AULA 2

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AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR PESQUISADOR EM 
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Otto Henrique Martins da Silva 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Teremos hoje uma aula interessante, que tratará de resolução de 
problemas (problematização), modelagem matemática e etnomatemática. São 
questões que envolvem, diretamente, a prática pedagógica docente, e que, 
portanto, discutem uma forma metodológica do ensino da matemática. Além 
dessas discussões, são sugeridas duas aplicações voltadas à resolução de 
problemas e à modelagem matemática, sobre as quais você poderá aprofundar 
seus conhecimentos. 
CONTEXTUALIZANDO 
Como realizar um ensino de matemática voltado a situações reais e, 
quando possível, ao cotidiano do estudante? 
Quais as formas metodológicas que possibilitam isso? 
TEMA 1 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMA 
A formulação e a resolução de problemas são abordagens bastante 
utilizadas no ensino de matemática, tanto no nível básico quanto no ensino 
superior. Devemos não só conhecê-las, mas também termos uma boa 
compreensão sobre as concepções e as possibilidades concretas do uso de 
ambas no ensino de matemática. Nesse caso, é necessária uma boa noção 
sobre o que vem a ser um “problema” ou uma “problematização” na 
aprendizagem da disciplina. 
Primeiro, discutiremos a problematização, pois ela antecede as 
discussões sobre a resolução de problemas. Também porque parece ser muito 
importante o entendimento do que vem a ser um problema ou uma 
problematização num contexto tanto filosófico quanto de ensino. 
Inicialmente, podemos entender a problematização como uma ação do 
sujeito que questiona uma dada realidade quando se confronta com algum 
obstáculo que lhe interpõe uma dificuldade ou que lhe traz inquietações em suas 
reflexões. Em relação a essa questão e à compreensão dessa realidade, 
podemos encontrar um problema cuja resolução necessite de estratégia, além 
de outras relações que possam surgir a partir das ações de enfrentamento. 
Então, sob essa perspectiva, temos um problema, pois surge a necessidade de 
 
 
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um momento para reflexões decorrente de uma perturbação ou provocação ao 
sujeito. 
A problematização no processo de ensino e aprendizagem possibilita uma 
contextualização, porque se faz necessário estabelecer ou explorar um contexto 
para realizar as relações do que está sendo problematizado com elementos ou 
aspectos de seu entorno. Por exemplo, a partir de um problema ou 
problematização de uma dada situação, pode-se levantar temas que dizem 
respeito à própria contextualização histórica e à gênese do conhecimento em 
questão. Em relação a isso, Bachelard (1977) destaca que 
Antes de tudo o mais, é preciso formular problemas. E seja o que for 
que digam, na vida científica, os problemas não se apresentam por si 
mesmos. É precisamente esse sentido do problema que dá a 
característica do genuíno espírito científico. Para um espírito científico, 
todo conhecimento é resposta a uma questão. Se não houver questão, 
não pode haver conhecimento científico. Nada ocorre por si mesmo. 
Nada é dado. Tudo é construído. (Bachelard, 1977, p. 148, citado por 
Delizoicov, 2001, p. 128) 
De outro modo, a contextualização da abordagem problematizadora 
possibilita, de forma concreta, uma articulação com o uso da história da 
matemática, por exemplo, e assim pode-se resgatar os processos históricos 
sobre a criação e a evolução dos conceitos matemáticos, pois, de acordo com 
Delizoicov, 
[...] seria propiciada a contextualização da origem, formulação e 
solução dos problemas mais relevantes que culminaram com a 
produção dos modelos e teorias, o que teria o potencial de explicar o 
significado histórico dos problemas junto aos estudantes e, talvez por 
isso, permitir-lhes a apreensão das soluções dadas e o respectivo 
conhecimento produzido. (Delizoicov, 2001, citado por Pietrocola, 2001, 
p. 134). 
A problematização ou a resolução de problemas como metodologia de 
ensino na matemática são questões bastante estudadas e discutidas por 
pesquisadores em educação matemática, e, a partir dessas pesquisas, pode-se 
discutir a compreensão de um problema e como essa metodologia poderia ser 
desenvolvida na prática pedagógica do professor. Contudo, devemos diferenciar 
problemas de exercícios, ou seja, distinguir aqueles que se caracterizam pelo 
uso de um algoritmo de forma mecânica na solução daqueles que procuram, 
principalmente, desenvolver uma estratégia para encontrar a solução (Dante, 
1988). De modo geral, exercícios contribuem na aprendizagem por meio da 
retomada dos conceitos aprendidos e de suas aplicações na realização das 
atividades de fixação; porém, de acordo com Dante (1988, p. 85), “de modo 
 
