Apostila de Controle - Prof Telles

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Apostila de Controle 1 
CAPÍTULO 1 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1.1 - INTRODUÇÃO 
O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia e da 
ciência. Além de sua extrema importância em veículos espaciais, pilotos automáticos de aviões e 
mísseis, robôs e outros sistemas complexos, o controle automático tornou-se uma parte importante 
dos modernos processos industriais e de manufatura, principalmente nas operações industriais de 
controle de pressão, temperatura, umidade, viscosidade e fluxo. 
A engenharia de controle é baseada nos fundamentos da teoria da realimentação e na análise 
de sistemas lineares. Esta base teórica faz com que a engenharia de controle não seja limitada a 
nenhuma disciplina específica da engenharia. Por exemplo, muitas vezes um sistema de controle 
inclui componentes elétricos, mecânicos e químicos. Além disso, à medida que aumenta a nossa 
compreensão dos sistemas políticos, sociais e financeiros, a possibilidade de controlar tais sistemas 
também aumenta. 
1.2 - NOÇÕES BÁSICAS DE SISTEMAS 
 Sistemas são conjuntos de componentes que atuam juntos realizando determinada finalidade. 
Um sistema pode ser constituído de subsistemas, e pode também ser parte de um sistema maior. 
 Sistemas dinâmicos são sistemas cujo comportamento, quando submetidos a perturbações, 
varia no tempo, segundo leis físicas que podem ser modeladas matematicamente. 
 Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito 
de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos: 
 Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora 
representativos das características mais importantes; 
 Modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por 
meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças). Pode-se 
prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou 
matemático. 
Como exemplo de um sistema dinâmico, considere o mostrado na Figura 1-1 abaixo, 
composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este 
sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A 
equação matemática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da 
massa e da extremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na Figura 1-1. 
 
Figura 1-1: Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a 
suspensão de um veículo. 
Apostila de Controle 2 
1.3 - O PROBLEMA DO CONTROLE 
 Especificações de desempenho são descrições do comportamento a ser apresentado pelo 
sistema, conforme solicitação do usuário. 
 Controle é a ação de fazer com que um sistema atenda às especificações de desempenho 
determinadas a priori. 
 Planta é também um conjunto de componentes, ou parte de uma máquina, ou uma máquina 
como um todo, com a finalidade de desempenhar uma determinada operação. Este é o 
componente do sistema a ser controlado. 
 Problema de Controle é determinar uma forma de afetar um dado sistema físico para que ele 
atenda às especificações de desempenho previamente estabelecidas. 
 Sistema de Controle é o conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador com 
uma configuração tal que gere uma resposta desejada. 
 Variável manipulada (normalmente a entrada do sistema) é a quantidade ou condição que é 
variada de modo a afetar o valor da variável controlada da maneira desejada. 
 Variável controlada normalmente é a saída do sistema, ou seja, a quantidade ou condição que é 
medida e controlada. 
 Perturbações são sinais que tendem a afetar de maneira adversa o valor da saída do sistema, 
normalmente de maneira não previsível e fora do controle do sistema. Um exemplo clássico de 
perturbações são os sinais de ruído. 
 
Figura 1-2: Exemplo de planta Sistema de aquecimento de água. 
1.4 - TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
Um sistema em controle em malha aberta geralmente utiliza apenas um atuador para obter 
a resposta desejada, como mostrado na Figura 1-3. O atuador é responsável pela conversão e 
compatibilização de grandezas físicas e pela elevação do nível de potência necessário para excitar 
diretamente a planta. 
Apostila de Controle 3 
 
 
Figura 1-3: Exemplo de sistema de controle em malha aberta. 
Um exemplo comum de um sistema de controle em malha aberta é uma torradeira elétrica 
em uma cozinha. 
Em contraste com um sistema de controle em malha aberta, um sistema de controle em 
malha fechada utiliza uma medida da saída efetiva para compará-la com a saída desejada. A 
medida do sinal de saída, obtida por um sensor, é chamada sinal de realimentação. Um sistema de 
controle realimentado em malha fechada simples é mostrado na Figura 1-4. Um sistema de controle 
realimentado tende a manter a relação desejada de uma variável do sistema com outra por 
comparação dessas variáveis e utilização da diferença como mecanismo de controle. A diferença 
entre o sinal de saída e o valor desejado para o sinal é o sinal de erro, ou simplesmente erro. 
A necessidade de sistemas de controle de malha fechada aparece principalmente nos 
sistemas sujeitos a perturbações. 
 
 
 
Figura 1-4: Exemplo de um sistema de controle em malha fechada. 
Apostila de Controle 4 
A introdução da realimentação permite controlar a saída desejada e pode melhorar a 
precisão, mas requer atenção quanto aos aspectos de estabilidade da resposta: é bem conhecido o 
fato que o “controlador” humano, quando dirigindo o carro, é propenso a acidentes em 
determinadas situações. 
Um exemplo de sistema em malha fechada é uma pessoa dirigindo um automóvel: os olhos 
“medem” a posição do carro na rua e o motorista atua para fazer as eventuais correções necessárias. 
Os sistemas de controle são, às vezes, divididos em duas classes. Se o objetivo do sistema de 
controle é manter uma variável física em algum valor constante na presença de distúrbios ou 
perturbações, chamamos a este sistema de regulador. Um exemplo de sistema de controle 
regulador é o sistema biológico do corpo humano, que mantém a sua temperatura em 
aproximadamente 36,5°C, mais ou menos, independentemente do metabolismo do corpo ou da 
temperatura ambiente. 
A segunda classe dos sistemas de controle é a dos servomecanismos. Embora este termo 
tenha sido originalmente empregado para um sistema que controlava um movimento ou posição 
mecânica, atualmente é usado com freqüência para descrever um sistema de controle no qual uma 
variável física deve seguir ou acompanhar alguma outra variável física ou uma função do tempo 
desejada. Um exemplo é um sistema de posicionamento de antena de satélite, onde sua posição 
deve ser permanentemente ajustada para apontar diretamente para o satélite. 
Este texto se propõe a apresentar um resumo da teria básica de controle e de suas aplicações 
atuais. O conteúdo aqui apresentado não pretende ser exaustivo, mas principalmente servir de 
motivação para estudos subseqüentes. 
Apostila de Controle 5 
CAPÍTULO 2 
MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
2.1 - INTRODUÇÃO 
Inicialmente é necessário que se defina o que é sistema, sistema dinâmico e sistema estático. 
Um sistema é uma combinação de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo 
especificado. O sistema é dito estático, quando a saída atual do sistema depende somente da entrada 
atual. A saída do sistema só varia se a sua entrada variar. 
O sistema é dito dinâmico, se a sua saída depende da entrada e dos valores passados da 
entrada. Num sistema dinâmico a saída varia se ela não estiver num ponto de equilíbrio, mesmo que 
nenhuma entrada esteja sendo aplicada. 
O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como sendo o conjunto de 
equações que representam a dinâmica do sistema com uma certa precisão. O modelo matemático de 
um dado sistema não é único, isto é, um sistema pode ser representadopor diferentes modelos 
dependendo da análise que se deseja fazer. 
Na obtenção do modelo matemático para um dado sistema deve-se ter um compromisso 
entre a simplicidade do modelo e a sua precisão. Nenhum modelo matemático, por mais preciso que 
seja, consegue representar completamente um sistema. 
Em geral deve-se obter um modelo matemático, que seja adequado para solucionar o 
problema específico que esta em análise. Porém, é importante ressaltar que os resultados obtidos 
desta análise serão válidos somente para os casos em que o modelo é válido. 
Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos 
algumas propriedades físicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta 
do sistema são pequenos, então uma boa semelhança entre os resultados da análise matemática e os 
resultados práticos do sistema é obtido. 
Em geral os sistemas dinâmicos são não lineares. Porém, os procedimentos matemáticos 
para a obtenção de solução de modelos lineares são muito complicados. Por isto, geralmente 
substituí-se o modelo não linear por um modelo linear, com validade somente em uma região 
limitada de operação, ou para um ponto de operação. 
A obtenção dos modelos que representam um dado sistema é baseada nas leis que o regem. 
Por exemplo, na modelagem de um sistema mecânico, deve-se ter em mente as leis de Newton; na 
modelagem de sistemas elétricos deve-se ter em mente as leis das correntes e das tensões de 
Kirchoff; na modelagem de sistemas térmicos deve-se ter mente as leis que regem os fenômenos 
térmicos, isto é, condução, radiação e convenção, etc... 
Neste capítulo, nos limitaremos a apresentar os modelos de sistemas lineares, pois os 
mesmos ocupam lugar de grande destaque na análise e no estudo de controladores. 
2.2 - MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
Sistemas lineares invariantes no tempo (parâmetros constantes) são descritos 
matematicamente por equações diferenciais ordinárias, na forma: 
 
onde x(t) é conhecido como entrada do sistema, ou então por termo forçante, y(t) constitui a saída 
do sistema ou variável de estado e ai (i = 1, 2, … n) e bj (j = 1, 2, … m) são constantes. 
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2.2.1 - Sistemas de primeira ordem 
Sistemas de primeira ordem são aqueles que são modelados por uma equação diferencial 
ordinária de primeira ordem, ou seja: 
 
Dividindo-se a equação acima por , tem-se: 
 
que pode ser reescrita na forma: 
 
sendo o ganho DC do sistema e a sua constante de tempo. 
Como exemplo de sistema de primeira ordem, podemos apresentar o circuito RC série, 
mostrado na Figura 2-1. 
 
