Aulas 06 Rendas exemplos respondidos

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NOTAS DE AULAS DA DISCIPLINA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFª. MÁRCIA AZEVEDO CAMPOS
Vitória da Conquista – Ba
2021
Série de Pagamentos (ou rendas)
É uma sucessão de pagamentos ou recebimentos R1, R2, R3, ... , Rn e com vencimentos sucessivos
n1, n2, ... , nn, em capitalização composta, com as seguintes características:
a) Quanto ao tempo:
● Temporária – quando tem um número limitado de termos;
● Infinita - quando tem um número infinito de termos.
b) Quanto à periodicidade:
● Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;
● Não Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos variáveis.
c) Quanto ao valor dos pagamentos:
● Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;
● Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento:
● Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série;
● Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou seja,
ocorrerá em períodos subseqüentes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos:
● Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre na data “0” (zero) da série de
pagamentos;
● Postecipadas ou Vencidas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos (data 1).
1) Série de Pagamentos com termos iguais e consecutivos e finita:
1.1) Fator de Formação de Capital (FAC) ou Capitalização ( S ):
_ Termos Vencidos (ou postecipados):
Exemplo: Uma pessoa deposita numa financeira, no fim de cada mês (imediata vencida), durante 5
meses, a quantia de $ 100,00. Calcule o montante da renda no final do 5o. mês, sabendo
que a financeira paga juros compostos de 4% ao mês.
0 1 2 3 4 5
Data focal R1 R2 R3 R4 R5 Montante S
Sendo, S o Montante
R o valor das Prestações
i a taxa de juros compostos
n o tempo (ou quantidade de prestações)
temos,
- Matemática Financeira – Profª. Márcia Azevedo Campos
Página 2
_Termos Antecipados:
Para resolvermos um problema de montante de uma série de pagamentos com termos
antecipados, basta multiplicar por (1 + i) o cálculo obtido para termos vencidos ou postecipados.
Assim,
0 1 2 3 4 5
Data focal 1º. 2º. 3º. 4º. 5º. Montante
Então, se R = 100,00
n = 5 prestações, a partir de hoje (antecipada)
i = 4% ao mês
S = ?
Exemplos:
1) Quanto terá no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar $ 500,00 no fim de cada mês (vencidas),
em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês?
2) Quanto uma pessoa terá que aplicar (R) mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante 5
anos, para resgatar $ 200 000,00 no fim de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona
rendimento de 2% ao mês, e que as aplicações são feitas no início de cada período (antecipada)?
Valor da aplicação mensal
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3) Quantas prestações (n) vencidas de $ 400,00 devo aplicar trimestralmente, a 7% ao trimestre
para acumular um montante de $ 10 051,60?
10051, 60 = 400 . 1+0,07( )
𝑛−1
0,07
10051,60
400 . 0, 07 = 1 + 0, 07( )
𝑛 − 1
1,7590 + 1= 1,07n
1,07n = 2,7590 aplicando log
log 1,07n = log 2,7590
n. log 1,07 = log 2,7590
n = log𝑙𝑜𝑔 2,7590 log𝑙𝑜𝑔 1,07 
n = 14,999 ~15 trimestres ou seja, 15 prestações
4) A que taxa devo aplicar $ 1 500,00 no fim de cada ano (vencidas) para que eu tenha um
montante de $ 50000,00 no final de 10 anos?
e é um produto notável de grau 1050000 = 1500 . 1+𝑖( )
10−1
𝑖 1 + 𝑖( )
10
Obs.: O cálculo da taxa de juros ( i ) em Série de Pagamentos (Capitalização ou Valor Atual) só
poderá ser feito usando calculadora financeira, por tentativa e erro ou através de tabelas
financeiras.
1.2) Fator de Valor Atual ( FVA ou P ) :
1 2 ... n
P R1 R2 ... Rn
Exemplo: Qual o valor que, financiado à taxa de 2% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5
prestações vencidas mensais, iguais e sucessivas de $ 100,00 cada uma?
Sendo, P o Valor Atual
R o valor das Prestações
i a taxa de juros compostos
n o tempo (ou quantidade de prestações)
temos, e
para termos vencidos para termos antecipados
Exemplos:
1) Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais, consecutivas e vencidas de
$ 350,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês.