 
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geral, eles não suscitam a curiosidade do aluno e nem o desafiam”. Mas, o que 
poderia desafiar e provocar os alunos no âmbito do ensino de matemática? 
Uma forma de dar significado ao ensino de matemática é propor questões 
que estejam relacionadas ao dia a dia do estudante, ou seja, questões 
relacionadas à compra de automóveis, habitações, aparelhos eletroeletrônicos, 
empréstimos bancários, índices inflacionários e de correções de preços e do 
salário mínimo etc. Assim, a partir dessas situações, podemos relacionar 
cálculos percentuais, juros simples e compostos da matemática financeira. E, no 
caso de aquisição de imóveis, podemos trabalhar com áreas, perímetros, custos 
de reformas e maquetes do imóvel em questão. Outros problemas relacionados 
a dados estatísticos e/ou probabilidades podem proporcionar situações 
interessantes para o ensino de matemática, como tabelas de campeonatos de 
futebol que possibilitem análises de performance dos times ou de possibilidades 
de cada um ser campeão. 
Para a resolução de problemas, destacamos, ainda, a proposta 
denominada de a arte de resolver problemas, desenvolvida por Polya (1995), 
que foi publicada no Brasil no ano de 1986. De acordo com o autor, a proposta 
deve seguir quatro etapas: 
1. compreensão do problema; 
2. estabelecimento de um plano; 
3. execução do plano; 
4. retrospecto. 
Você encontrará a descrição de cada uma delas a seguir. 
1.1 Compreensão do problema 
Segundo o autor, para encontrar a resolução de um problema, devemos 
compreendê-lo e desejar resolvê-lo a partir de um enunciado claro; além disso, 
temos que ter certeza de dados, condições, incógnitas, fórmulas e algoritmos. 
Para uma melhor compreensão, esquemas podem auxiliar no entendimento do 
problema quando relacionados com as informações, possibilitando uma visão 
completa da situação. 
 
 
 
 
05 
1.2 Estabelecimento de um plano 
A partir da compreensão do problema, devemos elaborar um plano para 
solucioná-lo, propondo uma estratégia que possibilite um percurso para 
conhecer a incógnita. Contudo, convém refletir e estabelecer conexões entre as 
informações e a incógnita de forma motivada, e, caso necessário, observar 
situações similares para conceber alguma ideia que auxilie na estratégia de 
resolução. 
1.3 Execução do plano estabelecido 
Depois de completar a etapa em que estabelecemos o plano a ser 
seguido, devemos colocá-lo em prática, o que corresponde a realizar os 
encaminhamentos organizados que serão executados com bastante cuidado 
devido a operações e cálculos matemáticos. 
1.4 Retrospecto 
O retrospecto ‒ ou a revisão do processo de solução do problema ‒ 
corresponde à última etapa, e possibilita consolidar e aperfeiçoar o 
conhecimento utilizado e também a capacidade de resolver problemas. 
TEMA 2 – APLICAÇÕES DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA 
A seguir, mostramos um problema geométrico proposto por Polya (1995) 
e a discussão sobre sua solução. 
Um problema de traçado geométrico 
Inscrever um quadrado num triângulo dado. Dois vértices do quadrado 
devem situar-se sobre a base do triângulo e os dois outros vértices 
sobre os dois outros lados do triângulo,um em cada. 
‒ Qual é a incógnita? 
‒ Um quadrado 
‒ Quais são os dados? 
‒ É dado um triângulo, nada mais. 
‒ Qual é a condicionante? 
‒ Os quatro vértices do quadrado devem situar-se sobre o perímetro do 
triângulo, dois deles sobre a base e um vértice em cada um dos dois 
outros lados. 
‒ É possível satisfazer a condicionante? 
‒ Acho que sim. Não tenho muita certeza. 
‒ Parece achar que o problema não é muito fácil. Se não puder 
resolver o problema proposto, procure primeiro resolver algum 
problema correlato. É possível satisfazer uma parte da condicionante? 
‒ Que quer dizer por parte da condicionante? 
‒ Como vê, a condicionante refere-se a todos os vértices do quadrado. 
Quantos vértices tem o quadrado? 
 