Figura 2-1: Diagrama esquemático de um circuito RC série 
O circuito RC é composto de uma fonte de tensão, ,em série com um resistor R e um 
capacitor C. 
A corrente no capacitor é proporcional à taxa de variação da tensão através do capacitor, 
matematicamente: 
 
sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade. 
Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o 
que leva à expressão: 
 
Realizando as devidas substituições, surge uma equação diferencial de primeira ordem: 
 
onde a função forçante é a tensão e a variável é a tensão . 
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2.2.2 - Sistemas de segunda ordem 
Sistemas de segunda ordem são aqueles que são modelados por uma equação diferencial 
ordinária de segunda ordem, ou seja: 
 
Dividindo-se a equação acima por , tem-se: 
 
que pode ser reescrita na forma: 
 
sendo o ganho DC, a freqüência natural não amortecida e o coeficiente de 
amortecimento do sistema. 
Como exemplo de sistema de segunda ordem, podemos apresentar a suspensão de um 
veículo, que pode ser representada, de forma simplificada, por: 
 uma massa M (Kg) suportada pela roda; 
 um conjunto de molas representado pela mola ideal com constante Km (N/m); e 
 um amortecedor representado pelo sistema de absorção B (Ns/m). 
Este sistema massa-mola-amortecedor é mostrado na Figura 2-2Figura 2-1. 
 
Figura 2-2: Suspensão de automóvel simplificada. 
Conforme eixos coordenados, o sistema está em repouso na posição e velocidade 
. 
A suspensão é submetida a uma força externa , dependente do terreno e da carga do 
veículo. 
 As forças e respectivas direções de referência estão indicadas na figura. 
De acordo com a lei de Newton, a soma das forças que atuam no sistema deve igualar a 
massa vezes a aceleração: 
 
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ou seja, 
 
Formalmente, 
 
Finalmente, tem-se o modelo dado por: 
 
onde a função forçante é a força e a variável é o deslocamento . 
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CAPÍTULO 3 
MODELOS DE SISTEMAS POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
3.1 - DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace é um operador funcional (isto é, que opera e transforma funções) 
utilizado para resolver de forma sistemática equações diferenciais lineares que representam sistemas 
dinâmicos. A transformada de Laplace modifica as funções no tempo y(t), passando a representá-
las em função de uma variável s conhecida como freqüência complexa. A função transformada é 
representada por Y(s). 
Por convenção, representa-se a dinâmica em função do tempo com letras minúsculas (y(t), 
x(t), g(t), f(t)), e suas transformadas por letras maiúsculas (Y(s), X(s), G(s), F(s)). A transformada de 
Laplace é definida como: 
 
Nota-se que F é uma função que depende da variável s e não mais do tempo t. L(⋅) 
representa, por sua vez, o operador da transformada de Laplace. A integração é realizada entre os 
extremos 0 e ∞. Para indicar que o limite inferior deve incluir necessariamente o valor zero (e não 
um valor positivo próximo de zero), indica-se este limite por 0
−
. O operador da transformada de 
Laplace pode ser invertido, isto é, dada a função transformada, pode-se obter a dinâmica em função 
do tempo por meio de: 
 
onde j é a base dos números complexos ( ). 
3.2 - PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace apresenta diversas propriedades que são úteis na sua aplicação. 
Porém estas propriedades não serão demonstradas aqui, e algumas delas sequer serão apresentadas. 
O leitor deverá buscar na bibliografia material adicional para complementar este estudo. Menciona-
se, contudo, que as demonstrações seguem diretamente da definição fornecida acima. 
As propriedades mais importantes são: 
3.2.1 - Linearidade 
Se e , isto é, se a transformada de Laplace de f1(t) for 
F1(s), e se a transformada de f2(t) for F2(s), então 
 
Analogamente, a transformada inversa é também linear pois 
 
3.2.2 - Mudança na escala do tempo 
Se a transformada de Laplace de f(t) for F(s), ou , então 
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3.2.3 - Transformada da convolução 
A convolução de duas funções do tempo f1(t) e f2(t) é definida como sendo uma operação 
dada por 
 
onde o símbolo “*” indica a convolução de f1 e f2 por definição. A transformada de Laplace da 
convolução de f1 e f2 vale então 
 
3.2.4 - Translação real 
Uma translação no domínio do tempo consiste em adicionar ou subtrair uma constante ao 
tempo. Corresponde, portanto, a um atraso ou a uma antecipação de um evento. Então, se 
 , a transformada de Laplace da translação real (isto é, no domínio do tempo) vale: 
 
onde a é uma constante real. Na translação real é necessário introduzir a função degrau unitário 1(t) 
para evitar que a função f assuma valores diferentes de zero quando t for menor do que a. 
3.2.5 - Translação complexa 
Na translação complexa adiciona-se ou subtrai-se uma constante na função transformada. 
Novamente, se , então a translação complexa afirma que 
 
onde a é uma constante complexa. 
3.2.6 - Diferenciação real 
A diferenciação real permite obter a transformada da derivada temporal de uma função. Esta 
propriedade é muito importante porque permite a construção da equação característica a partir da 
equação de derivadas, como será visto adiante. Supondo que , a diferenciação real 
resultaem 
 
sendo que é o resultado da avaliação de f(t), com t tendendo a 0 negativamente (pela 
esquerda). O conceito de diferenciação real pode ser estendido para derivadas de maior ordem, 
resultando 
Apostila de Controle 11 
 
Nota-se que a função f e suas derivadas temporais, quando avaliadas no instante , 
representam as condições iniciais do sistema. Por exemplo, considerando o movimento de um 
pêndulo, as condições iniciais irão estabelecer a posição inicial do pêndulo (isto é, a posição que 
ele ocupa no instante t = 0) e a sua velocidade inicial. 
3.2.7 - Integração real 
A integração real permite obter a transformada de Laplace da integral da função f(t). Se 
, a integração real leva ao resultado 
 
3.2.8 - Limite do valor final 
O limite do valor final permite estabelecer uma correspondência entre o comportamento do 
sistema em regime permanente (isto é, conforme t tende ao infinito), e o valor da transformada de 
Laplace da função avaliada conforme s tende a zero, isto é: 
 
3.3 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNÇÕES SIMPLES 
Embora existam infinitas funções matemáticas, o comportamento dinâmico de sistemas 
lineares é governado por apenas uma pequena fração destas funções. Por outro lado, o termo 
forçante em geral possui também um comportamento dinâmico que pode ser expresso por meio de 
funções simples, o que limita também o universo de funções disponíveis para serem transformadas. 
Assim, a aplicação da transformada de Laplace em sistemas dinâmicos comuns levou a um número 
restrito de exemplos que podem ser relacionados sem a necessidade de se efetuar a transformação a 
cada novo problema. Em outras palavras, a quase totalidade de problemas encontrados pode ser 
resolvida por um pequeno conjunto de transformadas que já se encontram tabeladas. Assim, não é 
necessário efetuar a transformação, mas tão somente aplicar as tabelas de transformadas. 
Na verdade, a manipulação de sistemas dinâmicos e o projeto de sistemas de controle são 
facilitados quando se trabalha no domínio da transformada de Laplace. Por outro lado, a 
visualização do comportamento dinâmico no tempo é obscurecida ao se utilizar a transformada, 
pelo menos por aqueles que ainda não se adaptaram com a variável complexa. 
Por isso, é freqüente que problemas sejam elaborados no domínio do tempo, resolvidos no 
domínio da transformada de Laplace e, a seguir, transformados de volta ao domínio do tempo. 
Logo, não apenas as transformações para o domínio da variável complexa são importantes, mas 
igualmente importantes são suas inversas, que permitem retornar ao domínio do tempo. 
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Tabela 3-1: Transformadas de Laplace das principais funções: 
 f(t) F(s) 
1 – Derivada do impulso s 
2 – Função impulso 1 
3 – Função degrau unitário 1(t) 
4 – Função rampa t 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
A Tabela 3-1 apresenta a Transformada de Laplace das principais funções utilizadas em 
sistemas lineares. 
Apostila de Controle 13 
3.4 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
Considere um sistema dinâmico regido por uma equação diferencial linear a coeficientes 
constantes na variável y(t), tal que x(t) é a função forçante 
 
Supondo agora que seja conhecida a transformada de Laplace de ambas as funções, isto é 
L(y(t)) = Y(s) e L(x(t)) = X(s), então ao aplicar-se a transformada na equação diferencial, tem-se: 
 
Aplicando a seguir a propriedade de diferenciação real, resulta que: 
 
Agrupando os termos em Y(s) e X(s), a equação fica 
 
Isolando agora o termo Y(s), tem-se que: 
Apostila de Controle 14 
 
Considerando-se condições iniciais todas nulas, ou seja, que y(t) e todas as suas derivadas 
temporais até a ordem n são nulos, então se pode obter a resposta do sistema às condições iniciais 
nulas: 
 
Condições iniciais nulas significam que no início da contagem do tempo (t = 0), o sistema 
encontra-se em equilíbrio e em repouso. Num sistema mecânico isto corresponde a posição e 
velocidades iniciais nulas. Num sistema elétrico, estas condições significam que os capacitores e 
indutores estão descarregados e a corrente inicial é nula. 
Com base na resposta do sistema às condições iniciais nulas define-se a função de 
transferência G(s) do sistema, dada por: 
 
A função de transferência traduz o comportamento do sistema com relação a uma dada 
excitação aplicada pelo termo forçante. Em outras palavras, a função de transferência corresponde à 
transformada de Laplace da saída apresentada pelo sistema, Y(s), com relação à transformada da 
entrada, X(s), sob condições iniciais nulas. Ela só pode ser obtida para sistemas lineares. Em 
resumo, a função de transferência pode ser entendida como 
 
Exemplo 3.1 - Obter a função de transferência do circuito RC da Figura 2-1 
 
Solução: A transformada de Laplace da tensão é , enquanto que a transformada da 
tensão é . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, fica-se com 
 
que, pela propriedade de linearidade fornece 
 
Apostila de Controle 15 
e pela propriedade da diferenciação real, tem-se que 
 
Como a função de transferência assume condições iniciais nulas, então resulta 
 
ou 
 
e a função de transferência fica 
 
Exemplo 3.2 - Obter a função de transferência do sistema da Figura 2-2 
 
Solução: A transformada de Laplace da força é , enquanto que a transformada do 
deslocamento é . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, fica-se 
com 
 
que, pela propriedade de linearidade fornece 
 
e pela propriedade da diferenciação real, tem-se que 
 
Como a função de transferência assume condições iniciais nulas, então resulta 
 
Ou 
 
e a função de transferência fica 
 
Apostila de Controle 16 
3.5 - EXEMPLOS 
Petrobrás – Engenheiro Júnior: Automação 2008 
 
Resposta: A equação diferencial é: 
 
Logo: 
 
Letra C. 
Prominp – Área Química – Processos 2008 
 
Resposta: Da Tabela de T.L., tem-se que: 
 
Letra A. 
 