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𝑃 = 𝑅. (1+𝑖)
𝑛−1
𝑖.(1+𝑖)𝑛
P = 350. P = 4828,18 o valor atual.𝑃 = 350. (1,05)
24−1
0,05. (1,05)24
2,2251
0,1613
2) Um empréstimo de $ 3 000 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12
prestações iguais, mensais, antecipadas e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5%
ao mês, calcule o valor da prestação.
𝑃 = 𝑅. 1 + 𝑖( ). (1+𝑖)
𝑛−1
𝑖.(1+𝑖)𝑛
3000 = 𝑅. [ 1, 035( ). 1,035( )
12−1
(0,035. 1,035( )12)
]
- > 3000 = R 1,035 0,51110,0529
R = 299,95 reais, a prestação.𝑅 = 300010,0016
3) Calcule o número de prestações semestrais de $ 1 500,00 cada uma, capaz de liquidar um
financiamento de $ 4 988,27, à taxa de 20% ao semestre.
4988, 27 = 1500. (1,2)
𝑛−1
0,2.(1,2)𝑛
4988,27
1500 = 
(1,2)𝑛−1
0,2.(1,2)𝑛
3, 3255 = (1,2)
𝑛−1
0,2.(1,2)𝑛
3, 3255 . 0, 2. (1, 2)𝑛 = (1, 2)𝑛 − 1
0, 6651. (1, 2)𝑛 − 1, 2( )𝑛 =− 1
1, 2( )𝑛( 0, 6651 − 1) =− 1
1, 2( )𝑛 = −1−0,3349
1, 2( )𝑛 = 2, 9859
𝑙𝑜𝑔 1, 2( )𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 2, 9859
𝑛. 𝑙𝑜𝑔 1, 2( ) = 𝑙𝑜𝑔 2, 9859
𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 2,9859log𝑙𝑜𝑔 1,2 
n = ~6 semestres
4) Quanto deverá um investidor aplicar hoje numa caderneta de poupança que rende 0,5%a.m.
para ter uma renda perpétua mensal de $ 800,00 com a primeira retirada um mês após?
Série de Pagamentos com Termos Diferidos:
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Uma série de pagamentos com termos diferidos caracteriza-se por apresentar um período sem
prestações ou termos, que pode ser no início ou no fim da série, denominado diferimento ou
carência.
Exemplo: Um empréstimo de $ 100.000,00 deve ser pago com juros de 4,5% a.m. em 5
pagamentos iguais e mensais. De quanto serão os pagamentos se o primeiro vencer 6
meses após o contrato?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P1 = 100.000 P2 = 100000 (1 + 0,045)6 = 130226,01
R1 R2 R3 R4 R5
𝑃 = 𝑅. (1+𝑖)
𝑛−1
𝑖.(1+𝑖)𝑛
130226, 01 = 𝑅. (1+0,045)
5−1
0,045.(1+0,045)5
130226, 01 = 𝑅. 0,24620,0561
130226, 01 = 𝑅. 4, 3886
𝑅 = 130226,014,3886
𝑅 = 29673, 70
Resolução de Problemas: Rendas antecipadas, postecipadas e diferidas.
1) Uma pessoa depositou, anualmente, R$ 500 numa conta poupança para o seu filho, a juros
de 6% ao ano. O primeiro depósito foi feito no dia que o filho completou 1 ano, e o último no seu
18o. aniversário. O dinheiro seria sacado no dia em que ele completasse 21 anos. Quanto recebeu o
filho?
0 1 2 3 .... 18 19 20 21
R1 R2 R3 ... R18 ? ? ?
S1 S2
𝑆
1
= 500 . 1+0,06( )
18−1
0,06
𝑆
1
= 500 . 1,85430,06 = 15452, 83
𝑆
2
= 15452, 83 (1, 06)3
𝑆
2
= 18404, 57 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑢
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2) O Sr. Humberto resolveu aplicar mensalmente $ 800,00, durante 5 anos, à taxa de 42,576% ao
ano e também fará aplicações extras de $ 300,00 no final de cada ano. Qual o valor do montante
no 60o. mês, sabendo que a data base é final de cada mês (vencida)?
0 1 12 24 36 48 60 meses
R1 R2 R3 ... R60 S1
E1 E2 E3 E4 E5 S2
St = S1 + S2
𝑆
1
= 800 . 1+0,03( )
60−1
0,03 = 130. 442, 75
𝑆
2
= 300 . 1+0,42576( )
5−1
0,42576 = 3446, 72
St = S1 + S2 = 133889,47, o saldo total
iq = (1 + it)q/t - 1
im = (1,42576)1/12 – 1 = 0,03 ou 3% a.m.
