16
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 4
 
 
 
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Fazendo a diferença entre a primeira e a segunda equações, temos: 
 
𝑦 = 𝑥 − 5 
 
Substituindo o resultado acima na primeira equação, temos: 
2𝑥2 − 10𝑥 + 9 = 0 
𝑥 =
5 + √7
2
 ou x =
5 − √7
2
 
𝑥 =
5 + √7
2
⇒ 𝑦 =
−5 + √7
2
⇒ 𝐵 = (
5 + √7
2
,
−5 + √7
2
) 
𝑥 =
5 − √7
2
⇒ 𝑦 =
−5 − √7
2
⇒ 𝐴 = (
5 − √7
2
,
−5 − √7
2
) 
 
Logo, a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 será dada por: 
𝐴𝐵 = √(
5+√7
2
−
5−√7
2
)
2
+ (
−5+√7
2
−
−5−√7
2
)
2
= √√7
2
+ √7
2
= √14 
 
Resposta da questão 46: 
 [A] 
 
Determinando o centro (a,b) da circunferência, temos que: 
 
–2a = –6, então a = 3 
–2b = 10, então b = –5; logo, o centro da circunferência é o ponto C(3, –5). 
 
Esboçando a circunferência, temos: 
 
 
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Calculando o raio, tem-se: 
 
R2 = 32 + 42 
 
R = 5, como o raio mede 5 unidades, a reta é tangente ao eixo x. 
 
Resposta da questão 47: 
 [B] 
 
Colocando na equação geral da circunferência: 
3𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑥 − 12𝑦 + 𝑘 = 0 
3 ⋅ (𝑥2 − 2𝑥) + 3 ⋅ (𝑦2 − 4𝑦) + 𝑘 = 0 → 3 ⋅ (𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 3 ⋅ (𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 15 − 𝑘 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 =
15 − 𝑘
3
= 𝑅2 
 
Assim, conclui-se que o centro da circunferência será em (1,  2) e que para que a mesma 
possua intersecção vazia com os eixos coordenados é necessário que: 
0 < 𝑅 < 1 → 0 < 𝑅2 < 1 
0 <
15−𝑘
3
< 1 → 0 < 15 − 𝑘 < 3 → 12 < 𝑘 < 15  𝑐𝑜𝑚  𝑘 ∈ ℝ 
 
Analisando as alternativas conclui-se que apenas a alternativa [B] é a correta, pois entre o 
intervalo 12 e 15 há apenas dois números inteiros: 13 e 14. 
 
Resposta da questão 48: 
 [C] 
 
Considerando 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 , pode-se escrever: 
|𝑧|  ≥   |2𝑧 + 1| → |𝑥 + 𝑦𝑖| ≥ |2(𝑥 + 𝑦𝑖) + 1| → 𝑥2 + 𝑦2 ≥ (2𝑥 + 1)2 + 4𝑦2 → (𝑥 +
2
3
)
2
+ 𝑦2 ≤
1
9
 
 
Assim, a equação representa um círculo com centro em 𝐶 (−
2
3
, 0) e raio 
1
3
. 
 
Analisando cada uma das alternativas: 
[A] Verdadeira. Vide cálculos acima. 
[B] Verdadeira. A distância entre o centro do círculo e o ponto 𝑧(−1,  0) é igual ao raio. 
[C] Falsa. Para todo y maior que zero, z será maior que −
1
3
. 
 
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[D] Verdadeira. A alternativa é verdadeira porque o círculo não corta o eixo y. 
 
Resposta da questão 49: 
 [D] 
 
Da equação 
𝑥2
36
+
𝑦2
32
= 1, 
𝑎 = 6,  𝑏 = 4√2, 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 e 𝑐 > 0, 
62 = (4√2)
2
+ 𝑐2 
36 = 32 + 𝑐2 
𝑐2 = 4 
𝑐 = 2 
 
Logo, 
𝐹1 = (−2,  0) e 𝐹2 = (2,  0). 
 