 
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‒ Quatro. 
‒ Uma parte da condicionante seria relativa a menos de quatro 
vértices. Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra 
de lado. Que parte da condicionante é fácil de satisfazer? 
‒ É fácil traçar um quadrado que tenha dois vértices sobre o perímetro 
ou mesmo três vértices sobre o perímetro. 
‒ Trace uma figura. 
O aluno traça a Figura 2. 
 
‒ Manteve uma parte da condicionante e deixou a outra de lado. Até 
que ponto ficou a incógnita assim determinada? 
‒ O quadrado não ficará determinado se tiver apenas três vértices 
sobre o perímetro. 
‒ Muito bem. Trace uma figura. 
O aluno traça a Figura 3. 
 
‒ Como disse, o quadrado não fica determinado pela parte da 
condicionante que foi mantida. Como é que ele pode variar? 
‒ ... 
‒ Três dos vértices do quadrado estão sobre o perímetro do triângulo, 
mas o quarto não está lá onde deveria ficar. O seu quadrado, como 
observou, está indeterminado, ele pode variar, assim como o seu 
quarto vértice. Como é que pode variar? 
‒ ... 
‒ Tente experimentalmente se desejar. Trace outros quadrados com 
três vértices sobre o perímetro, da mesma maneira que traçou os dois 
quadrados já na figura. Trace os quadrados grandes e pequenos. O 
que parece ser o lugar geométrico do quarto vértice? Como é que ele 
pode variar? 
O professor levou o aluno até próximo da ideia da solução. Se este for 
capaz de perceber que o lugar geométrico do quarto vértice é uma reta, 
ele terá chegado à solução. (Polya, 1995, p. 15-17) 
 
 
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TEMA 3 – MODELAGEM MATEMÁTICA 
A modelagem é um encaminhamento interessante no ensino de 
matemática em situações do dia a dia que contenham problemas para serem 
resolvidos ou estudados. Porém, de acordo com Bassanezi (2002), a 
modelagem matemática também é um método de pesquisa, e pode ser 
compreendida como a “arte de transformar problemas da realidade em 
problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem 
do mundo real” (Bassanezi, 2002, p. 16). Assim, podemos compreender que o 
problema real pode ser, de forma aproximada, representado por meio de um 
modelo matemático associado ao conhecimento matemático, principalmente no 
que diz respeito à solução do problema. Segundo Biembengut (2009), a 
modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo a 
partir de um problema. Ou seja, 
Seja qual for o caso, a resolução de um problema, em geral quando 
quantificado, requer uma formulação matemática detalhada. Nessa 
perspectiva, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que 
procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou 
problema de situação real, denomina-se "modelo matemático". 
(Biembengut; Hein, 2009, p. 12) 
De acordo com os autores, podemos citar como exemplos de modelos 
matemáticos as equações algébricas, os diagramas e as representações 
geométricas, cujas elaborações estão relacionadas diretamente ao 
conhecimento matemático. De acordo com o filósofo da ciência Bunge (1974, p. 
10), “toda teoria específica é, na verdade, um modelo matemático de um pedaço 
da realidade”, e, portanto, podemos considerar os modelos matemáticos como 
representações aproximadas da realidade por meio das teorias científicas. 
De acordo com Bassanezi (2002, p. 19-20), o modelo está restrito a dois 
tipos: objeto e teórico. O primeiro termo é definido pelo o autor como a 
"representação de um objeto ou fato concreto”, cujas “características 
predominantes são a estabilidade e a homogeneidade das variáveis”. Ainda, 
segundo o autor, suas representações podem ter a forma de um desenho ou um 
mapa, ou de uma fórmula matemática, como um modelo epidemiológico que 
considera o grupo de infectados como sendo homogêneo; ou de um desenho 
para representar o alvéolo dos favos usado pelas abelhas na produção de mel. 
O modelo teórico, segundo Bassanezi (2002, p. 20), vincula-se a uma 
teoria geral existente, e “será sempre construído em torno de um modelo objeto 
 
