AOL 4 - Cálculo Integral

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Módulo C - 63371 . 7 - Cálculo Integral - D.20212.C
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
Pergunta 1
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O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções
trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse
método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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A. V, V, F, V.Resposta correta
B. V, V, F, F.
C. V, F, F, F.
D. F, F, V, V.
E. V, V, V, F
Pergunta 2
/1
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são
premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas
proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e
afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de
duas funções é relevante para a integração por partes porque:
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A. as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
B. a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem
integral por partes.
C. funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do
método de integração por partes.
Resposta correta
D. ambas são axiomas da matemática.
E. deve-se derivar as funções antes de integrá-las
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Pergunta 3
/1
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral
indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de
uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x),
decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da substituição, o da
integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo
método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por
partes, por se tratar do produto de duas funções.
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula:
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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A. F, F, V, F.
B. F, V, V, V.
Resposta correta
C. V, V, F, F.
D. V, F, F, V.
E. F, V, F, V.
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Pergunta 4
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A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se
na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam
mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse
uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
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A. I, II e III.
B. III e IV.
C. I, II e IV. Resposta correta
D. II e IV.
E. II, III e IV.
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Pergunta 5
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As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com
integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos
dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral,
associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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A. 2, 1, 3, 4.
B. 1, 3, 2, 4.
C. 2, 3, 1, 4.
D. 1, 4, 3, 2.
E. 1, 4, 2, 3 Resposta correta
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Pergunta 6
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O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental
importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a
função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original e,
apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por
frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo
método da integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões
polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar
utilizando a regra da integral da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
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A. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
B. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
C. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D. As asserções I e II são proposições falsas.
E. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
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Pergunta 7
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Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua
integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua
integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas
quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de
funções, é correto afirmar que:
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A. ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
B. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
C. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica
correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
D. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica
correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
E.f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w)
Resposta correta
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Pergunta 8
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As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas
que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de
funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser
definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula representa o cálculo do volume de um sólido de
revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( ) representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco
de uma função.
IV. ( ) pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de
revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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A. V, F, V, V.
B. V, V, F, F
C. V, V, F, V.
D. V, V, V, F. Resposta correta
E. F, F, V, F
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Pergunta 9
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O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por
substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já
que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida
cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou
translação, ao comprimento de um arco, etc.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração,
analise as afirmativas a seguir:
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições
trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x².
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a
substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w.
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para
integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições,
baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis.
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições
trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original.
Está correto apenas o que se afirma em:
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A. I, II e IV.
B. II e IV.
C. I e III.
D. I, II e III. Resposta correta
E. II e III.
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Pergunta 10
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O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à
integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de
integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma
que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por
partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv =
cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes,
obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de
integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a
primitiva F(x) da função f(x).
Agora, assinale a alternativa correta:
Ocultar opções de resposta
A. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
B. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
C. As asserções I e II são proposições falsas.
D. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
Resposta correta