Sendo 𝐶 = (𝑥𝐶 ,  𝑦𝐶) o centro da circunferência 𝜆, 
𝑥𝐶 =
−2 + 2
2
 
𝑥𝐶 = 0 
 
𝑦𝐶 =
0 + 0
2
 
𝑦𝐶 = 0 
𝐶 = (0,  0) 
 
Sendo 𝑟 a medida do raio da circunferência 𝜆, 
𝑟2 = (2 − 0)2 + (0 − 0)2 
𝑟2 = 4 
 
Portanto, 
𝜆: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 
 
Como 𝐹1 e 𝐹2 coincidem com as extremidades do eixo real de uma hipérbole equilátera, 
𝑎 = 𝑏 = 2 
 
Logo, 
𝛽: 
𝑥2
4
−
𝑦2
4
= 1 
 
Vamos examinar 𝛼 ∩ 𝜆 
{
𝑥2
36
+
𝑦2
32
= 1 (𝑖)
𝑥2 + 𝑦2 = 4 (𝑖𝑖)
 
 
Das equações (i) e (ii), 
𝑥2
36
+
4 − 𝑥2
32
= 1 
8𝑥2 + 9 ⋅ (4 − 𝑥2)
288
= 1 
8𝑥2 + 36 − 9𝑥2 = 288 
𝑥2 = −252 
 
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Como 𝑥2 = −252, 
𝛼 ∩ 𝜆 = ∅ 
 
Assim, é INCORRETO dizer que 𝛼 ∩ 𝜆 ≠ ∅. 
 
Resposta da questão 50: 
 [A] 
 
Sabendo que 𝐺 pertence à mediana relativa ao lado 𝐵𝐶, segue que a origem, 𝑂, dos eixos 
cartesianos é o ponto médio do lado 𝐵𝐶, e 𝐴 pertence ao semieixo positivo das ordenadas. 
Além disso, temos 𝐺𝑂 =
1
3
⋅ 𝐴𝑂, o que implica em 𝐴𝑂 = √3 e, portanto, 𝐴 = (0, √3). Daí, 𝐵𝐶 =
2
√3
⋅ 𝐴𝑂 implica em 𝐵𝐶 = 2, resultando em 𝐵 = (1,  0) e 𝐶 = (−1,  0). 
 
A equação da reta 𝑟 é dada por 
 
𝑦 = 𝑡𝑔 1 20° ⋅ 𝑥 + √3 = −√3𝑥 + √3. 
 
Logo, segue que (−1,  𝑏) = (−1,  2√3). Daí, temos −√3 ⋅ (−1) + √3 = 2√3, ou seja, 𝑟 passa 
pelo ponto (−1,  𝑏). 
 
A medida do raio de 𝜆2 corresponde à medida do segmento 𝐶𝐺. Logo, como 
 
𝐶𝐺 =
𝐺𝑂
𝑠𝑒𝑛 30°
=
2√3
3
 
 
e o centro de 𝜆2 é o ponto 𝐺, temos 
 
𝜆2: 𝑥
2 + (𝑦 −
√3
3
)
2
=
4
3
. 
 
Assim podemos concluir que (−
1
2
,  √3) é exterior a 𝜆2, pois 
 
(−
1
2
)
2
+ (√3 −
√3
3
)
2
>
4
3
. 
 
Desde que 𝐺 é o centro de 𝜆1 e seu raio é 𝐺𝑂, vem 
 
𝜆1: 𝑥
2 + (𝑦 −
√3
3
)
2
=
1
3
. 
 
Seja 𝑃 o ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares, tal que a abscissa de 𝑃 é 
√3
3
. É imediato 
que 𝑃 = (
√3
3
,  
√3
3
). Desse modo, temos 
 
(
√3
3
)
2
+ (
√3
3
−
√3
3
)
2
=
1
3
, 
 
ou seja, 𝑃 pertence a 𝜆1. 
 
 
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Resposta da questão 51: 
 [B] 
 
 
 
Coeficiente angular da reta 𝑟. 
𝑟: 𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0 
3𝑦 = −𝑥 + 10 
𝑦 = −
1
3
𝑥 +
10
3
 
𝑚𝑟 = −
1
3
 
 
Coeficiente angular da reta 𝑠. 
𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠 = −1 ⇒ (−
1
3
) ⋅ 𝑚𝑠 = −1 ⇒ 𝑚𝑠 = 3 
 
Equação da reta 𝑠. 
𝑦 − 0 = 3 ⋅ (𝑥 − 0) 
𝑦 = 3𝑥 
 
Coordenadas do ponto 𝑃. 
{
(𝑟) 𝑥 + 3𝑦 = 10
(𝑠) 𝑦 = 3𝑥
 
 
Resolvendo o sistema, encontramos 𝑥 = 1 e 𝑦 = 3. 
Logo, 𝑃(1,  3). 
 