 
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com um código de interpretação”. Um exemplo de modelo teórico é aquele 
usado na obtenção da equação da tratória, descrita a seguir: 
3.1 Tratória 
Muitos problemas que serviram para testar métodos matemáticos ou 
estimular desafios e competições entre matemáticos nos séculos XVII e 
XVIII tiveram sua origem na observação de processos mecânicos, 
geralmente simples. 
O estudo de curvas especiais que servissem para modelar tais 
fenômenos físicos proporcionou o desenvolvimento tanto da Mecânica 
como do próprio Cálculo Diferencial e Integral. No rol das curvas que 
surgiram na ocasião, podemos citar a catenária, a braquistócrona, a 
velária, a tratória entre outras tantas. Destas, a tratória é a menos 
conhecida atualmente. Acredita-se que o problema que a originou 
tenha sido proposto por C. Perrault por volta de 1670 que, para ilustrar 
a questão, puxava seu relógio de bolso, apoiado sobre uma mesa, pela 
corrente. Movendo a ponta da corrente sobre a borda da mesa, o 
relógio descrevia uma curva que tendia à borda, era a tratória. Para a 
obtenção da equação da tratória, basta entender que, durante o 
movimento de arrasto do relógio, a corrente está sempre tangente à 
trajetória descrita pelo relógio. Também, a distância entre o ponto de 
tangência (relógio) e o eixo-x (borda da mesa), sobre a reta tangente 
(corrente), é constante (comprimento da corrente esticada). A tradução 
desta linguagem para a linguagem matemática permite descrever o 
fenômeno pelo modelo: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
√𝑎2−𝑦²
, cuja solução é a tratória 
mostrada no gráfico a seguir (Bassanezi, 2002, p. 21); 
 
Em relação aos modelos matemáticos, esse autor afirma que os modelos 
matemáticos são classificados em: 
 Linear ou não linear – caso as equações básicas possuam essa 
característica. 
 Estático – quando representa a forma de um objeto (a forma 
geométrica de um alvéolo) ou dinâmico – quando simula variações de 
estágios do fenômeno (crescimento populacional de uma colmeia). 
 Educacional – quando é baseado em um número pequeno ou simples 
de suposições, tendo quase sempre soluções analíticas (modelo presa-
predador de Lotka-Volterra). [...] Geralmente estes modelos não 
representam a realidade com o grau de fidelidade adequada para se 
fazer previsões. Entretanto, a virtude de tais modelos está na aquisição 
de experiência e no fornecimento de ideias para a formulação de 
modelos mais adequados à realidade estudada; ou aplicativo – 
baseado em hipóteses realísticas e, geralmente, envolve inter-relações 
 
 
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de um grande número de variáveis, fornecendo em geral sistemas de 
equações com numerosos parâmetros. 
 Estocástico ou Determinístico, de acordo com o uso ou não de fatores 
aleatórios nas equações. 
Os modelos determinísticos são baseados na suposição que se 
existem informações suficientes em um determinado instante ou num 
estágio de algum processo, então todo o futuro do sistema pode ser 
previsto precisamente. Os modelos estocásticos são aqueles que 
descrevem a dinâmica de um sistema em termos probabilísticos (cf. M. 
Thompson). Os modelos práticos tendem a empregar métodos 
estocásticos, e quase todos os processos biológicos são formulados 
com estes modelos quando se tem pretensões de aplicabilidade. 
(Bassanezi, 2002, p. 20-22). 
O autorainda destaca que a modelagem matemática transpõe “o 
problema de alguma realidade para a Matemática onde será tratado através de 
teorias e técnicas próprias desta Ciência” (Bassanezi, 2002, p. 25). 
Uma outra forma de organização do processo da modelagem matemática 
é proposta por Biembengut (2009, p. 13). Segundo essa autora, isso ocorre em 
três etapas importantes: 
a) Interação 
 reconhecimento da situação-problema; 
 familiarização com o assunto a ser modelado → referencial 
teórico. 
b) Matematização 
 formulação do problema →hipóteses; 
 resolução do problema em termos de modelo. 
c) Modelo matemático 
 interpretação da solução; 
 validação do modelo → avaliação (Biembengut, 2009, p. 13). 
Ainda segundo Biembengut (2009), após a definição do tema na primeira 
etapa, realiza-se um estudo, buscando maior clareza da situação-problema à 
medida que se interage com os dados de pesquisa. Na segunda etapa, que 
pode ser iniciada mesmo sem a conclusão da primeira, é constituída a 
formulação do problema e da resolução, consistindo, portanto, na ‘tradução” da 
situação-problema para a linguagem matemática com o objetivo de se obter “um 
conjunto de expressões aritméticas ou fórmulas, ou equações algébricas, ou 
gráficos, ou representações, ou programa computacional, que levem à solução 
ou permitam a dedução de uma solução” (Biembengut, 2009, p. 14). 
Vale destacar que a modelagem matemática corresponde a uma 
metodologia pensada como uma forma pedagógica de se ensinar os conteúdos 
matemáticos na educação básica, e que “norteia-se por desenvolver o conteúdo 
programático a partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na 
realização de seu próprio modelo-modelagem” (Biembengut, 2009, p. 18). 
 
