Prova 2 (Tipo A) de Cálculo 1 UnB 1.2021

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo I
2.a Prova 1.o/2021 02/10/2021
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Atenção: Cada item desta prova vale um ponto e deve ser resolvido com justificativas com-
pletas, de forma clara e organizada.
1) Acumula-se areia em um monte de formato cônico. Em qualquer instante t > 0, a altura
do monte é igual ao raio de sua base e denota-se essa medida por a(t). Sabe-se que o volume
de areia no monte cresce a uma taxa de 10 m3/h.
a) Determine a área da base, A(t), e o volume do
monte, V (t), em função de a(t).
R: A(t) = πa2(t) e V (t) = 1
3
πa3(t).
b) Determine uma equação que relaciona a taxa de
variação do volume do cone com a taxa de variação
da área da sua base.
R: V ′(t) = 1
2
A′(t)a(t).
a(t)
a(t)
c) Determine a taxa de variação da área da base quando a altura do monte é 4m.
R: A′(t) = 5m2/h.
2) Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado x cm, e altura y
cm, cujo volume deve ser igual a 2250 cm3. O custo do material da base e da tampa é de R$
2, 00 por cm2, e o custo das laterais é de R$ 3, 00 por cm2.
a) Mostre que, para x > 0, o custo total de fabricação
da caixa é dado por C(x) = 4x2 + 27000
x
.
R: Usando o volume, obtém-se y = 2250
x2
e com as
informações do enunciado obtém-se C(x) = 4x2 +
27000
x
.
b) Determine C ′(x) e o ponto cŕıtico de C(x).
R: O ponto cŕıtico é x = 15.
x x
y
c) Utilize o teste da derivada segunda para classificar o ponto cŕıtico acima.
R: C ′′(15) > 0 e o ponto é de mı́nimo local.
d) Usando os itens acima, determine as dimensões da caixa de menor custo.
R: Como x = 15 é o único ponto cŕıtico, o mı́nimo local é mı́nimo global e assim as
dimensões são x = 15cm e y = 10cm.
Cálculo I Prova 1 1.o/2021 – 1/2
3) Considere a função dada por f(x) = ex cos(x), para x ∈ [−π/2, π/2]. Note que as únicas
ráızes de f são os pontos x = −π/2 e x = π/2.
a) Determine o ponto cŕıtico e os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
Resposta: Ponto cŕıtico: x = π/4, f é crescente em [−π/2, π/4] e descrescente em
[π/4, π/2].
b) Determine o ponto de inflexão de f e a concavidade de seu gráfico.
Resposta: ponto de inflexão: x = 0, côncava para cima em [−π/2, 0] e para baixo em
[0, π/2].
c) Usando os itens acima, esboce o gráfico de f .
Resposta: esboço.
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