Processamento Júnior – 2006 
 
Resposta: Da Tabela de TL, tem-se que: 
 
Letra D. 
Apostila de Controle 17 
Transpetro – Automação 2006 
Resposta: Fazendo as devidas substituições: 
 
 
Logo: 
 
Letra C. 
Transpetro – Processamento 2006 
Resposta: Da Tabela de Transformada de 
Laplace, tem-se que: 
 
Letra D. 
Termoaçu – Eng. de Proc. Júnior – 2008 
Resposta: Da própria definição de sistemas de 
primeira ordem, Letra B. 
 
 
 
Apostila de Controle 18 
REFAP - Engenheiro de Proc. Júnior 2007 
Resposta: Da tabela de Transformada de 
Laplace, tem-se que: 
 
Letra C. 
 
3.6 - POLINÔMIO CARACTERÍSTICO 
Seja novamente a equação diferencial de um sistema linear a coeficientes constantes, tal que 
o termo forçante x(t) seja nulo, dada pela equação homogênea: 
 
Aplicando a transformada de Laplace a esta equação (supondo que a transformada de y(t) 
seja Y(s)), tem-se o polinômio característico da equação diferencial: 
 
Nota-se que o polinômio característico é igual à equação característica, com a diferença que 
o polinômio é expresso na variável complexa s. De fato, a equação característica neste caso é dada 
por P(s) Y(s) = 0. Percebe-se também que o polinômio característico é o próprio denominador da 
função de transferência. 
Apostila de Controle 19 
CAPÍTULO 4 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
4.1 - CONCEITO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Funções de transferência de sistemas dinâmicos podem ser representadas graficamente por 
meio de diagrama de blocos. Estes diagramas permitem compor funções de transferência 
complexas a partir do agrupamento de outros diagramas mais simples, ou mesmo de blocos 
contendo as equações elementares. A representação gráfica de um bloco é mostrada na Figura 4-1, 
e a relação que ele representa, no domínio da transformada de Laplace (variável complexa) é: 
 
Ou seja, a função de transferência de um bloco, G(s), traduz a relação entre a transformada 
de Laplace da sua saída, Y(s), e a transformada de Laplace da entrada, U(s).De outra forma, a saída 
de um bloco é igual ao produto da entrada pela função de transferência que o bloco abriga. Nota-se, 
contudo, que, por definição, as entradas e saídas de um bloco devem ser postas graficamente no 
domínio do tempo, ou seja, u(t) e y(t). Quando o conteúdo de um bloco (ou seja, sua função de 
transferência) for uma constante, denomina-se então esta constante de ganho do bloco. 
 
Figura 4-1: Representação de uma função de transferência G(s) por meio de diagrama de blocos 
As ligações entre os blocos são necessariamente orientadas, indicando o fluxo de 
informação, ou a relação entre causa e efeito, ou ainda a definição de qual sinal é a saída e qual 
sinal é a entrada. Logo, toda e qualquer ligação entre blocos deve ser orientada, caso contrário não 
se consegue definir qual é a entrada e qual é a saída do bloco. Da definição dos blocos conclui-se 
também que cada bloco deve apresentar uma e apenas uma entrada e uma e apenas uma saída. 
Blocos com múltiplas entradas ou múltiplas saídas são permitidos apenas quando o sistema for 
multivariável e, neste caso, a função de transferência é dada por uma matriz. 
A grande vantagem dos diagramas de blocos é a composição de vários blocos e, igualmente, 
a simplificação de vários blocos em somente um, o que permite obter a função de transferência total 
do sistema. Considerando, por exemplo a composição de dois blocos cujas funções de transferência 
são G1(s) e G2(s) em série, como mostrado na Figura 4-2, resulta 
 
 
e substituindo a segunda equação na primeira, para eliminar a variável X(s), tem-se que: 
 
de onde tira-se que a função de transferência de dois blocos em série é dada por: 
 
ou seja, a função de transferência equivalente de dois blocos arranjados em série é dada pelo 
produto das funções de transferência dos blocos. 
Apostila de Controle 20 
 
Figura 4-2: Combinação de dois blocos arranjados em série 
As ligações entre blocos podem sofrer um número qualquer de derivações, isto é, o sinal 
transportado por elas pode ser inserido em um ou mais blocos, como ilustra a Figura 4-3. 
Obviamente, estas derivações indicam que a entrada em cada um dos blocos que as recebem é a 
mesma. 
 
Figura 4-3: Derivações das ligações entre blocos 
Dois sinais que transitam por ligações distintas podem ser combinados por meio de adição 
ou subtração, indicada por um bloco com o formato de um círculo, conhecido como somador, 
como mostrado na Figura 4-4. Se y(t) e x(t) forem sinais combinados num somador, então a saída 
apresentada pelo somador será y(t) + x(t) ou então y(t) - x(t). A adição ou subtração é indicada ao 
lado do somador, como mostra as Figura 4-4(a) e Figura 4-4(b), ou então dentro do somador, 
como indica Figura 4-4(c). 
 
Figura 4-4: Bloco somador: adição (a), subtração (b) e outra forma de representação gráfica (c). 
A inversão do sinal de uma ligação pode ser conseguida inserindo-se um bloco de ganho 
unitário e negativo, ou seja, um bloco cuja função de transferência é igual a 1, como mostrado na 
Figura 4-5. 
 
Figura 4-5: Inversão de um sinal 
É bastante comum que sistemas exibam uma realimentação do sinal, formando assim uma 
malha fechada ou um loop. Nem sempre tais malhas resultam da realimentação de sinais de 
controle, mas pode ser resultado da composição de equações elementares, como será mostrado 
adiante, em alguns exemplos. Considerando a malha fechada mostrada na Figura 4-6(a), tem-se as 
relações do somador e do bloco que integram a malha: 
Apostila de Controle 21 
 
logo: 
 
 
Figura 4-6: Realimentação num diagrama de blocos (a), e bloco equivalente (b). 
Nota-se que este resultado indica que a malha fechada pode ser substituída por um bloco 
equivalente cuja função de transferência é dada por: 
 
como indicado na Figura 4-6(b). Se o somador indicasse uma soma entre y(t) e r(t) ao contrário da 
subtração, então a função de transferência seria alterada para 
 
É bastante comum que a saída y(t) tenha que ser transformada antes de ser adicionada ou 
subtraída da referência r(t). Em geral esta transformação é uma simples mudança de escala, ou seja, 
trata-se de um bloco com um ganho constante. Pode acontecer, porém, que este bloco de 
realimentação possua uma função de transferência mais complexa, como indica a Figura 4-7. 
Um procedimento similar àquele realizado anteriormente permite obter a função de 
transferência da malha fechada neste caso, resultando: 
 
onde a adição é utilizada caso o somador apresente uma diferença entre r(t) e y(t) (realimentação 
negativa), e a subtração é adotada caso contrário (realimentação positiva). 
 
Figura 4-7: Diagrama com uma função de transferência na malha de realimentação (a), e bloco 
equivalente (b). 
Apostila de Controle 22 
Tabela 4-1: Equivalências entre diagramas de blocos 
Transformação Diagrama original Diagrama equivalente 
Combinar blocos em série 
(cascata) 
 
Combinar blocos em paralelo 
 
 
Mover um somador para 
antes do bloco 
 
Mover um somador para 
depois do bloco 
 
Mover uma derivação para 
antes do bloco 
 
Mover uma derivação para 
depois do bloco 
 
Eliminar um laço 
realimentado 
 
 
4.2 - MANIPULAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Diagramas de blocos podem ser sempre simplificados e reduzidos a um único bloco, desde 
que se conheça qual é a entrada e qual é a saída do diagrama. O processo de redução é realizado 
aplicando-se as definições das operações realizadas pelos blocos, de maneira semelhante àquela 
realizada na Seção 4.1 -. Algumas configurações são, contudo bastante típicas (ocorrem com 
freqüência num grande número de diagramas), e isto torna mais eficiente manter uma tabela das 
simplificações e equivalências do que obter esta equivalência a cada novo problema. Relacionam-se 
na Tabela 4-1, portanto, as situações mais comuns e suas respectivas equivalências. 
Além de sintetizar a dinâmica e facilitar o projeto de sistemas de controle, os diagramas de 
blocos podem também ser utilizados na obtenção da função de transferência de plantas 
razoavelmente complexas. Para obter a função de transferência de um sistema por meio de 
diagramas de blocos, basta seguir algumas regras simples: 
Apostila de Controle 23 
 definir as variáveis necessárias para escrever as equações de cada elemento da planta, 
com base em regras de continuidade e equilíbrio de forças. 
 construir blocos com as equações funcionais de cada elemento 
 construir blocos adicionais para cada condição de continuidade e equilíbrio 
 garantir que a entrada de pelo menos um bloco seja a própria entrada do sistema 
 garantir que um bloco apresente como saída a própria saída da planta 
 construir o diagrama de blocos fazendo ligações entre eles 
 simplificar o diagrama para obter a função de transferência. 
Exemplo 4.1 - Simplificação de diagramas de blocos 
O diagrama de blocos de um sistema de controle com múltiplos laços de realimentação é 
mostrado na Figura 4-8. É interessante notar que o sinal de realimentação H1C é positivo; por isso, 
o laço G3(s)G4(s)H1(s) é chamado de laço de realimentação positiva. 
 