Condição para a existência da circunferência. 
𝜆: 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 12𝑦 + 𝑘 − 4 = 0 ⇒ 
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 +
𝑘 − 4
2
= 0 ⇒ 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9+=
−𝑘 + 4
2
+ 10 
−𝑘 + 4
2
+ 10 > 0 ⇒ 𝑘 < 24 
 
Como 𝑃 é exterior à circunferência, temos: 
2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 32 + 4 ⋅ 1 − 12 ⋅ 3 + 𝑘 − 4 > 0 ⇒ 𝑘 > 16 
 
 
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Portanto o possíveis valores de 𝑘 são: 
17,  18,  19,  20,  21,  22 e 23. 
 
Resposta: Opção correta é a [B], três são números primos (17,  19 e 23). 
 
Resposta da questão 52: 
 [A] 
 
Cálculo dos determinantes: 
𝑑𝑒𝑡 𝑀 = |
𝑥 − 2𝑦 1
3𝑥 + 𝑦 −1
| = −𝑥 + 2𝑦 − (3𝑥 + 𝑦) = −4𝑥 + 𝑦 
𝑑𝑒𝑡 𝑁 = |
1 −1 3
0 1 2
−2 1 −4
| = −4 + 4 + 0 − (−6 + 2 + 0) = 4 
 
Inequação gerada: 
−4𝑥 + 𝑦 ≤ 4 ⇒ 𝑦 ≤ 4𝑥 + 4 
 
Logo, a melhor representação gráfica está indicada pela alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 53: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sejam 𝐹1 e 𝐹2 os focos da elipse. 
Queremos calcular 𝐹1𝐹2 = 2 ⋅ 𝑂𝐹1. 
Sabendo que 𝐹1𝐵1
2
= 602 e 𝑂𝐵1
2
= 362, da relação fundamental, vem 
 
𝐹1𝐵1
2
= 𝑂𝐵1
2
+ 𝑂𝐹1
2
⇔ 𝑂𝐹1
2
= 602 − 362 
    ⇒ 𝑂𝐹1 = √2304 
    ⇔ 𝑂𝐹1 = 48 𝑚. 
 
Portanto, 
 
2 ⋅ 𝑂𝐹1 = 2 ⋅ 48 = 96 𝑚. 
 
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Resposta da questão 54: 
 [E] 
 
Completando os quadrados, obtemos 
 
9𝑥2 − 𝑦2 = 36𝑥 + 8𝑦 − 11 ⇔ 9(𝑥2 − 4𝑥) − (𝑦2 + 8𝑦) = −11 
 ⇔ 9[(𝑥 − 2)2 − 4] − [(𝑦 + 4)2 − 16] = −11 
 ⇔ 9(𝑥 − 2)2 − (𝑦 + 4)2 = 9 
 ⇔
(𝑥 − 2)2
12
−
(𝑥 − 2)2
32
= 1, 
 
que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo 𝑂𝑥. 
 
Resposta da questão 55: 
 [A] 
 
Como 𝑃 pertence à parábola, segue que 
 
𝑎 =
(
1
3
)
2
+ 3
3
=
1
27
+ 1 =
28
27
. 
 
Sabendo que a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta 𝑦 = 𝑥, temos que o coeficiente 
angular da reta procurada é −1 e, portanto, sua equação é dada por 
 
𝑦 −
1
3
= (−1) ⋅ (𝑥 −
28
27
) ⇔ 𝑥 + 𝑦 −
1
3
−
28
27
= 0 
   ⇔ 27𝑥 + 27𝑦 − 37 = 0. 
 
Resposta da questão 56: 
 [E] 
 
9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0 
 
9(x2 – 4x + 4) + 25(y2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25 
 
9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225 
 
(𝑥 − 2)2
25
+
(𝑦 + 1)2
9
= 1 
 
Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 
6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. 
Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. 
 
Resposta da questão 57: 
 [C] 
 
[I] Verdadeira. 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
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Admitindo os focos (𝑐,  0) e (−𝑐,  0), temos: 
𝑎 = 4 e 𝑐 = 3 
𝑏2 + 32 = 42 ⇒ 𝑏 = √7 
 
Portanto, a equação da elipse será: 
𝑥2
16
+
𝑦2
7
= 1. 
 
[II] Verdadeira. 
𝑐 = 10 
5
3
=
10
𝑎
⇒ 𝑎 = 6 
102 = 62 + 𝑏2 ⇒ 𝑏 = 8 
 
Portanto, a equação da hipérbole será dada por: 
𝑥2
62
−
𝑦2
82
= 1 ⇒ 16𝑥2 − 9𝑦2 = 576 
 
[III] Falsa. 
8𝑥 = −𝑦2 + 6𝑦 − 9 
𝑥 = −
(𝑦 − 3)2
8
 
Portanto, o vértice é o ponto (0,  3). 
 
Resposta da questão 58: 
 [B] 
 
 
 
𝑥2 + 9y2 − 8x − 54y + 88 = 0 ⇒ 
x2 – 8x + 16 + 9⋅ (y2 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81 
 
 
(x – 4)2 + 9⋅ (y – 3)2 = 9 
(𝑥 − 4)
32
+
(𝑦 − 3)2
12
= 1 
 
 
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Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio 
possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. 
 
Resposta da questão 59: 
 [A] 
 
Uma equação de elipse com centro na origem é da forma: 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
Logo, 
𝑏2 = 144 ⇒ 𝑏 = 12 
𝑎2 = 225 ⇒ 𝑎 = 15 
 
Portanto: 
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 ⇒ 𝑐 = 152 − 122 ⇒ 𝑐 = 9 
 
Portanto, os focos são: 
(0,  9) e (0, −9). 
 
Temos então uma elipse com focos em (0,  9) e (0, −9). 
 
Resposta da questão 60: 
 [A] 
 
Resolvendo, inicialmente, um sistema com as equações da reta e da elipse: 
{
2𝑥2 + 3𝑦2 = 6
𝑦 = 𝑥 + 𝑛
 
 
Substituindo a segunda equação na primeira, temos: 
2𝑥2 + 3 ⋅ (𝑥 + 𝑛)2 = 6 
5𝑥2 + 6𝑛𝑥 + 3𝑛2 − 6 = 0 
 
Para a equação tenha duas raízes reais e iguais, ou seja a reta deve ser tangente a elipse, 
deveremos ter o valor do discriminante (delta) igual a zero. 
(6𝑛)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (3𝑛2 − 6) = 0 
−24𝑛2 + 120 = 0 
24𝑛2 = 120 
𝑛2 = 5 
𝑛 = ±√5 
 
Resposta da questão 61: 
 [B] 
 
A curva 𝜆 é uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo das abscissas, com centro em 
𝑂(1, −2) e semieixos medindo 𝑎 = 5 e 𝑏 = 3. Logo, tem-se que a distância do centro aos focos 
é 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 9 = 4. 
 
Em consequência, vem 𝐹1 = (1 − 4, −2) = (−3, −2) e 𝐹2 = (1 + 4, −2) = (5, −2). 
 
[A] Verdadeira. Com efeito, pois 
 
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𝑑(𝑃, 𝐹1) + 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎 = 2 ⋅ 5 = 10. 
 
[B] Falsa. Completando os quadrados, vem 
𝑥2+𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 = 0 ⇔ (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 13. 
 
Logo, como essa curva é uma circunferência centrada em (−3,  2), podemos concluir que a 
afirmação é falsa. 
 
[C] Verdadeira. De fato, pois a distância de 𝐹2 ao centro de 𝑥
2+𝑦2 = 25 é √52 + (−2)2 = √29. 
Tal distância é maior do que o raio da circunferência. 
 
[D] Verdadeira. Com efeito, pois o ponto de abscissa máxima de 𝜆 é 𝐴2 = (1 + 5, −2) =
(6, −2) e −2 = 6 − 8. 
 
Resposta da questão 62: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
A equação da elipse é dada por: 
𝑥2
(2𝑎)2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
𝑥2
4𝑎2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
𝐴 e 𝐵 são vértices do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 inscrito na elipse. 
Assim, pela figura, o lado 𝐴𝐵 do quadrado tem medida 2𝑦, ou seja, sua área 𝑆 é tal que 𝑆 =
4𝑦2. 
 
