3 - A Matemática na Busca de Soluções

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Descrição
A construção de soluções que transformem a sala de aula em um grande laboratório mediante metodologias de resolução de problemas, modelagem e jogos cujo pano de fundo seja a perspectiva da investigação, da reflexão e da análise crítica das soluções.
Propósito
Apresentar cenários para a criação de ambientes propícios ao desenvolvimento do raciocínio por meio de várias estratégias, como a resolução de problemas, a modelagem e os jogos sobre a perspectiva da investigação, privilegiando o questionamento, a análise crítica e a busca por soluções criativas e inovadoras.
Preparação
Ter acesso e alguma familiaridade com o App Geogebra, o qual pode ser acessado pelo site. Além disso, deve-se estar com a mente aberta e realizar as atividades propostas no decorrer dos módulos sob o ponto de vista do estudante.
Objetivos
Módulo 1 - Curiosidade intelectual e abordagem científica
Reconhecer os conceitos de investigação e do método científico.
Módulo 2 - Modelagem, resolução e investigação: estratégias e resultados
Formular atividades, antevendo possíveis entraves.
Módulo 3 - Imaginação e criatividade na investigação matemática aplicar diferentes metodologias com base na investigação.
Introdução
Desenvolveremos três módulos com abordagens complementares em busca de soluções que transformem a sala de aula em um grande laboratório. Vamos perpassar as metodologias de resolução de problemas, de modelagem e de jogos. Essas metodologias terão como pano de fundo a perspectiva da investigação, da reflexão e da análise crítica das soluções. Todos os seus processos buscam promover o surgimento de soluções críticas e inovadoras por meio da exploração e das conexões de ideias, sejam elas antigas ou novas, para a criação de processos de investigação em busca de soluções. No módulo 1, trabalharemos à luz da resolução de problemas, evocando, com isso, a curiosidade sobre o pensamento científico por meio de problemas instigantes. Deixaremos claro ainda que o ato de resolver um problema difere da metodologia, mesmo sendo parte integrante dela. No módulo 2, enfatizaremos os processos de investigação sob a perspectiva da modelagem matemática. Nossa abordagem possui origem na matemática aplicada, que foi importada para o universo da educação matemática. Daremos destaque para a apresentação prática de uma atividade complexa de investigação e modelagem matemática. No módulo 3, por fim, nos aprofundaremos no tema da investigação e da criatividade matemática, pois investigaremos as observações e as experiências adquiridas por meio do jogo. Também faremos um breve relato sobre algumas experiências com o jogo proposto.
1 - Curiosidade intelectual e abordagem científica
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer os conceitos de investigação e do método científico.
Resolução de Problemas: uma abordagem científica
O que é um problema?
Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis.
(René Descartes)
A Base Nacional Comum Curricular (s.d.) afirma que exercitar a curiosidade intelectual significa recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para, com base no conhecimento das diferentes áreas, realizar as seguintes ações:
· Investigar causas.
· Elaborar e testar hipóteses.
· Formular e resolver problemas.
· Criar soluções (inclusive tecnológicas).
Já um problema é uma situação que um indivíduo ou grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução, aponta Lester (1982, apud DANTE, 2003).
Listemos alguns exemplos de problemas da modernidade:
· Descarte do lixo
· Dificuldades financeiras
· Violência doméstica
· Aquecimento global
· Abuso de drogas etc.
O mais importante é que, em geral, os problemas instigam a nossa curiosidade e podem ser resolvidos pelo método científico. Apesar de tal método possuir seis etapas, não é necessário que passemos por todas. Trata-se apenas de um guia.
As seis etapas do método científico são:
· Observação
· Elaboração do problema
· Formulação de hipóteses
· Experimentação
· Análise dos resultados
· Conclusão
Reflexão
Observando o comportamento das salas de aula antes da década de 2010, é notória a distância que as escolas se encontram da abordagem cientifica. Como esperar, afinal, que alguém resolva problemas relevantes sem ter um mapa de procedimentos a percorrer? Isso gera muito mais erros no processo de tentativa e erro que a vida nos apresenta. Nesse sentido, este texto se torna urgente para responder à ânsia de desenvolver estratégias de experimentação científica em um ambiente no qual o erro é parte da solução.
Analisemos agora um contexto mais específico: o que significará um problema se pensarmos em ensinar e aprender matemática?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais atestam que:
[...] um problema matemático é uma situação que demanda realizações de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas, porque não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. 
(BRASIL, 1998, p. 41)
Vale uma ressalva sobre o que acabamos de ler, uma vez que, acerca do olhar sobre o pensamento crítico e científico, é possível realizar uma distinção entre problema e exercício. Confira:
Problema
Atividade cujo “resolvedor” não possui um caminho rápido e direto.
Exercício
Atividade cujo resolvedor já tem habilidade ou conhecimentos suficientes para resolvê-la.
Note que a mesma atividade pode ser um exercício em um contexto e um problema em outro:
Exemplo
Contexto 1
Exercício:
O aluno já sabe a fórmula para a resolução das equações de grau 2.
Resolva a equação do segundo grau: x² + 6x - 16 = 0.
Contexto 2
Problema:
O aluno aprendeu apenas a fatoração de produtos notáveis.
Considere a equação x² + 6x = 16. Determine o valor de x.
O aluno vai se sentir perdido – e isso é esperado, pois ele nunca resolveu uma questão do gênero. O professor, portanto, precisa apresentar um caminho.
Observe três maneiras de se apontar um caminho para o aluno:
Exemplo
1. Que valor devemos somar a x² - 6x para que ele se torne um quadrado perfeito?
2. Sendo √u o valor encontrado no item (a), podemos escrever (x + √u) ² = 16 + u.
Agora, fazendo y = x + √u, determine o valor de y.
3. Determine o valor de x.
Existem outras formas de abordar essa equação, por exemplo, com o cálculo de áreas, o que seria, caso o professor tivesse abordado produtos notáveis dessa maneira, uma boa ideia.
Atenção!
Esse caminho foi apenas uma sugestão.
Isso mostra o seguinte: o que constitui um problema para um grupo pode não ser para outro. Dessa forma, o professor tem de ser crítico na hora de conduzir as suas aulas.
Resolução de problemas na perspectiva da educação matemática
Segundo Polya (1978), existe uma dicotomia na resolução de problemas. Essa resolução, afinal, conta com dois lados:
Ato de resolver problemas
Técnicas ou procedimentos empregados para resolvê-los.
Estratégia metodológica
Modos pelos quais eu posso empreender a minha prática em sala de aula, adotando o ato de resolver problemas.
Quanto ao ato de resolver problemas, Polya (1978) ainda apresenta uma sequência de quatro ações do sujeito para determinar uma solução:
1. Compreender o problema.
2. Estabelecer um plano.
3. Executar o plano.
4. Examinar a solução obtida.
Note que isso é feito normalmente em nossa prática, mas deixar clara a organização dos atos nos ajudará a compreender melhor o que estamos fazendo.
Observe agora estes três exemplos:
Exemplo
1. Carlos foi a uma loja de chocolates e gastou metade do dinheiro que tinha mais R$1,00. Depois, foi a uma loja de balas e gastou metade do dinheiro que possuía mais R$1, tendo esgotado seu dinheiro. Quanto dinheiro ele tinha antes de ir à loja de chocolates?
2. Em uma reunião, há 6 amigos. Nos cumprimentos entreeles, se cada um trocar dois apertos de mão (no início e no final da reunião) com todos os outros, quantos apertos de mão serão dados?
3. Marcelo trabalha com programação, mas precisa ir ao escritório uma vez por semana. Como ele não dirige, pega um Uber para seu deslocamento. Devido ao horário em que se desloca e à relação dinâmica do aplicativo, ele descobriu que sofrerá as seguintes cobranças: R$3,00 pelo pedido do carro mais R$1,00 por quilômetro percorrido durante a manhã. Além disso, verificou que, após 17 horas, por conta do sistema dinâmico do aplicativo, os valores são dobrados. Sabendo que ele mora a 5km do trabalho e que seu valor máximo para gastar em Uber por mês é de R$100,00, haverá, no ano corrente, algum mês em que Marcelo não consiga ir todas as semanas ao trabalho utilizando esse aplicativo de transporte? Justifique sua resposta. 