Figura 4-8: Diagrama de blocos do Exemplo 4.1 - 
O procedimento de redução do diagrama de blocos é baseado nas transformações da Tabela 
4-1, principalmente a que permite eliminar laços realimentados. As outras transformações são 
utilizadas para modificar o diagrama, de forma a deixá-lo em um formato adequado à eliminação de 
laços realimentados. 
 
Figura 4-9: Redução do diagrama de blocos da Figura 4-8. 
Apostila de Controle 24 
A seqüência de transformações aplicada ao diagrama está indicada na Figura 4-9. Foram 
feitas as seguintes operações: 
1. Mover H2 para depois do bloco G4. 
2. Eliminar o laço com realimentação H1. 
3. Eliminar o laço com realimentação H2/G4. 
4. Eliminar o laço com realimentação H3. 
É interessante verificar-se a forma do numerador e do denominador da função de 
transferência em malha fechada final. Nota-se que onumerador é composto pelo cascateamento da 
função de transferência dos elementos que conectam em sentido direto a entrada R(s) com a saída 
C(s). O denominador é composto de 1 menos a soma das funções de transferência de cada um dos 
laços. O sinal G3G4H1 é positivo porque se trata de um laço de realimentação positiva, enquanto os 
laços G1G2G3G4H3 e G2G3H2 são laços de realimentação negativa. 
4.3 - SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES 
 
Figura 4-10: Representação de um sistema em malha fechada sujeito a perturbações. 
No sistema representado na Figura 4-10, temos dois sinais de entrada: a própria entrada do 
sistema X(s) e uma perturbação N(s). 
Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente 
as respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposição, e após adicioná-
las resultando na resposta completa. 
Para o sistema mostrado, considere que: 
 
Onde Y(s) é a resposta completa do sistema, YN(s) é a resposta do sistema devido à entrada 
N(s) (perturbação) e YX(s) é a resposta do sistema devido à entrada X(s) (entrada principal). 
Manipulando este diagrama de blocos, tem-se: 
 
 
Ou seja: 
 
Se e , então: 
 
Apostila de Controle 25 
Com isto, concluí-se que: 
 Se o ganho G1(s)H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na 
resposta do sistema, são desprezados. 
 Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das 
variações em G1(s) e G2(s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). 
 Se o ganho da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a 
igualar a saída com a entrada. 
4.4 - EXEMPLOS
Resposta: A equação característica deste sistema 
é: 
 
Se é um pólo, então, tem-se que, 
 
 
Ou seja, . 
Letra D. 
Resposta: 
 
 
Letra A. 
Prominp - Área: Química – 2007 
 
 Resposta: A Função de Transferência de malha 
fechada é: 
 
Apostila de Controle 26 
 
Logo os pólos são: 
 
Logo p=8 e, dessa forma: 
 
Elevando ao quadrado: 
 
 
 
Logo K=4,1. 
Letra A. 
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
Resposta: Manipulando, tem-se: 
 
 
 
Se fizermos em função de Vc: 
 
 
 
Letra C, mas o gabarito diz que é a letra D. 
Petrobras – Eng. de Proc. Júnior – 2006 
Resposta: Se 
 
e 
 
então, tem-se que: 
Apostila de Controle 27 
 
Letra E. 
REFAP - Engenheiro de Proc. Júnior 2007 
 Resposta: Do exercício anterior, tem-se que 
 
Letra E. 
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
Resposta: Manipulando, tem-se: 
 
 
 
Se fizermos em função de Vc: 
 
 
 
Letra C, mas o gabarito diz que é a letra D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Controle 28 
Petrobras – Eng. de Equipamentos Júnior 2001 
 
 
Resposta:1V, 2F, 3F, 4V, 5V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Controle 29 
CAPÍTULO 5 
ANÁLISE EM REGIME TRANSITÓRIO 
5.1 - INTRODUÇÃO 
Freqüentemente os sistemas dinâmicos submetidos a ações sofrem bruscas alterações num 
curto intervalo de tempo, e depois se mantêm constante por longos períodos. O comportamento 
dinâmico destes sistemas quando sujeito a tais ações pode ser visto sob duas perspectivas diferentes 
e complementares: o comportamento num curto período, logo após a aplicação da ação, e o 
comportamento no longo período, quando sua dinâmica torna-se estável (ou não, dependendo do 
sistema) ou repetitiva. O comportamento de curto período é conhecido como resposta transitória, 
transiente de resposta ou simplesmente transiente. O comportamento após o estabelecimento de 
condições perenes é conhecido resposta em regime permanente. Neste capítulo será analisado o 
efeito da função de excitação (entrada, termo forçante ou referência) no comportamento de sistemas 
dinâmicos. 
5.2 - FUNÇÕES DESCONTÍNUAS NO TEMPO 
Na solução de problemas dinâmicos, é freqüente encontrar-se situações nas quais um 
sistema sofre um impacto, ou uma ação descontínua no tempo, ou um impulso. Exemplos de tais 
ações são: o choque entre duas bolas (impulso) no qual a força exercida no contacto é alta e a 
duração da ação é curta e o brusco acionamento de um sistema elétrico ao ligar-se a chave de 
alimentação. Tais ações são consideradas descontínuas no tempo, pois assumem valores diferentes 
em instantes de tempo muito próximos entre si. No mundo real macroscópico, contudo, não existem 
descontinuidades, pois a cada instante pode ser determinado o valor exato da ação. 
Matematicamente, porém, é conveniente considerá-las descontínuas, uma vez que é muito difícil 
estabelecer quais os limites do impulso e da duração do evento. Definem-se, com isso, algumas 
funções típicas que caracterizam eventos descontínuos no tempo. Estas funções são: a função 
degrau, a função impulso e a função rampa. 
5.2.1 - Função degrau unitário 
A função degrau unitário corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma 
determinada condição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga 
elétrica num capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou ainda o 
início da ação de uma força por exemplo. A função degrau unitário é definida como: 
 
 
 
5.2.2 - Função impulso unitário 
A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um 
intervalo infinitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeno intervalo de tempo e depois cessa 
a atuação. Esta função é também conhecida como função “delta de Dirac”. Na função impulso 
unitário, a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém a ação não é. Isto se deve 
ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito pequeno, e tende a zero, 
Apostila de Controle 30 
fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. Um bom exemplo da aplicação de um 
impulso unitário é no choque entre duas partes mecânicas. A função impulso unitário é definida 
como: 
 
 
5.2.3 - Função rampa 
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma 
ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. Quando o tempo 
tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. Na prática isto não 
ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. A função rampa é definida 
por: 
 
 
 
As funções degrau unitário, impulso unitário e rampa são utilizadas nas transformadas de 
Laplace, pois permitem obter a solução de um sistema sujeito a ações descontínuas no tempo. 
5.3 - RESPOSTAS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
Considerando a analogia que existe entre os sistemas mecânicos, elétricos e hidráulicos (e 
também térmicos), pode-se restringir a análise realizada apenas a um deles, uma vez que nos 
sistemas análogos o comportamento dinâmico é idêntico. Melhor ainda, a análise da resposta pode 
ser feita tendo como base a função de transferência dos sistemas mais comuns, de primeira e 
segunda ordem, ou seja, nos quais o grau do polinômio do denominador é igual a 1 ou 2, sem se 
preocupar se o sistema é mecânico ou elétrico. 
Sistemas de grau maior do que 2 possuem comportamento dinâmico que se aproxima, na 
maior parte deles, aos sistemas de segunda ordem e portanto não necessitam ser analisados. 
5.3.1 - Sistemas de primeira 
Sistemas de primeira ordem possuem função de transferência na forma 
 
onde C(s) é a transformada de Laplace da saída e R(s) é a transformada da entrada (referência). 
Este sistema tem um pólo em . Suporemos maior que zero, o que garante a 
estabilidade do sistema. Para uma análise inicial, faremos . Em uma análise situação onde 
, basta multiplicar o sinal de saída calculado por . Será analisado, agora, o comportamento 
Apostila de Controle 31 
dinâmico desta função em 3 situações distintas para o sinal de entrada R(s): degrau unitário, 
impulso unitário e rampa. 
Se o termo forçante ou a entrada do sistema for um degrau unitário r(t) = 1(t), a resposta dosistema Cdu(s) fica: 
pois a transformada do degrau unitário é 1/s. Decompondo Cdu(s) em frações parciais, tem-se 
 
cuja transformada inversa de Laplace vale 
 
e cujo gráfico é mostrado na Figura 5-1. A resposta parte de cdu(0) = 0 e aproxima-se do valor 
unitário (relativo ao degrau), conforme avança o tempo. Contudo, a resposta jamais atinge ou 
ultrapassa o valor 1. Ela atinge 63,2% de seu valor máximo quando t = , pois 
. Este é o motivo pelo qual é conhecido como constante de tempo do 
sistema. O sistema responde mais rapidamente quanto menor for o valor de , uma vez que a 
velocidade de resposta na origem, dada pela derivada de cdu(t) vale 
 
 
Figura 5-1: Resposta de um sistema de primeira ordem ao degrau unitário. 
Quando t = 4 , o erro de resposta (isto é, a diferença entre a entrada e a resposta do sistema) 
é menor que 2%. Admite-se, para fins práticos, que se a resposta ficar confinada dentro de um erro 
de 2% o sistema atingiu o regime permanente. Ao contrário, se o sistema ainda não estabilizou o 
suficiente, então ele encontra-se no regime transitório ou transiente. Não faz sentido definir o 
regime permanente com base em um erro nulo, uma vez que teoricamente o sistema leva um tempo 
infinito para atingir o valor unitário. 
Como o pólo dos sistemas de primeira ordem se localiza em , quanto mais 
afastado do eixo imaginário estiver o pólo, mais rapidamente o sistema estabilizará. Estes fatos 
estão ilustrados na Figura 5-2. 
Apostila de Controle 32 
 