Note, na figura, que 𝑥 = 𝑦, logo, 
𝑦2
4𝑎2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
𝑦2 + 4𝑦2 = 4𝑎2 
5𝑦2 = 4𝑎2@matematicacomarua 
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4
5
⋅ 5𝑦2 =
4
5
⋅ 4𝑎2 
4𝑦2 =
16
5
𝑎2 
𝑆 =
16𝑎2
5
 
 
Resposta da questão 63: 
 [E] 
 
Seja (𝑡) a reta tangente à parábola de equação 𝑥 = 3y2. 
 
(𝑡)𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, como o ponto A( -3,0) pertence a (𝑡) concluímos que 𝑛 = 3𝑚 e a equação da 
reta 𝑡 passa a ser escrita por 𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑚. 
 
Substituindo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑚 na equação da parábola, temos: 
 
𝑥 = 3 ⋅ (𝑚𝑥 + 3𝑚)2 
𝑥 = 3 ⋅ (𝑚2𝑥2 + 6𝑚2𝑥 + 9𝑚2) 
𝑥 = 3𝑚2𝑥2 + 18𝑚2𝑥 + 27𝑚2 
3𝑚2𝑥2 + (18𝑚2 − 1)𝑥 + 27𝑚2 = 0 
 
Para que a reta seja tangente à parábola o discriminante deverá ser igual à zero. 
 
Δ = 0 
(18𝑚2 − 1)2 − 324𝑚4 = 0 
−36𝑚2 + 1 = 0 ⇒ 𝑚 =
1
6
  𝑜𝑢  𝑚 =
−1
6
 
 
Se 𝑚 =
1
6
, temos 𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0. 
Se 𝑚 =
−1
6
, temos 𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0. 
 
Fazendo 𝑚 =
−1
6
, temos: 
𝑥2 − 6𝑥 − 9 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑦 = −1. 
 
Resposta da questão 64: 
 [D] 
 
Analisando as proposições: 
 
[I] VERDADEIRA. Podemos reescrever a equação da parábola dada: 
𝑦2 + 4𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = −
1
4
𝑦2 + 1 
 
Assim, temos que quando 𝑥 = 0, 𝑦 = ±2, e quando 𝑦 = 0, 𝑥 = 1. Com isso pode-se construir 
um gráfico e identificar que trata-se de uma parábola com concavidade voltada para a 
esquerda, que corta o eixo y nos pontos +2 e −2, cujo vértice tem coordenadas (0,  1). 
Conclui-se também que eixo de simetria da parábola é o próprio eixo x (𝑥 = 0). 
O foco de uma parábola fica sempre sobre o eixo de simetria (portanto, nesse caso, 𝑥 = 0), 
com 𝑦 = 𝑘 + 𝑝 onde k será a coordenada y do vértice e 𝑝 =
1
4𝑎
. 
 
Assim, a coordenada y do foco será: 
 
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𝑘 = 1 
𝑝 =
1
4 ⋅
−1
4
= −1 
𝑦 = 𝑘 + 1 → 𝑦 = 1 − 1  →  𝑦 = 0 
 
Logo, as coordenadas do foco serão (0,  0) e sua distância até o vértice é igual a 1. A 
alternativa é verdadeira. 
 
[II] VERDADEIRA. A proposição é verdadeira pois esta é justamente a definição de hipérbole 
equilátera: ter as assíntotas perpendiculares entre si. 
 
[III] FALSA. Podemos reescrever a equação dada de modo a facilitar as conclusões: 
(2𝑥2 − 4𝑥) + (𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 0 →
(𝑥 − 1)2
1
+
(𝑦 − 2)2
2
= 1 
 
Comparando esta equação com a equação geral de uma elipse, pode-se concluir que a 
equação dada trata-se de uma elipse de centro (1 ,  2), semi-eixo menor 𝑏 = 1 e semi-eixo 
maior 𝑎 = √2. A elipse pode ser representada graficamente como na figura a seguir: 
 
 
 
Sabendo que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, então 𝑐 = 1. Daí pode-se deduzir que os focos da elipse serão 
(1,  3) e (1,  1). A proposição é falsa. 
 
Resposta da questão 65: 
 [A] 
 
De acordo com as informações do problema, concluímos que a representação da hipérbole no 
plano cartesiano será dada pelo seguinte gráfico. 
 