Na calculadora1,42576 yx (1 : 12) – 1 =
3) O Sr. Miranda resolve fazer 10 aplicações mensais, como segue:
_ 5 prestações iniciais de $ 1000,00 cada, no início de cada mês (Antecipada);
_ 5 prestações restantes de $ 2000,00 cada, no início de cada mês.
Sabendo-se que essa aplicação proporcionará rendimentos de 2,75% ao mês, calcular o saldo da
aplicação no 10o. mês.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
R1 R2 R3 R4 R5
R6 R7 R8 R9 R10 S2
S1 S3
S = S2 + S3
S1 = 1000. (1,0275 ) . = 5427,94 S3 = 5427,94 (1,0275)5
S2 = 2000. (1,0275 ) . = 10855,88
4) Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais e vencidas, à
taxa de 3,5% ao mês, sendo as quatro primeiras de $ 3000,00 e as seis últimas de $ 4500,00?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
P1 R1 R2 R3 R4 ...
R5 R6 R7 R8 R9 R10
P3 P2
P = P1 + P3
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EXERCÍCIOS SOBRE SÉRIE DE PAGAMENTOS (Cap. Composta)
1) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de $ 2 500,00, cada
uma, e que a taxa é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ao financiado:
a) de acordo com o conceito de termos postecipados;
b) e antecipados. Respostas: a) $ 22 473,89 b) $ 23 541,40
2) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, para que tenha $
150 000,00 no final do 15o. mês, dentro dos conceitos de termos postecipados e antecipados?
Resposta: Respect. $ 7 918,29 e $ 7 669,04
3) Um veículo “zero Km” foi adquirido por $ 22 000,00, sendo 70% financiado em 12 parcelas
iguais. Sabendo que a financeira cobra uma taxa de 4,5% ao mês, calcular o valor da prestação
mensal.
Resposta: $ 1 688,86.
4) Qual o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de $ 25 000,00, a ser
liquidado em 2 anos, à taxa de 9% ao bimestre, sendo que a 1a. prestação vence a 6 meses da
data do contrato?
Resposta: $ 4 628,25.
5) Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais, mensais e
consecutivas de $ 1 800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que
a primeira aplicação é feita “hoje”?
Resposta: $ 40 482,12.
6) Um veículo é financiado para pagamento em 36 prestações mensais, à taxa de 4,5% ao mês.
Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 24 500,00, calcular o valor das prestações:
a) de acordo com o conceito de termos postecipados;
b) de acordo com o conceito de termos antecipados.
Respostas: a) $ 1 386,84 b) $ 1 327,12
7) Sabendo-se que uma instituição financeira paga 46,41% ao ano para “aplicações programadas”,
calcular que montante será obtido no final de 18 meses (6 trimestres) por uma pessoa que
aplicar 6 parcelas trimestrais de $ 1 000,00 cada uma, sendo a primeira aplicação feita hoje.
Resp. $ 8 487,17
It = (1,4641)3/12 – 1 it = 0,1 ou 10% a.t.
S = 1000 (1,1) S = 8 487,17(1,1)
6−1
0,1
8) Quanto devo aplicar hoje, de uma só vez, para que tenha no final de 60 meses o equivalente ao
montante constituído por aplicações mensais de $ 500,00, à taxa de 2% ao mês, sendo a
primeira aplicação de hoje a 30 dias?
Resp. $ 17 380,44
9) Quanto terei, no final (S) de 20 meses, se aplicar, alternadamente, $ 200,00 e $ 400,00 por mês,
respectivamente, a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos?
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Resp. $ 7 631,56(ou $ 7 567,90)
Ib = (1,025)2 – 1 = 0,0506 = 5,06%a.b.
0 1 2 3 .... 18 19 20
200 200 ... 200
400 400 400
𝑆
1
= 200 . 1+0,0506( )
10−1
0,0506
𝑆
2
= 400 . 1+0,0506( )
10−1
0,0506
Ou 0 1 2 3 .... 18 19 20
200 200 200 ... 200 200 200
200 200 200
𝑆
1
= 200 . 1+0,025( )
20−1
0,025
𝑆
2
= 200 . 1+0,0506( )
10−1
0,0506
(1,03)6 – 1 = 0,1941
10) Uma pessoa resolve aplicar $ 100,00 por mês em fundo de renda fixa, à taxa de 3% ao mês,
durante 18 meses. Como essa pessoa recebe gratificações semestrais, deverá, no final do 6º e do
12º mês fazer aplicações extras de $ 500,00 cada uma. Qual o valor do montante global no final
do 18º mês, de acordo com o conceito de termos antecipados?