 
010 
TEMA 4 – APLICAÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA 
A seguir, apresentaremos um exemplo do uso da modelagem matemática 
envolvendo as grandezas físicas (Gomes, 2015). 
4.1 Relações entre grandezas físicas 
O projeto intitulado Relações entre Grandezas Físicas versou sobre um 
conjunto de experimentos feitos em grupo de alunos com orientação 
escrita quanto a material e procedimento e com acompanhamento da 
professora. Os alunos fazem a montagem, realizam os ensaios, 
efetuam as medidas, coletando os dados, organizando-os em tabelas e 
depois em gráficos. Fazem, então, a análise pelo ajuste de uma curva 
no gráfico e a determinação de alguns parâmetros relevantes e 
possíveis de se extraírem, considerando o nível de ensino em que 
estão. Com isso, em algumas situações modelam o fenômeno 
ajustando uma curva teórica com parâmetros obtidos dos dados 
experimentais. 
Os resultados relativos ao projeto desenvolvido nos 1os anos do Ensino 
Médio-EM da E. E. João Ramalho em São Bernardo do Campo, no ano 
de 2001, são documentados em relatórios e apresentados para 
apreciação coletiva em uma exposição. Posteriormente, os dados para 
o experimento do pêndulo simples foram usados para o ajuste em 
computador. O ajuste linear e o modelo da equação linear (ver Figura 
1) propiciam o cálculo da aceleração da gravidade por modelagem 
matemática. 
 
 
4.2 João e o Pé de Feijão 
A proposta da modelagem de dados do crescimento do pé de feijão foi 
feita pelo Prof. Geraldo Pompeu Jr. da UNESP de Guaratinguetá no 
Curso de Especialização em Modelagem Matemática em Ensino-
Aprendizagem coordenado pelo Prof. Rodney Carlos Bassanezi da 
UFABC no ano de 2009 (Biembengut et al., 2013). Sua proposta era de 
acompanhar o crescimento do pé de feijão registrando diariamente a 
 
 
011 
sua altura. Os dados organizados numa tabela seriam transformados 
num gráfico. O ajuste e o modelo poderiam ser estudados de acordo 
com o nível de ensino e habilidade dos alunos. O uso do computador, 
além de altamente motivador, seria útil para a compreensão rápida dos 
ajustes e modelos viáveis. 
Quando em contato com essa proposta pensei na associação do 
experimento de Ciências (Botânica) com a história infantil “João e o Pé 
de Feijão”, encontrada em diversas versões na literatura infantil 
(Rocha, 2004; Bellinghausen, 2006). A história contada para crianças 
pequenas poderia ser complementada com o experimento de 
observação da brotagem e crescimento do pé de feijão. Com crianças 
maiores, mesmo ainda na Educação Infantil, se estimularia a produção 
de registros dos dados, elaboração de tabelas e gráficos adequados 
para a faixa etária. No Ensino Fundamental-EF, a abordagem seria já 
mais elaborada incluindo a resolução de problemas vinculando a 
história, às observações experimentais, o tratamento da informação e 
os cálculos. No EF (anos finais) e no EM, o tratamento informatizado 
relacionado à modelagem matemática por meio de ajustes de curvas e 
extração de parâmetros do modelo seriam possibilidades mais 
elaboradas da modelação. Apresento assim, algumas sugestões para 
esse trabalho atendendo a etapas conforme a faixa etária considerada, 
descritas a seguir. 
1ª etapa – Contação de história 
Contar (ou ler) a história de João e o Pé de Feijão, o que pode ser 
complementado ou substituído por um vídeo da mesma história, início 
de um projeto de trabalho integrado com vários conteúdos abordados 
de forma diversificada e lúdica. 
2ª etapa ‒ O pé de feijão ou feijoeiro: brotamento e crescimento 
É feita a experiência de observação e medição da altura do pé de 
feijão. No caso da Educação Infantil, pode-se trabalhar a questão do 
feijão na alimentação da criança e de sua família. Receitas que 
envolvam o feijão: cozinha e degustação na escola. Aspectos 
nutricionais do feijão. Esta etapa pode ser complementada por outros 
aspectos como os da agricultura, comercialização e consumo do feijão 
no Brasil para alunos do EF. 
 
