AOL 4 Cálculo Integral - 20211 B

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Cálculo Integral - 20211.B 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário 
Nota final 
9/10 
1. Pergunta 1 
/1 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à 
integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de 
integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, 
para que se encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua 
integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por 
substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da 
substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), 
temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 
2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
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1. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
2. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
da I 
4. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
2. Pergunta 2 
/1 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e 
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções 
trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse 
método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
V, V, V, F. 
3. 
V, V, F, F. 
4. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
5. 
V, F, F, F. 
3. Pergunta 3 
/1 
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos 
possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método 
da substituição, outra técnica de integração importante é o da integração por partes, na qual 
tomamos uma função e a separamos em duas partes para acharmos sua integral indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com seus 
conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação. 
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du. 
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação. 
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral 
indefinida de uma função. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II. 
Resposta correta 
2. 
I, II e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
I, e IV. 
5. 
II e III. 
4. Pergunta 4 
/1 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com 
integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas 
raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de 
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, 
associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 3, 1, 4. 
2. 
1, 3, 2, 4. 
3. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
4. 
2, 1, 3, 4. 
5. 
1, 4, 3, 2. 
5. Pergunta 5 
/1 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são 
premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas 
proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários 
e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto 
de duas funções é relevante para a integração por partes porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem 
integral por partes. 
2. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
3. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
4. 
ambas são axiomas da matemática. 
5. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do 
método de integração por partes. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por 
substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já 
que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida 
cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou 
translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições 
trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a 
substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para 
integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se 
nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições 
trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
I e III. 
4. Incorreta: 
II e III. 
5. 
II e IV. 
7. Pergunta 7 
/1 
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na 
resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas 
derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido 
como integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de 
acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método 
de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultaropções de resposta 
1. 
3, 4, 2, 1, 5. 
2. 
5, 2, 3, 4, 1. 
3. 
2, 4, 1, 3, 5. 
Resposta correta 
4. 
2, 1, 3, 4, 5. 
5. 
2, 4, 1, 5, 3. 
8. Pergunta 8 
/1 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio 
delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de 
funções. 
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser 
definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais. 
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com 
eixo de rotação em x. 
III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função. 
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído 
com eixo de rotação y. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, F 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, V, F, V. 
5. 
V, F, V, V. 
9. Pergunta 9 
/1 
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de 
Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não 
seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como 
frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de 
acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método 
de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas 
integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
5, 2, 3, 4, 1. 
2. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
3. 
2, 4, 1, 5, 3. 
4. 
3, 4, 2, 1, 5 
5. 
2, 1, 3, 4, 5. 
10. Pergunta 10 
/1 
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua 
integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que 
possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com 
raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus 
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos 
de funções, é correto afirmar que: 
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1. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica 
correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2]. 
2. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
Resposta correta 
3. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
4. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica 
correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2]. 
5. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).