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Prova1_Vibrações_Acústica2019B

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Prova 1 de Vibrações e Acústica – 2019B 
P1. Para avaliar o ruído em um apartamento, se realizou a medida do nível de 
pressão sonora no ponto 1, localiza próximo ao prédio e as empresas industriais. 
Forem realizadas 2 medidas: a primeira com os 4 transformadores desligados e a 
segunda com os quatro ligados. Na figura se observa a posição do prédio, da 
subestação e outras fontes de som. As medidas das dimensões dos 
transformadores e as distancias entre as fontes sonoras são apresentados em 
metros, assim como as dimensões dos transformadores e o prédio industrial. 
Para todos os cálculos considere a velocidade do som c= 343 m/s e a densidade 
do ar 1,2 kg/m3. A irradiação de som para os transformadores e os prédios é 
semiesférico e sua fonte sonora está no centro geométrico do bloco. O avião tem 
campo acústico esférico e a ambulância semiesférica. Determine 
Frequência 
das oitavas 
Curva A Medida em dB 
Ponderação Desligado Ligado 
1 63 -39 48 55 
2 125 -26 50 65 
3 250 -16 54 67 
4 500 -9 51 57 
5 1000 -3 59 61 
6 2000 0 58 60 
7 4000 1 62 64 
8 8000 1 57 58 
 
A) O Nível Global de Pressão Sonora que irradiam apenas os transformadores na janela ponto de medida 2 (1 pto). 
B) O Nível Global de Pressão Sonora das empresas à janela do ponto de medida 2 (1 pto). 
C) O Nível Global de Pressão Sonora, aumenta 7 dB no ponto 2, quando se mede com todas as fontes de som 
ativadas, qual seria a potência sonora do avião. (1 pto). 
 
 
 
Solução 
Dados 
���������� = [ 48, 50, 54, 51, 59, 58, 62, 57]; ������� = [ 55, 65, 67, 57, 61, 60, 64, 58]; � = 343 �/�; � = 1,2 ��/�
�; 
Pergunta: a) ��2������ =?; b) ��2���������� =?; c) �2���ã� =?; 
 
1. Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora da faixa de oitavas de medidas das 7:30h, 15:00h e 20:00h: 
�������� = 10���10 �∑ 10
���
10�
�=1 � Coluna dB 
����������� = 10���10 �10
48
10 + 10
50
10 + 10
54
10 + 10
51
10 + 10
59
10 + 10
58
10 + 10
62
10 + 10
57
10�→ ����������� = 66,07 dB-p 
�������� = 10���10 �10
55
10 + 10
65
10 + 10
��
10 + 10
57
10 + 10
61
10 + 10
60
10 + 10
62
10 + 10
58
10�→ �������� = 71,58 dB-p 
Neste problema o grupo de fontes de som são 2: o campo das industrias e da subestação dos transformadores. 
����������� = ������� → ������� = 66,07 
 
2. Cálculo da potência sonora irradiado pelas indústrias: 
������� = 10����� �10
������
�� + 10
������
�� � → 
�������
��
= ����� �10
�������
�� + 10
������
�� � 
2 
Transformador 1 
Transformador 2 
2 10,0 0,2 16 
20 
32
Ponto de 
medida 2 
2 
4 
6 
2 
Transformador 3 
14 
6 
6 
14 
6 
6 
Transformador 4 
7 
7 
1000 
50 7,80 
3 
12,0 
12 
12 
12 
20 
10 
10 
0,3 60 9,7 
4 
12 
10 
7 
7 
2 
3 
5 
Ponto de 
medida 1 
5 
5 
�������
��
= ����� �10
�� ������
������
����
�
�
�� + 10
�� ������
�������
����
�
�
�� � → 
��������
�������
����
�
�
��
= ����� �10
������
������
����
�
�
+ 10
������
��������
����
�
�
� 
����� �
�������
����
�
�
= ����� ��
������
����
�
�
+ �
������
����
�
�
� →�
�������
����
�
�
= �
������
����
�
�
+ �
�������
����
�
�
 
