Matemática na busca de soluções

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Matemática na busca de soluções
Prof. Marcelo Rainha
Descrição
A construção de soluções que transformem a sala de aula em um
grande laboratório mediante metodologias de resolução de problemas,
modelagem e jogos cujo pano de fundo seja a perspectiva da
investigação, da reflexão e da análise crítica das soluções.
Propósito
Apresentar cenários para a criação de ambientes propícios ao
desenvolvimento do raciocínio por meio de várias estratégias, como a
resolução de problemas, a modelagem e os jogos sobre a perspectiva
da investigação, privilegiando o questionamento, a análise crítica e a
busca por soluções criativas e inovadoras.
Preparação
Ter acesso e alguma familiaridade com o app Geogebra, o qual pode ser
acessado pelo site. Além disso, deve-se estar com a mente aberta e
realizar as atividades propostas no decorrer dos módulos sob o ponto
de vista do estudante.
Objetivos
Módulo 1
Curiosidade intelectual e abordagem
cientí�ca
Reconhecer os conceitos de investigação e do método científico.
Módulo 2
Modelagem, resolução e investigação:
estratégias e resultados
Formular atividades, antevendo possíveis entraves.
Módulo 3
Imaginação e criatividade na investigação
matemática
Aplicar diferentes metodologias com base na investigação.

Introdução
Desenvolveremos três módulos com abordagens
complementares em busca de soluções que transformem a sala
de aula em um grande laboratório. Vamos perpassar as
metodologias de resolução de problemas, de modelagem e de
jogos.
Essas metodologias terão como pano de fundo a perspectiva da
investigação, da reflexão e da análise crítica das soluções. Todos
os seus processos buscam promover o surgimento de soluções
críticas e inovadoras por meio da exploração e da conexões de
ideias, sejam elas antigas ou novas, para a criação de processos
de investigação em busca de soluções.
No módulo 1, trabalharemos à luz da resolução de problemas,
evocando, com isso, a curiosidade sobre o pensamento científico
por meio de problemas instigantes. Deixaremos claro ainda que o
ato de resolver um problema difere da metodologia, mesmo
sendo parte integrante dela.
No módulo 2, enfatizaremos os processos de investigação sob a
perspectiva da modelagem matemática. Nossa abordagem
possui origem na matemática aplicada, que foi importada para o
universo da educação matemática. Daremos destaque para a
apresentação prática de uma atividade complexa de investigação
e modelagem matemática.
No módulo 3, por fim, nos aprofundaremos no tema da
investigação e da criatividade matemática, pois investigaremos
as observações e as experiências adquiridas por meio do jogo.
Também faremos um breve relato sobre algumas experiências
com o jogo proposto.
1 - Curiosidade intelectual e abordagem cientí�ca
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os conceitos de investigação e do
método cientí�co.
Resolução de Problemas: uma
abordagem cientí�ca
O que é um problema?
A Base Nacional Comum Curricular (s.d.) afirma que exercitar a
curiosidade intelectual significa recorrer à abordagem própria das
ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a
imaginação e a criatividade, para, com base no conhecimento das
diferentes áreas, realizar as seguintes ações:
Investigar causas.
Elaborar e testar hipóteses.
Formular e resolver problemas.
Criar soluções (inclusive tecnológicas).
Já um problema é uma situação que um indivíduo ou grupo quer ou
precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto
que o leve à solução, aponta Lester (1982, apud DANTE, 2003).
Listemos alguns exemplos de problemas da modernidade:
Descarte do lixo
Dificuldades financeiras
Violência doméstica
Aquecimento global
Abuso de drogas etc
O mais importante é que, em geral, os problemas instigam a nossa
curiosidade e podem ser resolvidos pelo método científico. Apesar de
tal método possuir seis etapas, não é necessário que passemos por
todas. Trata-se apenas de um guia.
As seis etapas do método científico são:
Observação
Elaboração do problema
Formulação de hipóteses
Experimentação
Análise dos resultados
Conclusão
Re�exão
Observando o comportamento das salas de aula antes da década de
2010, é notória a distância que as escolas se encontram da abordagem
cientifica. Como esperar, afinal, que alguém resolva problemas
relevantes sem ter um mapa de procedimentos a percorrer? Isso gera
muito mais erros no processo de tentativa e erro que a vida nos
apresenta. Nesse sentido, este texto se torna urgente para responder à
ânsia de desenvolver estratégias de experimentação científica em um
ambiente no qual o erro é parte da solução.
Analisemos agora um contexto mais específico: o que significará um
problema se pensarmos em ensinar e aprender matemática?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais atestam que:
[...] um problema matemático é uma situação
que demanda realizações de uma sequência de
ações ou operações para obter um resultado.
Ou seja, a solução não está disponível de início,
no entanto é possível construí-la. Em muitos
casos, os problemas usualmente apresentados
aos alunos não constituem verdadeiros
problemas, porque não existe um real desa�o
nem a necessidade de veri�cação para validar
o processo de solução.
(BRASIL, 1998, p. 41)
Vale uma ressalva sobre o que acabamos de ler, uma vez que, acerca do
olhar sobre o pensamento crítico e científico, é possível realizar uma
distinção entre problema e exercício. Confira:
Problema
Atividade cujo
“resolvedor” não possui
um caminho rápido e
direto.
Exercício
Atividade cujo
resolvedor já tem
habilidade ou
conhecimentos
suficientes para resolvê-
la.

Note que a mesma atividade pode ser um exercício em um contexto e
um problema em outro:
Exemplo
Contexto 1
Exercício:
O aluno já sabe a fórmula para a resolução das equações de grau 2.
Resolva a equação do segundo grau: x² + 6x - 16 = 0.
Contexto 2
Problema:
O aluno aprendeu apenas a fatoração de produtos notáveis.
Considere a equação x² + 6x = 16. Determine o valor de x.
O aluno vai se sentir perdido – e isso é esperado, pois ele nunca
resolveu uma questão do gênero. O professor, portanto, precisa
apresentar um caminho.
Observe três maneiras de se apontar um caminho para o aluno:
Exemplo
1. Que valor devemos somar a x² - 6x para que ele se torne um quadrado
perfeito?
2. Sendo √u o valor encontrado no item (a), podemos escrever (x + √u)²
= 16 + u.
Agora, fazendo y = x + √u, determine o valor de y.
3. Determine o valor de x.
Existem outras formas de abordar essa equação, por exemplo, com o
cálculo de áreas, o que seria, caso o professor tivesse abordado
produtos notáveis dessa maneira, uma boa ideia.
Atenção!
Esse caminho foi apenas uma sugestão.
Isso mostra o seguinte: o que constitui um problema para um grupo
pode não ser para outro. Dessa forma, o professor tem de ser crítico na
hora de conduzir as suas aulas.
Resolução de problemas na perspectiva da educação matemática
Segundo Polya (1978), existe uma dicotomia na resolução de
problemas. Essa resolução, afinal, conta com dois lados:
Ato de resolver problemas
Técnicas ou procedimentos empregados para resolvê-los.
Estratégia metodológica
Modos pelos quais eu posso empreender a minha prática em sala de
aula, adotando o ato de resolver problemas.
Quanto ao ato de resolver problemas, Polya (1978) ainda apresenta uma
sequência de quatro ações do sujeito para determinar uma solução:
1. Compreender o problema.
2. Estabelecer um plano.
3. Executar o plano.
4. Examinar a solução obtida.
Note que isso é feito normalmente em nossa prática, mas deixar clara a
organização dos atos nos ajudará a compreender melhor o que estamos
fazendo.
Observe agora estes três exemplos:
Exemplo
1. Carlos foi a uma loja de chocolates e gastou metade do dinheiro que
tinha mais R$1,00. Depois, foi a uma loja de balas e gastou metade do
dinheiro que possuía mais R$1, tendo esgotado seu dinheiro. Quanto
dinheiro ele tinhaantes de ir à loja de chocolates?
2. Em uma reunião, há 6 amigos. Nos cumprimentos entre eles, se cada
um trocar dois apertos de mão (no início e no final da reunião) com
todos os outros, quantos apertos de mão serão dados?
3. Marcelo trabalha com programação, mas precisa ir ao escritório uma
vez por semana. Como ele não dirige, pega um Uber para seu
deslocamento. Devido ao horário em que se desloca e à relação
dinâmica do aplicativo, ele descobriu que sofrerá as seguintes
cobranças: R$3,00 pelo pedido do carro mais R$1,00 por quilômetro
percorrido durante a manhã. Além disso, verificou que, após 17 horas,
por conta do sistema dinâmico do aplicativo, os valores são dobrados.
