Prova 3 (Tipo C) de Cálculo 1 UnB 1.2021

Prévia do material em texto

Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo I
3.a Prova 1.o/2021 06/11/2021
Nome: Mat.: / Turma:
Atenção: Cada item desta prova vale um ponto e deve ser resolvido com justificativas com-
pletas, de forma clara e organizada.
1) Responda os itens com respeito à função f(x) = sen(x) cos(x) e à integral I =
∫
f(x)dx.
a) Utilize a substituição u = sen(x) para determinar I.
Resposta: 1
2
sen2(x) + C.
b) Utilize a fórmula de integração por partes, com u = cos(x) e dv = sen(x)dx, para
determinar I.
Resposta: −1
2
cos2(x) + C.
c) As respostas dos itens acima têm aspectos diferentes. Elas são, de fato, diferentes?
Explique.
Resposta: As respostas são iguais a menos de uma constante aditiva.
d) Usando um dos itens acima, calcule a área sob o gráfico de f para x ∈ [0, π/4].
Resposta: Área = 1/4.
2) Para calcular a integral J =
∫
ex
e2x − 2ex
dx siga os seguintes passos.
a) Determine constantes A e B, tais que
1
t(t− 2)
=
A
t
+
B
t− 2
.
Resposta: A = −1/2 e B = 1/2.
b) Reescreva J utilizando a substituição u = ex.
Resposta: J =
∫
1
u2 − 2u
du.
c) Usando os itens anteriores, detemine J .
Resposta: J = 1
2
ln
∣
∣
e
x
−2
ex
∣
∣ + C.
Cálculo I Prova 3 1.o/2021 – 1/2
3) Um circuito com resistência e capacitor, inicialmente descarregado, é ligado a uma bateria
de força eletromotriz constante. Para certos valores nominais dos componentes do circuito,
pode-se mostrar que a carga do capacitor 0 ≤ Q(t) < 10, em função do tempo t ≥ 0, satisfaz
a equação:
(∗)
Q′(t)
10−Q(t)
= 5.
a) Use uma substituição conveniente e integre
Q′(t)
10−Q(t)
com respeito ao tempo.
Resposta: − ln(10−Q(t)).
b) Integre a equação (∗) acima e determine Q(t) em função de uma constante arbitrária
de integração.
Resposta: Q(t) = 10−Ke−5t.
c) Sabendo que o capacitor está inicialmente descarregado, determine a constante arbi-
trária do item acima. Em seguida, calcule a carga do capacitor após um longo peŕıodo
de tempo.
Resposta: K = 10, Q(t) = 10(1− e−5t) e a carga final é 10.
Cálculo I Prova 3 1.o/2021 – 2/2