Mas existem diferenças entre os problemas propostos? A resposta é sim.
Dante (2003) propõe a seguinte classificação para tais problemas:
Problema padrão
A solução do problema já está contida no enunciado, bastando transformar a linguagem usual em matemática e identificar o algoritmo necessário para resolvê-lo.
Problemas processo
Sua solução envolve as operações que não estão contidas no enunciado, exigindo do aluno um tempo para arquitetar um plano de ação.
Problemas de aplicação
Também chamados de situação-problema, tais problemas retratam situações reais do dia a dia que exigirão a matemática para serem resolvidos.
Problemas de quebra-cabeça
Faz parte da matemática recreativa: suas soluções dependem de um pouco de sorte ou da facilidade em perceber truques.
Problemas de quebra-cabeça
Um ótimo autor sobre esse tema foi Martin Gardner. Não existem muitos livros deles em português, porém, para quem sabe ler em inglês, uma ótima referência é esta obra: My best mathematical and logic puzzles.
Por conta disso, podemos, na ordem, classificar os três problemas propostos no exemplo acima como:
· Problema padrão
· Problema processo
· Problema de aplicação
Comentário
Como professores, precisamos ser críticos e realistas quando apresentamos um problema a nossos estudantes, pois devemos ter uma intenção com ele que não se limite a nossas contas. Por isso, apresentaremos nos módulos seguintes conceitos e metodologias para possibilitar a criação de ambientes de aprendizagem que fomentem uma curiosidade científica e – por que não? – Divertida.
Vamos solucionar problemas?
Quando falamos em solucionar problemas e elaborar resoluções as vezes pode parecer algo de outro mundo, algo difícil. Mas, de fato, é só um jeito de organizar algo que é corriqueiro, quando por exemplo nós jogamos. Quer ver? Professor Marcelo e Cainã mostram na prática.
Criando ambientes de aprendizagem
Fomentando a curiosidade através da resolução de problemas
O trecho a seguir ilustra como a metodologia de resolução de problemas se insere em uma prática pedagógica para que seja possível ao:
· Estudante aprender.
· Professor, em uma perspectiva de ensino-aprendizagem e avaliação, desenvolver o seu trabalho mediando as situações e avaliando tanto o desenvolvimento da prática do estudante quanto o próprio trabalho.
Ao considerar o ensino, aprendizado e avaliação, isto é, ao ter em mente um trabalho em que esses três elementos ocorrem simultaneamente, pretende-se que enquanto o professor ensina o aluno, como um praticante ativo, aprenda, e que a avaliação se realize em ambos. O aluno analisa seus próprios métodos e soluções obtidas para o problema, visando sempre a construção de conhecimento. Essa forma de trabalho do aluno é consequência de seu pensar matemático, levando-o a elaborar justificativas e a dar sentido ao que fez. De outro lado, o professor avalia o que está ocorrendo e os resultados do processo, com vistas a reorientar as táticas de sala de aula, quando necessário.
(ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p. 81)
Para a criação de um ambiente de ensino-aprendizagem e avaliação por meio da resolução de problemas, as professoras Onuchic e Allevato sugerem um ciclo de nove etapas:
1. O professor deve levar um problema ou situação geradora 
Este é o ponto de partida da atividade. Note que o professor deve conhecer o seu público a fim de que o problema não se torne um exercício e seja interessante suficiente para ter a atenção dos participantes.
2. O Estudante dever ser desafiado a usar seus conhecimentos prévios
Nesse momento, é importante que o estudante leia o problema individualmente para poder identificar os elementos e pensar como resolvê-lo.
3. Em pequenos grupos, os estudantes devem discutir, aprimorar e compreender
A seguir, os estudantes devem ser reunidos em grupos e encorajados a debater o problema apresentado, cada um contribuindo com seus conhecimentos e análise da questão.
4. O professor deve incentivar e observar as dicções
Isso serve para que ele possa atuar e orientar de forma assertiva sem dar efetivamente a solução.
5. Os estudantes devem resolver o problema 
Tal resolução será feita com as estratégias que os estudantes julgarem convenientes.
6. Os estudantes devem apresentar uma solução para o problema 
As autoras sugerem a criação de um painel de soluções no qual elas fiquem expostas, sejam elas certas ou erradas, para que então os estudantes possam, sob a mediação do professor, discutir em plenária suas ideias e concepções.
7. O professor deve buscar um consenso
Um exemplo seria este: as melhores estratégias empregadas e a solução mais interessante.
8. O Professor deve formatizar o conteúdo
Este passo será fundamental para que não fiquem mal-entendidos ou pontas soltas. Nessa etapa, o professor passa a usar de fato a linguagem matemática
9. O professor ou os alunos devem propor novos problemas 
Tais problemas são propostos pelos estudantes ou pelo professor.
Veja que, apesar de não ser o centro do trabalho, o professor é fundamental, já que ele está presente em todas as etapas, mediando e orientando. 
Observação: Atualmente se tira o protagonismo do professor com retentor do conhecimento e assim um dos alicerces da educação, promover o aluno com protagonista sem que ele tenha os talentos necessários para tal feito, o tornando um crítico direto das aptidões do professor e seu valor dentro do contexto social, o aluno com protagonista ele pode excluir a imagem do professor como alguém que possa contribuir com sua evolução educacional aplicando seus conhecimentos da melhor maneira que quiser.
Nenhuma sequência de passos capaz de exemplificar um dos “métodos” que apresentaremos neste conteúdo constitui uma receita. Todo método depende da experimentação, pois o que funcionou em um grupo pode não ter êxito em outro.
Mas a questão é esta: a culpa não é do método que deu errado. A atividade é que provavelmente pode não ser a ideal para o público em questão. Demonstremos isso com uma comparação simples.
Por que, afinal, uma turma diurna de crianças de 14 anos estaria interessada na amortização do adiantamento de parcelas da compra de um carro usado? Porém, em uma turma de educação de jovens e adultos noturna, um problema do tipo pode trazer muito mais engajamento.
Vejamos dois exemplos:
Exemplo 1: Para uma turma que ainda não conhece as medidas de tendência estatística
Os salários pagos a 8 funcionários de uma empresa são R$500,00, R$600,00, R$600,00, R$600,00, R$800,00, R$810,00, R$810,00 e R$9.000,00. Qual seria o salário mais provável de alguém que ocupasse o cargo de funcionário dessa empresa se um deles ficasse vago?
Vamos ver uma simulação de uma situação de sala de aula?
Um estudante tirou a média dos salários:
Entretanto, ele foi questionado por outro estudante: 
“Mas esse salário nem existe, eu acho que vai ser o que ganha menos, pois ele é o mais fácil de ser mandado para a rua”. 
Um terceiro estudante ainda disse: 
”Professor, acredito que seja 600, porque existem mais pessoas ganhando R$600,00”. 
O professor comenta que todas as possíveis soluções são interessantes, pede aos estudantes para escreverem as suas respostas no quadroe abre os debates. Nesse momento, ele sugere a seguinte questão: 
“Alguém na empresa ganha o salário de R$1.715,00? ”. 
Nessa hora, os estudantes percebem que a resposta não faz sentido, uma vez que os salários deveriam ser representados pelos valores dados. Quanto ao salário de R$500,00, o estudante que sugeriu R$600,00 diz que contratar outro que ganha menos é subjetivo e que não podemos considerar seu argumento. 
A turma concordou com ele. Nesse instante, o professor intervém para apresentar os conceitos de média, moda e mediana. 