Sabendo que ele mora a 5km do trabalho e que seu valor máximo para
gastar em Uber por mês é de R$100,00, haverá, no ano corrente, algum
mês em que Marcelo não consiga ir todas as semanas ao trabalho
utilizando esse aplicativo de transporte? Justifique sua resposta.
Mas existem diferenças entre os problemas propostos? A resposta é
sim.
Dante (2003) propõe a seguinte classificação para tais problemas:
Problema padrão
A solução do problema já está contida no enunciado, bastando
transformar a linguagem usual em matemática e identificar o algoritmo
necessário para resolvê-lo.
Problemas processo
Sua solução envolve as operações que não estão contidas no
enunciado, exigindo do aluno um tempo para arquitetar um plano de
ação.
Problemas de aplicação
Também chamados de situação-problema, tais problemas retratam
situações reais do dia a dia que exigirão a matemática para serem
resolvidos.
Problemas de quebra-cabeça
Faz parte da matemática recreativa: suas soluções dependem de um
pouco de sorte ou da facilidade em perceber truques.
Problemas de quebra-cabeça
Um ótimo autor sobre esse tema foi Martin Gardner. Não existem muitos
livros deles em português, porém, para quem sabe ler em inglês, uma ótima
referência é esta obra: My best mathematical and logic puzzles.
Por conta disso, podemos, na ordem, classificar os três problemas
propostos no exemplo acima como:
1. Problema padrão
2. Problema processo
3. Problema de aplicação
Comentário
Como professores, precisamos ser críticos e realistas quando
apresentamos um problema a nossos estudantes, pois devemos ter
uma intenção com ele que não se limite a nossas contas. Por isso,
apresentaremos nos módulos seguintes conceitos e metodologias para
possibilitar a criação de ambientes de aprendizagem que fomentem
uma curiosidade científica e – por que não? – divertida.
Vamos solucionar problemas?
Quando falamos em solucionar problemas e elaborar resoluções as
vezes pode parecer algo de outro mundo, algo difícil. Mas, de fato, é só
um jeito de organizar algo que é corriqueiro, quando por exemplo nós
jogamos. Quer ver? Professor Marcelo e Cainã mostram na prática.

Criando ambientes de aprendizagem
Fomentando a curiosidade através da resolução de problemas
O trecho a seguir ilustra como a metodologia de resolução de
problemas se insere em uma prática pedagógica para que seja possível
ao:
Estudante aprender.
Professor, em uma perspectiva de ensino-aprendizagem e
avaliação, desenvolver o seu trabalho mediando as situações e
avaliando tanto o desenvolvimento da prática do estudante quanto
o próprio trabalho.
Ao considerar o ensino, aprendizado e
avaliação, isto é, ao ter em mente um trabalho
em que esses três elementos ocorrem
simultaneamente, pretende-se que enquanto o
professor ensina o aluno, como um praticante
ativo, aprenda, e que a avaliação se realize em
ambos. O aluno analisa seus próprios métodos
e soluções obtidas para o problema, visando
sempre a construção de conhecimento. Essa
forma de trabalho do aluno é consequência de
seu pensar matemático, levando-o a elaborar
justi�cativas e a dar sentido ao que fez. De
outro lado, o professor avalia o que está
ocorrendo e os resultados do processo, com
vistas a reorientar as táticas de sala de aula,
quando necessário.
(ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p. 81)
Para a criação de um ambiente de ensino-aprendizagem e avaliação por
meio da resolução de problemas, as professoras Onuchic e Allevato
sugerem um ciclo de nove etapas:
Este é o ponto de partida da atividade. Note que o professor
deve conhecer o seu público a fim de que o problema não se
torne um exercício e seja interessante suficiente para ter a
atenção dos participantes.
Nesse momento, é importante que o estudante leia o problema
individualmente para poder identificar os elementos e pensar
como resolvê-lo.
1) O professor deve levar um problema ou situação
geradora 
2) O estudante deve ser desafiado a usar seus
conhecimentos prévios 
3) Em pequenos grupos, os estudantes devem discutir,
aprimorar e compreender 
A seguir, os estudantes devem ser reunidos em grupos e
encorajados a debater o problema apresentado, cada um
contribuindo com seus conhecimentos e análise da questão.
Isso serve para que ele possa atuar e orientar de forma assertiva
sem dar efetivamente a solução.
Tal resolução será feita com as estratégias que os estudantes
julgarem convenientes.
As autoras sugerem a criação de um painel de soluções no qual
elas fiquem expostas, sejam elas certas ou erradas, para que
4) O professor deve incentivar e observar as dicções 
5) Os estudantes devem resolver o problema 
6) Os estudantes devem apresentar uma solução para o
problema 
então os estudantes possam, sob a mediação do professor,
discutir em plenária suas ideias e concepções.
Um exemplo seria este: as melhores estratégias empregadas e a
solução mais interessante.
Este passo será fundamental para que não fiquem mal-
entendidos ou pontas soltas. Nessa etapa, o professor passa a
usar de fato a linguagem matemática.
Tais problemas são propostos pelos estudantes ou pelo
professor.
7) O professor deve buscar um consenso 
8) O professor deve formalizar o conteúdo 
9) O professor ou os alunos devem propor novos
problemas 
Veja que, apesar de não ser o centro do trabalho, o professor é
fundamental, já que ele está presente em todas as etapas, mediando e
orientando.
Nenhuma sequência de passos capaz de exemplificar
um dos “métodos” que apresentaremos neste
conteúdo constitui uma receita. Todo método depende
da experimentação, pois o que funcionou em um grupo
pode não ter êxito em outro.
Mas a questão é esta: a culpa não é do método que deu errado. A
atividade é que provavelmente pode não ser a ideal para o público em
questão. Demonstremos isso com uma comparação simples.
Por que, afinal, uma turma diurna de crianças de 14 anos estaria
interessada na amortização do adiantamento de parcelas da compra de
um carro usado? Porém, em uma turma de educação de jovens e
adultos noturna, um problema do tipo pode trazer muito mais
engajamento.
Vejamos dois exemplos:
Exemplo 1: Para uma turma que ainda não conhece as medidas de
tendência estatística
Os salários pagos a 8 funcionários de uma empresa são R$500,00,
R$600,00, R$600,00, R$600,00, R$800,00, R$810,00, R$810,00 e
R$9.000,00. Qual seria o salário mais provável de alguém que ocupasse
o cargo de funcionário dessa empresa se um deles ficasse vago?
Vamos ver uma simulação de uma situação de sala de aula?
Um estudante tirou a média dos salários:
Entretanto, ele foi questionado por outro estudante: “Mas esse salário
nem existe, eu acho que vai ser o que ganha menos, pois ele é o mais
fácil de ser mandado para a rua”. Um terceiro estudante ainda disse:
”Professor, acredito que seja 600, porque existem mais pessoas
ganhando R$600,00”.
O professor comenta que todas as possíveis soluções são
interessantes, pede aos estudantes para escreverem as suas respostas
no quadro e abre os debates. Nesse momento, ele sugere a seguinte
questão: “Alguém na empresa ganha o salário de R$1.715,00?”.
Nessa hora, os estudantes percebem que a resposta não faz sentido,
uma vez que os salários deveriam ser representados pelos valores
dados. Quanto ao salário de R$500,00, o estudante quesugeriu R$600
diz que contratar outro que ganha menos é subjetivo e que não
podemos considerar seu argumento.
500 + 3 × 600 + 800 + 2 × 810 + 9.000
8
= 1.715
A turma concordou com ele. Nesse instante, o professor intervém para
apresentar os conceitos de média, moda e mediana.
Podemos perceber nessa simulação que:
1. Percorremos os passos sugeridos por Onuchic e Allevato (2011).
2. O que ocorre na turma é dinâmico; por isso, o professor deve estar
atento a cada passo.
Exemplo 2: Movimento dos cavalos (enigma)
Movimento dos cavalos (enigma)
Este problema foi proposto pela primeira vez pelo matemático italiano
César Baurali-Forti (1861-1931).
Esta atividade terá uma boa recepção para uma turma que tenha
familiaridade com o jogo de xadrez. Apesar de ser sempre possível
ensinar o movimento da peça do cavalo, isso não terá o mesmo
impacto.
Movimento da peça
Recordemos que, no xadrez, o cavalo se desloca duas casas verticalmente
e uma horizontalmente ou duas casas na horizontal e uma na vertical.
O ideal é que o estudante tenha tempo para experimentar a brincadeira
– e ninguém precisa ficar de fora! Sugerimos que mesmo aquele sem
acesso a um tabuleiro use uma folha de papel e tampinhas.