Resp. $ 3 721,51
0 1 2 3 .... 6 ... 12 17 18
100 100 100 ... 100 100 100 100 100 S1
500 500 S2
𝑆
1
= 100 (1, 03). 1+0,03( )
18−1
0,03
𝑆
2
= 500 (1, 1941). 1+0,1941( )
2−1
0,1941
11) Uma pessoa aplica $ 500,00 por mês, durante os 10 primeiros meses consecutivos, a uma taxa
de 3,25% ao mês. Segundo o conceito de pagamentos com termos vencidos, determinar:
a) o valor do montante no 15º mês Resp. $ 6 803,88
b) o valor presente dessa aplicação Resp. $ 4 211,20
12) Rodrigo tomou $ 30 000,00 emprestados, a uma taxa de 56,25% ao ano, para serem liquidados
em 10 prestações iguais, vencíveis no fim de cada semestre. No fim do 3º ano, ou seja, após ter
pagado a 6ª prestação, Rodrigo resolve liquidar de uma só vez, no ato, o valor atual da dívida
remanescente. Calcular esse valor. Resp. $ 19 842,58
- Matemática Financeira – Profª. Márcia Azevedo Campos
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13) Uma máquina está sendo ofertada por uma loja para pagamento em 12 parcelas mensais, sem
entrada. Sabendo-se que o valor da 1a. prestação é de $ 400,00; da 2a. de $ 500,00; da 3a. de $
400,00, e assim alternadamente, até o final, e que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao
mês, calcular o valor financiado. Resp. $ 3 977,65
14) Quanto devo aplicar hoje para ter, no final de 15 meses, um valor igual ao montante obtido,
nessa mesma data, com a aplicação de 15 parcelas iguais, mensais e consecutivas de $ 100,00, à
taxa de 3,5 % ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos?
(Resp. $ 1 151,74)
15) Um consumidor adquire uma mercadoria, para pagamento em 12 parcelas mensais, sendo as
6 primeiras de $ 300,00 e as 6 restantes de $ 500,00. Qual o valor financiado, sabendo-se que a
taxa de juros cobrada foi de 3,5% ao mês, para termos vencidos?
(Resp. $ 3 765,96)
16) O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas mensais e iguais de
$ 3 500,00 cada uma, vencíveis no fim de cada mês, a uma taxa de 4% ao mês. Calcular o valor
da prestação única, com vencimento no 10o. mês, que poderia substituir o plano inicial.
(Resp $. 70 409,51)
17) Um terreno está sendo oferecido por $ 12 000,00 a vista, ou $ 2 000,00 de entrada e mais 24
prestações mensais de $ 650,00 cada uma. Considerando uma taxa de juros de 3,5% ao mês,
mostrar qual o plano economicamente melhor.
18) O gerente de uma loja deseja estabelecer fatores (fator de prestação ou fator do valor
financiado) que serão aplicados ao preço à vista para o cálculo da prestação mensal. Se a taxa
cobrada pela loja é de 7% a.m., quais os fatores por unidade de capital nos prazos:
a) 3 meses
b) 4 meses Resp. 0,3810518 e 0,2952282
19) Certo executivo pretende viajar durante um ano e resolve fazer 6 depósitos mensais em uma
financeira que remunera a 6%a.m., para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais de
R$ 2000,00 durante o período de sua viagem. A 1a. retirada ocorrerá 1 mês após o último
depósito. Qual o valor de cada depósito?
Resp. 2403,86
20) Demonstrar se os dois planos seguintes são equivalentes considerando-se a taxa de 3% ao mês:
Plano A: 10 pagamentos mensais, iguais, vencidas e consecutivosde $ 1 000,00.
Plano B: 1 pagamento de $ 4 500,00 no final de 5 meses e outro de $ 6 434,56 no final de 11
meses.