Podemos perceber nessa simulação que: 
1. Percorremos os passos sugeridos por Onuchic e Allevato (2011).
2. O que ocorre na turma é dinâmico; por isso, o professor deve estar atento a cada passo.
Exemplo 2: Movimento dos cavalos (enigma)
Esta atividade terá uma boa recepção para uma turma que tenha familiaridade com o jogo de xadrez. Apesar de ser sempre possível ensinar o movimento da peça do cavalo, isso não terá o mesmo impacto.
O ideal é que o estudante tenha tempo para experimentar a brincadeira – e ninguém precisa ficar de fora! Sugerimos que mesmo aquele sem acesso a um tabuleiro use uma folha de papel e tampinhas.
Considere 1 tabuleiro 3×3 e 4 cavalos: 2 deles são brancos e estão situados nas casas da parte inferior do tabuleiro, enquanto os 2 cavalos pretos ficam na superior.
O problema consiste em:
1. Trocar a posição das peças brancas com as peças pretas, contando quantas movimentações foram utilizadas.
2. Trocar a posição delas no menor número de lances. Naturalmente, duas peças não podem ocupar a mesma posição.
Para resolver o item 1, o processo de tentativa e erro vai surtir efeito: muitos alunos apresentarão soluções diversas. Como todos contarão o número de jogadas que fizeram, será possível ter uma ideia do número mínimo de jogadas. 
Veja que já passamos por diversas etapas sugeridas por Onuchic e Allevato, porém, para resolver o item 2, é comum que os estudantes precisem de uma mão. 
Eis uma sugestão:
1. Nomeie as casas dos tabuleiros com números de 1 a 9:
2. Considere um cavalo na casa 1. Ele pode se mover para outras casas?
3. Registre em uma folha os possíveis menores caminhos que um cavalo na casa 1 precisa fazer para chegar à casa 9.
Esperamos que a.1 tenha uma resposta imediata, 6 ou 8, e que, para a.2, surjam as seguintes opções:
Em que cada aresta representa 1 movimento. Temos, assim, 4 movimentos.
Observe que a turma deve chegar a um consenso: que esse é o mínimo de movimentos que uma peça faz para sair da casa 1 e chegar à casa 9.
Mas o professor ainda pode perguntar: “O que podemos dizer das posições 3, 7 e 9?”. Agora temos uma base para nossa conjectura, segundo a qual o menor número de movimentos para deslocar todos os quatro cavalos será 4×4.
O professor tem de perguntar:
1. É possível algum cavalo parar na casa 5?
2. O passeio do cavalo pelo tabuleiro depende de quê?
O professor deve fomentar e instigar os estudantes a entender que o tabuleiro pode ser reescrito da seguinte forma:
Em que os cavalos se movimentam exatamente como descrevemos no círculo, isto é, em sentido horário ou anti-horário. Deixe para eles a tarefa de resolver e discutir em outro momento o que ocorreria em um tabuleiro 4×4.
Existem inúmeros problemas com as peças de xadrez. Recomendamos que o professor crie uma biblioteca de problemas interessantes que ele possa lançar mão, tendo em mente, é claro, o nível e a realidade de seus estudantes.
Saiba mais
Na seção. Explore + há alguns livros de fácil acesso para você iniciar a sua biblioteca!
A matemática e o xadrez
Entenda agora a utilização do jogo de xadrez para o processo de ensino-aprendizagem de matemática.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o problema: 
Carlos foi a uma loja de chocolates e gastou metade do dinheiro que tinha mais um real. Depois foi a uma loja de balas e gastou metade do dinheiro que possuía mais um real, tendo esgotado seu dinheiro. Quanto dinheiro ele tinha antes de ir a loja de chocolates? 
Em quais das soluções a seguir você diria que o aluno encarou a atividade como um problema ou como um exercício: 
1. Podemos pensar de trás para frente, sendo 1 a metade do que tinha na última loja, ou seja, ele entrou nela com 2. Usando a mesma ideia para a loja 1, dá para ver que ele entrou na primeira loja com R$6,00. 
2. Se é quanto ele tinha, ele saiu da primeira loja com , que dá . Agora ele gastou todo esse dinheiro na loja 2, de tal forma que ; então, . 
3. Eu testei os números 4, 5 e 6. No 6, deu certo.
Parabéns! A alternativa e está correta.
Em 2 o aluno apresenta um domínio total sobre as equações do primeiro grau e nem refletiu sobre como poderia proceder, já em 3 o aluno faz experimentações para determinar a solução e em 1 o aluno parte do fim do problema, usando uma estratégia muito criativa.
Questão 2
Para criação de um ambiente de ensino-aprendizagem e avaliação através da resolução de problemas, as professoras Onuchic e Allevato não sugerem uma das ações descritas a seguir:
Parabéns! A alternativa c está correta.
Na metodologia de resolução de problemas o professor deve ser paciente e esperar as soluções virem dos alunos, jamais o professor deve pressionar os alunos para que terminem de resolver o problema proposto.
2 - Modelagem, resolução E investigação: estratégias e resultados
Ao final deste módulo, você será capaz de formular atividades, antevendo possíveis entraves.
Cenários para investigação
A BNCC e as ferramentas de modelagem
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) considera como competência específica da área da Matemática a utilização de “processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados” (BRASIL, s.d., p. 265). Esse documento oficial ainda aponta que ela oferece modelos para compreender a realidade, permitindo envolver infinitos contextos provenientes de práticas sociais de outras áreas de conhecimento e contextos da própria Matemática.
As salas de aula vêm passando por um processo de transformação cada dia mais acelerado. Por conta disso, nós o convidamos a refletir sobre outras possibilidades de se ensinar matemática. É importante ter em mente diferentes cenários para o ambiente de aprendizagem a fim de possibilitar o melhor desenvolvimento de nossos futuros alunos. Compare as dinâmicas abaixo:
Em geral, as aulas seguem o paradigma: apresentar a teoria, enumerar alguns exemplos e, em seguida, propor uma série de exercícios de fixação. Neles, apenas um cenário é trabalhado, aquele que melhor se adequa à exposição teórica. De acordo com Skovsmose (2000), essa dinâmica é denominada paradigma de exercício.
O autor sugere que o professor apresente situações nas quais os estudantes se sintam desafiados e convidados a explorar tal situação. Para isso, o problema precisa ser concebido com características e condições que permitam aos alunos se engajar e se desenvolver. Skovsmose (2000) chama isso de cenário de investigação.
Nesse contexto, o professor deve dedicar-se à construção de ambientes de aprendizagem nos quais seja necessário considerar os papéis do estudante, do professor e das características presentes na atividade para que, de fato, o estudante consiga se desenvolver. Isso vai permitir a ele explorar, investigar e problematizar, possibilitando o devido engajamento.
Verifica-se, então, uma mudança nos papéis de:
· Estudantes
· Professores
· Características da atividade
Na abordagem dos cenários para investigação, o professor deve ter em mente que seu papel agora é mediar, instigar e questionar, conduzindo os estudantes ao autodesenvolvimento durante a exploração dessa atividade.
O professor pode, por exemplo, fazer questionamentos do tipo:
· E se você pensar dessa forma?
· E se você considerartais variáveis?
· O que você fez?
· De que modo você pensou?
Perguntas como essas fazem com que o estudante reflita sobre o processo do desenvolvimento da atividade, propiciando a eles se desenvolver no processo.
Para Skovsmose (2000), pode-se construir nossos ambientes de aprendizagem conforme o esquema desta tabela:
Exemplificaremos esse conteúdo com quatro exemplos para deixar mais clara a relação da tabela proposta:
Exemplo
1. Referência matemática pura (exercício):
Resolva a equação x + 2 = 6x.
2. Referência matemática pura (cenário para investigação):
Considere a equação 2x + 3y = 50. Agora leia estes três tópicos:
· Determine valores entre os números naturais positivos de forma tal que x e y satisfaçam à equação.
· Escreva uma lista com todos os valores encontrados pela turma.
· Quantas soluções positivas existem?