Com relação à medição, sempre será feita por comparação. No 
entanto, o que se faz com régua ou papel quadriculado (ou 
milimetrado) em anos mais avançados, na Educação Infantil e nos 
anos iniciais do EF as medidas podem ser feitas por marcações em 
papel colocado num suporte vertical (a parede, por exemplo, como nas 
fotos da Figura 2) ou cortado em tira no tamanho da planta a cada dia 
a ser colada em cartolina ou numa folha do portfólio da criança. Essa 
tira de papel pode ser colorida ou com desenhos feitos pela própria 
criança representando a sua observação naquele dia. A ligação entre 
pontos no topo de cada coluna guia a visão para acompanhar a 
evolução do crescimento do pé de feijão. Essa ligação pode ser feita 
desenhando-se a linha ou com barbante ou cola colorida (Figura 3). 
 
 
012 
 
3ª etapa – Modelagem matemática do fenômeno 
Após a coleta dos dados, passa-se à organização dos dados em 
tabelas e gráficos e sua análise. No computador podem ser construídos 
usando-se o diagrama de dispersão nas suas mais variadas formas. 
Os pontos no gráfico podem ser ligados simplesmente por linhas retas. 
Os ajustes-tentativas podem ser feitos pelas linhas de tendência 
como na Figura 4 onde são mostradas as fórmulas obtidas com ajuste 
polinomial. Um modelo que descreva o crescimento de qualquer pé de 
feijão a ser verificado experimentalmente já é uma etapa mais 
elaborada e objeto de outra oficina. O modelo adequado neste caso 
seria o modelo logístico de crescimento que descreve o crescimento 
em duas etapas onde há mudança de concavidade da curva. Na 1ª 
etapa o crescimento é mais rápido e descrito por uma função 
exponencial. Na 2ª etapa, mais lento, e descrito por uma função 
exponencial assintótica. (Bassanezi, 2006, p. 333-340) 
 
4.3 Descobrindo a presença do número π nas coisas 
Outro projeto foi desenvolvido em caráter de “revisão” de conceitos 
básicos de Geometria onde as dificuldades em relação a esses 
conteúdos eram visíveis e presentes não só nas turmas de EJA como 
no EM regular dos anos 2010 e 2011. O tema é instigado onde 
aspectos históricos e curiosidades sobre o número π podem ser 
levantados (Lima, 2004) bem como literários como no romance de 
ficção científica “Contato” de autoria do físico e astrônomo CarlSagan 
(1986, p. 494 e 499-500). Sua abordagem nesta oficina trata da 
modelagem matemática de medidas de circunferência e área do círculo 
em função do diâmetro, levando à determinação do parâmetro de 
relação entre essas grandezas: o número π (Lima, 2004). As curvas a 
serem ajustadas são modeladas por uma função linear no caso do 
perímetro (P) e uma função quadrática no caso da área (A) em função 
do diâmetro (D). A sequência didática envolveu várias etapas descritas 
a seguir. 
 