�������
� = ������
� + ������
� 
 
2.1 Cálculo da pressão total ao quadrado do ruído irradiado pelas empresas industriais: 
������� = 10 ���10 �
�������
����
�
2
 → 
�������
��
= ����� �
�������
����
�
�
 → 10
�������
�� = 10
������
�������
����
�
�
→ �
�������
����
�
�
= 10
�������
�� 
�������
� = ����
� × 10
�������
�� → �
���
= 2 × 10�� �� → �������
� = (2 × 10��)� × 10
��,��
�� → �������
� = 0,004137 ��� 
 
2.2 Cálculo da pressão ao quadrado de cada galpão: 
�����ã�1 =
2������ã�1
2
�.�
× �
����ã�1
2 → �
����ã�1
2 = �����ã�1
��
2������ã�1
2 ; 
�����ã�2 =
2������ã�2
2
�.�
× �
����ã�2
2 → �
����ã�2
2 = �����ã�2
��
2������ã�2
2 ; 
 
2.3 Cálculo da potência sonora irradiada pelas indústrias: 
�������
� = ������
� + ������
� → �������
� = ������
��
��������
� + ������
��
��������
� 
�����ã�1 = �����ã�2 e �����ã�1
2 = �����ã�2
2 
�������
� = 2�����ã�
��
��������
� → �����ã� = �������
2 ������ã�1
2
��
 
 
2.4 Cálculo do raio desde o ponto de medida ao centro geométrico do galpão: 
Dimensões do raio do galpãor 1: 
��� = 5 + 0,3 + 9,7 + 30 → ��� = 45 � 
��� = 10 + 6 → ��� = 16 �; 
��� = 6 − 3 → ��� = 3 � 
���
� = ���
� + ���
� + ���
� → ���
� = (45)� + (16)� + (3)� 
���
� = 2290 �� → ���
� = 2290 �� 
 
2.5 Potências sonora irradiada pela indústria: 
������ = �������
� �������
�
��
 → �����ã�� = 0,004137 
�����
�,����
 
������ = 0,028326 � 
 
 
 
3. Cálculo do nível de potência sonora irradiada pelos transformadores: 
�������� = 10���10 �10
��������
10 − 10
�����������
10 � → �������� = 10���10 �10
71,58 
10 − 10
66,07
10 � → �������� = 70,14 dB-p 
4. Cálculo da potência de um transformador: 
�1 =
2��1
2
�.�
× �
�����1
2 → �
�����1
2 = �1
��
2��1
2; �2 =
2��2
2
�.�
× �
������
2 → �
�����2
2 = �2
��
2��2
2 
�3 =
2���
2
�.�
× �
�����3
2 → �
�����3
2 = �3
��
2���
2 ; �4 =
2��4
2
�.�
× �
������
2 → �
�����4
2 = ��
��
2���
2 
��������
� = �������
� + �������
� + �������
� + �������
� 
 
4.1 Cálculo da pressão total ao quadrado dos transformadores: 
�������� = 10 ����� �
��������
����
�
�
 → 
��������
��
= ����� �
��������
����
�
�
 → 10
��������
�� = 10
������
��������
����
�
�
→ �
��������
����
�
�
= 10
��������
�� 
��������
� = ����
� × 10
��������
�� → ��������
� = (2 × 10��)� × 10
��,��
�� → ��������
� = 0,004137 ��� 
��� 
��� 
� 
� 
� 
4.2 Cálculo da potência sonora de um transformador: 
Se as potências são iguais e os raios são: ��� = ��� e ��� = ���, 
��������
� = �������
� + �������
� + �������
� + �������
� → ��������
� = ������
��
�����
� + ������
��
�����
� + ������
��
�����
� + ������
��
�����
� 
��������
� = 2������
��
�����
� + 2������
��
�����
� → ��������
� = 2������
��
��
�
�
���
� +
�
���
� � → ������ = ��������
� �
���
�
���
� �
�
���
� �
 
4.3 Cálculo dos raios desde o ponto de medida ao centro geométrico dos transformadores: 
Raio ao quadrado do transformador 1: 
��� = 7 + 20 + 7,8 + 0,2 + 10 + 1 → ��� = 46 � 
��� = 7 + 3 → ��� = 10 �; ��� = 4 − 3 → ��� = 1 � 
���
� = ���
� + ���
� + ���
� → ���
� = (46)� + (10)� + (1)� 
���
� = 2217 �� → ���
� = 2217 �� 
 
Raio ao quadrado do transformador 4: 
��� = 7 + 20 + 7,8 + 0,2 + 10 + 2 + 16 + 1 → ��� = 64 � 
��� = 7 + 3 → ��� = 10 �; ��� = 4 − 3 → ��� = 1 � 
��
� = ��
� + ��
� + ��
� → ��
� = (64)� + (10)� + (1)� 
���
� = 4197 �� → ���
� = 4197 �� 
 
 
4.4 Cálculo da potência sonora de um transformador: 
������ = ��������
� �
���
�
���
� �
�
���
� �
 → ������ = 0,004137 
�
�,�����
�
����
�
�
����
�
 → ������ = 0,0458 � 
5. Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora no ponto de medida 2 com 4 transformador funcionando: 
��������� = 10����� �
���������
����
�
�
 → ���������
� = ��������
� + ��������
� + ��������
� + ��������
� 
���������
� = ������
��
����
�
��
+ ������
��
����
�
��
+ ������
��
����
�
��
+ ������
��
����
�
��
 → ��
�
��
= ��
�
��
 e ��
�
��
= ��
�
��
 
���������
� = 2������
��
����
�
��
+ 2������
��
����
�
��
 → ���������
� = ������
��
�
�
�
��
�
��
+
�
��
�
��
� 
 
5.1 Cálculo dos raios dos transformadores no ponto 2: 
Raio ao quadrado do transformador 1 no ponto 2: 
���� = 7,8 + 0,2 + 10 + 1 → ���� = 19 � 
���� = 7 + 3 → ���� = 10 �; 
���� = 32 − 2 → ���� = 30 � 
��
�
��
= ��
�
��
+ ��
�
��
+ ��
�
��
→ ��
�
��
= (19)� + (10)� + (30)� 
��
�
��
= 1302 �� → ��
�
��
= 1361 �� 
Raio ao quadrado do transformador 3 no ponto 2: 
���� = 7,8 + 0,2 + 10 + 2 + 16 + 1 → ���� = 37 � 
���� = 7 + 3 → ���� = 10 �; 
���� = 32 − 2 → ���� = 30 � 
��
�
��
= ��
�
��
+ ��
�
��
+ ��
���
→ ��
�
��
= (37)� + (10)� + (30)� 
��
�
��
= 2310 �� → ��
�
��
= 2369 �� 
 
��� 
��� 
� 
� 
� 
����
 
���� 
� 
� 
� 
���� 
 
5.2 Cálculo da pressão ao quadrado na janela apenas com os quatro transformadores ligados: 
���������
� = ������
��
�
�
�
��
�
��
+
�
��
�
��
� → ���������
� = 0,0458 ×
�,����
�
�
�
����
+
�
����
� → ���������
� = 0,006943 ��� 
 
5.3 Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora no ponto de medida 2 com 4 transformadores funcionando: 
��������� = 10����� �
���������
�
�����
� � → ��������� = 10����� �
��,������
������
� → ��������� = 72,39 �� − � Rta. A) 
 
6. Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora no ponto de medida 2 com 2 empresas industriais funcionando: 
��2���������� = 10���10 �
��2����ã�
����
�
2
 → �������ã�
� = �������
� + �������
� → �������ã�
� = �����ã�
��
����
�
��
+ �����ã�
��
����
�
��
 
��
�
��
= ��
�
��
 → �������ã�
� = �����ã�
��
���
�
��
 
 
6.1 Dimensões do raio ao quadrado do galpão 1 no ponto 2: 
���� = 20 + 12 + 0,3 + 9,7 + 30 → ���� = 72 �; ���� = 10 + 6 → ���� = 16 �; ���� = 32 − 6 → ���� = 26 � 
��
�
��
= ��
�
��
+ ��
�
��
+ ��
�
��
→ ��
�
��
= (72)� + (16)� + (26)� → ��
�
��
= 6116 �� → ��
�
��
= 6116 �� 
 
6.2 Cálculo da pressão ao quadrado na janela apenas com os quatro transformadores ligados: 
�������ã�
� = �����ã�
��
���
�
��
 → �������ã�
� = 0,028326 
�,����
�����
 → �������ã�
� = 0,000607 ��� 
 