3. Referência à semirrealidade:
João foi ao mercado comprar 3kg de arroz e 1kg de feijão com uma nota de R$50,00. Sabe-se que o quilo do arroz custa a metade do quilo de feijão e que João voltou para casa com duas notas de R$20,00 de troco. Determine o custo do quilo de arroz e o do feijão.
Essa é uma situação artificial, pois não sabemos de fato se o feijão custa a metade do arroz. Os dados foram coletados de forma artificial.
4. Referência à semirrealidade (investigação):
João coleciona cards de um jogo cujas cartas comuns custam R$5,00, enquanto as cartas douradas valem R$10,00. Ele ganhou de aniversário de sua avó o valor de R$115,00 e decidiu comprar todo o valor em cards.
a) Qual será o número máximo de cards comuns que João pode comprar?
b) Qual será o número máximo de cards dourados que ele pode comprar?
c) Em quantas configurações possível João pode comprar entre cards dourados e comuns?
Observe que, neste exercício, o estudante responderá aos questionamentos a partir da interpretação dos dados.
A referência à realidade em cenário de investigação tem um caráter mais complexo, mas ao mesmo tempo dá a possibilidade de resolver um problema de forma efetiva e amplia a capacidade de observação do sujeito, de se envolver com as questões e notar que a matemática é para sua vida. Falaremos ainda mais sobre a importância dos cenários de investigação, fique atento!
Modelagem em um ambiente de investigação
Modelagem matemática
A modelagem matemática pode ser vista como uma estratégia de ensino que fornece ao professor a possibilidade de mostrar um modo mais interessante de ensinar os conteúdos, dando a oportunidade ao estudante de formar seus conceitos e resolver os problemas por meio de modelos que facilitem a aprendizagem. A modelagem, portanto, é uma excelente oportunidade para conhecer os problemas de sua região e realmente desenvolver estratégias que se aproximem da realidade.
Essa prática configura um conjunto de condições de aprendizagem que não se limita à matemática, uma vez que a modelagem ocorre a partir de observações trazidas do mundo conhecido dos estudantes, agregando outras habilidades e competências que não apenas as matemáticas.
Para entender e resolver problemas, a matemática é um poderoso instrumento intelectual que, por meio de abstração e formalização, sintetiza ideias que, mesmo sendo semelhantes, seguem as situações mais diversas, muitas delas camufladas em sua essência.
A matemática, assim, extrai uma ideia e a formaliza em um contexto abstrato no qual ela pode ser desenvolvida intelectualmente.
Devemos observar que um modelo matemático precisa vir acompanhado de um dicionário que interprete sem ambiguidade os símbolos e as operações descritos no problema estudado. Com isso, podemos transpor o problema para a matemática e então tratá-lo com as poderosas ferramentas da rainha das ciências. Uma vez estabelecidos os resultados, já conseguimos transportá-lo para a linguagem original do problema.
Comentário
Esse tipo de abordagem se assemelha ao de uma pesquisa na qual o professor precisa estar atento a alguns fatores, pois a teoria matemática adequada para resolver um problema pode estar muito distante do conhecimento científico dos estudantes ou, em alguns casos excepcionais, sequer existir.
A partir do momento que você deixa a imaginação fluir e considera um fenômeno, existe o risco de que, em geral, ele possa se tornar excessivamente complexo. Por isso, cabe ao professor que media a investigação restringir e isolar o campo de estudos adequadamente. Até porque caso a modelagem se torne muito complexa, o trabalho de simplificar o modelo, mantendo uma estrutura coerente, também faz parte da pesquisa.
A modelagem de uma situação-problema pode ser visualizada no seguinte esquema:
Na imagem, as setas pretas indicam, em uma primeira aproximação, a busca de um modelo que descreva melhor o problema estudado. Devemos estar atentos a tal processo, pois, uma vez entendido, ele torna-se dinâmico. Ao encontrarmos uma solução não válida, precisaremos voltar aos dados experimentais, fazer as devidas modificações e (mais uma vez) procurar resolver o novo problema proposto, como indicam as setas vermelhas.
Vamos destrinchar um pouco as etapas da situação-problema apresentada:
I e II - Problema não matemático e dados experimentais
1. Reconhecimento da situação-problema.
2. Familiarização com o assunto a ser modelado.
3. Testes e observações de casos particulares.
É a etapa em que se define o assunto a ser estudado, podendo fazer uso de livros, revistas e internet, entre outros exemplos. O objetivo é tornar a situação-problema cada vez mais clara e definida.
III e IV - Construindo e solucionando um modelo matemático
1. Formular o problema.
2. Classificar as informações.
3. Decidir os fatores a serem perseguidos.
4. Identificar as constantes envolvidas.
5. Generalizar e selecionar as variáveis relevantes.
6. Selecionar os símbolos apropriados para as variáveis.
7. Descrever essas relações em termos matemáticos.
8. Resolver o problema em termos do modelo.
9. Interpretar e validar.
Esse é o momento desafiador no qual a intuição, a criatividade e a experiência de vida constituem elementos indispensáveis no processo de tradução da situação-problema para a linguagem matemática. Além disso, de forma não necessariamente linear, como mostra o nosso fluxograma, você precisa ser capaz de reconhecer estas subetapas:
Experimentação
Observação de dados experimentais ou empíricos que ajudem na compreensão do problema, na modificação do modelo e na decisão de sua validade.
Abstração
Processo de seleção das variáveis essenciais e formulação em linguagem “natural” do problema ou da situação real.
Resolução
O modelo matemático é montado quando se substitui a linguagem natural por uma matemática. O estudo do modelo depende da sua complexidade e pode ser um processo numérico. Observe que, quando os argumentos conhecidos não forem eficientes, novos métodos poderão ser aprendidos ou o modelo deverá ser modificado.
Validação
Comparação entre a solução obtida graças à resolução do modelo matemático e os dados reais. Trata-se de um processo de decisões de aceitação ou não do modelo inicial.
Modificação
Caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis ou a lei de formação; com isso, o próprio modelo original é modificado e o processo se inicia novamente.
Aplicação
A modelagem eficiente permite fazer e tomar decisões, assim como participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas mudanças.
Apresentamos uma estratégia geral que você precisará ter em mente quando tentar modelar um problema. Considere-a um guia filosófico básico aplicável em todas as situações!
Segundo Barbosa (2011), a metodologia de modelagem pode ser classificada de três formas diferentes:
Caso 1
O professor apresenta a descrição de uma situação-problema com as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos estudantes o processo de resolução.
Caso 2
O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade, cabendo aos estudantes a coleta das informações necessárias à suaresolução.
Caso 3
A partir de temas não matemáticos, os estudantes formulam e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e pela simplificação das situações-problema.
	
Apresentamos uma estratégia geral que você precisará ter em mente quando tentar modelar um problema. Considere-a um guia filosófico básico aplicável em todas as situações!
Segundo Barbosa (2011), a metodologia de modelagem pode ser classificada de três formas diferentes:
Caso 1
O professor apresenta a descrição de uma situação-problema com as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos estudantes o processo de resolução.
Caso 2
O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade, cabendo aos estudantes a coleta das informações necessárias à sua resolução.
Caso 3
A partir de temas não matemáticos, os estudantes formulam e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e pela simplificação das situações-problema.
Em todos os casos, o professor é concebido como “coparticipe” na investigação dos estudantes, dialogando com eles acerca de seus processos.
Revisitemos agora o exemplo 4 visto acima para exemplificar o caso 1:
Exemplo
João coleciona cards de um jogo cujas cartas comuns custam R$5,00 e as douradas, R$10,00. Ele ganhou de aniversário de sua avó o valor de R$115,00 e decidiu gastar todo o valor em cards.
 Qual é o número máximo de cards comuns que ele pode comprar?
 Qual é o número máximo de cards dourados que ele pode comprar?
 Em quantas configurações possível João pode comprar entre cards dourados e comuns?