Considere 1 tabuleiro 3×3 e 4 cavalos: 2 deles são brancos e estão
situados nas casas da parte inferior do tabuleiro, enquanto os 2 cavalos
pretos ficam na superior.
O problema consiste em:
1. Trocar a posição das peças brancas com as peças pretas,
contando quantas movimentações foram utilizadas.
2. Trocar a posição delas no menor número de lances. Naturalmente,
duas peças não podem ocupar a mesma posição.
Para resolver o item 1, o processo de tentativa e erro vai surtir efeito:
muitos alunos apresentarão soluções diversas. Como todos contarão o
número de jogadas que fizeram, será possível ter uma ideia do número
mínimo de jogadas.
Veja que já passamos por diversas etapas sugeridas por Onuchic e
Allevato, porém, para resolver o item 2, é comum que os estudantes
precisem de uma mão.
Eis uma sugestão:
1. Nomeie as casas dos tabuleiros com números de 1 a 9:
2. Considere um cavalo na casa 1. Ele pode se mover para outras
casas?
3. Registre em uma folha os possíveis menores caminhos que um
cavalo na casa 1 precisa fazer para chegar à casa 9.
Esperamos que a.1 tenha uma resposta imediata, 6 ou 8, e que, para a.2,
surjam as seguintes opções:
Em que cada aresta representa 1 movimento. Temos, assim, 4
movimentos.
Observe que a turma deve chegar a um consenso: que esse é o mínimo
de movimentos que uma peça faz para sair da casa 1 e chegar à casa 9.
Mas o professor ainda pode perguntar: “O que podemos dizer das
posições 3, 7 e 9?”. Agora temos uma base para nossa conjectura,
segundo a qual o menor número de movimentos para deslocar todos os
quatro cavalos será 4×4.
O professor tem de perguntar:
1. É possível algum cavalo parar na casa 5?
2. O passeio do cavalo pelo tabuleiro depende de quê?
O professor deve fomentar e instigar os estudantes a entender que o
tabuleiro pode ser reescrito da seguinte forma:
Em que os cavalos se movimentam exatamente como descrevemos no
círculo, isto é, em sentido horário ou anti-horário. Deixe para eles a
tarefa de resolver e discutir em outro momento o que ocorreria em um
tabuleiro 4×4.
Existem inúmeros problemas com as peças de xadrez.
Recomendamos que o professor crie uma biblioteca de
problemas interessantes que ele possa lançar mão,
tendo em mente, é claro, o nível e a realidade de seus
estudantes.
Saiba mais
Na seção Explore + há alguns livros de fácil acesso para você iniciar a
sua biblioteca!
A matemática e o xadrez
Entenda agora a utilização do jogo de xadrez para o processo de ensino-
aprendizagem de matemática.

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o problema:
Carlos foi a uma loja de chocolates e gastou metade do dinheiro
que tinha mais um real. Depois foi a uma loja de balas e gastou
metade do dinheiro que possuía mais um real, tendo esgotado seu
dinheiro. Quanto dinheiro ele tinha antes de ir a loja de chocolates?
Em quais das soluções a seguir você diria que o aluno encarou a
atividade como um problema ou como um exercício:
1. Podemos pensar de trás para frente, sendo 1 a metade do que
tinha na última loja, ou seja, ele entrou nela com 2. Usando a
mesma ideia para a loja 1, dá para ver que ele entrou na primeira
loja com R$6,00.
2. Se é quanto ele tinha, ele saiu da primeira loja com
, que dá . Agora ele gastou todo esse dinheiro
na loja 2, de tal forma que ; então, .
3. Eu testei os números 4, 5 e 6. No 6, deu certo.
x
x− ( x
2 + 1)
x
2 − 1
( x
2 −1)
2 + 1 = x
2 + 1 x = 6
A Em 1 apenas.
Parabéns! A alternativa E está correta.
Em 2 o aluno apresenta um domínio total sobre as equações do
primeiro grau e nem refletiu sobre como poderia proceder, já em 3 o
aluno faz experimentações para determinar a solução e em 1 o
aluno parte do fim do problema, usando uma estratégia muito
criativa.
Questão 2
Para criação de um ambiente de ensino-aprendizagem e avaliação
através da resolução de problemas, as professoras Onuchic e
Allevato não sugerem uma das ações descritas a seguir:
B Em 2 apenas.
C Em 2 e 3.
D Em 1 e 2.
E Em 1 e 3.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Na metodologia de resolução de problemas o professor deve ser
paciente e esperar as soluções virem dos alunos, jamais o
professor deve pressionar os alunos para que terminem de resolver
o problema proposto.
A
Que o professor leve um problema ou situação
geradora.
B
Que os alunos discutam, aprimorem e
compreendam em pequenos grupos.
C
Que o professor pressione os alunos para que
terminem de resolver o problema proposto.
D
Que os alunos apresentem uma solução para o
problema.
E Que o professor formalize o conteúdo.
2 - Modelagem, resolução e investigação: estratégias e
resultados
Ao �nal deste módulo, você será capaz de formular atividades, antevendo possíveis entraves.
Cenários para investigação
A BNCC e as ferramentas de modelagem
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) considera como
competência específica da área da Matemática a utilização de
“processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais
disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de
outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados”
(BRASIL, s.d., p. 265). Esse documento oficial ainda aponta que ela
oferece modelos para compreender a realidade, permitindo envolver
infinitos contextos provenientes de práticas sociais de outras áreas de
conhecimento e contextos da própria Matemática.
As salas de aula vêm passando por um processo de transformação
cada dia mais acelerado. Por conta disso, nós o convidamos a refletir
sobre outras possibilidades de se ensinar matemática. É importante ter
em mente diferentes cenários para o ambiente de aprendizagem a fim
de possibilitar o melhor desenvolvimento de nossos futuros alunos.
Compare as dinâmicas abaixo:
Em geral, as aulas
seguem o paradigma:
apresentar a teoria,
enumerar alguns
exemplos e, em
seguida, propôr uma
série de exercícios de
fixação. Neles, apenas
um cenário é
O autor sugere que o
professor apresente
situações nas quais os
estudantes se sintam
desafiados e
convidados a explorar
tal situação. Para isso,
o problema precisa ser
concebido com
trabalhado, aquele que
melhor se adequa à
exposição teórica. De
acordo com Skovsmose
(2000), essa dinâmica é
denominada paradigma
de exercício.
características e
condições que
permitam aos alunos se
engajar e se
desenvolver.
Skovsmose (2000)
chama isso de cenário
de investigação.
Nesse contexto, o professor deve dedicar-se à construção de ambientes
de aprendizagem nos quais seja necessário considerar os papéis do
estudante, do professor e das características presentes na atividade
para que, de fato, o estudante consiga se desenvolver. Isso vai permitir a
ele explorar, investigare problematizar, possibilitando o devido
engajamento.
Verifica-se, então, uma mudança nos papéis de:
Estudantes
Professores
Características da atividade
Na abordagem dos cenários para investigação, o professor deve ter em
mente que seu papel agora é mediar, instigar e questionar, conduzindo
os estudantes ao autodesenvolvimento durante a exploração dessa
atividade.
O professor pode, por exemplo, fazer questionamentos do tipo:
E se você pensar dessa forma?
E se você considerar tais variáveis?
O que você fez?
De que modo você pensou?
Perguntas como essas fazem com que o estudante reflita sobre o
processo do desenvolvimento da atividade, propiciando a eles se
desenvolver no processo.
Para Skovsmose (2000), pode-se construir nossos ambientes de
aprendizagem conforme o esquema desta tabela:
Exercícios
Cenários para
investigação
Referência
matemática pura
Referência à
semirrealidade
Exercícios
Cenários para
investigação
Referência à
realidade
Exemplificaremos esse conteúdo com quatro exemplos para deixar
mais clara a relação da tabela proposta:
Exemplo
1. Referência matemática pura (exercício):
Resolva a equação x + 2 = 6x.
2. Referência matemática pura (cenário para investigação):
Considere a equação 2x + 3y = 50. Agora leia estes três tópicos:
Determine valores entre os números naturais positivos de forma tal que
x e y satisfaçam à equação.
Escreva uma lista com todos os valores encontrados pela turma.
Quantas soluções positivas existem?
3. Referência à semirrealidade:
João foi ao mercado comprar 3kg de arroz e 1kg de feijão com uma
nota de R$50,00. Sabe-se que o quilo do arroz custa a metade do quilo
de feijão e que João voltou para casa com duas notas de R$20,00 de
troco. Determine o custo do quilo de arroz e o do feijão.
