01 - introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos lineares e invariantes no tempo

Prévia do material em texto

Universidade Federal do ABC – UFABC
ESTA020-17: MODELAGEM E CONTROLE
AULA 1
INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMAS DINÂMICOS
LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO
PROF. DR. ALFREDO DEL SOLE LORDELO
TELA CHEIA PRÓXIMA
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Análise de estabilidade segundo Lyapunov
Considere o sistema dinâmico descrito pela equação
ẋ(t) = f (t,x) (1)
cuja condição inicial x(0) = x0 é conhecida. Os pontos de equilı́brio xe são determinados de maneira
que f (t,xe) = 0, ∀t ≥ 0.
Considere também S(δ) e S(ξ) regiões do espaço de estado de modo que, para todo t > 0,
||x(t)− xe|| ≤ δ e ||x(t)− xe|| ≤ ξ
Um ponto de equilı́brio xe do sistema (1) é:
• Estável no sentido de Lyapunov, se para cada S(ξ) houver um S(δ), de maneira que para toda
condição inicial x0 em S(δ), a trajetória de estado não deixe S(ξ) à medida em que t aumenta.
• Assintoticamente estável, se for estável no sentido de Lyapunov e se para toda condição inicial x0
em S(δ), a trajetória de estado convirja para xe, sem deixar S(ξ), à medida em que t aumenta.
• Instável, se para algum S(ξ) e S(δ), não importando o quanto pequeno sejam, há sempre uma
condição inicial x0 em S(δ), tal que a trajetória de estado iniciada neste ponto deixe a região S(ξ).
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
2/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Análise de estabilidade segundo Lyapunov
A Figura 1 ilustra as situações de estabilidade para diferentes pontos de equilı́brio.
Figura 1: Estabilidade dos pontos de equiĺıbrio.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
3/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas
Os sistemas dinâmicos são descritos através de equações diferenciais e a estabilidade é a sua
propriedade mais importante.
Considere a equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea, dada por
dx(t)
dt
= αx(t) (2)
para uma condição inicial x(0) = x0 conhecida, na qual α é uma constante real.
A solução da equação (2) é dada por
dx(t)
dt
= αx(t) ⇒
1
x(t)
dx(t) = αdt ⇒
∫ x(t)
x0
1
x(t)
dx(t) = α
∫ t
0
dt ⇒ ln(x(t))
∣
∣
∣
x(t)
x0
= αt
∣
∣
∣
t
0
⇒
⇒ ln(x(t))− ln(x0) = αt ⇒ ln(x(t)) = ln(x0) + αt ⇒ e
ln(x(t)) = e(ln(x0)+αt) ⇒ x(t) = eln(x0)eαt ⇒
⇒ x(t) = x0e
αt (3)
Um ponto de equilı́brio xe é alcançado quando dx(t)/dt = 0.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
4/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas
Sistema estável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
x
(t
)
t
Figura 2: Sistema estável para α = 0 e x0 = 5.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
5/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas
Sistema assintoticamente estável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x
(t
)
t
Figura 3: Sistema assintoticamente estável para α = −1 e x0 = 5.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
6/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de primeira ordem homogêneas
Sistema instável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
x
(t
)
t
Figura 4: Sistema instável para α = 1 e x0 = 5.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
7/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
Considere a equação diferencial linear de segunda ordem e homogênea, dada por
dx2(t)
dt2
+ a
dx(t)
dt
+ bx(t) = 0 (4)
para condições iniciais x(0) = x0 e dx(0)/dt = dx0/dt conhecidas, na qual a e b são constantes reais.
A solução é do mesmo tipo da equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, ou seja,
x(t) = eαt. Substituindo-se esta solução e as derivadas primeira dx(t)/dt = αeαt e segunda dx2(t)/dt2 =
α2eαt na equação (4), obtém-se
α2eαt + aαeαt + beαt = 0 ⇒ eαt(α2 + aα + b) = 0 (5)
Como eαt nunca se anula, uma condição suficiente para que (5) seja solução de (4) é que
α2 + aα + b = 0 (6)
A equação (6) é conhecida como equação caracterı́stica da equação diferencial linear de segunda
ordem homogênea e possui duas raı́zes α1 e α2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
8/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
Se as funções f1(t) = e
α1t e f2(t) = e
α2t satisfazem a equação (4), exceto pelas condições iniciais,
então o mesmo ocorre para a combinação linear f(t) = k1f1(t) + k2f2(t).