Modelo:
Note que existem figurinhas de dois tipos: x – comuns e y – douradas.
Dessa forma, o problema é determinar as soluções positivas da equação:
5x + 10y = 115
O caso 2 será apresentado agora, fique atento!
Um cenário de projeto de investigação
Projeto de investigação e ambiente de aprendizagem 
O ambiente de aprendizagem da modelagem matemática se baseia na investigação de um problema proposto. Apresentaremos a seguir uma atividade/projeto a ser desenvolvida que exemplifica as etapas exibidas e que, de acordo com Barbosa (2011), pode ser classificada como o caso 2, uma vez que o problema foi proposto pelo professor.
Atividade:
Esta atividade se baseia em proposta apresentada pela equipe de Jogos & Matemática.
 Pré-requisitos: 
Cálculo de áreas de figuras planas: 
· Triângulos, 
· Retângulos trapézios e 
· Paralelogramo; 
· Porcentagem.
Público-alvo: Alunos do ensino médio.
Problema não necessariamente matemático
Questão de pesquisa: conscientização e ecologia
· Qual é a área de Mata Atlântica da cidade do Rio de Janeiro?
· Qual é o percentual de Mata Atlântica na comparação com a área total da cidade? 
· Qual é a área de Mata Atlântica aproximada de um bairro do Rio de Janeiro à sua escolha?
· Qual é o percentual de Mata Atlântica no bairro de sua escolha? 
· O valor percentual encontrado é maior ou menor se comparado ao da cidade do Rio de janeiro?
Como iniciar a pesquisa
Este passo é crucial, sendo papel do orientador apresentar algum caminho para o início de suas pesquisas. Os estudantes podem encontrar os próprios caminhos – e é recomendado que o façam –, mas, quando se trabalha com uma metodologia diferente do habitual, eles muitas vezes podem se sentir perdidos.
Um possível caminho a ser trilhado pelo orientador
Por meio do site Google Maps, você pode encontrar os contornos da cidade e do bairro desejado. Segue um passo a passo para o uso da ferramenta:
No campo de pesquisa do site Google Maps, digite o nome da cidade ou do bairro que deseja localizar.
Ao fazer isso, você verá as seguintes demarcações no mapa:
Ajuste as imagens de tal forma que a escala presente no canto inferior direito saia nos prints.
Saiba mais
Agora precisamos de uma estratégia para determinar as áreas da cidade e do bairro. É importante que os estudantes tentem apresentar soluções para esse problema. Nesse sentido, para que as ideias fiquem no ar, recomendamos que, antes de aplicar tal atividade, seus estudantes adquiram familiaridade com o jogo chamado ponto a ponto, pois ele apresenta de forma lúdica uma série de estratégias para resolver esse problema. Desenvolvido pela equipe de Jogos & Matemática, esse jogo pode ser acessado no seu site.
Validação e solução do projeto de investigação
Construindo um modelo matemático
O professor precisa ser capaz de julgar os protótipos apresentados a fim de sentenciar a eficácia das soluções do problema proposto e, quando for necessário, apresentar alguma estratégia que possa guiar a investigação. Por isso, apresentaremos uma técnica para possibilitar a determinação das áreas sugeridas no passo anterior.
Passo 1
· Entre no site do Geogebra on-line. 
· Clique com o botão direito do mouse para aparecer a janela de visualização. Em seguida, desmarque a opção exibir eixos.
Passo 2
· Ajustando a figura 
· Abra a pasta que você está guardando as imagens dos mapas selecionados;
· Selecione a imagem desejada e arraste para página do Geogebra on-line e solte. 
Passo 3
· Ajuste o tamanho de sua imagem. 
· Clique com o botão direito do mouse sobre a imagem. 
· Na aba Básico, ative imagem de fundo (para que a malha fique por cima da imagem) e desative definir como objeto auxiliar (para que o objeto figura apareça no lado esquerdo de sua tela, permitindo que acessemos suas configurações).
Passo 4
Do lado esquerdo de sua tela, clique com o botão direito do mouse na figura e ative travar tela. Com isso, a sua imagem estará fixa e você poderá ajustar a malha:
Passo 5
Nossa estratégia está praticamente montada. Resta entender a escala em que os mapas estão sendo trabalhados.
· Ajuste a malha para o mapa. No caso da cidade do Rio de Janeiro, cada quadrado grande possui 25km² (5km de aresta, como ilustra a figura abaixo). Note que essa informação será obtida em cada mapa dependendo do zoom que se estiver usando. Lembre-se ainda de que a escala pode ser encontrada no canto inferior direito na tela do Google Maps:
Passo 6
· Veja que você deve reproduzir o ajuste para a malha do bairro escolhido da mesma forma que fizemos para o Rio de Janeiro (no nosso caso, foi o Grajaú). Como você pode observar, cada quatro quadrados são referentes 0,25km² de área.
Passo 7
O modelo matemático está quase pronto. Já sabemos como as conversões e unidades de medida se relacionam, mas precisamos nos organizar para que nada seja perdido.
· Construa uma tabela que relacione o número de quadrados e as suas áreas correspondentes em cada mapa analisado.
Podemos, então, deduzir as fórmulas:
Em que:
 Refere-se ao momento em que a área a ser determinada é analisada no mapa referente ao bairro. 
 Quando área a ser determinada é observada no mapa da cidade. 
 É o número de quadrados.
Nosso modelo está pronto.
Atenção! 
Tais ideias devem vir da equipe de pesquisa. Essa é apenas uma sugestão! 
Validação e solução
A forma de solucionar tal problema vai depender do nível de matemática que os participantes da pesquisa possuem. Apresentaremos aqui dois métodos possíveis (lembre-se sempre de que o seu papel é de mediador):
1. Use as imagens fixadas no Geogebra para construir uma região poligonal que se aproxime da região estudada no mapa
No caso do bairro do Grajaú, segue o exemplo:
Os pontos que devem ser marcados são os encontros das linhas mais grossas representadas na malha, conforme indica a figura. Veja que marcamos diversos pontos sobre uma mesma aresta: isso será justificado a seguir.
Dica
Use a ferramenta polígono no Geogebra para construir tal região.
3. Determine a área do bairro Grajaú
Dado um polígono simples construído sobre uma grade de pontos equidistantes, a qual, em nosso caso, é representada pelos encontros das linhas verticais e horizontais da malha de tal forma que todos os vértices do polígono sejam pontos da grade, o teorema de Pick fornece uma fórmula simples para o cálculo da “área” desse polígono. A rigor, ele calcula o número de quadrados quecompõem a figura.
Dica 
O jogo ponto a ponto sugere o uso da fórmula de Pick. 
Como trabalhamos com mapas, devemos fazer as conversões em termos do número: 
· i de pontos = interiores localizados no interior do polígono.
· F de pontos = fronteiriços localizados no perímetro do polígono: 
Os pontos em azul representam os pontos de fronteira; os pontos em verde, os interiores. Temos, assim, F = 22 e i = 84.
Desse modo, o número de quadrados será determinado por:
Para determinar a área em km² do bairro, basta usar a fórmula que estabelecemos no modelo:
O estudante pode não conhecer a fórmula de Pick. No entanto, como um dos pré-requisitos dessa atividade é o cálculo de áreas de figuras planas, outra maneira de calcular a “área” (número de quadrados) da região delimitada é dividir a figura em regiões mais simples, calcular a “área” de todas elas e somar. O resultado tem de ser o mesmo obtido com a fórmula de Pick. Veja:
3. A partir dos dados obtidos, valide o modelo proposto
Trata-se de mais uma etapa. Devemos entender agora se a área encontrada condiz com a realidade. Uma boa forma de fazer isso é considerar B como a área real que pode ser encontrada on-line.
Então o erro da sua aproximação é dado por: 
Acabamos de calcular tais dados para o bairro do Grajaú. Sabemos que B = 5,7391km². 