Essa é uma situação artificial, pois não sabemos de fato se o feijão
custa a metade do arroz. Os dados foram coletados de forma artificial.
4. Referência à semirrealidade (investigação):
João coleciona cards de um jogo cujas cartas comuns custam R$5,00,
enquanto as cartas douradas valem R$10,00. Ele ganhou de aniversário
de sua avó o valor de R$115,00 e decidiu comprar todo o valor em cards.
a) Qual será o número máximo de cards comuns que João pode
comprar?
b) Qual será o número máximo de cards dourados que ele pode
comprar?
c) Em quantas configurações possíveis João pode comprar entre cards
dourados e comuns?
Observe que, neste exercício, o estudante responderá aos
questionamentos a partir da interpretação dos dados.
A referência à realidade em cenário de investigação tem um caráter
mais complexo, mas ao mesmo tempo dá a possibilidade de resolver
um problema de forma efetiva e amplia a capacidade de observação do
sujeito, de se envolver com as questões e notar que a matemática é
para sua vida. Falaremos ainda mais sobre a importância dos cenários
de investigação, fique atento!
Modelagem em um ambiente de
investigação
Modelagem matemática
A modelagem matemática pode ser vista como uma estratégia de
ensino que fornece ao professor a possibilidade de mostrar um modo
mais interessante de ensinar os conteúdos, dando a oportunidade ao
estudante de formar seus conceitos e resolver os problemas por meio
de modelos que facilitem a aprendizagem. A modelagem, portanto, é
uma excelente oportunidade para conhecer os problemas de sua região
e realmente desenvolver estratégias que se aproximem da realidade.
Essa prática configura um conjunto de condições de aprendizagem que
não se limita à matemática, uma vez que a modelagem ocorre a partir
de observações trazidas do mundo conhecido dos estudantes,
agregando outras habilidades e competências que não apenas as
matemáticas.
Para entender e resolver problemas, a matemática é um poderoso
instrumento intelectual que, por meio de abstração e formalização,
sintetiza ideias que, mesmo sendo semelhantes, seguem as situações
mais diversas, muitas delas camufladas em sua essência.
A matemática, assim, extrai uma ideia e a formaliza em
um contexto abstrato no qual ela pode ser
desenvolvida intelectualmente.
Devemos observar que um modelo matemático precisa vir
acompanhado de um dicionário que interprete sem ambiguidade os
símbolos e as operações descritos no problema estudado. Com isso,
podemos transpor o problema para a matemática e então tratá-lo com
as poderosas ferramentas da rainha das ciências. Uma vez
estabelecidos os resultados, já conseguimos transportá-lo para a
linguagem original do problema.
Comentário
Esse tipo de abordagem se assemelha ao de uma pesquisa na qual o
professor precisa estar atento a alguns fatores, pois a teoria
matemática adequada para resolver um problema pode estar muito
distante do conhecimento científico dos estudantes ou, em alguns
casos excepcionais, sequer existir.
A partir do momento que você deixa a imaginação fluir e considera um
fenômeno, existe o risco de que, em geral, ele possa se tornar
excessivamente complexo. Por isso, cabe ao professor que media a
investigação restringir e isolar o campo de estudos adequadamente. Até
porque caso a modelagem se torne muito complexa, o trabalho de
simplificar o modelo, mantendo uma estrutura coerente, também faz
parte da pesquisa.
A modelagem de uma situação-problema pode ser visualizada no
seguinte esquema:
Esquema de modelagem de uma situação-problema.
Na imagem, as setas pretas indicam, em uma primeira aproximação, a
busca de um modelo que descreva melhor o problema estudado.
Devemos estar atentos a tal processo, pois, uma vez entendido, ele
torna-se dinâmico. Ao encontrarmos uma solução não válida,
precisaremos voltar aos dados experimentais, fazer as devidas
modificações e (mais uma vez) procurar resolver o novo problema
proposto, como indicam as setas vermelhas.
Vamos destrinchar um pouco as etapas da situação-problema
apresentada:
I e II - Problema não matemático e dados experimentais
1. Reconhecimento da situação-problema.
2. Familiarização com o assunto a ser modelado.
3. Testes e observações de casos particulares.
É a etapa em que se define o assunto a ser estudado, podendo fazer uso
de livros, revistas e internet, entre outros exemplos. O objetivo é tornar a
situação-problema cada vez mais clara e definida.
III e IV - Construindo e solucionando um modelo matemático
1. Formular o problema.
2. Classificar as informações.
3. Decidir os fatores a serem perseguidos.
4. Identificar as constantes envolvidas.
5. Generalizar e selecionar as variáveis relevantes.
6. Selecionar os símbolos apropriados para as variáveis.
7. Descrever essas relações em termos matemáticos.
8. Resolver o problema em termos do modelo.
9. Interpretar e validar.
Esse é o momento desafiador no qual a intuição, a criatividade e a
experiência de vida constituem elementos indispensáveis no processo
de tradução da situação-problema para a linguagem matemática. Além
disso, de forma não necessariamente linear, como mostra o nosso
fluxograma, você precisa ser capaz de reconhecer estas subetapas:
Observação de dados experimentais ou empíricos que ajudem
na compreensão do problema, na modificação do modelo e na
decisão de sua validade.
Processo de seleção das variáveis essenciais e formulação em
linguagem “natural” do problema ou da situação real.
O modelo matemático é montado quando se substitui a
linguagem natural por uma matemática. O estudo do modelo
depende da sua complexidade e pode ser um processo
Experimentação 
Abstração 
Resolução 
numérico. Observe que, quando os argumentos conhecidos não
forem eficientes, novos métodos poderão ser aprendidos ou o
modelo deverá ser modificado.
Comparação entre a solução obtida graças à resolução do
modelo matemático e os dados reais. Trata-se de um processo
de decisões de aceitação ou não do modelo inicial.
Caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do
modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis ou a lei de
formação; com isso, o próprio modelo original é modificadoe o
processo se inicia novamente.
A modelagem eficiente permite fazer e tomar decisões, assim
como participar do mundo real com capacidade de influenciar
Validação 
Modificação 
Aplicação 
em suas mudanças.
Apresentamos uma estratégia geral que você precisará ter em mente
quando tentar modelar um problema. Considere-a um guia filosófico
básico aplicável em todas as situações!
Segundo Barbosa (2011), a metodologia de modelagem pode ser
classificada de três formas diferentes:
Caso 1
O professor apresenta a descrição de uma situação-problema com as
informações necessárias à sua resolução e o problema formulado,
cabendo aos estudantes o processo de resolução.
Caso 2
O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade,
cabendo aos estudantes a coleta das informações necessárias à sua
resolução.
Caso 3
A partir de temas não matemáticos, os estudantes formulam e resolvem
problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e
pela simplificação das situações-problema.
Em todos os casos, o professor é concebido como “coparticipe” na
investigação dos estudantes, dialogando com eles acerca de seus
processos.
Revisitemos agora o exemplo 4 visto acima para exemplificar o caso 1:
Exemplo
João coleciona cards de um jogo cujas cartas comuns custam R$5,00 e
as douradas, R$10,00. Ele ganhou de aniversário de sua avó o valor de
R$115,00 e decidiu gastar todo o valor em cards.
Qual é o número máximo de cards comuns que ele pode comprar?
Qual é o número máximo de cards dourados que ele pode
comprar?
Em quantas configurações possíveis João pode comprar entre
cards dourados e comuns?
Modelo:
Note que existem figurinhas de dois tipos: x – comuns e y – douradas.
Dessa forma, o problema é determinar as soluções positivas da
equação:
5x + 10y = 115
O caso 2 será apresentado agora, fique atento!
Um cenário de projeto de
investigação
Projeto de investigação e ambiente de aprendizagem
O ambiente de aprendizagem da modelagem matemática se baseia na
investigação de um problema proposto. Apresentaremos a seguir uma
atividade/projeto a ser desenvolvida que exemplifica as etapas exibidas
e que, de acordo com Barbosa (2011), pode ser classificada como o
caso 2, uma vez que o problema foi proposto pelo professor.
Atividade:
Esta atividade se baseia em proposta apresentada pela equipe de Jogos
& Matemática.
Pré-requisitos: Cálculo de áreas de figuras planas: triângulos,
retângulos trapézios e paralelogramo; porcentagem.
Público-alvo: Alunos do ensino médio.
Problema não necessariamente matemático
Questão de pesquisa: conscientização e ecologia
Qual é a área de Mata Atlântica da cidade do Rio de Janeiro?
Qual é o percentual de Mata Atlântica na comparação com a área
total da cidade?
Qual é a área de Mata Atlântica aproximada de um bairro do Rio de
Janeiro à sua escolha?