 
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𝑏2 + 3 = 52 ⇒ 𝑏 = 4 
 
Portanto a equação da hipérbole será dada por; 
𝑥2
32
−
𝑦2
42
= 1 
 
Logo, o ponto 𝑄 de abscissa 4 será dada por: 
42
32
−
𝑦2
42
= 1 ⇒
𝑦2
16
=
16
9
− 1 ⇒
𝑦2
16
=
7
9
⇒ 𝑦 = ±
4⋅√7
3
. 
 
Como 𝑦 > 0 o ponto 𝑄 será dado por: 
𝑄 (4, 
4√7
3
) 
 
Portanto, a área do triângulo pedida será dada por: 
 
 
 
𝑆 =
1
2
⋅ 8 ⋅
4 ⋅ √7
3
 
𝑆 =
16√7
3
. 
 
Resposta da questão 66: 
 [E] 
 
Obtendo as equações reduzidas das circunferências, chegamos ao centro e o raio de ambas: 
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 11 
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 11 + 9 + 16 
 
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(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 62 
𝐶1(3,  4) 𝑒 𝑅1 = 6 
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 4𝑦 = −16 
𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = −16 + 16 + 4 
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 22 
𝐶2(4, −2) 𝑒 𝑅2 = 2 
 
Distância entre os centros das circunferências: 
𝑑 = √(3 − 4)2 + (4 + 2)2 = √37 
 
Como |𝑅1 − 𝑅2| = 4 e |𝑅1 + 𝑅2| = 8, com 4 < 𝑑 < 8, temos que as circunferências são 
secantes. 
 
Resposta da questão 67: 
 [D] 
 
Manipulando a equação, obtemos: 
9𝑥2 + 4𝑦2 + 36𝑥 + 24𝑦 + 36 = 0 
9𝑥2 + 36𝑥 + 36 + 4𝑦2 + 24𝑦 + 36 = 36 
9(𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 4(𝑦2 + 6𝑦 + 9) = 36 
9(𝑥 + 2)2
36
+
4(𝑦 + 3)2
36
=
36
36
 
(𝑥 + 2)2
4
+
(𝑦 + 3)2
9
= 1 
 
Sendo assim, trata-se de uma elipse de centro 𝐶(−2, −3), eixo maior igual a 6 e eixo menor 
igual a 4. E a circunferência descrita pode ser observada abaixo: 
 
 
 
Cálculo do raio da circunferência: 
𝑅 = √(−2 − 0)2 + (−3 − 0)2 = √13 
 
Portanto, a equação pedida é: 
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 13 
 
Resposta da questão 68: 
 [C] 
 
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De 𝑐1: 16𝑥
2 + 9𝑦2 − 224𝑥 − 72𝑦 + 640 = 0, 
16𝑥2 − 224𝑥 + 640 = 0 
𝑥2 − 14𝑥 + 40 = 0 
𝑥 = 10 ou 𝑥 = 4 
 
Logo, 
𝑃(10,  0) e 𝑄(4,  0) 
 
De 𝑐2: 𝑥
2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 10𝑦 + 13 = 0, 
𝑦2 − 10𝑦 + 13 = 0 
𝑦 =
−(−10) ± √(−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 13
2 ⋅ 1
 
𝑦 =
10 ± 4√3
2
 
𝑦 = 5 − 2√3 ou 𝑦 = 5 + 2√3 
 
Logo, 
𝑅(0,  5 − 2√3) e 𝑆(0,  5 + 2√3) 
 
Dessa forma, temos: 
 
 
 
𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆 =
1
2
⋅ 10 ⋅ (5 + 2√3) −
1
2
⋅ 4 ⋅ (5 − 2√3) 
𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆 = 5 ⋅ (5 + 2√3) − 2 ⋅ (5 − 2√3) 
𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆 = 25 + 10√3 − 10 + 4√3 
𝑆𝑃𝑄𝑅𝑆 = 15 + 14√3 
 
Resposta da questão 69: 
 [E] 
 
Raio da circunferência: 
𝑟 = 𝑂𝑄 = 3 
 
Seja 𝑀 o ponto médio do segmento 𝑃𝑄, temos que: 
𝑂𝑀
2
= 32 − √6
2
⇒ 𝑂𝑀 = √3 
 
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Temos a figura: 
 