Desse modo, nosso erro de aproximação será: 
Verificamos, então, que nosso erro é inferior a 2,5%, sendo, de fato, uma boa aproximação. Validamos, assim, nosso modelo.
Exemplo 
Caso nossa aproximação estivesse com um erro superior a 10%, teríamos de voltar à imagem e ajustar nossa aproximação poligonal. 
Comentário 
No trabalho com modelagem matemática, o professor tem o papel de mediador e de orientador, conduzindo as informações apresentadas pelos estudantes. É de sua importância o envolvimento dos pesquisadores na resolução do problema. Por isso, uma formação sólida do professor de Matemática será crucial para que ele possa interpretar as informações trazidas e indicar onde seus orientandos poderiam procurar as soluções e validar as suas hipóteses. 
O objetivo dessa atividade foi apresentar um modelo de tema de pesquisa com um caminho que indicasse a solução. Contudo, não é necessário trabalhar o tempo inteiro com um tema tão complexo como o que foi proposto. Nosso objetivo foi apenas lhe mostrar as possibilidades!
Vamos praticar?
Assista agora a um vídeo que desenvolve pontos abordados sobre o uso de cenários de investigação em ambientes de aprendizagem.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Etapas da construção do problema na linguagem matemática
Problemas não matemáticos: conceito
Construindo um modelo matemático
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Segundo Skovsmose, qual das sentenças abaixo define melhor o paradigma de exercícios.
Parabéns! A alternativa b está correta.
De acordo com o paradigma de exercício a dinâmica segue a seguinte ordem: apresentação da teoria, alguns exemplos e em seguida uma série de exercícios de fixação. Mas é super importante se pensar em um cenário a ser trabalhado, na construção do ambiente de aprendizado, considerando a vivência dos estudantes e principalmente o seu papel nesta dinâmica, o tornando protagonista de seu desenvolvimento e permitindo que ele explore, investigue e problematize acerca das situações apresentadas pelo professor, o qual terá um de mediador e incentivador.
Questão 2
O processo de Modelagem, pode ser entendido a partir de 4 grandes etapas. 
1 – Problema não matemático 
2 – Modelo matemático 
3 – Dados experimentais 
4 – Solução 
Além de diversas subetapas. 
Qual das sentenças a seguir não é uma subetapa do processo de modelagem matemática?
Parabéns! A alternativa d está correta.
A pesquisa é feita de fatos e a validação é feita a partir da comparação com os dados reais. Se as redes sociais não fazem parte da pesquisa, então, ela também não pode influenciá-la.
3 - Imaginação e criatividade na investigação matemática
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar diferentes metodologias com base na investigação.
Criatividade e processos de investigação
O momento de criar
Ao procurar uma definição de criatividade, um dicionário normalmente apresentaria as seguintes definições: inventividade, inteligência e talento (nato ou adquirido) para criar, inventar e inovar em algum campo, como o educacional, o artístico e o esportivo.
Mas podemos nos questionar:
Nós somos pessoas criativas?
O que é necessário para ser criativo?
A criatividade pode ser aprendida?
Para tentarmos responder a tais indagações, observemos as colocações postas por Mendes e Gontijo:
Uma indagação frequentemente estabelecida nos ambientes educativos e nos contextos das academias de ciências e artes refere-se ao ato da criação, com a finalidade de conceber a criatividade como uma habilidade inerente ao ser humano em seu processo de conhecer, explicar e compreender. Tal inquietação indagativa remete a duas interrogações: por quê? E para quê? A esse respeito, diversos estudiosos do assunto asseguram que a criatividade é uma habilidade humana essencial a ser exercitada porque é fundamental para o desenvolvimento do potencial de quem estuda, aprende e produz conhecimento.
(MENDES, 2019, p. 14)
Fazendo uma reflexão sobre as salas de aula nas quais atuamos até então, observamos o hábito de apresentar um método para resolver um problema e repeti-lo em todas as turmas, cerceando, de certa forma, a liberdade criativa e tentando encaixar todas as realidades dentro de um mesmo molde. Nesse sentido, podemos dizer que a criatividade não é uma habilidade que vem sendo trabalhada, pois ela pressupõe justamente a liberdade de pensamento para se solucionar problemas.
[...] criatividade é a capacidade de apresentar inúmeras possibilidades de solução apropriadas a situações-problema, de modo que estas focalizem aspectos distintos do problema e ou formas diferenciadas de solucioná-lo, especialmente de formas incomuns, tanto em situações que requereriam a resolução e elaboração de problemas, como em situações que solicitem a classificação ou organização de objetos e ou elementos matemáticos em função de suas propriedades e atributos, seja textualmente, numericamente ou na forma de uma sequência de ações. 
(GONTIJO, 2006, p. 4)
Esperamos que nossos alunos, após terem passado um tempo conosco, tornem-se mais criativos. Contudo, resta a dúvida: nossas práticas dão liberdade suficientes para eles serem criativos?
Indagando sobre tal processo na persona do educador, podemos questionar ainda:
· O que é ser um estudante criativo?
· O que é ser um professor criativo?
· Como seria um ambiente capaz de estimular a criatividade?
Os dois primeiros tópicos têm um caráter pessoal e podem ser desenvolvidos ao longo de nossas trajetórias de vida. Sendo assim, apresentaremos a seguir algumas atividades que favorecem a criação de um ambiente criativo. 
Destacamos, assim, algumas atividades propícias para a criação um ambiente de investigação e criatividade. Vamos praticar!
1. As pontes de Königsberg
Da forma que foi elaborada, esta atividade pode ser aplicada a alunos a partir do quinto ano; entretanto, o assunto “grafos” é uma vertente da combinatória com muito potencial exploratório, mas é pouco trabalhado no contexto escolar.
Objetivo:
· Apresentar grafos.
· Estimular o raciocínio lógico e a criatividade.
· Criar uma conjectura sobre as pontes de Königsberg.
a) É possível percorrer todos os vértices e arestas da figura a seguir sem retirar o lápis do papel e passando apenas uma única vez por cada uma das arestas?
b) É possível percorrer todos os vértices e arestas da figura adiante sem retirar o lápis do papel e passando apenas uma única vez por cada aresta?
c) Agora é a sua vez. Construa dois grafos e desafie um amigo a percorrer todos os vértices e arestas do seu grafo sem retirar o lápis do papel e passando apenas uma única vez por cada aresta.d) Considere os mapas a seguir: é possível traçar um caminho que passe por todas as pontes uma única vez?
e) Um dos primeiros matemáticos a pensar sobre grafos, o suíço Leonhard Euler (1707-1783) ficou intrigado com um antigo problema sobre a cidade de Königsberg, que fica perto do Mar Báltico. O Rio Pregel a divide em 4 partes separadas conectadas por 7 pontes. É possível caminhar pela cidade atravessando todas as pontes exatamente uma vez, mas não mais de uma vez? Repare que você pode começar e terminar em qualquer lugar – e não necessariamente no mesmo lugar.
f) Supondo que as pontes sejam arestas e as partes terrestres, vértices, transforme os mapas das letras (d) e (e) em grafos.
g) Por que conseguimos percorrer certos grafos sem retirar o lápis do papel e outros, não? Justifique sua resposta. 
Comentário
A atividade permite ao aluno elaborar os próprios grafos e desafiar seus colegas, além de criar conjecturas, proporcionando, com isso, um ambiente propício ao debate.
2. Tangram
O tangram é um quebra-cabeças milenar que permite milhares de combinações. O professor pode trabalhar questões de área, perímetro, proporcionalidade e semelhança de figuras planas, assim como a criatividade pela criação de uma série de narrativas, como bem ilustra a lenda do tangram chinês.
Apresentaremos agora algumas possibilidades de tangram:
Existem diversos tipos de tangram; contudo, o chinês é mais comum e fácil de construir.
· O site Mathigon permite a manipulação do tangram chinês. Manipule as peças tentando formar as figuras sugeridas ou qualquer outra que a sua imaginação lhe sugerir.