Qual é o percentual de Mata Atlântica no bairro de sua escolha?
O valor percentual encontrado é maior ou menor se comparado ao
da cidade do Rio de janeiro?
Como iniciar a pesquisa
Este passo é crucial, sendo papel do orientador apresentar algum
caminho para o início de suas pesquisas. Os estudantes podem
encontrar os próprios caminhos – e é recomendado que o façam –,
mas, quando se trabalha com uma metodologia diferente do habitual,
eles muitas vezes podem se sentir perdidos.
Um possível caminho a ser trilhado pelo orientador
Por meio do site Google Maps, você pode encontrar os contornos da
cidade e do bairro desejado. Segue um passo a passo para o uso da
ferramenta:
No campo de pesquisa do site Google Maps, digite o nome da
cidade ou do bairro que deseja localizar.
Ao fazer isso, você verá as seguintes demarcações no mapa:
Ajuste as imagens de tal forma que a escala presente no canto
inferior direito saia nos prints.
Saiba mais
Agora precisamos de uma estratégia para determinar as áreas da
cidade e do bairro. É importante que os estudantes tentem apresentar
soluções para esse problema. Nesse sentido, para que as ideias fiquem
no ar, recomendamos que, antes de aplicar tal atividade, seus
estudantes adquiram familiaridade com o jogo chamado ponto a ponto,
1) Acessar o site 
2) Digitar o nome da cidade ou do bairro a ser pesquisado 
3) Tire print de todos os mapas e salve em uma pasta 
pois ele apresenta de forma lúdica uma série de estratégias para
resolver esse problema. Desenvolvido pela equipe de Jogos &
Matemática, esse jogo pode ser acessado no seu site.
Validação e solução do projeto de
investigação
Construindo um modelo matemático
O professor precisa ser capaz de julgar os protótipos apresentados a
fim de sentenciar a eficácia das soluções do problema proposto e,
quando for necessário, apresentar alguma estratégia que possa guiar a
investigação. Por isso, apresentaremos uma técnica para possibilitar a
determinação das áreas sugeridas no passo anterior.
Entre no site do Geogebra on-line.
Clique com o botão direito do mouse para aparecer a janela
de visualização. Em seguida, desmarque a opção Exibir
eixos.
Passo 1 
Ajustando a figura
Abra a pasta que você está guardando as imagens dos
mapas selecionados;
Selecione a imagem desejada e arraste para página do
Geogebra on-line e solte.
Ajuste o tamanho de sua imagem.
Clique com o botão direito do mouse sobre a imagem.
Na aba Básico, ative imagem de fundo (para que a malha
fique por cima da imagem) e desative Definir como objeto
auxiliar (para que o objeto figura apareça no lado esquerdo
de sua tela, permitindo que acessemos suas configurações).
Passo 2 
Passo 3 
Passo 4 
Do lado esquerdo de sua tela, clique com o botão direito do
mouse na figura e ative Travar tela. Com isso, a sua imagem
estará fixa e você poderá ajustar a malha:
Nossa estratégia está praticamente montada. Resta entender a
escala em que os mapas estão sendo trabalhados.
Ajuste a malha para o mapa. No caso da cidade do Rio de
Janeiro, cada quadrado grande possui 25km² (5km de
aresta, como ilustra a figura abaixo). Note que essa
informação será obtida em cada mapa dependendo do
zoom que se estiver usando. Lembre-se ainda de que a
escala pode ser encontrada no canto inferior direito na tela
do Google Maps:
Veja que você deve reproduzir o ajuste para a malha do
bairro escolhido da mesma forma que fizemos para o Rio de
Janeiro (no nosso caso, foi o Grajaú). Como você pode
Passo 5 
Passo 6 
observar, cada quatro quadrados são referentes 0,25km² de
área.
O modelo matemático está quase pronto. Já sabemos como as
conversões e unidades de medida se relacionam, mas
precisamos nos organizar para que nada seja perdido.
Construa uma tabela que relacione o número de quadrados
e as suas áreas correspondentes em cada mapa analisado.
No de quadrados Á
Unidade de área
(bairro)
4 quadrados 0,
Unidade área
(cidade)
1 quadrado 25
Área da cidade do
Rio de Janeiro
Área do bairro do
Grajaú
Passo 7 
No de quadrados Á
Área de florestas
da cidade
Área de floresta do
bairro
Tabela de conversão.
Podemos, então, deduzir as fórmulas:
Em que:
 : Refere-se ao momento em que a área a ser determinada é
analisada no mapa referente ao bairro.
 : Quando área a ser determinada é observada no mapa da
cidade.
 :É o número de quadrados.
AB =
n
16
km2
Ac = n× 25km
AB
Ac
n
Nosso modelo está pronto.
Atenção!
Tais ideias devem vir da equipe de pesquisa. Essa é apenas uma
sugestão!
Validação e solução
A forma de solucionar tal problema vai depender do nível de matemática
que os participantes da pesquisa possuem. Apresentaremos aqui dois
métodos possíveis (lembre-se sempre de que o seu papel é de
mediador):
1. Use as imagens �xadas no Geogebra para construir uma região poligonal
que se aproxime da região estudada no mapa
No caso do bairro do Grajaú, segue o exemplo:
Os pontos que devem ser marcados são os encontros das linhas mais
grossas representadas na malha, conforme indica a figura. Veja que
marcamos diversos pontos sobre uma mesma aresta: isso serájustificado a seguir.
Dica
Use a ferramenta polígono no Geogebra para construir tal região.
2. Determine a área do bairro Grajaú
Dado um polígono simples construído sobre uma grade de pontos
equidistantes, a qual, em nosso caso, é representada pelos encontros
das linhas verticais e horizontais da malha de tal forma que todos os
vértices do polígono sejam pontos da grade, o teorema de Pick fornece
uma fórmula simples para o cálculo da “área” desse polígono. A rigor,
ele calcula o número de quadrados que compõem a figura.
Dica
O jogo ponto a ponto sugere o uso da fórmula de Pick.
Como trabalhamos com mapas, devemos fazer as conversões em
termos do número:
i de pontos = interiores localizados no interior do polígono.
F de pontos = fronteiriços localizados no perímetro do polígono:
Usando a fórmula de Pick, chega-se ao seguinte resultado:
Os pontos em azul representam os pontos de fronteira; os pontos em
verde, os interiores. Temos, assim, F = 22 e i = 84.
A = i+
F
2
− 1
Desse modo, o número de quadrados será determinado por:
Para determinar a área em km² do bairro, basta usar a fórmula que
estabelecemos no modelo:
O estudante pode não conhecer a fórmula de Pick. No entanto, como
um dos pré-requisitos dessa atividade é o cálculo de áreas de figuras
planas, outra maneira de calcular a “área” (número de quadrados) da
região delimitada é dividir a figura em regiões mais simples, calcular a
“área” de todas elas e somar. O resultado tem de ser o mesmo obtido
com a fórmula de Pick. Veja:
F
2
+ I − 1 =
22
2
+ 84 − 1 = 94
AB =
n
16
=
94
16
= 5, 875km2
3. A partir dos dados obtidos, valide o modelo proposto
Trata-se de mais uma etapa. Devemos entender agora se a área
encontrada condiz com a realidade. Uma boa forma de fazer isso é
considerar B como a área real que pode ser encontrada on-line.
Então o erro da sua aproximação é dado por:
|AB−B|
B
Acabamos de calcular tais dados para o bairro do Grajaú. Sabemos que
B = 5,7391km².
Desse modo, nosso erro de aproximação será:
Verificamos, então, que nosso erro é inferior a 2,5%, sendo, de fato, uma
boa aproximação. Validamos, assim, nosso modelo.
Exemplo
Caso nossa aproximação estivesse com um erro superior a 10%,
teríamos de voltar à imagem e ajustar nossa aproximação poligonal.
Concluímos assim nosso modelo matemático capaz de responder às
questões propostas.
Comentário
No trabalho com modelagem matemática, o professor tem o papel de
mediador e de orientador, conduzindo as informações apresentadas
pelos estudantes. É de sua importância o envolvimento dos
pesquisadores na resolução do problema. Por isso, uma formação
sólida do professor de Matemática será crucial para que ele possa
interpretar as informações trazidas e indicar onde seus orientandos
poderiam procurar as soluções e validar as suas hipóteses.
5.875 − 5.7391
5.7391
≅0.024 = 2.4%
O objetivo dessa atividade foi apresentar um modelo de tema de
pesquisa com um caminho que indicasse a solução. Contudo, não é
necessário trabalhar o tempo inteiro com um tema tão complexo como
o que foi proposto. Nosso objetivo foi apenas lhe mostrar as
possibilidades!