6.3 Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora no ponto 2 das duas empresas industriais: 
��2���������� = 10���10 �
��2����ã�
����
�
2
 → ��2���������� = 10���10 �
0,000607
4×10−10
� → ��2���������� = 61,8 �� − � Rta. B) 
 
7. Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora do avião: 
�����ã� = 10���10 �10
������
10 − 10
��2
10 � 
 
7.1 Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora do som total irradiado na janela pelos transformadores e a industrias: 
��� = 10����� �10
�������������
�� + 10
���������
�� � → ��� = 10����� �10
��,�
�� + 10
��,��
�� � → ��� = 72,75 �� − � 
������ = ��2 + 7 → ������ = 72,75 + 7 → ������ = 79,75 �� − � 
 
7.2 Cálculo do Nível Global de Pressão Sonora do avião: 
�����ã� = 10���10 �10
������
10 − 10
��2
10 � → �����ã� = 10���10 �10
79,75 
10 − 10
72,75
10 � → �����ã� = 78,79 �� − � 
 
7.3 Cálculo da potência sonora do avião: 
����ã� = �����ã�
� ������ã�
�
�.�
 → ����ã� = 1000 � 
 
7.4 Cálculo da pressão ao quadrado do avião: 
�����ã� = 10 ����� �
�����ã�
����
�
�
 → 
�����ã�
��
= ����� �
�����ã�
����
�
�
 → 10
�����ã�
�� = 10
������
�����ã�
����
�
�
→ �
�����ã�
����
�
�
= 10
�����ã�
�� 
�����ã�
� = ����
� × 10
�����ã�
�� → �����ã�
� = (2 × 10��)� × 10
��,��
�� → �����ã�
� = 0,0302 ��� 
 
7.3 Cálculo da potência sonora do avião: 
����ã� = �����ã�
� ������ã�
�
�.�
 → ����ã� = 0,0302
��×1000
�,���
 → ����ã� = 924,67 � Rta. C) 
 
P2. Se o vidro da janela de um auditório se quebra devido ao som produzido por um autofalante que irradia música 
de opera clássica. Explique que variáveis do som estariam influenciando e por que ocorre este fenômeno ondulatório. 
Que medida deveria ser considerado para que não ocorra. (1 pto). 
 
O vidro quebra por que entrou em ressonância. A fonte emissora do autofalante, estaria irradiando ondas longitudinais, 
com frequências muito próximas à frequência natural do vidro da janela. A amplitude de vibração do vidro foi 
aumentando pela excitação da onda sonora até que superou sua capacidade de resistência de material que quebraram 
as janelas. 
Os vidros deveriam ter frequências naturais que estejam afastados das frequências de excitação que seriam emitidos 
pelos autofalantes. Para isso se deve estabelecer quais são as faixas de frequências de excitação, logo calcular para 
que dimensões de vidro se tem frequências naturais por fora dessa faixa de frequências. 
P3. Uma fonte sonora emite som uniformemente em todas as 
direções, com uma potência em watts de 40π. Qual a leitura 
do nível de intensidade sonora, em decibéis, efetuada por um 
detector posicionado a 10 metros de distância da fonte? 
Dado: Io = 10-12W/m2 (0,5 pto). 
A) 150 B) 140 C) 130 D) 120 E) 110 Rta. E) 
Solução 
1. Cálculo do nível de intensidade: 
�� = 10����� �
�
����
� 
 
2. Cálculo da intensidade de irradiação: 
� =
�
����
 → � =
���
��(��)�
 → � = 0,1 �/�� 
 
3. Cálculo do nível de intensidade: 
�� = 10����� �
�,�
�����
� →�� = 10�����(10
��) → �� = 110 �� − � 
P4. Analise as seguintes afirmativas: (0,5 pto). 
I. Um som de 60 dB tem duas vezes a intensidade de 
um som de 30 dB. 
Falso o som de 60 decibéis é 2 vezes a intensidade 
de 57. 
II. Os pulsos ondulatórios em uma corda são ondas 
transversais. 
Certo as ondas de uma corda são ondas 
transversais. 
III. As ondas sonoras no ar são ondas transversais de 
compressão e rarefação. 
Falso as ondas sonoras são ondas longitudinais. 
 