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Os sistemas de amortização mais utilizados no Brasil são:
- Sistema Francês (Tabela Prince)
- Sistema de Amortização Constante (SAC)
- Sistema de Amortização Misto (SAM)
- Matemática Financeira – Profª. Márcia Azevedo Campos
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- Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
- Sistema de Amortização Americano (SAA)
1 - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇAO (TABELA PRINCE):
Este sistema desenvolveu-se na França no séc. XIX e a denominação Tabela Prince se deve ao
matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Prince, que viveu no séc. XVIII e que incorporou a
teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos ou financiamentos.
É considerado o Sistema de Amortização mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo
comércio em geral.
Consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e
sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação, ou
pagamento é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital, chamada de
amortização. Estas podem ser mensais, trimestrais, anuais, etc.
As amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta.
O valor de cada prestação é determinado pela fórmula utilizada para série de pagamentos com
termos vencidos:
Exemplo:
Calcular os valores das parcelas de juros e amortização referentes a um empréstimo de $ 8 530,20,
à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 prestações iguais.
2 - SISTEMA DE AMORTIZAÇAO CONSTANTE (SAC):
Este sistema é extremamente simples. Consiste em um plano de amortização de uma dívida em
prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de
termos vencidos. As amortizações são todas iguais ou constantes.
A parcela do capital é obtida dividindo-se o valor do empréstimo, ou financiamento, pelo número
de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinada multiplicando-se a taxa de juros
pelo saldo devedor no período imediatamente anterior.
Exemplo:
Elaborar um plano de pagamentos, com base no Sistema de Amortização Constante, correspondente
a um empréstimo de $ 100 000,00, à taxa de 3% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais.
3 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Este sistema foi criado pelo BNH em maio de 1979, e constituiu-se num misto entre o Sistema
Francês (Tabela Prince) e o Sistema de Amortização Constante.
É um plano de pagamento composto por prestações, amortizações e juros cujos valores são
resultantes da média aritmética dos seus valores nos Planos SAC e Prince, correspondente aos
respectivos prazos.
- Matemática Financeira – Profª. Márcia Azevedo Campos
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Exemplo:
Elaborar um plano de pagamentos com base no Sistema de Amortização Misto, correspondente a
um empréstimo de $ 120 000,00, a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 12 prestações
mensais.
_ Para obter os valores do plano solicitado, temos primeiramente de determinar os correspondentes
valores para os planos SAC e Prince, e a seguir calcular as suas respectivas médias aritméticas.
4 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE)
Este sistema de amortização foi criado pela Caixa Econômica Federal (CEF) para ser utilizado em
suas linhas de crédito relacionados ao Sistema Financeiro de Habitação (SFH).
Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se,
simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Neste sistema as prestações mensais são
calculadas com base no saldo devedor existente no início de cada período de 12 meses. Assim
sendo, o valor das 12 prestações iniciais é calculado da mesma forma como se obtém o valor da
primeira prestação do Sistema de Amortização Constante (SAC).
_ Divide-se o valor do empréstimo pelo número de prestações, obtendo o valor da parcela de
amortização;
_ Multiplica-se a taxa mensal de juros pelo valor do empréstimo, obtendo os juros da 1ª. prestação;
_ Soma-se a parcela de juros com a parcela de amortização;
_ Após o pagamento das 12 prestações iniciais, divide-se o saldo devedor remanescente pelo
número de prestações a vencer.
Exemplo:
Um imóvel no valor de R$ 35 000,00 é financiado em 180 prestações, sabendo-se que a taxa de
juros é de 12% a.a., e que o saldo devedor será corrigido pela TR de 1% a.m.. Elaborar uma
Planilha de Amortização SACRE para as 25 primeiras prestações.
5 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA)
Neste tipo de sistema de amortização, o valor principal do empréstimo ou financiamento é
devolvido de uma única vez, sendo os juros pagos durante os períodos da carência ou juntamente
com o valor principal.
Exemplo:
Um banco empresta a importância de R$ 10 000,00, com a taxa de 10% a.m., para ser paga em uma
única parcela, porém, devendo os juros serem pagos mensalmente durante o período de carência.
Elaborar a planilha de Amortização pelo Sistema Americano.
ATIVIDADE:
Fazer uma análise comparativa dos Sistemas Prince, SAC e SAM elaborando uma tabela com os
três tipos de Planos de Amortização para uma dívida de $ 4 376,03, a ser liquidada em 10
prestações mensais, à taxa de 2,5% ao mês.
- Matemática Financeira – Profª. Márcia Azevedo Campos
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