MatBas10 - Equacao 2 grau

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Matemática Básica X 1 
 
MÓDULO X 
 
 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
1. Definição 
 
Ao resolvermos alguns problemas de matemática, 
podemos obter equações nas quais a incógnita aparece 
elevada ao quadrado. Estas equações são chamadas de 
equações do 2º grau . Por exemplo: 
x2 – 2x = 0, 2x2 + 3 = 0, 5x2 – x + 15 = 0, etc. 
 
De forma geral, a equação do 2º grau é escrita na 
forma: 
ax2 + bx + c = 0, 
com a≠ 0, b ∈ ℝ e c ∈ ℝ, onde: 
� x é a incógnita ; 
� a é o coeficiente do termo x2; 
� b é o coeficiente do termo x; 
� c é o termo independente de x. 
 
Uma raiz , ou solução, de uma equação do 2º grau, 
é todo número real que, se substituído no lugar de x, torna 
a igualdade verdadeira. 
Por exemplo, se considerarmos a equação do 
segundo grau x2 – 6x + 9 = 0, e substituirmos x por 3, 
obtemos: 
(3)2 – 6.(3) + 9 = 0 
9 – 18 + 9 = 0 
18 – 18 = 0 
0 = 0 (afirmação verdadeira ) 
 
Logo, afirmamos que x = 3 é uma raiz da equação 
dada. 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.01) Identifique os coeficientes a, b e c nas equações 
de 2º grau abaixo: 
a) 3x2 + 5x + 8 = 0 
 
b) 5x2 – 8x + 12 = 0 
 
c) 2x + 5x2 – 10 = 0 
 
d) – 8 + x2 – 15x = 0 
 
e) 12x2 – 5x = 0 
 
f) x2 + 10 = 0 
 
g) 20 – 100x2 = 0 
 
h) – 4x + x2 = 0 
 
 
 
EP.02) Dada a equação tx2 – 3x – 2 = 0, encontre o valor 
de t para que uma das raízes da equação seja igual ao 
número –2. 
 
 
2. Resolução para os tipos de equações do 2º grau 
 
2.1. ax2 + bx + c = 0, com a≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 
 
Nesse caso, utilizando fatoração, teremos: 
ax2 + bx = 0 � x.(ax + b) = 0 � x = 0 ou ax + b =0 
� x = 0 ou x = 
a
b− . 
Logo, o conjunto solução será 





 −=
a
b
 0;S . 
 
Por exemplo, resolvendo a equação 3x2 – x = 0, 
teremos: 
3x2 – x = 0 � x.( 3x – 1) = 0 � x = 0 ou 3x – 1 = 0 
� x = 0 ou x = 
3
1
. 
Logo, o conjunto solução será 





=
3
1
 0;S . 
 
 
 
Exercício Proposto 
 
EP.03) Resolva, em ℝ, as equações abaixo: 
a) 2x2 – 4x = 0 
 
 
 
 
 
b) (4 – x)2 = (3x +8).(x + 2) 
 
 
 
 
 
 
2.2. ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 
 
Nesse caso, teremos: 
ax2 + c = 0 � ax2 = – c � x2 = 
a
c−
 
� x = 
a
c−± 
 
Logo, o conjunto solução será 








−+−−=
a
c
 ;
a
c
S . 
Por exemplo, resolvendo a equação x2 – 9 = 0, 
teremos: 
x2 – 9 = 0 � x2 = 9 � x = 9± � x = 3± 
� x = – 3 ou x = 3. 
 
Logo, o conjunto solução será { }3 3;S −= . 
 
 
 
 
Matemática Básica X 2 
Exercício Proposto 
 
EP.04) Resolva, em ℝ, as equações abaixo: 
a) 3x2 – 243 = 0 
 
 
 
b) 2x2 = 10 
 
 
 
c) 16x2 – 5 = 4 
 
 
 
d) – 5x2 – 20 = 0 
 
 
 
 
2.3. ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0 
(equação do segundo grau completa) 
 
Nesse caso, a equação ax2 + bx + c = 0 terá como 
solução os valores de x tais que: 
2a
∆b
x
±−= 
onde 
∆ = b2 – 4ac 
sendo ∆ chamado de discriminante da equação. 
Por exemplo, resolvendo a equação x2 – 5x + 6 = 0, 
teremos: 
a) Primeiramente, devemos calcular o discriminante ∆. 
Sendo a = 1, b = – 5 e c = 6, temos: 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = (-5)2 – 4.(1).(6) 
∆ = 25 – 24 
∆ = 1 
b) Encontrando as raízes: 
2.1
15)(
x1
−−−= � 
2
15
x1
−= � 
2
4
x1 = � 2x1 = 
2.1
15)(
x2
+−−= � 
2
15
x2
+= � 
2
6
x2 = � 3x2 = 
Logo, o conjunto solução será { }3 2;S = . 
 