· Com os materiais régua, compasso, tesoura e uma folha A4, construa um quadrado de 16 por 16cm de lado e, a partir dele, as peças do tangram chinês (o estudante que quiser poderá colorir as peças).
· Peça aos estudantes que se dividam em trios e que criem, com as peças que acabaram de construir, uma narrativa curta sobre os lugares onde convivem cujas figuras criadas pelo tangram representem pessoas, objetos ou animais que aparecem em seu cotidiano.
· Cada grupo deve expor para a turma a sua narrativa.
Note que se trata de uma atividade unicamente exploratória e criativa com o propósito de criar um ambiente de familiaridade com o objeto. Uma vez estabelecida tal relação, em outro momento pode-se perguntar:
1) Quantos triângulos pequenos cabem em todo tangram?
2) Qual é a razão entre a área de um triângulo pequeno e a área total do tangram?
3) Qual é a razão entre a área de cada uma das peças do tangram e a área total dele?
4) Todas as figuras construídas com todas as peças do tangram possuem a mesma área e o mesmo perímetro?
Comentário
A atividade em questão pode ser resolvida de muitas formas diferentes. Você, professor, deve se conscientizar que os estudantes passam a ser o centro das atenções e que seu papel é de mediar, atuando, como diz Vygotsky, na zona de desenvolvimento proximal. Por isso, o ideal é que o estudante se disponha a expor suas ideias a seus pares em um ambiente seguro para erros e especulações. Dessa forma, criaremos um ambiente controlado para que eles possam se arriscar e errar sem medo, podendo, assim, exercitar realmente a criatividade.
Jogos criando um ambiente favorável e seguro para a criatividade
Vamos jogar!!!
Uma vasta teoria embasa as metodologias de resolução de problemas e modelagem matemática aplicada a jogos. Escolhemos apresentar uma aplicação para exibir possibilidades de situações que fomentem a criatividade de suas turmas.
Quem, afinal, não gosta de jogar? Independentemente de a matemática por trás ser simples ou complicada, as oportunidades para interação social e competições controladas ajudarão a quebrar a rotina.
O jogo bicolorido
Jogos são atividades que estão presentes no cerne da humanidade desde seus primórdios, sendo uma excelente ferramenta para gerar engajamento. O jogo em questão foi desenvolvido pela equipe de Jogos & Matemática.
O jogo bicolorido é aplicado em diversas dinâmicas com estudantes e professores de todos os níveis. Vejamos algumas soluções colhidas em tais dinâmicas. Vamos lá!
Regras do jogo
Número de jogadores: 2.
a) Deve-se escolher o tabuleiro no qual se vai jogar com 4, 5 ou 6 lados:
Jogos & Matemática.
b) Cada jogador tem de escolher uma cor que vai representar:
Jogos & Matemática.
c) Os jogadores se revezam, escolhendo os segmentos de reta que ligam os pontos dados no tabuleiro até ocorrer:
O jogo em si é bem estimulante, mas, após ele ser bastante jogado, a equipe de Jogos & Matemática passa a sugerir uma série de perguntas referentes a ele. Desse modo, destacaremos uma parte dos exercícios propostos por essa equipe:
Questionário para os estudantes pós-jogo
1. Quantas arestas podemos formar em cada um dos tabuleiros?
2. Quantos triângulos podemos formar em cada um dos tabuleiros?
3. E se nosso tabuleiro fosse um polígono regular com 10 vértices, quais seriam as respostas dos itens a e b?
Uma sugestão é marcar os valores na tabela a seguir:
	
	Nº de vértices dos polígonos
	3
	4
	5
	6
	...
	10
	Nº de arestas que podemos formar com os vértices dados
	3
	
	
	
	
	
	Nº de triângulos que podemos formar com os vértices dados
	1
	
	
	
	
	
			
Relatos de solução
Em turmas do ensino fundamental e mesmo no caso dos professores que lecionam em tais turmas, é comum resolver o item a, contando as arestas uma a uma e descrevendo todas as 3 uplas ( ,,) dos possíveis triângulos.
Note que essa estratégia resolve o problema apesar de ser muito onerosa para responder ao item c., contudo, ao observar a tabela, uma aluna percebeu algo que caracterizamos como criativo. Vejamos se você também percebe.
Segue a tabela completada com os itens a e b:
	Nº de vértices dos polígonos
	3
	4
	5
	6
	...
	10
	Nº de arestas que podemos formar com os vértices dados
	3
	6
	10
	15
	
	
	Nº de triângulos que podemos formar com os vértices dados
	1
	4
	10
	20
	
	
A estudante percebeu que o número de arestas da posição n era igual ao número delas da posição n - 1 somado ao número de vértices do polígono, bem como o fato de que o número de triângulos na posição n é igual ao de arestas da posição n - 1 somado ao número de triângulos na posição n - 1. Com isso, ela completou a tabela até a posição 10.
Claro que a aluna não sabia o porquê, pois estava no quinto ano; além disso, o que ela havia acabado de dizer era uma consequência da relação de Stifel (a ser ensinada apenas no ensino médio). Mesmo assim, a engenhosidade dela ao resolver o problema foi impressionante.
Outros estudantes usaram a fórmula do número de diagonais...
... para resolver o item a cuja resposta seria .
Ainda houve estudantes que empregaram as fórmulas de combinação e arranjo...
...Mas não sabiam qual dos resultados era correto.
Nesse caso, fizemos duas perguntas a eles:
 Como as arestas estão aparecendo, no caso do item a ele poderia contar o número de arestas para validar a fórmula e usá-la para o item b?
 Mas o que significam essas fórmulas e como elas se relacionam com o problema? Os triângulos ABC e CBA são os mesmos?
Apesar das considerações apresentadas, esse jogo possui um grande mistério. Propomos, assim, um último questionamento: pedimos que os estudantes o joguem novamente com o objetivo de empatar em cada um dos tabuleiros.
Tal questão gera um incômodo, já que, nos tabuleiros de 4 e 5 pontos, os estudantes conseguem empatar; contudo, por mais que joguem, ninguém empata no tabuleiro de 6 pontos. A pergunta que fica é: por quê?
A resposta depende de uma aplicação do princípio da casa dos pombos. No entanto, é muito interessante ver a capacidade de argumentação proposta por cada dupla.
Comentário
Ainda houve soluções diferentes das apresentadas e outras erradas. Entretanto, o erro deve ser tratado com naturalidade pelo professor. Sendo assim, o jogo bicolorido proporciona um ambiente de aprendizagem criativo e seguro.
Processos de investigação em educação matemática
Matemática para todos
Durante todo o texto, apresentamos uma gama de atividades denatureza investigativa, promovendo novas posturas para os atores envolvidos nas aulas de Matemática. Conduzimos de forma direta e indireta o estudante para o desenvolvimento do seu pensamento matemático, capacitando-o a trabalhar de forma autônoma e atribuindo novos significados aos conhecimentos.
Observe que, em todas as atividades propostas, enfatizamos um caminho a ser percorrido, deixando a responsabilidade de descobrir e validar a descoberta ao explorador. Dessa maneira, os professores assumem o papel de orientadores, provocando os estudantes a fim de que eles procurem as próprias respostas.
Ao realizar as atividades apresentadas, o estudante percorrerá a seguinte trajetória:
· Exploração/formulação de questões: reconhece e explora situações possivelmente problemáticas.
· Conjecturas:	organiza os dados e faz afirmações, criando uma conjectura.
· Testes e reformulação: realiza testes que confirmem a sua conjectura ou reformula a afirmação.
· Justificativa e avaliação: justifica a conjectura e avalia o raciocínio ou o resultado dele.
Para João Pedro da Ponte (2003, p. 2), o ato de investigar “não significa necessariamente lidar com problemas na fronteira do conhecimento nem com problemas de grande dificuldade. Significa apenas trabalhar a partir de questões que nos interessam e aparecem inicialmente confusas, mas que conseguimos clarificar e estudar de modo organizado”.