O termo combinação linear se refere à aplicabilidade do Princı́pio da Superposição, ou seja, se
um sinal de entrada u1(t) produz uma saı́da y1(t) e se um sinal de entrada u2(t) produz uma saı́da y2(t),
então, para um sistema linear e invariante no tempo (SLIT), o sinal de entrada α1u1(t)+α2u2(t) produzirá
uma saı́da α1y1(t) + α2y2(t), para quaisquer sinais u1(t) e u2(t) e α1 e α2 reais.
A solução para a equação diferencial linear de segunda ordem e homogênea (4) depende da natu-
reza das raı́zes da equação caracterı́stica (6) e é dada por
x(t) = k1e
α1t + k2e
α2t (7)
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
9/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
• Raı́zes reais e distintas:
Se α1 e α2 forem valores reais e distintos, então
dx(t)
dt
= k1α1e
α1t + k2α2e
α2t
Logo
x(0) = k1 + k2 = x0 e
dx(0)
dt
= k1α1 + k2α2 =
dx0
dt
Assim, k2 = x0 − k1 e, portanto,
dx0
dt
= k1α1 + (x0 − k1)α2 = k1α1 + x0α2 − k1α2 = k1(α1 − α2) + x0α2
Assim,
k1 =
dx0/dt− x0α2
α1 − α2
=
−dx0/dt + x0α2
α2 − α1
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
10/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
De forma semelhante, k1 = x0 − k2 e, portanto,
dx0
dt
= (x0 − k2)α1 + k2α2 = x0α1 − k2α1 + k2α2 = k2(α2 − α1) + x0α1
Assim,
k2 =
dx0/dt− x0α1
α2 − α1
Logo, conclui-se que se α2 − α1 6= 0, ou seja, α1 6= α2 (raı́zes reais e distintas), a solução dada pela
equação (7) é geral, pois pode ser calculada para quaisquer valores iniciais x0 e dx0/dt e esta solução
é única.
Por exemplo, da equação (6) para a = 5 e b = 6, temos que α1 = −2 e α2 = −3. Para as condições
iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que
k1 =
−dx0/dt + x0α2
α2 − α1
=
−2 + 5(−3)
(−3)− (−2)
= 17 e k2 =
dx0/dt− x0α1
α2 − α1
=
2− 5(−2)
(−3)− (−2)
= −12
de maneira que, pela equação (7), obtemos
x(t) = k1e
α1t + k2e
α2t = 17e−2t − 12e−3t
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
11/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equaçõesdiferenciais lineares de segunda ordem homogênenas
Sistema instável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x 10
7
x
(t
)
t
Figura 5: Sistema instável: α1 = 2, α2 = 3, x0 = 5 e dx0/dt = 2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
12/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogênenas
Sistema assintoticamente estável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
1
2
3
4
5
6
x
(t
)
t
Figura 6: Sistema assintoticamente estável: α1 = −2, α2 = −3, x0 = 5 e dx0/dt = 2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
13/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
• Raı́zes reais e duplas:
Neste caso, α1 = α2 = α e, portanto, x(t) = (k1 + k2)e
αt = k3e
αt.
Esta solução não é geral, pois existe apenas uma incógnita e não é possı́vel resolver o sistema
x(0) = k3 = x0 e dx(0)/dt = k3α = dx0/dt, para quaisquer valores de x0 e dx0/dt.
Entretanto, a função x(t) = teαt satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea,
pois
dx(t)
dt
= tαeαt + eαt
e
dx2(t)
dt2
= tα2eαt + αeαt + αeαt = tα2eαt + 2αeαt = αeαt(tα + 2)
e, portanto,
dx2(t)
dt2
+ a
dx(t)
dt
+ bx(t) = αeαt(tα + 2) + a(tαeαt + eαt) + bteαt =
= tα2eαt + 2αeαt + atαeαt + aeαt + bteαt = teαt
eq. caract.
