Questão resolvida Determine se o campo vetorial representado por F(x,y,z)yzi2xyzj3xyzk é conservativo - Campo vetorial - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine se o campo vetorial representado por F x, y, z = y²z³i+ 2xyz³j+ 3xy²z²k( )
é conservativo.
 
Resolução:
 
Para o campo ser conservativo, o rotacional deve ser zero, o rotacional de um campo de 
força é dado por;F x, y, z = Pi+Qj+Rk( )
Com isso, rotacional de é dado por;F x, y, z = xi+ 2xj+ zk( )
Resolvendo o determinante, fica;
Temo que:
 
- y²z³ = - 2yz³
𝜕
𝜕y
( )
 
 
Rot F =
i j k
𝜕
𝜕x
𝜕
𝜕y
𝜕
𝜕z
P Q R
Rot F =
i j k
𝜕
𝜕x
𝜕
𝜕y
𝜕
𝜕z
y²z³ 2xyz³ 3xy²z²
i j k
𝜕
𝜕x
𝜕
𝜕y
𝜕
𝜕z
y²z³ 2xyz³ 3xy²z²
i j 
𝜕
𝜕x
𝜕
𝜕y
 
y²z³ 2xyz³ 
- y²z³ k - 2xyz³ i - 3xy²z² j + 3xy²z² i + y²z³ j + 2xyz³ k
𝜕
𝜕y
( )
𝜕
𝜕z
( )
𝜕
𝜕x
( )
𝜕
𝜕y
( )
𝜕
𝜕z
( )
𝜕
𝜕x
( )
- 2xyz³ = 3 ⋅ 2xyz = - 6xyz
𝜕
𝜕z
( ) 2 2
- 3xy²z² = - 3y²z²
𝜕
𝜕x
( )
3xy²z² = 2 ⋅ 3xyz² = 6xyz²
𝜕
𝜕y
( )
 y²z³ = 3y z
𝜕
𝜕z
( ) 2 2
2xyz³ = 2yz³
𝜕
𝜕x
( )
Com isso, o determinante fica:
 
-2yz³ - 6xyz - 3y²z² + 6xyz² + 3y z + 2yz³ = - 2yz³ + 2yz³ - 6xyz + 6xyz - 3y²z² + 3y²z² = 02 2 2 2 2
 
Com esse resultado o rotacional de é tal que;Rot F
Como o campo é conservativo! Rot F0
 
 
Rot F = = 0
i j k
𝜕
𝜕x
𝜕
𝜕y
𝜕
𝜕z
x 2x z