Figura 5-2: Influência da constante de tempo no tempo de estabilização 
5.3.2 - Sistemas de segunda ordem 
Sistemas de segunda ordem possuem no denominador um polinômio do segundo grau na 
variável complexa s, na forma 
 
Nota-se que esta função é bastante semelhante a um sistema mecânico massa-mola-
amortecedor, ou um sistema elétrico indutor-capacitor-resistor, com M representando a massa, a 
inércia, a indutância ou a inertância; B pode ser o amortecedor, resistor ou resistência fluida; Km é a 
constante de mola, capacitor ou capacitância fluida. Dividindo o numerador e o denominador por J e 
separando o polinômio nas suas raízes, tem-se 
 
Faz-se agora uma transformação de variáveis, tal que 
 
onde n(lê-se ômega-ene) é conhecida como freqüência natural não amortecida, e (lê-se csi) é 
a razão de amortecimento. Além disso, é o amortecimento crítico. Substituindo 
estes valores em G(s) tem-se 
 
ou, em termos das raízes, 
 
Suporemos n e maiores do que zero, o que garante a estabilidade do sistema. Iremos 
considerar também . Em uma análise situação onde , basta multiplicar o sinal de saída 
calculado por . 
Dependendo dos valores de n e , as raízes do polinômio (pólos da função de transferência) 
podem ser: 
 duas raízes complexas, se 0 < < 1, 
 uma raiz de multiplicidade 2 se = 1, ou 
 duas raízes reais se > 1. 
Apostila de Controle 33 
Uma vez que a resposta do sistema à excitação degrau unitário, rampa ou impulso unitário 
estão relacionadas entre si, como visto na seção anterior, será analisada a resposta do sistema de 
segunda ordem apenas com relação ao degrau unitário. A transformada de Laplace da resposta do 
sistema ao degrau unitário é dada por 
 
Esta função será decomposta em frações parciais, mas uma vez que a tabela de 
transformadas inversas já apresenta as soluções para funções de segunda ordem, a separação em 
frações será feita na forma: 
 
Nota-se que o numerador é um polinômio do primeiro grau, e não apenas um termo 
constante. Isto é necessário, uma vez que o grau do polinômio do denominador deve ser uma 
unidade menor do que o grau do denominador. A igualdade das funções permite obter os 
coeficientes, que resultam a1 = 1, a2 = 1, e a3 = 2 n, e portanto 
 
Serão analisadas agora as diferentes alternativas para o valor de . 
5.3.3 - Resposta do sistema de segunda ordem para 0 < < 1 
Neste caso a resposta do sistema apresenta dois pólos complexos conjugados, e é conhecida 
como movimento oscilatório sub-amortecido. Os pólos são dados respectivamente por 
 
e 
 
Nota-se que a raiz é negativa, pois é menor do que a unidade. Fazendo então d ser a 
freqüência natural amortecida, definida por 
 
então as raízes ficam 
 
 
Esta alteração permite escrever a resposta do sistema na forma 
 
pois 
 
Apostila de Controle 34 
Separando agora o numerador em dois termos na forma , a 
resposta fica 
 
Pode-se agora efetuar a transformada inversa de Laplace, usando a tabela de transformadas. 
A resposta do sistema no domínio do tempo resulta 
 
mas como , então a resposta fica 
 
A expressão acima pode igualmente ser posta na forma 
 
Uma vez que, por hipótese, , então é válido considerar que existe um ângulo tal 
que , e, neste caso, . Substituindo estas expressões na 
resposta do sistema, tem-se 
 
Lembrando finalmente que , tem-se 
 
onde a relação 
 
permite obter o ângulo . A resposta também pode ser escrita como 
 
válida para , ou seja, trata-se de uma resposta oscilatória com amplitude amortecida. O 
período da oscilação é , e o amortecimento é tanto maior quanto maior for a freqüência 
natural não amortecida e a constante de amortecimento . O erro da resposta com relação à 
entrada fica então dado por 
 
Apostila de Controle 35 
e o erro de regime permanente é nulo, pois quando o tempo t tende a infinito, o erro tende a se 
anular: 
 
Se, porém, a constante de amortecimento for nula, isto é, se , então a resposta já não é 
amortecida, mantendo, todavia, a oscilação, com período . Logo, para a resposta vale 
 
Com base na resposta amortecida e não amortecida fica mais fácil entender a razão dos 
nomes de e Nota-se que a freqüência natural amortecida, , é sempre maior do que a 
freqüência natural não amortecida, Contudo, conforme a constante de amortecimento aproxima-
se de 1, a resposta torna-se não oscilatória e mais amortecida, como visto a seguir. 
5.3.4 - Resposta do sistema de segunda ordem para 
Quando o sistema torna-se criticamente amortecido, ou de amortecimento crítico. 
Substituindo este valor da constante de amortecimento na função de transferência, resulta que 
 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se 
 
Recorrendo à tabela de transformada de Laplace (a e g), pode-se efetuar agora a 
transformada inversa 
 
que apresenta um erro de regime permanente dado por 
 
ou seja, o erro em regime permanente é nulo. Deve-se notar também a ausência de oscilação na 
resposta do sistema, que é puramente uma exponencial assintótica (amortecida). 
5.3.5 - Resposta do sistema de segunda ordem para 
Quando a constante de amortecimento é maior do que 1, tem-se um sistema sobre-
amortecido ou superamortecido. A função de transferência apresenta agora dois pólos reais e 
distintos, s1 e s2, dados por 
 
A resposta do sistema à ação degrau unitário fica dada por 
Apostila de Controle 36 
 
Separando em frações parciais e aplicando a transformada inversa, a resposta no tempo fica 
 
composta por duas exponenciais, com decaimentos diferentes, uma vez que os expoentes são 
distintos. Esta expressão pode ser escrita na forma mais compacta 
 
Percebe-se, igualmente, que o erro em regime permanente é nulo, pois se trata de uma soma 
de duas exponenciais decrescentes, uma vez que tanto s1 quanto s2 são positivos: 
 
 
Figura 5-3: Resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau unitário, para diferentes valores 
da constante de amortecimento . 
A Figura 5-3 ilustra o comportamento de um sistema de segunda ordem em função da 
constante de amortecimento e do ângulo , para excitação na forma de um degrau unitário. 
Pode ser mostrado que se a constante de amortecimento estiver limitada entre os extremos 
, (movimento oscilatório sub-amortecido), então a resposta apresentará um único 
pico, isto é, ela ultrapassa o valor 1 apenas uma vez, e depois aproxima-se de 1 sementretanto cair 
abaixo deste valor (ver a curva referente a na Figura 5-3). Nota-se também que todas as 
curvas apresentam erro de regime permanente nulo (tendem para 1) exceto a resposta para uma 
constante de amortecimento nula, que é oscilatória. 
5.4 - ANÁLISE DE DESEMPENHO COM BASE NA RESPOSTA TRANSIENTE 
Em geral a análise do desempenho ou das características de um sistema é realizada com base 
na resposta deste sistema a uma excitação qualquer. Como o degrau unitário permite diferenciar 
bem o comportamento dinâmico dos diversos sistemas, ele é normalmente escolhido como a 
excitação de referência, embora o impulso unitário possa igualmente desempenhar este papel. Como 
visto, a resposta de um sistema de ordem maior ou igual a 2 não atinge a referência imediatamente, 
Apostila de Controle 37 
mas apresenta um transiente amortecido até atingir o regime estacionário (ou permanente). O 
comportamento do sistema no transitório depende, é claro, das condições iniciais. Contudo, para 
simplificar a análise, é comum adotar-se condições iniciais nulas. Assim, a resposta destes sistemas 
possui o comportamento típico mostrado na Figura 5-4, com uma ou outra alteração. Com base 
neste comportamento, pode-se definir algumas variáveis com base na resposta ao degrau unitário. 
As mais importantes são: 
 tempo de atraso de resposta, td 
 tempo de subida, tr 
 instante de pico ou de máxima resposta, tp 
 máximo sobre-sinal, Mp 
 tempo de assentamento, ts 
 
Figura 5-4: Caracterização da resposta de um sistema dinâmico 
O tempo de atraso de resposta, td, é o intervalo no qual o sistema atinge pela primeira vez 
50% do seu valor final (estacionário). 
O tempo de subida, tr, é o tempo que o sistema leva para passar de 0 a 100% do seu valor 
final, ou então de 5% a 95%, ou ainda de 10% a 90%. Na figura 6 o tempo de subida está 
representado no intervalo 0 a 100%. 
O tempo de pico ou instante de pico ou instante de máxima resposta, tp, é o intervalo de 
tempo necessário até que o sistema atinja seu primeiro sobre-sinal. 
O sobre-sinal máximo (ou overshoot), Mp, é a diferença entre a resposta no instante de pico 
e o valor da resposta em regime permanente. Pode ser mostrado que o sobre-sinal máximo 
relaciona-se com a estabilidade do sistema. 
O tempo de assentamento, ts, é o intervalo que o sistema leva até que a resposta caia dentro 
de uma faixa de valores centrada no valor final do regime permanente. Esta faixa é geralmente 
escolhida entre 2% a 5%, dependendo dos objetivos do projeto. O tempo de assentamento é maior 
do que todos os outros intervalos definidos aqui. Admite-se, para fins práticos, que após o tempo de 
assentamento o sistema tenha atingido o regime permanente. 
Em sistemas sobre-amortecidos o instante de pico e o sobre-sinal máximo não são definidos. 
5.5 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM NÃO-CANÔNICOS 
Os resultados obtidos acima são corretos apenas para uma função de transferência sem zeros 
finitos. Se o sistema de segunda ordem possui zeros localizados próximos do(s) pólo(s) 
dominate(s), os zeros vão influenciar a resposta transitória do sistema. 
Vamos tomar como base um sistema genérico de segunda ordem com um zero: 
Apostila de Controle 38 
 
No caso subamortecido, este sistema tem pólos com parte real e um zero em . 
Vamos verificar a influência do zero supondo e em duas situações: e 
. Por simulação numérica gerou-se o sinal de saída desses sistemas em cinco casos: 
 (ou seja, sistema canônico sem zero), (em módulo, o zero é 10 vezes maior 
que a parte real do pólo), (o zero é 5 vezes maior), (o zero e a parte real 
do pólo são iguais) e (o zero está no semi-plano direito). Na Figura 5-5 vê-se o 
sinal de saída dos sistemas com e , respectivamente, para as diversas 
localizações do zero. 
 