 
013 
1ª etapa – Coleta dos dados 
Solicitou-se aos alunos a coleta de objetos cilíndricos em casa. Em 
algumas salas a professora trouxe alguns objetos e outros da própria 
sala de aula foram usados. Estabeleceu-se uma discussão sobre o 
objetivo da atividade, a nomenclatura envolvida, o processo e os 
instrumentos de medida a serem usados. A medida do diâmetro de 
cada objeto foi feita com régua e do perímetro com barbante e régua 
ou fita métrica em alguns exemplos na sala de aula. Aos alunos foi 
solicitado que escolhessem 3 objetos em casa, fizessem as medidas e 
apresentassem os resultados em uma tabela e trouxessem para a sala 
de aula. 
2ª etapa – Análise dos Dados 
Os dados coletados individualmente foram compartilhados 
coletivamente, trazidos para a lousa e organizados numa única tabela 
cujos dados de diâmetro variavam de uns poucos centímetros como no 
caso de tampas de garrafa ou embalagens de batom até 30 ou 40 cm 
como no caso de baldes ou panelas, por exemplo. Os alunos 
construíram no caderno uma tabela contendo o nome dos objetos, a 
medida do diâmetro e do seu perímetro. Após uma discussão não 
conclusiva sobre a relação possível entre diâmetro e perímetro, 
observando a tabela e os objetos, os alunos foram orientados a 
calcularem a razão perímetro (P) e diâmetro (D) – relação P/D, 
organizando-a numa outra coluna da mesma tabela. A obtenção de 
valores muito próximos de P/D chama a atenção sobre a sua igualdade 
envolvendo a discussão sobre os erros na medida e sua propagação 
no cálculo. 
3ª etapa – Determinação do número π 
De posse desses dados, a análise foi concluída em sala de aula e 
também na sala de informática. Os alunos geraram uma tabela com os 
dados de P, D e a razão P/D em ambiente real e virtual. A observação 
anterior leva a proposição do modelo linear para a relação entre P e D 
com coeficiente linear nulo, ou seja: 
P = πmedição ∙ D 
O valor de πmedição foi obtido de duas maneiras a serem comparados,1 
seguindo os procedimentos: 
1. Por meio da média dos valores da razão P/D feita com calculadora 
e com planilha eletrônica. 
2. Pelo ajuste de uma função linear cujos coeficientes foram obtidos 
computacionalmente por regressão linear. 
3. Comparação dos valores obtidos nas duas maneiras com o valor de 
π = 3,14 (até a segunda casa decimal). A estimativa do erro 
cometido é obtida pelo cálculo do desvio da média pela fórmula: 
Erro = Mod (valor medido – valor esperado)/valor esperado 
Uma das alunas, ao apresentar sua análise em planilha eletrônica, 
mesmo com as dificuldades de escrita espontânea comuns a nossos 
alunos, mas que denota a sua percepção e compreensão do assunto 
tratado, dá o seguinte parecer: “Foram obtidas duas formas de 
cálculos, a de número PI e no PI médio deu-se o valor 3,37 e no 
resultado da soma do PI pelo gráfico deu-se 3,34. Mas acredito que o 
resultado que seria mais correto é do gráfico”. Outra aluna estimou o 
erro na medição do perímetro de um objeto (um porta-lápis) de 
diâmetro D = 6 cm. O perímetro foi medido e depois comparado com o 
valor calculado P = π ∙ D usando π = 3,14 e avaliando-se o erro na 
medida (Gomes, 2015). 
 
 
1 O aplicativo computacional usado foi o MS-EXCEL disponibilizado pelo ACESSA SÃO PAULO 
do Governo do Estado de São Paulo às escolas públicas estaduais (Gomes, 2015). 
 