Está(ão) CORRETA(S), apenas 
A) I. B) II. Rta. B C) III. D) I e II. E) I e III. 
 
P5. Em relação às qualidades fisiológicas do som, analise as afirmativas abaixo. (0,5 pto). 
I - A altura de um som é a propriedade que permite distinguir sons agudos dos graves. 
Falso é a frequência quem distingue um som agudo ou grave. 
II - A intensidade de um som é a propriedade que permite distinguir se um som está muito alto ou, muito baixo. 
Certo distingue se um som é alto ou baixo usando a amplitude, 
III- O timbre é a propriedade do som que permite distinguir as fontes sonoras, que emitem sons de mesmas frequência 
e intensidade. Certo o timbre permite distinguir o som de diferentes instrumentos mesmo que emitam a mesma 
frequência e intensidade. 
Assinale a opção correta. 
A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
D) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
E) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras Rta. E) 
 
P6. Um carrinho tem uma mola instalada centro O da polia e seu coeficiente de rigidez é 
�� = 80000 �/�. A mola está fixa no ponto A e com movimento condicionado pela massa 
m. Após de montado na rampa o carrinho se desliza sem o efeito do atrito 0,01 m, e 
coloca-se na posição de equilibro (deslocamento estático). Se a mola se estica 0,02 
m desde a posição de equilíbrio e com a velocidade inicial de 2 m/s se produz um 
movimento harmónico na superfície da rampa. Para estas condições. Determine: 
A) A massa do carrinho. (0,5 pto) 
B) Sua frequência natural. (0,5 pto) 
C) Sua aceleração máxima. (0,5 pto) 
D) Sua posição depois de 1 seg. (0,5 pto) 
 
E) O valor que deveria ter a mola para que sua frequência natural seja a metade da condição inicial. (0,5 pto) 
 
 
Solução 
Dados 
�� = 80000 �/�; 
��������� = 0,01 �; 
�� = 0,02 �; �� = 2 �/�; 
� = 1 �; 
Pergunta: 
A) � =?; B) �� =?; 
C) ��á� =?; D) �(1) =?; 
 
1. Diagrama de corpo livre: 
 
2. Cálculo do deslocamento estático 
da mola: 
�������� =
���������
�
 → �������� =
�,��
�
 
�������� = 0,005 � 
 
3. Cálculo da massa: 
O estiramento inicial da mola até a 
posição de equilíbrio é estático. 
∑ �� = 0 
 2�. �. ���(20°) − ���������� = 0 
2�. �. ���(20°) = ���������� 
� =
����������
��.���(��°)
 → � =
������,���
�×�,��×���(��°)
 
� = 59,6 �� Rta. A) 
 
4. Cálculo do deslocamento 
dinâmico da mola: 
������ = � → ����� =
�
�
 
 
5. Cálculo da frequência natural: 
∑ �� = ��̈ 
−��
�
�
= ��̈ → ��̈ +
��
�
� = 0 
�� = �
��
�
�
 → �� = �
��
��
 → �� = �
����
���,�
 
�� = 25,9 ���/� Rta. B) 
 
6. Cálculo da aceleração máxima: 
�̈�á� = −��
�. �. ���(�� + �) 
Para a condição máxima: 
 ���(�� + �) = 1 → �̈�á� = −��
�. � 
 
6.1 Cálculo do deslocamento máximo: 
� = ���
� + �
��
��
�
�
→� = �(0,02)� + �
�
��,�
�
�
 
� = 0,079 � 
 
6.2 Cálculo da aceleração máxima: 
�̈�á� = −��
�. � → �̈�á� = (25,4)� × 0,079 
�̈�á� = 53,51 �/�
� Rta. C) 
 
7. Cálculo do deslocamento após de 1 s: 
�(�) = �����(���) +
��
��
 ���(���) 
� = 0,02���(25,4 × 1) +
�
��,�
 ���(25,4 × 1) 
�(� = 1) = 0,068 � Rta. D) 
 
