Avaliação - Cálculo II

Prévia do material em texto

1. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a função T(x, y) = x3 - y3 + 
xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto (2, 1). 
a. �⃗� = (13, -1) 
b. �⃗� = (13, 1) 
c. �⃗� = (13, -13) 
d. �⃗� = (-13, -1) 
e. �⃗� = (-13, 1) 
 
2. Ao utilizar a aproximação linear de uma função, ocorrerá um erro que, em situações práticas, 
deseja-se que seja controlado. Utilizando a aproximação linear da função f(x) = x2 + 2x em x0 
= 1, qual o valor do erro da aproximação para x = 1, 2? 
a. 0,04 
b. 0,03 
c. 0,02 
d. 0,05 
e. 0,01 
 
3. Quando se deriva uma função f, encontra-se a derivada primeira f'. Se f' for derivável, então 
sua derivada é denotada por f'′, denominada derivada segunda de f. Nesse contexto, encontre a 
derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x2 + 8x + 1 e assinale a alternativa correta: 
a. f''(x) = 3x + 8 
b. f''(x) = 2x + 8 + 1 
c. f''(x) = 3 
d. f''(x) = 6x + 8 
e. f''(x) = 6 
 
4. Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da 
cadeia. Dada a função y = (1 + x cos(x))-5, encontre: dy/dx. 
a. -5(1 + x cos(x))-6(-x cos(x)) 
b. -5(1 + x cos(x))-6(-x sen(x) + cos(x)) 
c. -5(1 + x cos(x))-5(-x cos(x)) 
d. 5(1 + x cos(x))-6(cos(x)) 
e. -5(1 + x cos(x))-6 
 
5. Para que uma função de variável complexa seja derivável (ou diferenciável), isto é, sua 
derivada exista e seja válida, é necessário que uma série de condições sejam atendidas, dada a 
natureza de múltiplas variáveis da função, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), visto que z = x + iy. Essas 
condições são dadas com respeito à função f(z) e também sobre suas partes u(x, y) e v(x, y). Dos 
casos a seguir, em qual deles a função atende a todas as condições que garantem a existência e 
a validade da derivada de uma função complexa? 
a. A função f(z) é contínua; suas partes e as derivadas parciais de primeira ordem dessas partes 
são contínuas; e as derivadas parciais de primeira ordem das partes atendem às condições de 
Cauchy-Riemann. 
b. A função f(z) e suas partes são contínuas, porém as derivadas não são contínuas e atendem 
às condições de Cauchy-Riemann. 
c. A função f(z) é contínua; suas partes e as derivadas parciais de primeira ordem dessas partes 
são contínuas; e as derivadas parciais de primeira ordem das partes atendem apenas uma das 
condições de Cauchy-Riemann. 
d. A função f(z) não é contínua em todo o domínio, mas tem partes contínuas com derivadas 
parciais de segunda ordem contínuas e que atendem às condições de Cauchy-Riemann. 
e. A função f(z) atende Cauchy-Riemann e tem derivadas contínuas. 
 
 
 
6. Para uma função ser analítica é necessário: 
a. que, considerando um domínio D, é a descontinuidade dessa função em cada ponto de D. 
b. lembrar das condições que vem das regras de radiciação. 
c. a validade das equações de Cauchy-Riemann embora não suficiente. 
d. e suficiente a validade das equações de Cauchy-Riemann. 
e. lembrar das condições suficientes que vem das regras de antiderivação. 
 
1. Muitas das funções que utilizamos para resolver problemas são compostas. Afinal, muitas 
variáveis dependem de outras em problemas reais. Assim, para entendermos essas funções mais 
profundamente, é necessário compreender suas derivadas. Para tal, deve-se utilizar a regra da 
cadeia. Dessa forma, assinale a alternativa que contém a derivada da função f(x) = (x2 + 1)9 . 
tan2 (x). 
a. f '(x) = 18x(x2+1)9 tan2 (x) + 2(x2+1)8 tan(x)sec2 (x) 
b. f ' (x) = 18x(x2+1)8 tan2(x) + 2(x2 + 1)9 tan(x)sec2 (x) 
c. f ' (x) = 18x(x2+1)8 tan2 ⁡〖x +(x2+1)9 sec2 (x)〗 
d. f '(x) = 18(x2 + 1) sec2⁡〖(x)〗+ 2(x2 + 1)9 tan(x)sec2 (x) 
e. f '(x) = 18x(x2 + 1)9 tan2 (x) + (x2 + 1)9 tan(x)sec2 (x) 
 
2. Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar pontos de 
máximo e mínimo absolutos. Dada a função f(x)=10x7+3x2 determine se ela tem extremos 
absolutos e, se tiver, onde ocorrem.: 
a. Não tem extremos absolutos 
b. Máximo absoluto em x = -5 e mínimo absoluto em x = 1 
c. Máximo absoluto em x = -1 
d. Mínimo absoluto em x = -1 
e. Máximo absoluto em x = -1 e mínimo absoluto em x = 5