Vamos praticar?
Assista agora a um vídeo que desenvolve pontos abordados sobre o uso
de cenários de investigação em ambientes de aprendizagem.

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Segundo Skovsmose, qual das sentenças abaixo define melhor o
paradigma de exercícios.
Parabéns! A alternativa B está correta.
A
Quando construímos um ambiente de
aprendizagem, onde consideramos os papeis do
estudante, do professor e das características
presentes na atividade, para que de fato o estudante
consiga se desenvolver.
B
Quando apresentamos a teoria, alguns exemplos e
depois uma série de exercícios de fixação.
C
Quando o professor apresenta situações nais quais
os alunos se sintam desafiados e convidados a
explorar tal situação.
D Quando o professor passa uma lista de exercícios.
E
Quando os alunos trazem propostas de suas
realidades a serem modeladas e desenvolvidas em
um grande projeto por toda turma.
De acordo com o paradigma de exercício a dinâmica segue a
seguinte ordem: apresentação da teoria, alguns exemplos e em
seguida uma série de exercícios de fixação. Mas é super importante
se pensar em um cenário a ser trabalhado, na construção do
ambiente de aprendizado, considerando a vivência dos estudantes
e principalmente o seu papel nesta dinâmica, o tornando
protagonista de seu desenvolvimento e permitindo que ele explore,
investigue e problematize acerca das situações apresentadas pelo
professor, o qual terá um de mediador e incentivador.
Questão 2
O processo de Modelagem, pode ser entendido a partir de 4
grandes etapas.
1 – Problema não matemático
2 – Modelo matemático
3 – Dados experimentais
4 – Solução
Além de diversas subetapas.
Qual das sentenças a seguir não é uma subetapa do processo de
modelagem matemática?
A
Experimentação: Observação de dados
experimentais ou empíricos que ajudem na
compreensão do problema, na modificação do
modelo e na decisão de sua validade.
B
Abstração: Processo de seleção das variáveis
essenciais e formulação em linguagem “natural” do
problema ou da situação real.
C
Aplicação: A modelagem eficiente permite fazer
previsões, tomar decisões, participar do mundo real
com capacidade de influenciar em suas mudanças.
D
Validação: Comparação dos resultados obtidos com
as opiniões das redes sociais sobre os resultados
das pesquisas.
E
Modificação: caso o grau de aproximação entre os
dados reais e a solução do modelo não seja aceito,
deve-se modificar as variáveis, ou a lei de formação,
e com isso o próprio modelo original é modificado e
o processo se inicia novamente.
Parabéns! A alternativa D está correta.
A pesquisa é feita de fatos e a validação é feita a partir da
comparação com os dados reais. Se as redes sociais não fazem
parte da pesquisa, então, ela também não pode influenciá-la.
3 - Imaginação e criatividade na investigação matemática
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar diferentes metodologias com base na
investigação.
Criatividade e processos de
investigação
O momento de criar
Ao procurar uma definição de criatividade, um dicionário normalmente
apresentaria as seguintes definições: inventividade, inteligência e
talento (nato ou adquirido) para criar, inventar e inovar em algum campo,
como o educacional, o artístico e o esportivo.
Mas podemos nos questionar:
Nós somos pessoas criativas?
O que é necessário para ser criativo?
A criatividade pode ser aprendida?
Para tentarmos responder a tais indagações, observemos as
colocações postas por Mendes e Gontijo:
Uma indagação frequentemente estabelecida
nos ambientes educativos e nos contextos das
academias de ciências e artes refere-se ao ato
da criação, com a �nalidade de conceber a
criatividade como uma habilidade inerente ao
ser humano em seu processo de conhecer,
explicar e compreender. Tal inquietação
indagativa remete a duas interrogações: por
quê? E para quê? A esse respeito, diversos
estudiosos do assunto asseguram que a
criatividade é uma habilidade humana
essencial a ser exercitada porque é
fundamental para o desenvolvimento do
potencial de quem estuda, aprende e produz
conhecimento.
(MENDES, 2019, p. 14)
Fazendo uma reflexão sobre as salas de aula nas quais atuamos até
então, observamos o hábito de apresentar um método para resolver um
problema e repeti-lo em todas as turmas, cerceando, de certa forma, a
liberdade criativa e tentando encaixar todas as realidades dentro de um
mesmo molde. Nesse sentido, podemos dizer que a criatividade não é
uma habilidade que vem sendo trabalhada, pois ela pressupõe
justamente a liberdade de pensamento para se solucionar problemas.
[...] criatividade é a capacidade de apresentar
inúmeras possibilidades de solução
apropriadas a situações-problema, de modo
que estas focalizem aspectos distintos do
problema eou formas diferenciadas de
solucioná-lo, especialmente de formas
incomuns, tanto em situações que requereriam
a resolução e elaboração de problemas, como
em situações que solicitem a classi�cação ou
organização de objetos e ou elementos
matemáticos em função de suas propriedades
e atributos, seja textualmente, numericamente
ou na forma de uma sequência de ações.
(GONTIJO, 2006, p. 4)
Esperamos que nossos alunos, após terem passado um tempo
conosco, tornem-se mais criativos. Contudo, resta a dúvida: nossas
práticas dão liberdade suficientes para eles serem criativos?
Indagando sobre tal processo na persona do educador, podemos
questionar ainda:
O que é ser um estudante criativo?
O que é ser um professor criativo?
Como seria um ambiente capaz de estimular a criatividade?
Os dois primeiros tópicos têm um caráter pessoal e podem ser
desenvolvidos ao longo de nossas trajetórias de vida. Sendo assim,
apresentaremos a seguir algumas atividades que favorecem a criação
de um ambiente criativo.
Destacamos, assim, algumas atividades propícias para a criação um
ambiente de investigação e criatividade. Vamos praticar!
Atividades
1. As pontes de Königsberg
Da forma que foi elaborada, esta atividade pode ser aplicada a alunos a
partir do quinto ano; entretanto, o assunto “grafos” é uma vertente da
combinatória com muito potencial exploratório, mas é pouco trabalhado
no contexto escolar.
Objetivo:
Apresentar grafos.
Estimular o raciocínio lógico e a criatividade.
Criar uma conjectura sobre as pontes de Königsberg.
a) É possível percorrer todos os vértices e arestas da figura a seguir
sem retirar o lápis do papel e passando apenas uma única vez por cada
uma das arestas?
b) É possível percorrer todos os vértices e arestas da figura adiante sem
retirar o lápis do papel e passando apenas uma única vez por cada
aresta?
c) Agora é a sua vez. Construa dois grafos e desafie um amigo a
percorrer todos os vértices e arestas do seu grafo sem retirar o lápis do
papel e passando apenas uma única vez por cada aresta.
d) Considere os mapas a seguir: é possível traçar um caminho que
passe por todas as pontes uma única vez?
e) Um dos primeiros matemáticos a pensar sobre grafos, o suíço
Leonhard Euler (1707-1783) ficou intrigado com um antigo problema
sobre a cidade de Königsberg, que fica perto do Mar Báltico. O Rio
Pregel a divide em 4 partes separadas conectadas por 7 pontes. É
possível caminhar pela cidade atravessando todas as pontes
exatamente uma vez, mas não mais de uma vez? Repare que você pode
começar e terminar em qualquer lugar – e não necessariamente no
mesmo lugar.
f) Supondo que as pontes sejam arestas e as partes terrestres, vértices,
transforme os mapas das letras (d) e (e) em grafos.
g) Por que conseguimos percorrer certos grafos sem retirar o lápis do
papel e outros, não? Justifique sua resposta.
Comentário
A atividade permite ao aluno elaborar os próprios grafos e desafiar seus
colegas, além de criar conjecturas, proporcionando, com isso, um
ambiente propício ao debate.
2. Tangram
O tangram é um quebra-cabeças milenar que permite milhares de
combinações. O professor pode trabalhar questões de área, perímetro,
proporcionalidade e semelhança de figuras planas, assim como a
criatividade pela criação de uma série de narrativas, como bem ilustra a
lenda do tangram chinês.
Apresentaremos agora algumas possibilidades de tangram:
Existem diversos tipos de tangram; contudo, o chinês é mais comum e
fácil de construir.
O site Mathigon permite a manipulação do tangram chinês.
Manipule as peças tentando formar as figuras sugeridas ou
qualquer outra que a sua imaginação lhe sugerir.
Com os materiais régua, compasso, tesoura e uma folha A4,
construa um quadrado de 16 por 16cm de lado e, a partir dele, as
peças do tangram chinês (o estudante que quiser poderá colorir as
peças).