Exercício Proposto 
 
EP.05) Resolva, em ℝ, as equações abaixo: 
 
a) 4x2 – 12x + 9 = 0 
 
 
b) – x2 + 5x – 6 = 0 
 
 
c) x2 – 6x + 7 = 0 
 
 
d) 
( ) ( )
2
2xx.
x
4
1x3. −=−− 
 
3. Interpretação do discriminante ∆ de uma equação 
do segundo Grau 
 
Analisando a resolução das equações do exercício 
proposto 05, teremos três interpretações possíveis para o 
discriminante ∆: 
 
1) ∆ > 0 � a equação ax2 + bx + c = 0 terá duas soluções 
(raízes) reais e distintas:







 +−−−=
2a
∆b
;
2a
∆b
S . 
 
2) ∆ = 0 � a equação ax2 + bx + c = 0 terá duas soluções 
(raízes) reais e iguais: 





−=
2a
b
S . 
 
3) ∆ < 0 � a equação ax2 + bx + c = 0 não admitirá 
soluções reais: S = ∅∅∅∅. 
 
 
 
Exercício Proposto 
 
EP.06) Quais são os valores da constante m para que a 
equação 3x2 – mx + 3 = 0 tenha duas raízes reais e 
iguais? 
 
 
 
 
 
4. Propriedades das raízes 
 
Sendo x1 e x2 as raízes reais da equação 
ax2 + bx + c = 0, 
com a ≠ 0, b e c números reais, podemos ter: 
 
Soma das raízes 
S = x1 + x2 = 
a
b− 
e 
Produto das raízes 
P = x1 . x2 = 
a
c
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
ER.01) Determinar a soma e o produto das raízes da 
equação 6x2 – 13x + 6 = 0. 
Resolução: 
Sendo 6x2 – 13x + 6 = 0, temos: 
S = x1 + x2 = 
a
b− = 
6
13)(−− = 
6
13
 
P = x1 . x2 = 
6
6
 = 1 
 
ER.02) Utilizando a soma e o produto das raízes, 
determine m na equação 2x2 – 24x + 2m – 1 = 0, de modo 
que uma raiz seja o dobro da outra. 
Matemática Básica X 3 
Resolução: 
 
Sejam x1 e x2 as raízes e x2 = 2x1, temos: 
x1 + x2 = 
a
b− � x1 + x2 =
2
24)(−− � x1 + 2x1 = 12 � 
� 3x1 = 12 � x1 = 4 � x2 = 2.4 � x2 = 8. 
 
Assim: 
x1 . x2 = 
a
c
 � 4 . 8 = 
2
12m −
 � 64 = 2m – 1 � m = 
2
65
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.07) Escrever a soma e o produto das raízes das 
equações abaixo: 
 
a) x2 – 5x + 6 = 0 
 
b) 2x2 + 5x – 3 = 0 
 
 
EP.08) Determine o valor de m na equação 
0
2
1m
2x8x 2 =




 −−+ , de modo que o produto de suas 
raízes seja igual a 
8
15− . 
 
 
 
EP.09) Utilizando a soma e o produto das raízes, 
determine m na equação 2x2 – 24x + 2m – 1 = 0, de modo 
que a soma dos quadrado das raízes seja 121. 
 
 
 
 
5. Aplicações de equações do 2º grau na resolução d e 
problemas 
 
Ao equacionarmos um problema, utilizamos as 
propriedades das equações de 2º grau vistas 
anteriormente para poder encontrar a solução. 
Nos exercícios propostos a seguir, veremos 
algumas situações onde aplicar essas propriedades. 
 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.10) Quais as dimensões de um retângulo que tem 
30cm de perímetro e 50cm2 de área? 
 
 
EP.11) Sabendo que a soma de dois números é 37 e seu 
produto é 300, descubra quais são esses números. 
 
 
EP.12) Uma partícula movimenta-se sobre uma reta e a lei 
horária do movimento é dada por s = – 4 + 5t + 6t2, com s 
em metros e t em segundos. Qual é o instante em que a 
partícula passa pela origem das posições? 
 