A 
θ=20° 
�� 
m 
� 
B 
O C 
m 
A 
C 
B 
��������� 
������ ���� 
O 
θ=20° 
20° 
��. ���(20°) 
��. ���(20°) 
�� 
��. ���(20°) 
��. ���(20°) 
P7. Um prédio tem 30 andares e cada andar mede 2,5 m, nela está instalado um elevador que tem uma cabine 
de massa 300 kg, suportado por um cabo de aço de diâmetro d = 0,02 m e de módulo de elasticidade E = 200 
GPa. O elevador funciona com um motor e seu rolo para os cabos de diâmetro D=0,08m, que movimenta a cabina 
na velocidade constante de vt = 1,6 m/s a frequência de giro ou excitação do rolete que o cabo teria em movimento 
calcula-se assim: ω= vt /r e r=(D+d)/2. O rolete suporta o cabo no centro da plataforma, e está construído com 
um chapa com extremos biapoiados cujas dimensões da chapa da plataforma são: L = 2 m, b = 0,5 m e a = 0,05 
m, e o material é de aço de E=200 GPa. 
Se o número de pessoas no elevador forem 10 pessoas de peso médio 70 kg, e o elevador no último andar tem 
um cabo de comprimento 2,5 m e no térreo o equivalente a todos os andares. Para esses casos, determine: 
A) A faixa de frequência que ocorreria no elevador quando 
funciona vazio; (0,5 pto) 
B) A faixa de frequência que ocorreria no elevador quando 
funciona em sua máxima carga. (0,5 pto) 
C) A faixa de frequência que funciona o elevador para 
qualquer condição. (0,5 pto) 
D) Considerando a velocidade de rotação do tambor como a 
frequência de excitação. Ocorre ressonância com o elevador 
vazio?. Afirme com valores numéricos (0,5 pto) 
E) Considerando a velocidade de rotação do tambor como 
a frequência de excitação. Ocorre ressonância com o 
elevador cheio? Afirme com valores numéricos (0,5 pto) 
 
Solução 
Dados 
����� = 30 �����; ������ = 5 �; 
Elevador: ������ = 300 ��; 
Cabo: 
� = 0,02 �; ����� = 200 ���; 
Rolo: 
� = 0,08 �; e �� = 1,6 �/�; 
Plataforma suporte do rolo com 
cabo no centro e extremos bi 
apoiado; 
� = 2 �; � = 0,5 �; � = 0,05 �; 
������ = 200 ���; 
Pessoas no elevador 
� ����õ�� = 10; �����õ� = 70 ��; 
Elevador último andar: 
��í� = 2,5 �; 
 
Perguntas: 
a) ��_��������� =? E ��_��������� =? 
b) ��_��������� =? E ��_��������� =
?; 
c) ���í� =? E ���á� =?; 
d) ��_����� =? Tem ressonância ?; 
e) ��_����� =? Tem ressonância ?; 
 
1. Cálculo da frequência de 
excitação no cabo: 
�� = �. � → � = 
��
�
 → � = 
���
�
 
� =
�.��
(���)
 → � =
��,�
(�,����,��)
 
� = 32,0 ���/� 
������õ� = 10 × 70 
������õ� = 700 �� 
 
2. Cálculo das alturas do cabo: 
��í� = 2,5 � 
��á� = ���é���. ������ 
��á� = 30 × 2,5 
��á� = 75 � 
2. Do modelo real a modelo físico: 
Suporte bi-apoiado com 
carga no centro 
Cabo de aço em tração 
com cabina de carga 
 
 
 
 
 
Modelo 
simples 
 
�� =
��.������.������
������
� �� =
�����.�����
�����
 
������ =
�.��
��
 
������ =
�,�×(�,��)�
��
 
������ = 5,2 × 10
�� 
����� =
���
�
 
����� =
�(�,��)�
�
 
����� = 3,14 × 10
�� 
�� =
��.������.�
��
 �� =
�����.�����
�����
 
 
3. Diagrama de corpo livre DCL: 
Vazio m1 =300 kg Cheio m2=1000kg 
Hmín=2,5 m Hmáx=85 m Hmín=2,5 m Hmáx=85 m 
 
 
 
 
 
4. Coeficiente de rigidez equivalente 
4.1 Altura minima 4.2 Altura máxima 
��� =
�����.�����
����
 ��� =
�����.�����
��á�
 