 
 
𝑅𝑀 = 3 − √3 
 
Logo, a área do triângulo vale: 
𝐴 =
𝑃𝑄 ⋅ 𝑅𝑀
2
=
2√6 ⋅ (3 − √3)
2
 
∴ 𝐴 = √6(3 − √3) 
 
Resposta da questão 70: 
 [D] 
 
De 𝑥2 + 3𝑦2 + 5 = 2𝑥 − 𝑥𝑦 − 4𝑦, 
𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 4𝑦 + 5 = 0 
𝑥2 + 𝑥(𝑦 − 2) + (3𝑦2 + 4𝑦 + 5) = 0 
 
O discriminante da equação acima é dado por: 
Δ = (𝑦 − 2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (3𝑦2 + 4𝑦 + 5) 
Δ = 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 12𝑦2 − 16𝑦 − 20 
Δ = −11𝑦2 − 20𝑦 − 16 
 
Note que Δ < 0 para todo valor real de y, logo, o lugar geométrico definido pela equação 𝑥2 +
3𝑦2 + 5 = 2𝑥 − 𝑥𝑦 − 4𝑦 é um conjunto vazio. 
 
Resposta da questão 71: 
 [C] 
 
Fazendo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, vem: 
|𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑖| = 2|𝑎 + 𝑏𝑖 − 1| 
|𝑎 + (𝑏 − 1)𝑖| = 2|𝑎 − 1 + 𝑏𝑖| 
√𝑎2 + (𝑏 − 1)2 = 2√(𝑎 − 1)2 + 𝑏2 
𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑏 + 1 = 4(𝑎2 − 2𝑎 + 1 + 𝑏2) 
 
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3𝑎2 + 3𝑏2 − 8𝑎 + 2𝑏 = −3 
𝑎2 −
8𝑎
3
+
16
9
+ 𝑏2 +
2𝑏
3
+
1
9
= −1 +
16
9
+
1
9
 
(𝑎 −
4
3
)
2
+ (𝑏 +
1
3
)
2
= (
2√2
3
)
2
 
 
Sendo assim, trata-se de uma circunferência de centro (
4
3
,  −
1
3
) e raio 
2√2
3
. 
 
Analisando as alternativas, podemos concluir que a afirmativa correta é a que dá a soma das 
coordenadas do centro, que vale: 
4
3
+ (−
1
3
) = 1 
 
Resposta da questão 72: 
 [A] 
 
Temos que: 
𝑓 (
1
3
) = 𝑙𝑛 (|−
7
12
+
1
3
− (
1
3
)
2
|
0
) = 𝑙𝑛(1) = 0 
 
E: 
−
7
12
+ 𝑥 − 𝑥2 < 0, ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
Logo: 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (|−
7
12
+ 𝑥 − 𝑥2|
3𝑥−1
) = (3𝑥 − 1) 𝑙𝑛 (𝑥2 − 𝑥 +
7
12
) 
 
Sendo assim, para a reta y = mx + n passar pelo ponto dado, devemos ter: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ⇒ 0 =
1
3
𝑚 + 𝑛 ⇒ 𝑛 = −
𝑚
3
 
𝑦 = 𝑚𝑥 −
𝑚
3
 
 
Fazendo a interseção da reta com a função dada, sabendo que 𝑥 ≠
1
3
, obtemos: 
𝑚𝑥 −
𝑚
3
= (3𝑥 − 1) 𝑙𝑛 (𝑥2 − 𝑥 +
7
12
) 
𝑚 (𝑥 −
1
3
) = 3 (𝑥 −
1
3
) 𝑙𝑛 (𝑥2 − 𝑥 +
7
12
) 
𝑚 = 3 𝑙𝑛 (𝑥2 − 𝑥 +
7
12
) 
 
Para que possamos obter o menor valor de m, basta determinar o valor mínimo de 𝑥2 − 𝑥 +
7
12
, 
que equivale a: 
−
Δ
4𝑎
= −
[(−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅
7
12
]
4 ⋅ 1
= −
(−
4
3
)
4
=
1
3
 
 
Portanto: 
∴ 𝑚𝑚í𝑛 = 3 𝑙𝑛 (
1
3
) = −3 𝑙𝑛( 3) 
 
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