Das competências e habilidades a serem observadas durante a aplicação de uma atividade investigativa, destacaremos o desenvolvimento de:
· Pensamento matemático.
· Capacidade de atribuir novos significados ao conhecimento.
· Capacidades de pesquisar, selecionar e organizar.
· Criatividade e espírito crítico.
· Iniciativa responsabilidade e persistência.
· Habilidade de comunicar e argumentar matematicamente.
· Autoconfiança no próprio desenvolvimento matemático.
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), os primeiros passos para realizar as aulas que tratem de uma investigação é prepará-las. Tendo isso em vista, apresentaremos o roteiro que seguimos na aplicação das atividades propostas durante todo este conteúdo.
Para isso, é preciso selecionar, adaptar ou construir a tarefa, definindo claramente os objetivos a serem atingidos pelos estudantes. Leva-se em consideração ainda:
· O tipo de estrutura da aula.
· O modo de trabalho.
· Os materiais a serem utilizados.
· A apresentação da atividade para turma.
Durante a realização, a orientação é que o professor incentive a reflexão e promova a interação entre os estudantes para que eles consigam descobrir novas relações entre conceitos matemáticos, estimulando a criatividade e o raciocínio.
No final da atividade, deve ser feito um diálogo no qual o conhecimento promovido pelos estudantes precisa ser partilhado com toda a turma para que suas ideias sejam confrontadas por ela. O professor, nesse caso, atua como moderador, explorando ao máximo essa dinâmica e fazendo os estudantes refletirem ao longo da atividade.
Dica
A turma pode ser reticente em relação à dinâmica por não estar acostumada com os processos investigativos; no entanto, a insistência faz com que as dinâmicas, quando incorporadas às atividades cotidianas, rendam muitos frutos já supracitados.
A palavra “conjecturar” significa ato ou efeito de inferir ou deduzir que algo é provável com base em presunções e evidências incompletas. A conjectura, portanto, é uma afirmação que se acredita ser verdadeira, ainda que não haja ou não tenha sido apresentada uma justificativa adequada.
Ainda sobre a educação matemática, assista ao vídeo sobre a importância dos jogos!
Jogos matemáticos e o poder para a aprendizagem
Veja a seguir um exemplo que demonstra o quanto os jogos contribuem para o processo de aprendizagem.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Voltando a atividade das pontes de Königsberg. Quando o estudante responde à pergunta:
“Por que conseguimos percorrer certos grafos sem retirar o lápis do papel e outros não? ” Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) em que parte da trajetória, no seu desenvolvimento da pesquisa, o aluno está?
Parabéns! A alternativa c está correta.
Ao responder à pergunta, o aluno está criando uma afirmação provavelmente verdadeira, mas sem justificativa, que é uma conjectura.
Questão 2
Voltando ao Jogo ponto a ponto. Digamos que um aluno tenha apresentado as seguintes soluções 4!, 5! e 6! para a pergunta:
“Quantas arestas podemos formar em cada um dos tabuleiros?”
Qual deveria ser a postura do professor ao confrontar o aluno?
Parabéns! A alternativa b está correta.
Como dissemos, o professor deve assumir o papel de mediador e tentar entender o porquê o aluno resolveu o problema de determinada forma, assim a resposta é: perguntar ao aluno o que ele pensou e porque ele chegou a estas respostas.
Considerações finais
Nossa jornada chegou ao fim. Acreditamos que uma coisa deva estar passando pela sua cabeça: “Como vou aplicar estratégias como essa em todas as minhas aulas?”.
Calma! Não apresentamos a ditadura das metodologias ativas. Tente, assim, inserir as práticas metodológicas, vistas neste conteúdo, à medida que se sentir mais confiante. O mais importante é você, como professor, se manter curioso, procurando problemas interessantes, criando as próprias atividades e reconhecendo a comunidade que o cerca. O seu trabalho, em suma, é conferir significado.
Em um clube de matemática, pode-se trabalhar com conteúdo mais abstratos, como questões de olimpíadas de matemática sem uma representação no mundo físico. Nem todos, porém, apreciam esse tipo de problema. Ainda assim, como vimos, podemos oferecer, para tais pessoas, problemas do mundo real ou um dia de recreação com quebra-cabeças e jogos.
Nossa dica, por fim, é conhecer seus estudantes antes de criar uma atividade do tipo problema, modelagem, jogo ou investigação. As suas boas intenções serão reconhecidas – pode ter certeza!
Podcast
Para encerrar, ouça um bate-papo sobre o uso da matemática na busca de soluções.
Explore +
Confira agora o que separamos especialmente para você!
Acesse o YouTube para assistir a três vídeos sobre:
a) A história e as motivações da professora Lourdes la Rosa Onuchic
Onuchic é um dos bastiões da metodologia de resoluções de problemas no Brasil.
MATEMÁTICA HUMANISTA. Educação matemática e resolução de problemas. Publicado em: 30 jul. 2021.
b) Modelagem em três atos
Veja este debate entre Humberto Bortolossi e Marcelo Rainha.
JOGOS & MATEMÁTICA. Modelagem matemática em 3 atos de Dan Meyer. Publicado em: 10 nov. 2020.
c) Uma educação matemática crítica na qual o indivíduo e a matemática não podem estar separados da sociedade
O debate das professoras Raquel Milani e Jussara de Loiola Araújo promove uma reflexão acerca dessa temática.
UNIVESP. Metodologias para a pesquisa em educação matemática – modelagem matemática na educação matemática. Publicado em: 22 mar. 2021.
Recomendamos dois livros que possuem uma diversidade de problemas e de estratégias interessantes para serem abordadas em um clube de matemática ou em uma turma preparatória para as olimpíadas de matemática:
L'HOSPITALIER, Y; SILVA, A. P. da. Enigmas e jogos lógicos: resolução e construção. Lisboa: Instituto Piaget, 2001.
MIF, D.; GENKIN, S.; ITENBERG, I. Círculos matemáticos – uma experiência russa. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2012.
Acesse a página do RPM para ler a Revista do professor de Matemática 104, publicada em 2021.
O site denominado Clube de matemática da OBMEP apresenta uma série de atividades voltadas para as olimpíadas de matemática que envolvem arte, jogos e desafios.
Este e-book apresenta uma série de alternativas para a aplicação do conceito de função no contexto da modelagem matemática utilizando as ferramentas digitais.
ANTUNES, G.; CAMBRAINHA, M. Modelos de exploração matemática na plataforma Desmos: Ensinar e aprender em um ambiente virtual de aprendizagem. IV Simpósio Nacional de Formação do Professorde Matemática. ANPMat, 2020.
Referências
ARAÚJO, J. D. Uma abordagem sociocrítica da modelagem matemática: a perspectiva da educação matemática crítica. Alexandria. jul. 2009. p. 55-68.
BARBOSA, J. C. Modelagem na educação matemática: contribuições para o debate teórico. Reunião anual da Anped. 2001. p. 1-30.
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BRASIL. Base Nacional Comum Curricular – 2ª versão. Brasília: Ministério da Educação, (s.d.).
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC, 1998.
CARMO, J. M. Os efeitos da resolução criativa de problemas matemáticos numa turma de 6.º ano. Lisboa: Faculdade de Psicologia e de Ciência da Educação, 2009.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2003.
GARDNER, M. My best mathematical and logic puzzles. Stanford Inversiones SpA, 2017.
GONTIJO, C. H. Resolução e formulação de problemas: caminhos para o desenvolvimento da criatividade em Matemática. Anais do Sipemat. Universidade Federal de Pernambuco, 2006.
MENDES, I. A. Criatividade na história da criação matemática. Belém: SBEM-PA, 2019.
ONUCHIC, L. D.; ALLEVATO, N. S. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Boletim de educação matemática. 2011. p. 73-98.
PINHEIRO, S. C. A criatividade na resolução e formulação de problemas. São Paulo: Instituto Politécnico de Viana do Castelo, 2013.
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