EP.13) Um móvel se desloca sobre uma reta, obedecendo 
à função horária s = – 7 – 2t + t2, com s em metros e t em 
segundos (no SI). Determine o instante em que o móvel 
passa pela posição (s) igual a 8m. 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares 
 
EC.01) Identificar os coeficientes a, b e c nas seguintes 
equações do 2º grau: 
a) 02xx2 =+− 
b) 0
3
x
3x 2 =− 
c) 0
4
3
3
2x
x2 =++− 
d) 03x2 = 
e) 02x75x 2 =+− 
 
 
 
EC.02) Resolva as seguintes equações do 2º grau: 
a) x2 – 16 = 0 
b) x2 – 6x = 0 
c) (x – 2)2 = 4 – x.( x +3) 
d) x2 – x – 12 = 0 
e) 7x2 – 2x – 1 = 0 
f) (x + 2)2 + x = 0 
 
 
 
EC.03) Determinar o valor do número real p de tal modo 
que a equação x2 – px + 12 = 0 tenha uma das raízes igual 
a – 2. 
 
 
 
EC.04) Determinar o valor do número real k de tal modo 
que a equação x2 – kx + 50 = 0 tenha uma das raízes igual 
ao dobro da outra, sendo as duas raízes positivas. 
 
 
 
EC.05) Determinar o valor do número real k de tal modo 
que a equação x2 – 8x + k = 0 tenha raízes cuja diferença 
seja igual a 4. 
 
 
 
EC.06) Determinar o valor do número real k para que a 
equação x2 – 12x + k = 0 admita duas raízes reais e 
iguais. 
 
 
 
EC.07) Determinar o valor do número real t para que a 
equação x2 – 12x + t = 0 admita duas raízes reais e 
diferentes entre si. 
 
 
 
Matemática Básica X 4 
EC.08) Qual as medidas dos lados do terreno abaixo, cuja 
área é de 60m2? 
 x – 3 
 
 
 x – 7 
 
 
 
 
 
 
 
EC.09) Um terreno retangular mede, de frente, 13m a 
menos que a lateral e sua área é 300m2. Quais são as 
medidas desse terreno? 
 
 
 
 
 
 
EC.10) O quadrado menos o dobro da idade de Juca é 
igual a 15. Qual é a idade de Juca? 
 
 
 
 
 
 
EC.11) Determinaro número cuja soma do seu quadrado 
com o seu dobro é igual a 8 vezes esse mesmo número. 
 
 
 
 
 
 
EC.12) O quadrado da idade de Laura é 144. Calcule sua 
idade. 
 
 
 
 
 
 
EC.13) Se do quadrado da quantia que Paula possui, 
subtrairmos 12 reais, obteremos 109 reais. Quantos reais 
Paula possui? 
 
 
 
 
 
 
EC.14) Um móvel movimenta-se sobre uma trajetória 
retilínea segundo a função horária s = 6 + 4t – 2t2 ( no SI). 
Qual é o instante em que o móvel passa pela origem das 
posições? 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
Exercícios Propostos 
 
EP.01) a) a = 3, b = 5 e c = 8 
 b) a = 5, b = – 8 e c = 12 
c) a = 5, b = 2 e c = – 10 
d) a = 1, b = – 15 e c = – 8 
e) a = 12, b = – 5 e c = 0 
f) a = 1, b = 0 e c = 10 
g) a = – 100, b = 0 e c = 20 
h) a = 1, b = – 4 e c = 0 
EP.02) t = – 1 
EP.03) a) { }2 0;S = ; b) { }0 11;S −= 
EP.04) a) { }9 9;S −= ; b) { }5 ;5S −= ; 
c) 





−=
4
3
 ;
4
3
S ; d) ∅=S 
EP.05) a) 





=
2
3
S ; b) { }3 2;S = ; 
c) { }23 ;23S +−= ; d) ∅=S 
EP.06) m = – 6 ou m = 6 
EP.07) a) S = 5 e P = 6; b) 
2
5
S −= e 
2
3
P −= 
EP.08) m = 31 
EP.09) m = 12 
EP.10) comprimento = 10cm e largura = 5cm 
EP.11) 25 e 12 
EP.12) s
2
1
t = 
EP.13) t = 5s 
 
Exercícios Complementares 
 
EC.01) a) a = 1, b = – 1 e c = 2 
 b) a = 3, b = – 
3
1
 e c = 0. 
c) a = – 1, b = 
3
2
 e c = 
4
3
 
d) a = 3, b = 0 e c = 0 
e) a = 2, b = 5 e c = – 7 
EC.02) a) { }4 4;S −= ; b) { }6 0;S = ; 
c) 





=
2
1
 0;S ; d) { }4 3;S −= ; 
e) 







 +−=
7
221
 ;
7
221
S ; f) { }1 4;S −−= 
EC.03) p = – 8 
EC.04) k = 15 
EC.05) k = 12 
EC.06) k = 36 
EC.07) t < 36 
EC.08) comprimento = 10m e largura = 6m 
EC.09) frente = 12m e lateral = 25m 
EC.10) 5 anos 
EC.11) 0 ou 6 
EC.12) 12 anos 
EC.13) 11 reais 
EC.14) 3s