AOL 4 CALCULO INTEGRAL (2)

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1. Pergunta 1 
/1 
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental 
importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do 
denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração 
por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser 
calculada pelo método da integração de frações parciais. 
Porque: 
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos 
essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-
1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
Resposta correta 
2. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
5. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
2. Pergunta 2 
/1 
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral 
reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente 
solucionáveis. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de 
integração, associe os itens a seguir com os significados descritos: 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de 
integrais. 
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. 
( ) Utilizado para integração de funções racionais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
1, 2, 4, 3. 
2. 
1, 2, 3, 4. 
3. 
2, 1, 3, 4. 
4. 
3, 4, 2, 1. 
5. 
4, 1, 2, 3. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
/1 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e 
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de 
funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada 
do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para 
resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, F, F, F. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, V, V, F. 
4. Pergunta 4 
/1 
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo 
por nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). 
Além do método da substituição, outra técnica de integração importante é o da 
integração por partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas partes 
para acharmos sua integral indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo 
com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a 
derivação. 
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de 
v.du. 
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a 
derivação. 
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da 
integral indefinida de uma função. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I e II. 
Resposta correta 
3. 
II e III. 
4. 
I, e IV. 
5. 
I, II e III. 
5. Pergunta 5 
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O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a 
integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do 
cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para 
resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob 
uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de 
integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições 
trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a 
substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição 
para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas 
substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões 
integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições 
trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II e III. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
II e IV. 
6. Pergunta 6 
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As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras 
integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir 
os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), 
sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de 
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e 
integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 4, 3, 2. 
2. 
2, 1, 3, 4. 
3. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
2, 3, 1, 4. 
7. Pergunta 7 
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As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e 
comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, 
especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a 
determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
1.png 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de 
integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um 
triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendoas seguintes 
integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
3. 
F, V, F, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
V, F, V, F. 
8. Pergunta 8 
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O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio 
delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. 
Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de 
integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um 
deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por 
partes, analise as afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das 
derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv 
em outra em termos de du e um termo independente de integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
I, II e IV. 
3. 
II e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, III e IV. 
9. Pergunta 9 
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As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de 
funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de 
funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o 
método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, 
chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como 
uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
2. 
II e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
I e III. 
5. 
III e IV. 
10. Pergunta 10 
/1 
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução 
analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar 
algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em 
integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de 
identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus 
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses 
tipos de funções, é correto afirmar que: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
2. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão 
trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2]. 
3. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = 
asen(w). 
4. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão 
trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 
3pi/2]. 
5. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
Resposta correta