Avaliação On-Line 4 (AOL 4) Cálculo Integral

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - 
Questionário 
10/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui 
fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais 
complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. 
Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos 
denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso, 
realizar a integração de fato. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de 
integração por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas. 
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode 
ser calculada pelo método da integração de frações parciais. 
Porque: 
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois 
fazemos essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 
1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral 
da soma de vários termos. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
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1. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta correta 
5. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
2. Pergunta 2 
/1 
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou 
seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente 
determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um 
dos métodos importantes de integração é o método conhecido como 
integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e 
ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os 
passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 4, 1, 3, 5. 
Resposta correta 
2. 
5, 2, 3, 4, 1. 
3. 
2, 1, 3, 4, 5. 
4. 
2, 4, 1, 5, 3. 
5. 
3, 4, 2, 1, 5. 
3. Pergunta 3 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que 
a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações 
no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são 
as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico 
equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou 
translação, ao comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas 
de integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito 
substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a 
raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser 
integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem 
na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da 
substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se 
recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades 
trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de 
substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x 
original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II e IV. 
2. 
II e III. 
3. 
I, II e III. 
Resposta correta 
4. 
I e III. 
5. 
I, II e IV. 
4. Pergunta 4 
/1 
Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar 
pela forma de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão 
dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a 
integrandos específicos, como é o caso do método de integração por 
substituições trigonométricas. 
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por 
substituições trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
correta: 
 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V. 
2. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
V, V, F, F. 
5. Pergunta 5 
/1 
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os 
estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de 
algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos 
importantes de integração é o método conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e 
ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os 
passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os 
cálculos dessas integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 1, 3, 4, 5. 
2. 
3, 4, 2, 1, 5 
3. 
5, 2, 3, 4, 1. 
4. 
2, 4, 1, 5, 3. 
5. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
/1 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus 
axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, 
proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros 
conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e 
afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da 
derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por 
partes porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de 
problemas que envolvem integral por partes. 
2. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base 
para a dedução do método de integração por partes. 
Resposta correta 
3. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
4. 
ambas são axiomas da matemática. 
5. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos 
produtos. 
7. Pergunta 7 
/1 
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, 
volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre 
curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e 
subtrações para a determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
 
1.png 
 
 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por 
meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e 
lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) 
e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de 
um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as 
seguintes integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma 
integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F,V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
V, F, F, V. 
3. 
F, V, F, F. 
4. 
V, F, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
8. Pergunta 8 
/1 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que 
diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das 
expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de 
integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta 
entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a 
(e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u 
= e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a 
função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral 
parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após 
isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva 
F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Resposta correta 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
4. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
9. Pergunta 9 
/1 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo 
cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de 
áreas, volumes e comprimento de arcos de funções. 
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas 
podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais. 
 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, V. 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, V, F, F 
4. 
V, V, F, V. 
5. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
10. Pergunta 10 
/1 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no 
que diz respeito à integração de funções mais complexas do que as 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em 
substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se 
encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua 
integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de 
integração por substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e 
a relação proposta entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada 
pelo método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 
2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e 
com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e 
como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula 
inicial e integrando, encontramos a expressão dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta correta 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I 
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma 
proposição falsa. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I. 
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira.