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MÉTODOS BÁSICOS DA 
ANÁLISE DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luiz Fernando Martha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio 
Departamento de Engenharia Civil 
Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea 
CEP 22453-900 – Rio de Janeiro, RJ 
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E-mail: lfm@tecgraf.puc-rio.br 
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Sumário 
1. INTRODUÇÃO................................................................................................................1 
1.1. Breve histórico sobre a Engenharia Estrutural .....................................................2 
1.2. Análise estrutural .....................................................................................................3 
1.2.1. Modelo estrutural..............................................................................................4 
1.2.2. Modelo discreto .................................................................................................6 
1.2.3. Modelo computacional ...................................................................................10 
1.3. Organização dos capítulos ....................................................................................11 
2. CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL............................................13 
2.1. Classificação de estruturas reticuladas................................................................13 
2.2. Condições básicas da análise estrutural ..............................................................18 
2.2.1. Condições de equilíbrio..................................................................................19 
2.2.2. Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações .......21 
2.2.3. Leis constitutivas dos materiais.....................................................................22 
2.3. Métodos básicos da análise estrutural.................................................................24 
2.3.1. Método das Forças...........................................................................................25 
2.3.2. Método dos Deslocamentos ...........................................................................28 
2.3.3. Comparação entre o Método das Forças e o Método dos 
 Deslocamentos .................................................................................................31 
2.4. Comportamento linear e superposição de efeitos..............................................32 
2.5. Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas...............................39 
2.6. Determinação do grau de hiperestaticidade.......................................................44 
3. IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS .......................................49 
3.1. Relações entre deslocamentos e deformações em barras..................................49 
3.1.1. Deformações axiais..........................................................................................51 
3.1.2. Deformações normais por flexão...................................................................52 
3.1.3. Distorções por efeito cortante ........................................................................53 
3.1.4. Distorções por torção ......................................................................................54 
3.2. Relações diferenciais de equilíbrio em barras ....................................................55 
3.3. Equilíbrio entre tensões e esforços internos........................................................56 
3.4. Deslocamentos relativos internos.........................................................................59 
3.4.1. Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal .......59 
3.4.2. Rotação relativa interna provocada por momento fletor...........................60 
3.4.3. Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço 
 cortante .............................................................................................................61 
3.4.4. Rotação relativa interna provocada por momento torçor 61 
3.5. Equação de Navier para o comportamento à flexão..........................................62 
3.6. Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas .........................................63 
3.7. A essência da análise de estruturas reticuladas .................................................65 
Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 
 
4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS ..................................................................................69 
4.1. Traçado do diagrama de momentos fletores ......................................................69 
4.2. Energia de deformação e princípio da conservação de energia.......................73 
4.3. Princípio dos trabalhos virtuais............................................................................78 
4.3.1. Princípio das forças virtuais...........................................................................79 
4.3.2. Princípio dos deslocamentos virtuais ...........................................................95 
4.3.3. Teoremas de reciprocidade ..........................................................................102 
4.4. Soluções fundamentais para barras isoladas....................................................104 
4.4.1. Funções de forma para configurações deformadas elementares de 
 barras de pórticos planos..............................................................................105 
4.4.2. Coeficientes de rigidez de barra de pórtico plano ....................................108 
4.4.3. Coeficientes de rigidez à torção de barra ...................................................118 
4.4.4. Reações de engastamento de barra para solicitações externas................120 
5. MÉTODO DAS FORÇAS ...........................................................................................129 
5.1. Metodologia de análise pelo Método das Forças .............................................129 
5.1.1. Hiperestáticos e Sistema Principal ..............................................................130 
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade...............................132 
5.1.3. Determinação dos esforços internos ...........................................................136 
5.2. Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga .......................................138 
5.3. Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua ...................................139 
5.3.1. Sistema Principal obtido por eliminação de apoios..................................140 
5.3.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas internas.................150 
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado..................................154 
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção .....................................155 
5.4.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas.................................158 
5.5. Exemplos de solução pelo Método das Forças .................................................161 
6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS .......................................................................193 
6.1. Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico ..................................................193 
6.2. Metodologia de análise pelo Método dos Deslocamentos..............................196 
6.3. Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga .....................................203 
6.4. Convenções de sinais do Método dos Deslocamentos ....................................205 
6.5. Exemplo de solução de uma viga contínua ......................................................207 
6.6. Exemplos de solução de pórticos simples.........................................................214 
6.6.1. Pórtico com três deslocabilidades ...............................................................214 
6.6.2. Pórtico com articulação interna ...................................................................2196.6.3. Pórtico com barra inclinada .........................................................................225 
7. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS 
 DEFORMAÇÕES..........................................................................................................231 
7.1. Classificação das simplificações adotadas ........................................................232 
7.2. Consideração de barras inextensíveis................................................................233 
7.2.1. Exemplo de solução de pórtico com barras inextensíveis........................236 
Luiz Fernando Martha – Sumário 
 
7.2.2. Regras para determinação de deslocabilidades externas de pórticos 
 planos com barras inextensíveis..................................................................244 
7.3. Simplificação para articulações completas........................................................251 
7.3.1. Pórtico com articulação no topo de uma coluna .......................................252 
7.3.2. Pórtico com articulação dupla na viga e coluna........................................256 
7.3.3. Exemplo de solução de pórtico com duas articulações ............................260 
7.4. Consideração de barras infinitamente rígidas..................................................262 
7.4.1. Exemplo de solução de pórtico com dois pavimentos .............................266 
7.4.2. Exemplo de barra rígida com giro ..............................................................268 
8. PROCESSO DE CROSS...............................................................................................273 
8.1. Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos......................274 
8.2. Distribuição de momentos fletores em um nó .................................................276 
8.3. Solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio..................................280 
8.4. Formalização do Processo de Cross ...................................................................283 
8.4.1. Processo de Cross para um pórtico com uma deslocabilidade ...............283 
8.4.2. Processo de Cross para uma viga com duas deslocabilidades................285 
8.5. Aplicação do Processo de Cross a quadros planos ..........................................289 
9. MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA (não incluído, ainda sendo escrito) 
10. CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS; LINHAS DE INFLUÊNCIA.....................294 
10.1. Introdução ...........................................................................................................294 
10.2. Linhas de influência para uma viga biapoiada ..............................................295 
10.3. Método cinemático para o traçado de LI.........................................................296 
10.4. Metodologia para cálculo de LI’s pelo método cinemático ..........................304 
10.5. Linha de influência de esforço cortante em viga biengastada .....................305 
10.6. Linha de influência de momento fletor em viga biengastada ......................306 
10.7. Exemplo de determinação de envoltórias de esforços internos ...................307 
APÊNDICE A – CONVENÇÃO DE SINAIS PARA ESFORÇOS INTERNOS 
 (não incluído, ainda sendo escrito) 
APÊNDICE B – ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA ...........................................313 
B.1. Conversão de condições de apoio......................................................................314 
B.2. Roteiro do processo de Mohr .............................................................................316 
B.3. Cálculo de deslocamentos em vigas isostáticas ...............................................316 
B.4. Análise de vigas hiperestáticas ..........................................................................318 
B.5. Determinação de reações de engastamento de vigas......................................321 
B.6. Dedução de coeficientes de rigidez de barras..................................................323 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................................325