Figura 5-5: Influência de um zero na resposta ao degrau de um sistema. 
Com base nos sinais simulados, determinou-se numericamente para cada caso o valor do 
sobre-sinal e do tempo de estabilização do sistema, valores estes que estão indicados na Tabela 5-1. 
Pelos comportamentos exibidos na Figura 5-5 e na Tabela 5-1, nota-se que o zero tem uma 
influência marcante no sobre-sinal dos sistemas de segunda ordem quando ele se localiza próximo 
dos pólos dominantes. A influência sobre o tempo de estabilização não é muito significativa, exceto 
nos casos extremos. Quando o zero está muito mais afastado do eixo imaginário que o pólo, seus 
efeitos são desprezíveis tanto sobre o sobre-sinal quanto sobre o tempo de estabilização e o sistema 
se comporta como um sistema sem zeros. 
 
 
 
Apostila de Controle 39 
Tabela 5-1: Influência de um zero nos critérios de desempenho de um sistema. 
 Sobre-sinal Sub-sinal Estabilização (5%) 
0.2 0 ∞ ∞ 52.7% ---- 13.8 
0.2 0.5 2 10 59.7% ---- 13.4 
0.2 1 1 5 79.8% ---- 15.8 
0.2 5 0.2 1 355.5% 82.7% 21.8 
0.2 -1 -1 -5 70.9% 34.7% 17.2 
0.625 0 ∞ ∞ 8.1% ---- 5.17 
0.625 0.16 6.25 10 8.2% ---- 5.01 
0.625 0.32 3.125 5 8.6% ---- 4.86 
0.625 1.6 0.625 1 35.5% ---- 4.30 
0.625 -0.32 -3.125 -5 8.4% 4.0% 5.48 
É interessante se notar o efeito dos zeros no semi-plano direito, o que caracteriza os sistemas 
de fase não-mínima. A existência de zeros nesta configuração leva ao aparecimento de sub-sinal 
(valores negativos) no início do transitório (casos com ). O sub-sinal também pode aparecer 
em sistemas com baixo fator de amortecimento e com um zero muito significativo em relação aos 
pólos, como no caso e . 
5.6 - SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR 
Quando o sistema tem mais de um pólo com partes reais distintas, o comportamento do sistema é 
mais influenciado pelo pólo mais próximo do eixo imaginário (pólo dominante) que pelos outros 
pólos (pólos dominados). Esse fato acontece porque a constante de tempo do pólo dominante é 
maior, o que gera sinais transitórios mais duradouros.Para exemplificar, dois sistemas de quarta 
ordem cujos pólos estivessem nas posições indicadas na 
Figura 5-6 poderiam ser aproximadamente representados por sistemas de ordem inferior: 
 
Figura 5-6: Exemplos de aproximação de sistemas com pólos dominantes e dominados. 
 
 
Quando o sistema tem vários pólos com partes reais aproximadamente iguais, a relação de 
dominância não está bem estabelecida. Um sistema nesta situação geralmente tem um tempo de 
Apostila de Controle 40 
estabilização maior que um sistema com um pólo simples na mesma posição. Isto pode ser 
constatado no caso dos sistemas de segunda ordem: um sistema de primeira ordem com um pólo em 
 terá um tempo de estabilização a 2% de , enquanto que um sistema de segunda 
ordem criticamente amortecido com dois pólos na mesma posição terá um tempo de 
estabilização de 2% de . 
Consideremos a adequação de uma aproximação de ordem inferior para os sistemas: 
 
 
O primeiro sistema tem pólos em e . Como a relação entre as partes 
reais é de 1:6, espera-se um bom resultado ao se fazer a aproximação. Já o segundo sistema tem 
pólos em e . Como a relação entre as partes reais é de 1:1,5, a aproximação 
não deve dar bons resultados. A Figura 5-7 apresenta a resposta ao degrau dos sistemas exatos e 
dos aproximados. No primeiro caso há uma semelhança razoável na curva de resposta, enquanto 
que no segundo caso se constata uma diferença considerável, principalmente no sobre-sinal. 
 
Figura 5-7: Resposta ao degrau de um sistema exato e de um sistema aproximado. 
 
 
 
 
Apostila de Controle 41 
5.7 - EXEMPLOS 
Petrobras – Eng. de Proc. Júnior 2001 
 
Petrobras – Processamento Júnior – 2004 
 
Resposta: 
156V, 157V, 158F, 159V, 160V 
 
 
 
Transpetro – Automação 2006 
 
Resposta: Fazendo as devidas substituições, 
tem-se: 
 
 
Logo: 
 
Letra C. 
 
 
 
Apostila de Controle 42 
Prominp - Área: Elétrica – 2006 
 
Resposta: A saída será 1/6, ou seja, 0,16. 
Letra B. 
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
Resposta: Da própria solução de sistemas de 
primeira ordem ao degrau, letra D. 
 
REFAP– Eletrônica 2007 
 
Resposta: Como a resposta ao degrau começa 
com valores negativos, tem-se a presença de um 
zero de malha aberta positivo, portanto, 
descartam-se as letras A e C. Como a saída está 
indo para um valor positivo, a parte sem s do 
denominador deve ser positiva, descartando a 
letra B. Como o ganho DC é 5, e resposta é a 
letra D. 
 
Apostila de Controle 43 
CAPÍTULO 6 
ESTABILIDADE 
6.1 - INTRODUÇÃO 
A obtenção de um modelo matemático para um sistema, abordada nos capítulos anteriores, 
tem como uma das razões principais, a necessidade de ser deduzir propriedades dos processos a 
serem controlados, sem que seja preciso realizar-se ensaios exaustivos com o sistema. 
Uma das principais propriedades em engenharia de controle é a da estabilidade. A 
estabilidade nos garante que, após um período transitório, o sistema se fixará em um modo de 
funcionamento permanente, o que pode não ocorrer para um sistema instável. Sabendo que um 
sistema instável poderá exibir uma resposta errática e destrutiva, o controle deve se assegurar que o 
sistema é estável, com uma resposta limitada e controlável. 
Como introdução a este tema analisemos os dois casos a seguir. 
 
Figura 6-1: Movimento de um pêndulo simples 
A equação diferencial linearizada do pêndulo simples fornece: 
 
Aplicando a transformada de Laplace: 
 
cujos pólos são: 
 
 
Como os pólos são imaginários (ou possuem parte real nula), o sistema apresentado é 
marginalmente estável. 
Apostila de Controle 44 
 
Figura 6-2: Resposta dinâmica de um pêndulo simples. 
 
Figura 6-3: Movimento de um pêndulo invertido 
A equação diferencial linearizada do pêndulo simples fornece: 
 
Aplicando a transformada de Laplace: 
 
cujos pólos são: 
 
 
Como um dos pólos é positivo (ou possui parte real positiva), o sistema apresentado é 
instável. 
 
Figura 6-4: Resposta dinâmica de um pêndulo invertido. 
Este capítulo apresentará as ferramentas que atestam a estabilidade de um sistema, a partir 
do seu modelo matemático. 
Apostila de Controle 45 
6.2 - O CONCEITO DE ESTABILIDADE 
Existem diversas definições de estabilidade, quase todas equivalentes ao se tratar de 
sistemas lineares. Adotaremos a definição que diz que um sistema qualquer é estável se e somente 
se sua saída for limitada para toda e qualquer entrada limitada. Este enunciado é conhecido como a 
definição BIBO (Bounded Input, Bounded Output) de estabilidade. 
A estabilidade de um sistema linear contínuo pode ser determinada a partir da sua função de 
transferência (ou de sua matriz de transição de estados). Mostra-se que uma condição necessária e 
suficiente para que um sistema seja estável é que todos os pólos de sua função de transferência (ou 
os autovalores da sua matriz de transição d estados) tenham parte real negativa. 
A justificativa intuitiva para esta afirmação vem da análise da resposta transitória (ou 
resposta natural) dos sistemas. Se um sistema tem função de transferência G(s) dada por: 
 
então o seu sinal de saída Y(s), para um sinal de entrada U(s), pode ser decomposto em frações 
parciais da seguinte forma: 
 
onde YU(s) representa o somatório das frações parciais correspondentes aos termos introduzidos 
pelo sinal de entrada U(s). Se u(t) é limitado, a saída yu(t), ou saída forçada, também será limitada, 
pois a saída forçada tem a mesma natureza que o sinal de entrada. Desta forma, a possibilidade de 
surgimento de um sinal de saída ilimitado para uma entrada limitada vem dos termos 
correspondentes aos pólos da função de transferência. 
Há seis tipos de pólos para um sistema, conforme indica a Figura 6-5. Os termos em frações 
parciais correspondentes a cada um deles geram as seguintes componentes no sinal de saída: 
 
Figura 6-5: Possíveis localizações dos pólos e sua influência no sinal de saída 
1. Pólos reais negativos: exponencial decrescente ; 
2. Pólos complexos com parte real negativa: senóide exponencialmente amortecida 
; 
3. Pólos na origem: sinal constante ; 
4. Pólos imaginários puros: senóide constante ; 
5. Pólos complexos com parte real positiva: senóide exponencialmente crescente 
; 
6. Pólos reais positivos: exponencial crescente . 
Apostila de Controle 46 
Se todos os pólos do sistema têm parte real negativa, eles se enquadram nos casos (1) ou (2) 
acima, de modo que gerarão sinais que desaparecerão com o tempo. Assim, pode-se garantir que 
qualquer sinal de entrada limitado gerará um sinal de saída limitado, pois após um tempo 
suficientemente longo, restarão apenas os componentes forçados do sinal de saída. Por 
conseqüência, o sistema será estável. 
Se o sistema tiver ao menos um pólo com parte real positiva, o pólo em questão se enquadra 
em um dos casos (5) ou (6) acima, o que gerará um sinal que tende para infinito. Portanto, 
independentemente de qual seja o sinal de entrada aplicado, o sinal de saída tenderá para infinito e 
conseqüentemente o sistema é instável. 
Quando o sistema tem pólos com parte real nula, que correspondem aos casos (3) e (4) 
acima, o sistema é dito marginalmente estável se todos os demais pólos tiverem parte real negativa. 
Estes sistemas geram sinais de saída limitados para alguns sinais de entrada e ilimitados para outros. 
Como a definição de estabilidade exige que o sinal de saída seja limitado para qualquer sinal de 
entrada limitado, os sistemas marginalmente estáveis são considerados instáveis. 
Para o caso (3) com um pólo na origem, a saída será limitada se o sinal de entrada tiver valor 
médio nulo, ou tenderá para o infinito no caso contrário. Por exemplo, uma entrada senoidal gerará 
uma saída cossenoidal limitada, enquanto que uma entrada degrau gerará uma saída em rampa que 
tende para infinito. Para o caso (4) com um par de pólos imaginários , a saída será limitada 
desde que o sinal de entrada não contenha componentes senoidais de freqüência , caso em que a 
saída tenderá para infinito. 
Um exemplo clássico de sistema marginalmente estável é mostrado na figura 6.2. A ponte 
Tacoma Narrows, no estado de Washington, EUA, foi aberta ao tráfego em julho de 1940. Notou-se 
que a ponte apresentava oscilações sempre que o vento soprava. Em novembro de 1940, uma 
determinada rajada de vento produziu uma oscilação que cresceu em amplitude até que a ponte se 
partiu. Este comportamento indica que o modelo da ponte apresentava um par de pólos em , ou 
próximos desta localização. Quando ocorreu uma rajada de vento com um comportamento 
oscilatório próximo da freqüência , a oscilação de saída tendeu a crescer até que a estrutura não 
resistiu. A primeira foto da Figura 6-6 mostra o início da oscilação, enquanto a segunda mostra o 
final da catástrofe. 
 
Figura 6-6: Acidente ocasionado por instabilidade da ponte Tacoma Narrows, EUA 
6.3 - O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 
Por volta de 1800, A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um método para 
investigar a estabilidade de um sistema linear contínuo, considerando a equação característica do 
sistema. A equação característica é escrita como: 
 
Apostila de Controle 47 
Para se afirmar a estabilidade de um sistema contínuo, é necessário que se determine se 
alguma das raízes de está no semi-plano direito do plano s. Se a equação característica for 
fatorada em termos dos pólos p1,p2,...,pn, temos: 
 
Multiplicando-se os fatores, acha-se que: 
 
Em outras palavras: 
 
Este resultado mostra que todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal se 
todas as raízes estão no semi-plano esquerdo. Além disso, todos os coeficientes devem ser não 
nulos. Estas condições, embora necessárias, não são suficientes para garantir a estabilidade. Por 
exemplo, a equação 
 
satisfaz estas duas condições, mas tem raízes -2 e 0.5±j1.9365, sendo que o par de pólos 
complexos é instável. 
O critério de Routh-Hurwitz é uma condição necessária e suficiente para a estabilidade de 
um sistema. O procedimentose baseia em uma tabela derivada dos coeficientes do polinômio 
característico, montada da seguinte forma: 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
... 
... 
 ... 
 ... 
 
 
onde a0, a1, a2, ..., an são os coeficientes do polinômio e: 
 
 
Apostila de Controle 48 
 
Se o polinômio é de ordem n, a tabela de Routh-Hurwitz terá n linhas. As duas últimas 
linhas da tabela (correspondentes a s0 e s1) terão uma coluna; as duas linhas seguintes 
(correspondentes a s2 e s3) terão duas colunas; e assim sucessivamente. Note-se que o último termo 
de todas as linhas pares (linhas correspondentes a s0, s2, s4, etc.) é idêntico. 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes da equação 
característica com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da 
tabela. Este critério requer, portanto, que todos os elementos da primeira coluna tenham o mesmo 
sinal para que o sistema seja estável. O resultado não se altera quando todos os coeficientes de uma 
mesma linha são multiplicados ou divididos por um número positivo, o que muitas vezes pode ser 
útil para simplificar o cálculo. 
Exemplo 6.1 - Considere a estabilidade de um sistema cuja Função de Transferência é descrita por: 
 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
 1 3 11 
 2 4 10 
 1 6 
 -8 10 
 -7.25 
 10 
Houve duas mudanças de sinal, o que implica que o sistema tem dois pólos com parte real 
positiva e que, portanto, é instável. Este resultado pode ser confirmado determinando-se as raízes da 
equação característica, que são -1.1066, -1.2066, -1.2501±j1.2944 e 0.8034±j1.4647. Este último 
par de pólos complexos causa a instabilidade do sistema. 
Algumas situações particulares podem ocorrer quando o primeiro elemento de uma linha é 
nulo. Neste contexto, devem ser analisados dois casos distintos: 
 o primeiro elemento da linha é nulo e há pelo menos um outro elemento da mesma linha 
não-nulo; ou 
 todos os elementos de uma linha são nulos (esta situação inclui o caso da linha com um 
único elemento nulo). 
Quando o primeiro elemento de uma linha é nulo e há pelo menos um elemento não-nulo na 
mesma linha, o elemento nulo pode ser substituído por um pequeno número positivo ; faz-se, em 
seguida, tender a zero e verifica-se o número de mudanças de sinal na tabela. 
 
 
Apostila de Controle 49 
Exemplo 6.2 - Determine a estabilidade de um sistema descrito pela função de transferência: 
 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
 1 2 11 
 2 4 10 
 6 
 10 
 
 10 
Com , tem-se 
 1 2 11 
 2 4 10 
 +0 6 
 -∞ 10 
 6 
 10 
Houve duas mudanças de sinal, o que implica que o sistema tem dois pólos com parte real 
positiva e que, portanto, é instável. Este resultado está correto, tendo em vista que as raízes da 
equação característica são -1.3087, -1.2407±j1.0375 e 0.8950±j1.4561. 
Quando ocorre uma linha com todos os elementos nulos na tabela de Routh-Hurwitz, isto 
indica que o polinômio contém singularidades que estão simetricamente dispostas em torno da 
origem do plano “s”. Logo, ocorrem fatores como ou . 
Conseqüentemente, o sistema é instável ou, pelo menos, marginalmente estável. 
Nesta situação, a linha que imediatamente precede a linha nula na tabela fornece os 
coeficientes do chamado polinômio auxiliar. As raízes deste polinômio P(s) são os pólos da 
equação característica responsáveis pelo aparecimento da linha nula. 
 
 
 
Apostila de Controle 50 
Exemplo 6.3 - Determine a estabilidade de um sistema descrito pela função de transferência: 
 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
 1 6 8 
 3 12 
 2 8 
 0 
 ? 
Então 
 
Este sistema tem dois pólos imaginários puros e é, portanto, marginalmente estável. 
Exemplo 6.4 - Um sistema com um ganho ajustável K é descrito pela função de transferência: 
 
Determine a faixa de valores de K para os quais o sistema é estável. 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
 1 6 8 
 K 12 
 8 
 
 8 
Para que o sistema seja estável, é necessário que todos os coeficientes da primeira coluna da 
tabela sejam maiores que zero. Isto leva ao seguinte sistema de inequações: 
 
O sistema será estável se todas as inequações forem satisfeitas simultaneamente. Logo, 
conclui-se que o sistema será estável para qualquer valor do ganho tal que 3<K<6. 
Apostila de Controle 51 
6.4 - ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz dá a resposta quanto à questão da estabilidade 
absoluta. Isto, em muitos casos práticos, não é suficiente, pois é freqüente a necessidade de 
informações sobre a estabilidade relativa do sistema. 
A estabilidade relativa de um sistema pode ser definida em termos do tempo de decaimento 
dos termos introduzidos pelos pólos do sistema no seu sinal de saída: quanto menor este tempo, 
maior a estabilidade relativa do sistema. Para sistemas instáveis, este tempo é infinito, o que implica 
em uma estabilidade relativa nula. A propriedade da estabilidade relativa é diretamente relacionada 
à parte real dos pólos do sistema. 
Uma abordagem útil para se examinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo imaginário no 
plano s e em seguida aplicar o critério de Routh-Hurwitz no novo polinômio característico. Isto é, 
faz-se a substituição: 
 
na equação característica do sistema,escreve-se o novo polinômio em termos de e aplica-se o 
critério neste novo polinômio. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela será 
igual ao número de raízes do polinômio original que estão localizados à direita da linha vertical 
. 
6.5 - EXEMPLOS
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
Resposta:: A equação característica fica sendo: 
 
Logo, letra B. 
 
Resposta: 
 
 
O pólo está em 
 
Que é sempre negativo para qualquer valor de 
K>0. 
Letra E. 
Apostila de Controle 52 
Petrobras – Proc. Júnior - 2004 
 
 
 
Resposta: 
161V, 162F, 163F, 164V, 165V 
 
Equipamentos Júnior - 2008 
Resposta: 
Questão 33: Letra D, pois este item está, na 
verdade, associado aos zeros do sistema: 
Questão 34: Letra A está errada, pois a 
instabilidade é fruto dos pólos. Letra B também 
está errada, pois a oscilação é fruto dos pólos. A 
letra D está errada, pois os zeros de malha aberta 
serão também zeros de malha fechada. A letra E 
está errada, pois os pólos de malha fechada 
caminham para os zeros de malha aberta, 
quando o ganho aumenta. Desta forma, o sistema 
será instaável para ganhos de malha elevados. 
Logo letra B. 
 
