Lista_2_Fund_Eletro (1)

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE FUNDAMENTOS DE ELETROMAGNETISMO
POTENCIAL ELÉTRICO
3.1) Em um sistema eletrostático, caso você faça a integral do campo elétrico ao longo do
caminho em uma trajetória fechada, como indicado na Fig. 1, a integral será sempre igual
a zero, independente da forma da trajetória e da maneira como as cargas estão distribuídas
ao longo dela. Explique o motivo.
FIG. 1.
3.2) O potencial elétrico V de uma região do espaço é dado por: V (x, y, z) = A(x2−3y2+z2),
sendo A uma constante positiva. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico em
qualquer ponto nessa região. (b) Sabe se que o trabalho realizado pelo campo quando uma
carga de teste de 1.5 µC se desloca a partir do ponto (x, y, z) = (0, 0, 0.25) m até a origem
é de o 6.0× 10−5 J. Determine A. (c) Determine o campo elétrico no ponto (0, 0, 0, 25) m.
3.3) Um elétron, partindo do repouso, é acelerado por um campo elétrico e se desloca para
outro ponto onde o potencial elétrico é 1.0× 104 V mais alto. Qual é a velocidade adquirida
pelo elétron? (massa do elétron m = 9.109× 10−31 kg e e = 1.602× 10−19 C)
3.4) Duas esferas isolantes, idênticas, e com cargas de sinais contrários e módulo Q = 250 µC
cada, medem 50 cm de diâmetro, e são colocadas a uma distância de 1.0 m de um centro
a outro, como mostra a Fig. 2. (a) Se um voltímetro é conectado entre os pontos mais
próximos (a e b), qual será sua leitura? (b) Qual ponto, a ou b, possui o potencial mais
elevado, explique?
3.5) Um cilindro condutor de comprimento L é envolvido por uma casca cilíndrica condutora
de mesmo comprimento (veja Fig. 3). Sabendo que o cilindro possui uma carga +q e raio
1
FIG. 2.
FIG. 3.
a, e a casca externa uma carga líquida −2q e raio b, responda (considere L muito maior que
a distância entre o cilindro interno e a casca cilíndrica). (a) Faça um desenho mostrando
uma superfície Gaussiana apropriada para se estimar o módulo do campo elétrico entre o
cilindro e a casca cilíndrica. Desenhe a superfície Gaussiana, a normal dessa superfície, e os
vetores do campo elétrico. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico em função
da distância axial r na região entre o cilindro e a casca. (c) Calcule a diferença de potencial
entre o cilindro e a casca cilíndrica.
FIG. 4.
3.6) Duas placas condutoras A e B estão sujeitas a potenciais elétricos respectivamente
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iguais a 0 volt e 25 volt. A Fig. 4. mostra essas placas juntamente com algumas superfícies
equipotenciais. Um elétron está inicialmente em repouso entre as placas na posição indicada.
(massa do elétron m = 9.109× 10−31 kg e e = −1.602× 10−19 C)
(a) Contra qual das placas o elétron se chocará? Explique e indique o sentido do vetor
campo elétrico na posição inicial do elétron.
(b) Qual a energia cinética do elétron instantes antes da colisão? Deixe claro o raciocínio
utilizado.
(c) Como se alteraria o problema acima se todos os valores de potenciais fossem diminuídos
de 10 volt? Isto é, as placas A e B passariam a ter potenciais elétricos respectivamente
iguais a –10 volt e +15 volt. Justifique.
3.7) Uma esfera condutora de raio R encontra-se carregada com uma carga q. Responda os
itens abaixo deixando claro seu raciocínio e expresse suas respostas em termos dos parâmet-
ros R e q. (a) Calcule o campo elétrico, tanto dentro quanto fora da esfera, em função de
um raio r.
(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente
todos os cálculos.
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CAPACITORES E DIELÉTRICOS
4.1) Duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios R1 e R2 (R1 < R2) estão car-
regadas com cargas de sinais opostos e módulo q (a casca de raio menor, R1, tem carga
+q e a casca de raio maior, R2, tem carga -q). (a) Calcule a capacitância de um capacitor
esférico. (sugestão: acompanhe a seção 25-3 no livro do Halliday – Fundamentos de Física,
vol. 3, 8ed) (b) Calcule a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema. (Calcule
de duas formas: 1 - usando a fórmula de energia dos capacitores, e 2 - usando a densidade
de energia do campo elétrico.
4.2) Na Fig. 5, cada capacitor possui capacitância C = 4.0µ F e Vab = 28 V. Calcule: (a)
a carga de cada capacitor; (b) a diferença de potencial através de cada capacitor; (c) a
diferença de potencial entre a e d.
FIG. 5.
4.3) A Fig. 6 mostra um capacitor de placas paralelas com área das placas L2 e a distância
entre elas é d. O lado esquerdo do espaço entre as placas é preenchido por um material de
constante dielétrica κ1; a parte superior do lado direito é preenchida por um material de
constante dielétrica κ2 e a parte inferior do lado direito é preenchida por um material de
constante dielétrica κ3. Qual é a capacitância total?
4.4) A Fig. 7 mostra um corte em um capacitor cilíndrico carregado com uma carga q.
Os raios dos cilindros interno e da casca cilíndrica externa são a e b respectivamente. O
cilindro interno, de massa m, pode deslizar sem atrito em um eixo isolante de modo que
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FIG. 6.
a sua coordenada vertical y é variável. Considerando que o capacitor está sujeito à força
gravitacional faça o que se pede: (a) Calcule a capacitância em função da posição do cilindro
interno y; (b) Calcule o valor de y para o qual o peso do cilindro interno é compensado pela
força vertical elétrica que o outro cilindro exerce sobre ele.
FIG. 7.
4.5) Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas de áreas A separadas por
uma distância d.
4.6) Um capacitor de placas paralelas quadradas de lado L tem suas placas separadas por
uma distância d e está carregado com carga q, como mostra a Fig. 8. Um bloco quadrado
feito de material isolante de constante dielétrica κ pode deslizar livremente entre suas placas.
(a) Calcule a capacitância do capacitor quando o bloco está posicionado a uma distância
x dentro das placas. (b) Calcule a energia armazenada no capacitor em função de x. (c)
Calcule a força que atua no bloco para uma dada posição x, e diga se o bloco é puxado para
dentro ou para fora do capacitor. Justifique sua resposta
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FIG. 8.
4.7) Suponha que ao invés de manter a carga constante no problema 4.6 uma bateria, que
fornece uma diferença de potencial V , permaneça ligada enquanto o bloco dielétrico é inserido
entre as placas do capacitor. Determine (a) a carga total do capacitor em função de x, (b)
a densidade de cargas, σ1, na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico, (c) a
densidade de cargas, σ2, na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico, (d)
o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico e,
(e) o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo
dielétrico. Comente suas respostas aos itens (a) a (d). (f) Mantendo a bateria ligada,
o bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique sua resposta e faça
considerações acerca da energia acumulada no capacitor antes e depois de inserir a placa
dielétrica.
4.8) Um capacitor de placas paralelas, cada uma com área A e separadas por uma distância b,
possui uma placa condutora de espessura a, posicionada a uma distância x, como mostrado
na Fig. 10. Calcule sua capacitância em termos dos dados do problema, mostrando que ela
não depende de x. Indique todos os cálculos, deixando claro o raciocínio utilizado.
FIG. 9.
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4.9) As capacitâncias da Fig. 10 valem: C1 = 2,0 µF e C2 = 4,0 µF. Com a chave aberta,
o capacitor C1 é inicialmente carregado sob uma diferença de potencial V0 = 3,0 volt. a)
Qual a carga e qual a energia inicial de C1? Indique todos os cálculos. Depois que a chave
é fechada, calcule: b) Quais as novas diferenças de potencial nos dois capacitores? c) Qual
a energia final do sistema? Interprete o resultado obtido. Deixe claro seu raciocínio.
FIG. 10.
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Respostas:
3.2) (a) E⃗ =
(
−2Axî+ 6Ayĵ − 2Azk̂
)
3.2) (b) A = 640V/m2
3.2) (c) E⃗ =
(
0̂i+ 0ĵ − 320k̂
)
V/m
3.3) 5, 9× 107 m/s
3.4) (a) 12× 106 V
3.4) (b) a
3.5) (b) E⃗ = q
2πϵ0Lr
r̂
3.5) (c) ∆V = q
2πϵ0L
ln
(
b
a
)
3.6) (a) Choque contra B
3.6) (b) 1,6 · 1018 J
3.7) (a) E = 0 para r < R, e E = q
4πϵ0r2
r̂ para r > R.
3.7) (b) UE = q
2
8πϵ0R
4.1) (a) C = 4πϵ0 R1R2R2−R1
4.1) (b) U = q2
8πϵ0
R2−R1
R1R2
4.2) (a) Q1 = 22µC, Q2 = 22µC, Q3 = 44µC, Q4 = 67µC.
4.2) (b) V1 = 5, 5V, V2 = 5, 5V, V3 = 11V, V4 = 17V.
4.2) (c) 11V.
4.3) k1k2+k1k3+2k2k3
k2+k3
ϵ0L2
2d
4.4) (a) C = 2πϵ0y
ln( b
a
)
4.4) (b) y =
√
q2 ln( b
a
)
4mgπϵ0
4.5) C = ϵ0A
d
4.6) (a) ϵ0L
d
(L+ (k − 1)x)
4.6) (b) q2d
2ϵ0L(L+(k−1)x)
4.6) (c) q
2d(k−1)
2ϵ0L(L+(k−1)x)2 . O bloco é puxado para dentro.
4.7) (a) ϵ0LV
d
(L+ (k − 1)x)
4.7) (b) kϵ0V
d
4.7) (c) ϵ0V
d
4.7) (d) V
d
4.7) (e) V
d
4.7) (f) Para dentro.
4.8) ϵoA/(b− a)
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4.9) (a) q0 = 6,0 µC U0 = 9,0 µJ
4.9) (b) V = 1,0 volt.
4.9) (c) Notamos que o sistema perdeu energia: A perda de energia é necessária para que o
sistema vá para a condição de equilíbrio estável. U = 3,0 µJ.
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