���� =
��.���
������
 ���� =
��.���
������
 
5. Coeficiente de rigidez da chapa: 
�� =
����������
������
� →�� =
���������,�����
(�)�
 
�� = 6250000 �/�; 
 
6. Coef. rigidez cabo, altura mínima: 
��� =
����������
����
 →��� =
�������,������
�,�
 
��� = 25132741,23 �/� 
 
6. Coef. rigidez cabo, altura máxima: 
��� =
�����.�����
��á�
 → ��� =
�������,������
��
 
��� = 837758,04 �/� 
 
7. Coef. rigidez equiv. altura mínima: 
���� =
��.���
������
 → ���� =
�,�������������
�,�������������
 
���� = 5005287,19 �/� 
 
8. Coef. rigidez equiv. altura máxima: 
���� =
��.���
������
 → ���� =
�,�����������,�� 
�,������������,�� 
 
���� = 738737,81 �/� 
 
9. Frequência natural, elevador vazio: 
��� = �
����
��
 → ��� = �
�������,�� 
���
 
��� = 129,16 ���/� Rta a1) 
��� = �
����
��
 → ��� = �
������,��
���
 
��� = 49,62 ���/� Rta a2) 
 
10. Frequência natural, elevador cheio: 
��� = �
����
��
 → ��� = �
�������,�� 
����
 
��� = 70,74 ���/� Rta b1) 
��� = �
����
��
 → ��� = �
������,��
����
 
��� = 27,79 ���/� Rta b2) 
Frequências (rad/s) Resposta 
Mínima Máxima 
��� = 25,71 ��� = 129,16 Rta c) 
Vazio � = 32, Não tem ressonância 
��� = 49,62 ��� = 129,16 Rta d) 
Cheio � = 32, Sim tem ressonância 
��� = 27,17 ��� = 70,74 Rta e) 
 
 
d = 0,02 
Cabine 
H 
L 
a 
b 
Apoio 
D 
d 
vt 
Rolete e 
cabo 
Cabo 
F L/2 
L 
F 
F
d 
H 
k2 
mi k1 
m1 
k1 
k21 
m1 
k1 
k22 
m2 
k1 
k21 
m2 
k1 
k22 
Cabo Plataforma 
Formulas da equação da onda 
Velocidade do som a 20°C: v=343 m/s 
Densidade do ar a 20°C: ρ=1,2 kg/m3. 
 
Equação da onda: 
�(�, �) = ��. ���(�. � ± �. � + �) 
 
Velocidade longitudinal: � =
�
�
; � =
�
�
 
Número de onda em 1 m: � =
��
�
 
 
Equação da onda: 
�(�, �) = ��. ���(�. � ± �. � + �) 
 
Velocidade transversal: 
 � =
��(�,�)
��
= �. ��. ���(�. � ± �. � + �) 
 
Aceleração transversal: 
� =
��(�,�)
��
= −��. ��. ���(�. � ± �. � + �) 
Velocidade da onda na corda esticada: 
 � = �
�
�
 → � = �
����������� ������
����������� ��������
 
 
Intensidade Sonora 
� =
�
�
�. �. ����
� → � =
(∆�)�
�.�
 
 
Interferência no som: � = 2�
∆�
�
 
 
Equação da onda com deslocamento 
�(�, �) = ��. ���(�� − ��) 
 
Equação da onda com pressão: 
∆�(�, �) = ∆��. ���(�� − ��) 
∆�(�, �) = (�. �. �)�� 
 
 
Nível de intensidade sonora LI Nível de potência sonora LW Nível de Pressão Sonora Lp 
 
�� = 10���10
��
����
 (�� − �) �� = 10���10
��
����
 (�� − �) �� = 10���10 �
����
2
����
2 � 
Iref=10-12 Wm-2, Wref=10-12 W prel =2x10-5 Pa 
Intensidade sonora Potência sonora Potência e Intensidade 
� =
����
�
��
 � =
�
��
× ����
� 
��� =
�
�
 