Peça aos estudantes que se dividam em trios e que criem, com as
peças que acabaram de construir, uma narrativa curta sobre os
lugares onde convivem cujas figuras criadas pelo tangram
representem pessoas, objetos ou animais que aparecem em seu
cotidiano.
Cada grupo deve expor para a turma a sua narrativa.
Note que se trata de uma atividade unicamente exploratória e criativa
com o propósito de criar um ambiente de familiaridade com o objeto.
Uma vez estabelecida tal relação, em outro momento pode-se perguntar:
1. Quantos triângulos pequenos cabem em todo tangram?
2. Qual é a razão entre a área de um triângulo pequeno e a área total
do tangram?
3. Qual é a razão entre a área de cada uma das peças do tangram e a
área total dele?
4. Todas as figuras construídas com todas as peças do tangram
possuem a mesma área e o mesmo perímetro?
Comentário
A atividade em questão pode ser resolvida de muitas formas diferentes.
Você, professor, deve se conscientizar que os estudantes passam a ser
o centro das atenções e que seu papel é de mediar, atuando, como diz
Vygotsky, na zona de desenvolvimento proximal. Por isso, o ideal é que
o estudante se disponha a expor suas ideias a seus pares em um
ambiente seguro para erros e especulações. Dessa forma, criaremos um
ambiente controlado para que eles possam se arriscar e errar sem
medo, podendo, assim, exercitar realmente a criatividade.
Jogos criando um ambiente favorável
e seguro para a criatividade
Vamos jogar!!!
Uma vasta teoria embasa as metodologias de resolução de problemas e
modelagem matemática aplicada a jogos. Escolhemos apresentar uma
aplicação para exibir possibilidades de situações que fomentem a
criatividade de suas turmas.
Quem, afinal, não gosta de jogar? Independentemente de a matemática
por trás ser simples ou complicada, as oportunidades para interação
social e competições controladas ajudarão a quebrar a rotina.
O jogo bicolorido
Jogos são atividades que estão presentes no cerne da humanidade
desde seus primórdios, sendo uma excelente ferramenta para gerar
engajamento. O jogo em questão foi desenvolvido pela equipe de Jogos
& Matemática.
O jogo bicolorido é aplicado em diversas dinâmicas com estudantes e
professores de todos os níveis. Vejamos algumas soluções colhidas em
tais dinâmicas. Vamos lá!
Regras do jogo
Número de jogadores: 2.
a) Deve-se escolher o tabuleiro no qual se vai jogar com 4, 5 ou 6 lados:
Jogos & Matemática.
b) Cada jogador tem de escolher uma cor que vai representar:
Jogos & Matemática.
c) Os jogadores se revezam, escolhendo os segmentos de reta que
ligam os pontos dados no tabuleiro até ocorrer:
Jogos & Matemática.
1. Um jogador forma um triângulo com as arestas da cor que
ele escolheu com três dos vértices dados inicialmente. Nesse
caso, o jogador que conseguiu isso perde.
Jogos & Matemática.
2. A opção I não ocorre, e o número de arestas do jogo termina.
Nesse caso, há um empate.
O jogo em si é bem estimulante, mas, após ele ser bastante jogado, a
equipe de Jogos & Matemática passa a sugerir uma série de perguntas
referentes a ele. Desse modo, destacaremos uma parte dos exercícios
propostos por essa equipe:
Questionário para os estudantes pós-jogo
1. Quantas arestas podemos formar em cada um dos tabuleiros?
2. Quantos triângulos podemos formar em cada um dos tabuleiros?
3. E se nosso tabuleiro fosse um polígono regular com 10 vértices,
quais seriam as respostas dos itens a e b?
Uma sugestão é marcar os valores na tabela a seguir:
Nº de vértices dos
polígonos
3 4
Nº de arestas que
podemos formar
com os vértices
dados
3
Nº de triângulos
que podemos
formar com os
vértices dados
1
Relatos de solução
Em turmas do ensino fundamental e mesmo no caso dos professores
que lecionam em tais turmas, é comum resolver o item a, contando as
arestas uma a uma e descrevendo todas as 3 uplas ( ,,) dos possíveis
triângulos.
Note que essa estratégia resolve o problema apesar de ser muito
onerosa para responder ao item c. Contudo, ao observar a tabela, uma
aluna percebeu algo que caracterizamos como criativo. Vejamos se
você tambémpercebe.
Segue a tabela completada com os itens a e b:
Nº de vértices dos
polígonos
3 4
Nº de arestas que
podemos formar
com os vértices
dados
3 6
Nº de triângulos
que podemos
formar com os
vértices dados
1 4
A estudante percebeu que o número de arestas da posição n era igual
ao número delas da posição n - 1 somado ao número de vértices do
polígono, bem como o fato de que o número de triângulos na posição n
é igual ao de arestas da posição n - 1 somado ao número de triângulos
na posição n - 1. Com isso, ela completou a tabela até a posição 10.
Claro que a aluna não sabia o porquê, pois estava no quinto ano; além
disso, o que ela havia acabado de dizer era uma consequência da
relação de Stifel (a ser ensinada apenas no ensino médio). Mesmo
assim, a engenhosidade dela ao resolver o problema foi impressionante.
Outros estudantes usaram a fórmula do número de diagonais...
... Para resolver o item a, cuja resposta seria .
Ainda houve estudantes que empregaram as fórmulas de combinação e
arranjo...
...Mas não sabiam qual dos resultados era correto.
Nesse caso, fizemos duas perguntas a eles:
1. Como as arestas estão aparecendo, no caso do item a ele poderia
contar o número de arestas para validar a fórmula e usá-la para o
item b?
2. Mas o que significam essas fórmulas e como elas se relacionam
com o problema? Os triângulos ABC e CBA são os mesmos?
Dn = n ⋅
(n− 3)
2
Dn+ n
Ck,n =
n!
k!(n− 1)!
;An,k =
n!
(n− k)!
Apesar das considerações apresentadas, esse jogo possui um grande
mistério. Propomos, assim, um último questionamento: pedimos que os
estudantes o joguem novamente com o objetivo de empatar em cada
um dos tabuleiros.
Tal questão gera um incômodo, já que, nos tabuleiros de 4 e 5 pontos,
os estudantes conseguem empatar; contudo, por mais que joguem,
ninguém empata no tabuleiro de 6 pontos. A pergunta que fica é: por
quê?
A resposta depende de uma aplicação do princípio da casa dos
pombos. No entanto, é muito interessante ver a capacidade de
argumentação proposta por cada dupla.
Comentário
Ainda houve soluções diferentes das apresentadas e outras erradas.
Entretanto, o erro deve ser tratado com naturalidade pelo professor.
Sendo assim, o jogo bicolorido proporciona um ambiente de
aprendizagem criativo e seguro.
Processos de investigação em
educação matemática
Matemática para todos
Durante todo o texto, apresentamos uma gama de atividades de
natureza investigativa, promovendo novas posturas para os atores
envolvidos nas aulas de Matemática. Conduzimos de forma direta e
indireta o estudante para o desenvolvimento do seu pensamento
matemático, capacitando-o a trabalhar de forma autônoma e atribuindo
novos significados aos conhecimentos.
Observe que, em todas as atividades propostas, enfatizamos um
caminho a ser percorrido, deixando a responsabilidade de descobrir e
validar a descoberta ao explorador. Dessa maneira, os professores
assumem o papel de orientadores, provocando os estudantes a fim de
que eles procurem as próprias respostas.
Ao realizar as atividades apresentadas, o estudante percorrerá a
seguinte trajetória:
Exploração/formulação
de questões
Reconhece e explora situações
possivelmente problemáticas.
Conjecturas
Organiza os dados e faz
afirmações, criando uma
conjectura.
Testes e reformulação
Realiza testes que confirmem a
sua conjectura ou reformula a
afirmação.
Justificativa e avaliação
Justifica a conjectura e avalia o
raciocínio ou o resultado dele.
Para João Pedro da Ponte (2003, p. 2), o ato de investigar “não significa
necessariamente lidar com problemas na fronteira do conhecimento
nem com problemas de grande dificuldade. Significa apenas trabalhar a
partir de questões que nos interessam e aparecem inicialmente
confusas, mas que conseguimos clarificar e estudar de modo
organizado”.
Das competências e habilidades a serem observadas durante a
aplicação de uma atividade investigativa, destacaremos o
desenvolvimento de:
Pensamento matemático.
Capacidade de atribuir novos significados ao conhecimento.
Capacidades de pesquisar, selecionar e organizar.
Criatividade e espírito crítico.
Iniciativa responsabilidade e persistência.