︷ ︸︸ ︷
(α2 + aα + b)
︸ ︷︷ ︸
f(α)=0
+eαt (2α + a)
︸ ︷︷ ︸
df(α)/dα=0
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
14/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
A expressão α2 + aα + b é nula, pois α é solução da equação caracterı́stica. A expressão 2α + a
também é nula, pois se f(α) = α2 + aα + b = 0 então df(α)/dα = 2α + a = 0. Consequentemente,
a função x(t) = teαt satisfaz a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, ocorrendo o
mesmo para a combinação linear
x(t) = k1e
αt + k2te
αt (8)
que é geral para o caso em que α1 = α2 = α, já que é possı́vel calcular k1 e k2 para quaisquer condições
iniciais x0 e dx0/dt, de maneira que x(0) = k1 = x0 e como
dx(t)
dt
= k1αe
αt + k2tαe
αt + k2e
αt = eαt(k1α + k2tα + k2)
temos que
dx(0)
dt
= k1α + k2 = x0α + k2 =
dx0
dt
⇒ k2 =
dx0
dt
− x0α
Por exemplo, da equação (6) para a = 10 e b = 25, temos que α = −5. Para as condições iniciais
x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que
k1 = x0 = 5 e k2 =
dx0
dt
− x0α = 2− 5(−5) = 27
de maneira que, pela equação (8), obtemos
x(t) = k1e
αt + k2te
αt = 5e−5t + 27te−5t
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
15/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogênenas
Sistema instável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x 10
12
x
(t
)
t
Figura 7: Sistema instável: α = 5, x0 = 5 e dx(0)/dt = 2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
16/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogênenas
Sistema assintoticamente estável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
(t
)
t
Figura 8: Sistema assintoticamente estável: α = −5, x0 = 5 e dx(0)/dt = 2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
17/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
• Raı́zes complexas conjugadas:
Quando α é uma raiz complexa da equação caracterı́stica, o seu conjugado ᾱ também será uma
raiz. Assim, α1 = σ + jω e α2 = σ − jω, para ω 6= 0. Desta forma, da equação (7), a solução será dada
por
x(t) = k1e
α1t + k2e
α2t = k1e
(σ+jω)t + k2e
(σ−jω)t = k1e
σtejωt + k2e
σte−jωt
Usando a fórmula de Euler, na qual ejωt = cosωt + jsenωt, obtém-se
x(t) = k1e
σt(cosωt + jsenωt) + k2e
σt(cosωt− jsenωt)
= k1e
σtcosωt + jk1e
σtsenωt + k2e
σtcosωt− jk2e
σtsenωt
= eσt(k1cosωt + k2cosωt + jk1senωt− jk2senωt)
= eσt[(k1 + k2)cosωt + j(k1 − k2)senωt] (9)
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
18/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas
As condições iniciais são determinadas por x(0) = k1 + k2 = x0 e como
dx(t)
dt
= σeσt[(k1 + k2)cosωt + j(k1 − k2)senωt] + e
σt[−(k1 + k2)ωsenωt + j(k1 − k2)ωcosωt]
temos que
dx(0)
dt
= σ(k1 + k2) + j(k1 − k2)ω =
dx0
dt
⇒ j(k1 − k2) =
dx0/dt− σx0
ω
Por exemplo, da equação (6) para a = 4 e b = 53, temos que α1 = −2 + j7 e α2 = −2− j7, de modo
que σ = −2 e ω = 7. Para as condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, pela equação (9), obtemos
x(t) = eσt[(k1 + k2)cosωt + j(k1 − k2)senωt]
= eσt
[
x0cosωt +
dx0/dt− σx0
ω
senωt
]
= e−2t
(
5cos7t +
2 + 2× 5
7
sen7t
)
= e−2t
(
5cos7t +
12
7
sen7t
)
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
19/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogênenas
Sistema instável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
x 10
4
x
(t
)
t
Figura 9: Sistema instável: α1 = 2 + j7, α2 = 2− j7, x0 = 5 e dx(0)/dt = 2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
20/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogênenas
Sistema assintoticamente estável:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
(t
)
t
Figura 10: Sistema assintoticamente estável: α1 = −2 + j7, α2 = −2− j7, x0 = 5 e dx(0)/dt = 2.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
21/22
UFABC ESTA020-17: Modelagem e Controle - Aula 1 ©2021 Prof. Dr. Alfredo Del Sole Lordelo
Referências bibliográgicas
Boyce, W. E.; Diprima, R. C. ”Equações diferenciais elementares e problemas de valores de con-
torno“; 8a edição; LTC; 2006.
Zill, D. G.; ”Equações diferenciais“; 3a edição; volume 1; Pearson Makron Books; 2006.
Zill, D. G.; ”Equações diferenciais com aplicações em modelagem“; Thomson; 2003.
Introdução à análise de estabilidade de sistemas dinâmicos
lineares e invariantes no tempo
ANTERIOR PRÓXIMA
22/22