ρ é a densidade do ar (kg/m3); 
 c é velocidade do som (m/s). 
ρc é a impedância acústica. 
A é área do campo acústico I é a intensidade 
W é a potência sonora 
A é a área acústica 
Nível Global de Pressão Sonora 
LTP dB-Total 
Subtração de níveis de pressão 
sonora 
Adição de pressões sonoras 
coerentes 
��� = 10����� �∑ 10
���
��
�
��� � 
 
��� = ������� ���
���
�� − ��
���
�� � 
��
�
���
= ��
�
���
+ ��
�
���
+
�[����]������(�� − ��) 
Pressão ao quadrado em função 
de Lp 
Pressão sonora ao quadrado em 
função da potência sonora 
 Adição de pressões sonoras no 
mesmo ponto 
��
� = ����
� × �10
���
�� � ��
� = �
�. �
��
 ��
�
�
= ��
� + ��
� + ⋯ + ��
� 
Nível Global de Pressão Sonora de fixas de oitavas; 
��� = 10����� �10
���
�� + 10
���
�� + 10
���
�� + 10
���
�� + 10
���
�� + 10
���
�� + 10
���
�� + 10
���
�� � 
 
Barra em tração Viga engastada Barra em torção Cabo em tração 
 
 
 
 
� =
��
�
 → � =
�.�.�
�
 � =
���
��
 I é momento de inercia � =
���
�
 Jp é momento polar de I. � =
��
�
 → � =
����
��
 
 
Viga fixa nos extremos com 
carga no centro 
Viga apoiada com carga no 
centro 
Viga fixa e apoiada nos 
extremos com carga no centro 
Viga apoiada com carga num 
ponto qualquer 
 
 
 
� =
�����
��
 � =
����
��
 � =
�����
��
 � =
����
����
 
 
Coeficiente de Rigidez Equivalente (keq) de Molas Coeficiente de Amortecimento Equivalente (ceq) 
Em Serie Em Paralelo Em Serie Em Paralelo 
 
 
 
 
�
���
=
�
��
+
�
��
+ ⋯ +
�
��
 
��� = �� + �� + ⋯ … + �� �
���
=
�
��
+
�
��
+ ⋯ +
�
��
 
��� = �� + �� + ⋯ … + �� 
 
L b 
h 
F 
L 
x d 
L F F 
d L 
F L/2 
L 
F 
L/2 
L 
F L/2 
LF 
a b 
L 
F k1 k2 kn 
k1 
k2 
kn 
F 
c2 c1 cn F
c1 
c2 
cn 
F
F F 
M M 
Sistema massa mola – Vibração Livre 
Frequência natural: �� = �
���
���
; Amplitude: � = ���
� +
�̇�
�
��
� ; Ângulo de fase: � = ��
�� �
�̇�
��.��
�; �(�) = �. ���(�� + �) 
Deslocamento: �(�) = �. ���(��� + �) → �(�) = ���
� +
�̇�
�
��
� . ��� ���� + ��
�� �
�̇�
��.��
�� 
�(�) = �����(���) +
�̇�
��
 ���(���); Solução homogénea �(�) = �. ���(��) + �. ���(��) 
Velocidade: �̇(�) = −��. �. ���(��� + �) ou �̇(�) = −�������(���) + �̇� ���(���); 
Aceleração: �̈(�) = −���. ���(��� + �) ou �̈(�) = −��
�����(���) − �̇��� ���(���) 
A amplitude do deslocamento é máxima se: �̇ = 0 ou �(�) = �. ���(��� + �) → ���(��� + �) = 1 �� − 1 → ��á�(�) = � 
A amplitude da velocidade é máxima se: �̈ = 0 ou �̇(�) = −��. �. ���(��� + �) → ���(��� + �) = 1 �� − 1 
A amplitude da aceleração é máxima se: �̇ = 0 ou �̈(�) = −���. ���(��� + �) → ���(��� + �) = 1 �� − 1 
 
Massa com a mola inclinada Viga articulada e com mola num ponto qualquer Mola helicoidal 
 
 
 
 ��� = �[���(�)]
� 
��� = � �
�
�
�
�
 � =
���
�����
 n é número de espiras 
 
Modelo 
keq 
Fmeq 
k 
ϴ 
m 
F 
Modelo 
ke
F L 
a 
k
F F
2R 
d 
keq 
meq

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