Transpetro – Processamento 2006 
Resposta: A Função de Transferência de malha 
fechada é: 
Apostila de Controle 53 
 
 
Logo os pólos são: 
 
Sistema estável. 
Letra E. 
 
Termoaço - 2008 
Resposta: 
Questão 29: A equação característica é: 
 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se 
que: 
 1 100 
 25 K 
 
 K 
Logo, tem-se que 0<K<2500. 
Letra A. 
 
Questão 30: Considerando que para K=2500 a os 
pólos estarão sobre o eixo imaginário, 
substituindo-se s por jw, tem-se: 
A equação característica pode ser escrito como: 
 
Logo: 
 
Donde: 
 
Letra B. 
 
Processamento Júnior – 2006 
Resposta: A equação característica pode ser 
escrito como: 
 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se 
que: 
 1 11 
 6 6+6Kc 
 
 6+6Kc 
Logo, tem-se que 0<Kc<10. 
Letra A. 
 
 
Apostila de Controle 54 
 
Resposta: 
Questão 34: Da própria definição de sobre-
elevação, letra B. 
Questão 35: Aplicando o critério de Routh-
Hurwitz: 
 1 5 
 1 2+Kc 
 
 2+Kc 
Logo, tem-se que 0<Kc<3. 
Letra D. 
 
 
Resposta: A equação característica pode ser 
escrito como: 
 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se 
que: 
 1 14 
 40 K 
 0 
 K 
Logo, tem-se que K=560. 
Letra D. 
 
Petrobras – Eng. de Processamento Júnior 
2001 
 
Resposta: 
Questão 38: 1V, 2F, 3V, 4F, 5F 
 
 
 
 
 
 
Apostila deControle 55 
Petrobras – Eng. de Equip. Júnior 2001 
 
 
Resposta:1V, 2F, 3F, 4V, 5V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Controle 56 
CAPÍTULO 7 
ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE 
7.1 - INTRODUÇÃO 
A propriedade da estabilidade nos garante que, após um período transitório, o sistema se 
fixará em um modo de funcionamento permanente. A análise em regime permanente se preocupa 
não apenas em ter certeza que o sistema estabilizará em um modo de comportamento estável, mas 
também em garantir que este modo de comportamento para o qual o sistema vai evoluir 
corresponde ao comportamento desejado. Dito de outra forma, trata-se da análise de chamado erro 
estacionário, ou erro de regime, do sistema, que constitui o principal conceito abordado neste 
capítulo. 
7.2 - ERRO ESTACIONÁRIO 
Um sistema de controle é útil porque permite ao engenheiro ajustar o comportamento da 
saída a partir do sinal de entrada. O erro estacionário, ou erro de regime, é a diferença entre os 
sinais de entrada e de saída depois que todos os sinais transitórios decaíram, deixando apenas a 
resposta permanente no sinal de saída. Esta análise, evidentemente, só faz sentido para sistemas 
estáveis. 
A diminuição da sensibilidade do erro estacionário às variações nos parâmetros do sistema é 
uma das principais razões para se utilizar realimentação em sistemas de controle. Isto pode ser 
demonstrado calculando-se o erro de regime para os dois tipos de sistemas. 
 
Figura 7-1: Sistemas típicos em malha aberta e em malha fechada 
Para um sistema em malha aberta da Figura 7-1, a Transformada de Laplace do erro é: 
 
Já o erro do sistema com realimentação negativa unitária é tal que: 
 
Para calcular o valor estacionário do erro , utiliza-se o teorema do valor final da 
transformada de Laplace: 
 
Utilizando uma entrada degrau unitário nos dois sistemas para efeito de comparação, obtém-
se para o sistema em malha aberta: 
 
Para o sistema em malha fechada, tem-se: 
 
Apostila de Controle 57 
O valor de G(s) quando s=0 é normalmente denominado ganho CC, pois dá o fator de 
multiplicação em regime entre entrada e saída para uma entrada degrau. Nota-se que o sistema em 
malha aberta pode ter um erro estacionário nulo simplesmente ajustando-se o valor do ganho CC 
para que o sistema tenha G(0)=1. Qual é a vantagem do sistema em malha fechada neste caso? 
No sistema em malha aberta, pode-se calibrar o sistema de forma que G(0)=1, mas durante a 
operação do sistema é inevitável que os parâmetros de G(s) mudem por envelhecimento ou por 
mudança das condições do ambiente. Como se trata de um sistema em malha aberta, o erro 
estacionário permanecerá diferente de zero até que o sistema seja recalibrado. Já o sistema em 
malha fechada continuamente monitora o erro e gera um sinal de entrada para a planta de forma a 
reduzir o valor de regime do erro. 
A menor sensibilidade a variações nos parâmetros dos sistemas em malha fechada pode ser 
percebida em um exemplo. Seja uma planta com função de transferência: 
 
O erro estacionário em malha aberta é: 
 
Este erro pode ser feito nulo adotando-se K=1. Para o sistema em malha fechada, 
 
Neste caso, o erro nunca é nulo. Pode-se reduzi-lo adotando-se um ganho elevado. Por 
exemplo, para K=100, o erro estacionário seria de erp=0.0099. Comparando-se estas duas situações, 
a configuração em malha aberta parece ser superior. 
A vantagem da realimentação aparece quando ocorrem variações nos parâmetros. Por 
exemplo, vamos supor uma variação de 20% no valor do ganho K. No sistema em malha fechada, o 
ganho passar de K=1 a K=0.8 faz com que o erro em regime passe de erp=0.0099 a erp=0.012. 
Ou seja, uma variação de 20% no valor do ganho se reflete integralmente no sinal de saída 
no caso em malha aberta, enquanto que no sistema em malha fechada ocorre uma variação de 
apenas 0.21% no valor do sinal de saída. 
7.3 - ERRO ATUANTE ESTACIONÁRIO 
Para sistemas realimentados, além do erro tradicional (diferença entre o sinal de entrada e o 
sinal de saída), define-se também o erro atuante ea(t), que é a diferença entre o sinal de entrada e o 
sinal realimentado. A Figura 7-2 ilustra esta definição do erro atuante: note-se que, para sistemas 
com realimentação negativa unitária onde H(s)=1, o erro e o erro atuante são equivalentes. 
 
Figura 7-2: Definição do erro atuante 
Da Figura 7-2: 
 
Apostila de Controle 58 
Da mesma forma que para o erro, pode-se calcular o erro atuante estacionário (ou seja, o 
valor de regime do erro atuante) utilizando o teorema do valor final da transformada de Laplace: 
 
É útil, para efeito de comparação, determinar-se o erro atuante estacionário para três 
entradas bastante usuais em análise de sistemas de controle: entrada degrau, entrada rampa e 
entrada parábola. 
7.3.1 - Entrada degrau 
O erro atuante estacionário para uma entrada degrau unitário r(t)=1 é de: 
 
Claramente, é a função de transferência de malha aberta que determina o erro 
atuante estacionário. Esta função de transferência pode ser escrita de forma geral como: 
 
O número N de integradores puros (ou seja, pólos na origem) da função de transferência em 
malha aberta do sistema é freqüentemente denominado o tipo do sistema. 
Para um sistema tipo 0 (N=0), o erro atuante estacionário para a entrada degrau é: 
 
A constante é denominada Kp, a constante de erro de posição, de modo que: 
 
Para sistemas tipo 1 ou superior, o erro atuante estacionário para entrada degrau é nulo, pois 
a constante Kp tende a infinito. 
7.3.2 - Entrada rampa 
O erro atuante estacionário para uma entrada rampa unitária r(t)=t é de: 
 
Novamente, o erro atuante estacionário depende do tipo do sistema. Para um sistema tipo 0, 
o erro atuante estacionário é infinito. Para um sistema tipo 1: 
 
onde a constante Kv é denominada constante de erro de velocidade. Para sistemas tipo 2 ou 
superior, o erro atuante estacionário para entrada rampa é nulo. 
Apostila de Controle 59 
7.3.3 - Entrada parábola 
O erro atuante estacionário para uma entrada parábola unitária é de: 
 
Para sistemas tipo 0 ou tipo 1, o erro atuante estacionário é infinito. Para um sistema tipo 2, 
obtém-se: 
 
onde a constante Ka é denominada constante de erro de aceleração. Para sistemas tipo 3 ou 
superior, o erro estacionário para entrada parábola é nulo. 
O sumário do erro atuante estacionário para as três entradas principais dos vários tipos de 
sistemas é sumarizado na Tabela 7-1. Se o sistema em malha aberta tem p integradores, então o 
erro será zero em regime (desde que o sistema em malha fechada seja estável) para sinais de 
referência que são polinômios de ordem menor ou igual a p-1. Para o caso mais freqüente da 
entrada degrau (polinômio de ordem zero), é importante lembrar que um único pólo na origem 
garante o erro atuante estacionário nulo. 
Tabela 7-1: Sumário das fórmulas de cálculo do erro atuante estacionário. 
Tipo do sistema 
Entrada 
Degrau Rampa Parábola 
0 ∞ ∞ 
1 0 ∞ 
2 0 0 
3 0 0 0 
Como ilustração, a Figura 7-3 apresenta o comportamento esperado de um sistema tipo 1 
com realimentação negativa unitária para os três tipos de entrada. O sinal de saída do sistema segue 
perfeitamente uma entrada degrau, acompanha com atraso constante uma entrada rampa e se 
distancia cada vez mais de uma entrada parábola. 
 
Figura 7-3: Comportamento de um sistema tipo 1 para vários tipos de entrada. 
Apostila de Controle 60 
CAPÍTULO 8 
CONTROLE CLÁSSICO DE SISTEMAS 
8.1 - DEFINIÇÕES 
Um controlador de um sistema é um dispositivo eletrônico, pneumático, hidráulico ou 
mecânico que compara a situação atual da planta (o estado da planta, dado pela sua posição, 
velocidade, tensão, etc.) que se quer controlar, determina a seguir o desvio ou erro com relação a 
uma referência fornecida e produz um sinal de controle no atuador que, por sua vez, leva