 
014 
Saiba mais 
Para saber mais sobre modelagem matemática nas relações entre 
grandezas, leia o artigo completo de Vivilí Maria Silva Gomes. Disponível em: 
<https://www.ime.usp.br/caem/anais_mostra_2015/arquivos_auxiliares/oficinas/
Oficina12_Vivili.pdf>. 
TEMA 5 – ETNOMATEMÁTICA 
A partir do V Congresso Internacional de Educação Matemática, realizado 
no ano de 1984 em Adelaide, na Austrália, as críticas com relação à educação 
matemática tornaram-se mais intensas, especialmente quanto ao ensino de 
matemática. De acordo com D’Ambrósio (1998), 
[...] o Quinto Congresso Internacional de Educação Matemática, que se 
realizou em Adelaide, Austrália, em agosto de 1984, mostra uma 
tendência definitiva sobre preocupações socioculturais nas discussões 
sobre educação matemática. Questões sobre “Matemática e 
sociedade”, “Matemática para todos” e mesmo a crescente ênfase na 
“História da matemática e de sua pedagogia”, as discussões de metas 
da educação matemática subordinadas às metas gerais da educação e 
sobretudo o aparecimento da nova área, a etnomatemática, com forte 
presença de antropólogos e sociólogos, são evidências da mudança 
qualitativa que se nota nas tendências da educação matemática. 
(D’Ambrósio, 1998, p. 12.) 
A partir das discussões realizadas nesse congresso em que o consenso 
era que a educação matemática deveria se voltar para as questões 
socioculturais, Ubiratan D’Ambrósio se destacou pela teorização da 
Etnomatemática. Ele afirmou, sobre essa proposta, que: 
[...] utilizamos como ponto de partida a sua etimologia: etno é hoje 
aceito como algo muito amplo, referente ao contexto cultural, e, 
portanto, inclui considerações como linguagem, jargão, códigos de 
comportamento, mitos e símbolos; matema é uma raiz difícil, que vai na 
direção de explicar, de conhecer, de entender; e tica vem sem dúvida 
de techne, que é a mesma raiz de arte ou técnica. Assim, poderíamos 
dizer que etnomatemática é a arte ou técnica de explicar, de conhecer, 
de entender nos diversos contextos culturais [...]. (D’Ambrósio, 1998, p. 
5-6.) 
Em relação ao termo etnomatemática, D’Ambrósio adverte que 
[...] é um grande equívoco pensar que a etnomatemática pode 
substituir uma boa matemática acadêmica, que é essencialmente para 
o indivíduo ser atuante no mundo moderno. Na sociedade moderna, a 
etnomatemática terá utilidade limitada, mas, igualmente, muito da 
matemática acadêmica é absolutamente inútil nessa sociedade. 
(D'Ambrósio, 2011, p. 43.) 
 
https://www.ime.usp.br/caem/anais_mostra_2015/arquivos_auxiliares/oficinas/Oficina12_Vivili.pdf
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015 
FINALIZANDO 
Chegamos ao fim desta aula em que três grandes questões sobre a 
educação matemática foram discutidas: a resolução de problemas, a modelagem 
matemática e a etnomatemática. Em relação a essas discussões, lembramos 
que elas são encaminhamentos metodológicos muito interessantes, e que você 
poderá aplicá-las em suas aulas futuramente. Portanto, busque aprofundar-se no 
assunto por meio da literatura citada ao longo desta aula. 
 
 
 
016 
REFERÊNCIAS 
BACHELARD, G. O racionalismo aplicado. Rio de Janeiro: Zahar, 1977. 
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São 
Paulo: Contexto, 2002. 
BELLINGHAUSEN, I. B. João e o pé de feijão. São Paulo: DCL, 2006. 
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: 
Contexto, 2011. 
BUNGE, M. Teoria e realidade. São Paulo: Perspectiva, 1974. 
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 4. 
ed. Belo Horizonte: Autentica, 2011. 
_____. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. 5. ed. São 
Paulo: Ática, 1998. 
DANTE, L. R. Criatividade e resolução de problemas na prática educativa 
matemática. 1988. 192f. Tese (Livre Docência) ‒ Universidade Estadual 
Paulista ‒ Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro, 1988. 
DELIZOICOV, D. Problemas e problematizações. In: PIETROCOLA, M. (Org.). 
Ensino de física: conteúdo, metodologia eepistemologia em uma concepção 
integradora. 2. ed. Florianópolis: UFSC, 2001. 
GOMES, V. M. S. Oficina 12: modelagem matemática nas relações entre 
grandezas físicas. Universidade Federal do ABC. Disponível em: 
<https://www.ime.usp.br/caem/anais_mostra_2015/arquivos_auxiliares/oficinas/
Oficina12_Vivili.pdf>. 
LIMA, E. L. O que é o número π? Brasília: SEB-MEC, 2004. p. 126-129. 
Coleção Explorando o Ensino ‒ Matemática, v. 1. Disponível em: 
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap1.pdf>. 
Acesso em: 30 dez. 2017. 
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método 
matemático. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1995. 
ROCHA, R. Joãozinho e o pé de feijão. São Paulo: FTD, 2004. 
SAGAN, C. Contato. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. 
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