Habilidade de comunicar e argumentar matematicamente.
Autoconfiança no próprio desenvolvimento matemático.
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), os primeiros passos para
realizar as aulas que tratem de uma investigação é prepará-las. Tendo
isso em vista, apresentaremos o roteiro que seguimos na aplicação das
atividades propostas durante todo este conteúdo.
Para isso, é preciso selecionar, adaptar ou construir a tarefa, definindo
claramente os objetivos a serem atingidos pelos estudantes. Leva-se
em consideração ainda:
O tipo de estrutura da aula.
O modo de trabalho.
Os materiais a serem utilizados.
A apresentação da atividade para turma.
Durante a realização, a orientação é que o professor incentive a reflexão
e promova a interação entre os estudantes para que eles consigam
descobrir novas relações entre conceitos matemáticos, estimulando a
criatividade e o raciocínio.
No final da atividade, deve ser feito um diálogo no qual o conhecimento
promovido pelos estudantes precisa ser partilhado com toda a turma
para que suas ideias sejam confrontadas por ela. O professor, nesse
caso, atua como moderador, explorando ao máximo essa dinâmica e
fazendo os estudantes refletirem ao longo da atividade.
Dica
A turma pode ser reticente em relação à dinâmica por não estar
acostumada com os processos investigativos; no entanto, a insistência
faz com que as dinâmicas, quando incorporadas às atividades
cotidianas, rendam muitos frutos já supracitados.
A palavra “conjecturar” significa ato ou efeito de inferir ou deduzir que
algo é provável com base em presunções e evidências incompletas. A
conjectura, portanto, é uma afirmação que se acredita ser verdadeira,
ainda que não haja ou não tenha sido apresentada uma justificativa
adequada.
Ainda sobre a educação matemática, assista ao vídeo sobre a
importância dos jogos!
Jogos matemáticos e o poder para a
aprendizagem
Veja a seguir um exemplo que demonstra o quanto os jogos contribuem
para o processo de aprendizagem.

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Voltando a atividade das pontes de Königsberg. Quando o
estudante responde à pergunta:
“Por que conseguimos percorrer certos grafos sem retirar o lápis do
papel e outros não?” Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) em
que parte da trajetória, no seu desenvolvimento da pesquisa, o
aluno está?
A Exploração
B Formulação de questões
C Conjecturas
Parabéns! A alternativa C está correta.
Ao responder à pergunta, o aluno está criando uma afirmação
provavelmente verdadeira, mas sem justificativa, que é uma
conjectura.
Questão 2
Voltando ao Jogo ponto a ponto. Digamos que um aluno tenha
apresentado as seguintes soluções 4!, 5! e 6! para a pergunta:
“Quantas arestas podemos formar em cada um dos tabuleiros?”
Qual deveria ser a postura do professor ao confrontar o aluno?
D Testes e reformulação
E Justificativa e avaliação
A
Dizer que ele estava errado e que as respostas eram
6,10 e 15.
B
Parabéns! A alternativa B está correta.
Como dissemos, o professor deve assumir o papel de mediador e
tentar entender o porquê o aluno resolveu o problema de
determinada forma, assim a resposta é: perguntar ao aluno o que
ele pensou e porque ele chegou a estas respostas.
Perguntar ao aluno o que ele pensou e porque ele
chegou a estas respostas.
C
Dizer ao aluno que ele usou a fórmula de arranjo,
mas a fórmula era a de combinação.
D Dizer para ele esperar a questão ser corrigida.
E
Perguntar se ele escreveu qualquer coisa para
entregar logo.
Considerações �nais
Nossa jornada chegou ao fim. Acreditamos que uma coisa deva estar
passando pela sua cabeça: “Como vou aplicar estratégias como essa
em todas as minhas aulas?”.
Calma! Não apresentamos a ditadura das metodologiasativas. Tente,
assim, inserir as práticas metodológicas, vistas neste conteúdo, à
medida que se sentir mais confiante. O mais importante é você, como
professor, se manter curioso, procurando problemas interessantes,
criando as próprias atividades e reconhecendo a comunidade que o
cerca. O seu trabalho, em suma, é conferir significado.
Em um clube de matemática, pode-se trabalhar com conteúdos mais
abstratos, como questões de olimpíadas de matemática sem uma
representação no mundo físico. Nem todos, porém, apreciam esse tipo
de problema. Ainda assim, como vimos, podemos oferecer, para tais
pessoas, problemas do mundo real ou um dia de recreação com quebra-
cabeças e jogos.
Nossa dica, por fim, é conhecer seus estudantes antes de criar uma
atividade do tipo problema, modelagem, jogo ou investigação. As suas
boas intenções serão reconhecidas – pode ter certeza!
Podcast
Para encerrar, ouça um bate-papo sobre o uso da matemática na busca
de soluções.
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Explore +
Confira agora o que separamos especialmente para você!
Acesse o YouTube para assistir a três vídeos sobre:
a) A história e as motivações da professora Lourdes la Rosa Onuchic
Onuchic é um dos bastiões da metodologia de resoluções de problemas
no Brasil.
MATEMÁTICA HUMANISTA. Educação matemática e resolução de
problemas. Publicado em: 30 jul. 2021.
b) Modelagem em três atos
Veja este debate entre Humberto Bortolossi e Marcelo Rainha.
JOGOS & MATEMÁTICA. Modelagem matemática em 3 atos de Dan
Meyer. Publicado em: 10 nov. 2020.
c) Uma educação matemática crítica na qual o indivíduo e a
matemática não podem estar separados da sociedade
O debate das professoras Raquel Milani e Jussara de Loiola Araújo
promove uma reflexão acerca dessa temática.
UNIVESP. Metodologias para a pesquisa em educação matemática –
modelagem matemática na educação matemática. Publicado em: 22
mar. 2021.
Recomendamos dois livros que possuem uma diversidade de
problemas e de estratégias interessantes para serem abordadas em um
clube de matemática ou em uma turma preparatória para as olimpíadas
de matemática:
L'HOSPITALIER, Y; SILVA, A. P. da. Enigmas e jogos lógicos: resolução e
construção. Lisboa: Instituto Piaget, 2001.
MIF, D.; GENKIN, S.; ITENBERG, I. Círculos matemáticos – uma
experiência russa. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, 2012.
Acesse a página do RPM para ler a Revista do professor de Matemática
104, publicada em 2021.
O site denominado Clube de matemática da OBMEP apresenta uma
série de atividades voltadas para as olimpíadas de matemática que
envolvem arte, jogos e desafios.
Este e-book apresenta uma série de alternativas para a aplicação do
conceito de função no contexto da modelagem matemática utilizando
as ferramentas digitais.
ANTUNES, G.; CAMBRAINHA, M. Modelos de exploração matemática na
plataforma Desmos: Ensinar e aprender em um ambiente virtual de
aprendizagem. IV Simpósio Nacional de Formação do Professor de
Matemática. ANPMat, 2020.
Referências
ARAÚJO, J. D. Uma abordagem sociocrítica da modelagem matemática:
a perspectiva da educação matemática crítica. Alexandria. jul. 2009. p.
55-68.
BARBOSA, J. C. Modelagem na educação matemática: contribuições
para o debate teórico. Reunião anual da Anped. 2001. p. 1-30.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Consultado na internet em: 7
mar. 2022.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular – 2ª versão. Brasília:
Ministério da Educação, (s.d.).
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC, 1998.
CARMO, J. M. Os efeitos da resolução criativa de problemas
matemáticos numa turma de 6.º ano. Lisboa: Faculdade de Psicologia e
de Ciência da Educação, 2009.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática,
2003.
GARDNER, M. My best mathematical and logic puzzles. Stanford
Inversiones SpA, 2017.
GONTIJO, C. H. Resolução e formulação de problemas: caminhos para o
desenvolvimento da criatividade em Matemática. Anais do Sipemat.
Universidade Federal de Pernambuco, 2006.
MENDES, I. A. Criatividade na história da criação matemática. Belém:
SBEM-PA, 2019.
ONUCHIC, L. D.; ALLEVATO, N. S. Pesquisa em resolução de problemas:
caminhos, avanços e novas perspectivas. Boletim de educação
matemática. 2011. p. 73-98.
PINHEIRO, S. C. A criatividade na resolução e formulação de problemas.
São Paulo: Instituto Politécnico de Viana do Castelo, 2013.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência,
1978.
PONTE, J. P. Investigação sobre investigações matemáticas em
Portugal. Itinerários - investigar em educação. v. 2. 2003. p. 93-169.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas
na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Bolema. v. 13. n. 14. 2000.
p. 1-24.
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